专题8-4 方法篇 空间角（异面直线所成角+线面角+二面角）问题(9大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题8-4 方法篇 空间角（异面直线所成角+线面角+二面角）问题 题型一：异面直线所成角（定值） 典型例题 例题1．（2025·安徽合肥·二模）已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥表面积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】先求出圆锥的底面半径和，过点作交的延长线于点，为与所成角，由余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为，所以， 所以，所以， 所以，又正三角形内接于， 所以，解得：，所以， 所以， 过点作交的延长线于点，， 所以与所成角即为与所成角或其补角， 所以为与所成角， 由余弦定理可得：， 故选：A. 例题2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直 【分析】作辅助线，利用平移法找到异面直线EF与BD的所成角，设，求出相关线段的长，解三角形即可求得答案. 【详解】取的中点为，连接， 点E为线段的中点，则，故为异面直线EF与BD所成角或其补角； 由题意知为直角三角形，且，则为直角，即， 又平面BCD，且平面BCD，故， 平面，故平面， 而F为线段的中点。故，故平面， 平面，故， 设，则， 又，同理， 故为正三角形，则， 则异面直线EF与BD所成角的余弦值为， 故选：A 例题3．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：      因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 精练核心考点 1．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】台体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图：    在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 2．（2025·广西南宁·二模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，与分别为该圆柱的上、下底面的一条直径，若从点出发绕圆柱的侧面到点的最小距离为，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、圆柱表面积的有关计算、求异面直线所成的角 【分析】根据最小距离可得的长度为，即可根据异面直线所成角的定义即可求解. 【详解】根据题意可知圆柱的半径和高分别为， 由于从点出发绕圆柱的侧面到点的最小距离为，故展开图中，则,故， 因此在圆柱中，在下底面作平行于的直径，则的长度为，故所成的角为或其补角， 由于，故直线与直线所成的角为， 故选：C 3．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连接，可证明，进而可得是直线与所成的角，取的中点，连接，则，可求得，，可求直线与所成夹角的余弦值. 【详解】如图，在正四棱柱中，取的中点，连接， 又因为是的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 所以与所成的角就是与所成的角，即． 因为是的中点，所以是四边形的中心，所以， 取的中点，连接，则，且， 在矩形中，，所以，则， 在中，， 所以在中，. 故选：B． 题型二：异面直线所成角（最值+范围） 典型例题 例题1．（23-24高一下·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据题意，可知初始状态时直线与直线所成的角为，由于，可得异面直线与不垂直，翻折过程中当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，求出.，即可得到答案. 【详解】由题可知， 四边形是矩形，， 所以初始状态时直线与直线所成的角为， 已知矩形中，，， ， 翻折过程中，如下图， 因为，所以，则与平面不垂直， 因为，， 所以异面直线与不垂直， 翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图： 因为矩形中，,，， ，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为； 故选：C 例题2．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】过作交底面圆锥于点，则为异面直线与所成角，结合余弦定理与余弦函数的性质即可得的取值范围，从而得所求最值. 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法、复合函数的最值 【分析】方法1：通过作平行线找出异面直线AB与EG所成角，设，在直角三角形中用x表示出，将问题转化为求在上的值域即可. 方法2：建立空间直角坐标系，运用坐标法求得异面直线AB与EG所成角的余弦值的范围，进而求得其正弦值的范围即可. 【详解】方法1：取的中点N，连接，如图所示，      则，面， 所以异面直线AB与EG所成角即为，， 设，（）， 所以， 又因为， 所以， 所以，即： . 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是 .（用区间表示） 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用，得出，通过线面垂直的判定定理和性质定理可得到，通过几何关系可得到，可知的最小值为与平面所成的角.设的交点为O，则为与平面所成的角.所以的最小值为.的最大值为点在点处，此时. 【详解】连结, 由正方体的性质可得，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线和所成的角即直线与所成的角， 连接的交点为O，过点作直线的垂线，垂足为， 因为平面，平面， 显然,， 又平面,所以平面, 因为平面,所以,, 又因为，平面，所以平面， 又平面，， 易知,所以有，，，可得, 由正方体的性质可知，显然为锐角，所以，得，即， 所以当，即点在上时，此时有最大值为，此时最小为； 显然当点在时，此时有最大值，因为，此时有最大值，显然为正三角形，所以此时；故 故答案为： 题型三：根据异面直线所成角求参数 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取中点，连接，，即可得到为异面直线与所成的角（或补角），再由勾股定理计算可得. 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故答案为：5 精练核心考点 1．（23-24高三上·全国·开学考试）已知圆柱底面的半径为，四边形为其轴截面，若点E为上底面圆弧的中点，异面直线与所成的角为，则圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆柱表面积的有关计算、由异面直线所成的角求其他量 【分析】结合圆柱体的性质和面积公式以及异面直线所成角的求法计算即可得. 【详解】    设底面圆心为，则为的中点，过点作底面圆于， 连接，，， 为异面直线与所成的角， ，是的中点，是的中点，， 又平面，平面，， 由已知，所以，得， 则圆柱的表面积为． 故选：A. 2．（23-24高三上·陕西西安·期末）如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、由异面直线所成的角求其他量 【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接. 因为，所以与所成的角为（或其补角）. 令，在中，由，得. 又，， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 故选：C 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 . 【答案】 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取，，的中点，，，由中位线的性质可得，，再由勾股定理即可求得. 【详解】分别取，，的中点，，，连接，，， 则，，.    又，即. . 故答案为：. 题型四：求直线与平面所成角（定值） 方法一：定义法 ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 典型例题 例题1．（2025·广西柳州·三模）已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 . 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】分析可知，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角，再结合线面角的定义求解即可. 【详解】如下图所示： 因为、分别在圆锥的底面上，且为该圆锥的一条母线， 所以，异面直线与所成角的最小值为直线与底面所成的角， 由圆锥的几何性质可知，与底面垂直，且为底面内的一条直线，则， 所以，异面直线与所成角的最小值为，且， 故. 故答案为：. 例题2．（24-25高二上·湖北·期中）在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值 ． 【答案】 【知识点】余弦定理及辨析、证明线面平行、求线面角、证明面面垂直 【分析】分别取为各边中点，连接，，且交于O，连接，首先证面面，转化为求与平面所成角余弦值，再利用线面、面面垂直的判定证面面，由线面角的定义有与平面所成角为或其补角，最后应用余弦定理求其余弦值. 【详解】如下图，分别取为各边中点，连接，，且交于O，连接， 由题设，易知， 由面，面，则面，同理可证面， 由，面，则面面， 所以与平面所成角，即为与平面所成角， 由，且等边中，，面， 所以面，面，则面面，面面， 故在面的投影在直线上，则与平面所成角为， 若正方体的棱长为1，则中，， 所以， 故与平面所成角，即与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高二上·山东·期中）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于 . 【答案】 【知识点】面面垂直证线面垂直、求线面角 【分析】取的中点，连接，可得面，即角为直线与侧面所成的角，然后即可求解. 【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接， 由底面为正三角形，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面， 于是在侧面上的射影为， 为直线与侧面所成的角， 设底面边长为，则，， 在直角三角形中，. 故答案为：    2．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，圆所在平面，是圆的直径，是圆周上一点，其中，，，则与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】首先证明平面，然后可得与平面所成角为，然后可得答案. 【详解】因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以在平面上的射影为， 所以与平面所成角为， 因为， 所以， 所以 故答案为： 3．（23-24高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 【答案】 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】过作作，可得出线面角，再过作于，连接，在三个直角三角形中，分别计算，，，进而得出，即可求解. 【详解】 因为平面平面ABC，且平面平面ABC， 所以，过点作于，且面， 所以平面ABC，则为DC与平面ABC所成的线面角， 过作于，连接， 由面，故，而且都在面内， 所以面，面，则， 在中，， 在中，， 在中，， 所以，即， 解得， 所以，即DC与平面ABC所成线面角大小为. 故答案为： 方法二：等体积求垂线段法 ①利用等体积法求垂线段的长； ② 典型例题 例题1．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为 . 【答案】1 【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、求线面角 【分析】法一：根据台体的体积公式得三棱台的高，作辅助线并结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系得，进而求正三棱锥的高，即得结果. 【详解】法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为，则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得， 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则，知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故答案为：1 例题2．（2024·广东深圳·模拟预测）对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】以三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值等价于与平面所成角的正切值，设点到平面的距离为，利用求出可得答案. 【详解】如图，以三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为， 则此圆锥的母线与底面所成角的正切值等价于与平面所成角的正切值， 设点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以点到平面的距离为， 则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为 . 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】/ 【知识点】求点面距离、求线面角 【分析】先求得点E到平面的距离，进而即可求得直线与平面所成角的正弦值 【详解】令正方体棱长为a，则 设点E到平面的距离为d， 由，即， 可得，解之得 则直线与平面所成角的正弦值为 故答案为： 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图所示，正四棱锥棱长均为1，为正四面体，点及点在平面两侧，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】设正方形的中心为，连，则平面，所以， 取的中点，连，根据平面与平面有公共点，且都与垂直可得平面与平面重合，根据可得，用等体积法求出点到平面的距离为，用勾股定理求出，由此可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】设正方形的中心为，连，则平面，所以， 取的中点，连， 因为为正三角形，所以，又，所以平面， 因为为正三角形，所以，又，所以平面， 因为平面与平面有公共点，所以平面与平面重合， 取的中点，连，因为，所以， 因为，， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以、两点到平面的距离相等，都为， 所以， 设点到平面的距离为，则， 由得，得， 延长，使得，连，则四边形为矩形，则， 所以平面，所以，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 题型五：线面角（最值+范围） 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，已知，，且．现将沿对角线翻折成，则在翻折到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为 ．    【答案】 【知识点】证明面面垂直、求线面角 【分析】 取的中点，连接、，得到直线与平面所成角，再根据正弦定理列式，最后根据正弦函数有界性确定最大值，求得结果. 【详解】 取的中点，连接、，    ，，， 又，平面， 所以平面，又平面， 从而平面平面， 因此在平面的射影在直线上，即为直线与平面所成角， 因为，，且， 所以， ， 即最大值为，因此直线与平面所成最大角的正切值为. 故答案为： 例题2．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知圆锥的顶点为，轴截面是边长为1的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则与圆锥底面所成角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】先作出辅助线，得到点的轨迹为线段，当点与重合时，取得最小值，当点与或重合时，取得最大值，，从而得到线面角的正切值的取值范围. 【详解】因为轴截面是边长为1的等边三角形，故， 因为为的中点，所以， 在上取点，使得，过点作⊥，交底面圆周于点， 则，此时，又， 故∽，则， 故，故， 因为⊥底面圆，底面圆，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段，连接， 当点与重合时，取得最小值，当点与或重合时，取得最大值， 则， 设与圆锥底面所成角为，则， 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】求二面角、证明线面垂直、求线面角 【分析】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，可得，求出，由最大角定理即可求解. 【详解】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，    因为，所以. 因为平面, 所以平面. 因为，， 所以,所以，， 所以. 设，则, 所以, 因为,所以, 所以. 又因为平面，所以由最大角定理可知，， 于是，当时取得“＝”，满足条件. 故答案为:. 2．（2024·四川南充·模拟预测）三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为 【答案】 【知识点】面面垂直证线面垂直、余弦定理解三角形、求线面角 【分析】过作，可得底面，可得到线面角.，设，则，，表示出，即可得到表达式，求出最小值即可. 【详解】 如图，过作，垂足点为，连接, 根据面面，面面，可得底面， 即为直线与面所成角，设， 设，又，则， 因为，，，，则， 易知，且， 在中，， 由余弦定理可得：， 又，， 所以，， 令， 则，，当时，取得最大值. 所以，直线与面所成角的正弦的最大值为． 故答案为：． 3．（23-24高二下·浙江杭州）已知正方体棱长为4. 若M是平面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为 . 【答案】 【知识点】立体几何中的轨迹问题、线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直 【分析】先由判断出点轨迹，再求出与平面所成角为，要使最大，则最小，结合点轨迹求出最小值即可. 【详解】连接，如图， 易知平面，平面，所以，又，，故平面，平面，所以， 即点在平面内的轨迹为以为直径的圆（除去点C）， 又平面，故与平面所成角即为， 又，故要使最大，则最小，将平面及点轨迹画出如下图： 设为中点，连接， 则，故最小为， 此时. 故答案为：. 题型六：根据线面角求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北石家庄·开学考试）如图，在直三棱柱中，，.    (1)求证：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由线面角的大小求长度、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理可得答案； （2）作，交于点， 可得与平面所成的角即为，求出可得根据可得答案. 【详解】（1）因为直三棱柱中平面，平面， 所以，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 连接相交于点， 因为，所以侧面为正方形，所以， 且，平面，所以平面， 平面，可得；    （2）做，交于点， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，所以与平面所成的角即为， 可得， 因为为边长为2的正方形，所以，所以， 可得，所以，，， 所以， 所以.    例题2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图所示，三棱台中，底面，． (1)证明：是直角三角形； (2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由线面角的大小求长度、证明线面垂直 【分析】（1）结合棱台的特征及条件先证得平面，由即可得结论； （2）作，先证为直线与平面所成角，设边长，结合条件解直角三角形得出含参表示的边长，作商即可解得. 【详解】（1）∵平面，平面，∴ 又，，平面，∴平面， ∵三棱台中， ∴平面， 又平面，，故是直角三角形． （2） 在平面内作，垂足为，连接． 由（1）知，平面，又平面，， ，平面，平面， 是在平面上的射影，即为直线与平面所成角． 设，则，， ∵三棱台中，， ，． 在中，，， 在中，， 解得． ∴ 当时，直线与平面所成角的正弦值为． 精练核心考点 1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）四棱锥，底面为矩形，，，.    (1)证明：； (2)设与平面所成的角为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)详见解析； (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、面面垂直证线面垂直、证明面面垂直、由线面角的大小求长度 【分析】（1）取BC的中点G，连接AG，DG，根据，得到，再根据底面为矩形，且，得到平面平面BCDE，从而平面BCDE，有，然后由，得到，即，从而平面ADG而得证； （2）由（1）得到平面ABC，进而平面平面ABE，作，得到平面，从而为与平面所成的角，然后在和中，求得，得到，再利用锥体的体积公式求解. 【详解】（1）证明：如图所示：    取BC的中点G，连接AG，DG， 因为，所以， 因为底面为矩形，且， 所以， 又，平面ABC平面ABC， 所以平面ABC，又 平面BCDE， 所以平面平面BCDE，平面平面， 所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以，即， 又因为，平面ADG平面ADG， 所以平面ADG， 又平面ADG， 所以； （2）由（1）知：平面ABC，平面ABE， 所以平面平面ABE， 作，连接EH， 平面平面， 所以平面， 所以为与平面所成的角， 因为，，， 所以， 在中， ，则， 在中， ， 解得，则 ， 所以 . 2．（23-24高一下·全国·单元测试）如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置． (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析，. 【知识点】由线面角的大小求长度、锥体体积的有关计算、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证明结论； （2）确定当平面时, 三棱锥的体积取最大，作出二面角的平面角，解三角形求得答案； （3）假设存在，作出与平面所成的角，结合题意求得，判断适合题意，即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵且O是的中点， ∴，即， 又∵，平面平面，∴平面． （2）在平面内，作于点D，则由（1）可知， 又平面，即是三棱锥的高， 又，∴当D与O重合时，三棱锥的体积最大， 此时平面, 过O作于点H，连接，如图, 由（1）知平面，又平面， ∴， ∵，∴平面，平面，, ∴即为二面角的平面角． 在中，， ∴， ∴，故二面角的余弦值为.. （3）假设在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为， 如图，连接， 在（2）的条件下，平面, 故平面，∴与平面所成的角为， ∴，∴， 又在中，,, 则，故, 而，∴，∴， ∴， 即故在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为，此时. 题型七：二面角（定值） 方法一：定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 典型例题 例题1．（23-24高二上·北京延庆·阶段练习）在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】过点在平面内作且连接，证明即二面角的平面角，利用和求出相关边长，即可求得. 【详解】 如图，过点在平面内作且连接，则得, 因，则，又，则即二面角的平面角. 又，故平面，因平面，则，又，故得. 在中，由可得, 因,故，则 故选：A 例题2．（24-25高二上·上海·阶段练习）二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 . 【答案】或 【知识点】求二面角 【分析】作出图像，根据二面角定义求解即可. 【详解】①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是   ，，则，∴， ①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是的补角   ，，则，∴，二面角为 ∴二面角的大小是：或. 故答案为：或. 精练核心考点 1．（24-25高二上·山西运城·期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，的中点为，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二面角 【分析】根据题意判断四边形为平行四边形，得到三角形和三角形为等边三角形，则，再根据线面垂直判定定理可得为平面与平面所成角的平面角，解三角形即可求得. 【详解】取的中点，连接， 因为，，的中点为，则且， 则四边形为平行四边形，则， 则三角形为等边三角形，则， 又四边形为等腰梯形，则， 则三角形为等边三角形，则， 又因为平面平面，则， 又，平面，则平面， 又因为平面，则， 则为平面与平面所成角的平面角， 在中，，，则， 则. 故答案为：. 2．（2025高二·全国·专题练习）矩形中，，，沿将此矩形折成一个二面角，折后与平面所成的角为60°，则折得的二面角的大小为 ． 【答案】90° 【知识点】求线面角、证明面面垂直、求二面角 【分析】根据线面角得出垂足在上，再结合面面垂直的判定定理即可得出二面角. 【详解】如图，因为沿将此矩形折成一个二面角，作平面于点O，连接，则， 在直角三角形中，，则得，故点在上， 因为平面，平面，所以平面平面， ∴当与平面所成的角为60°时，二面角的大小为． 故答案为：. 3．（24-25高二上·四川广安·期中）如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 . 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】在平面内过作且，根据二面角定义找到对应平面角，再由已知求角的大小即可. 【详解】如下图，在平面内过作且， 由，易知为矩形，连接， 由，则，又，且都在面内， 所以面，面，则， 由，，则， 由，，易知为二面角的平面角， 又，， 所以. 故答案为： 方法二：射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）如图与所在平面垂直，且，求二面角的余弦值. 【答案】 【知识点】面面垂直证线面垂直、求二面角 【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果. 【详解】过作的延长线于，连结， 平面平面，平面平面，平面 点即为点在平面内的射影， 为在平面内的射影， 设，则， ，由余弦定理可得， .， 又，， 设二面角为. 而二面角与互补， 二面角的余弦值为. 精练核心考点 1．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为 ；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ． 【答案】 【知识点】判断正方体的截面形状、求二面角 【分析】设平面交于点，可知平面截正方体所得截面为，推导出点为的中点，计算得知四边形是边长为的菱形，并求出菱形的对角线长，由此可求得该截面的面积，再由二面角余弦公式求值即可. 【详解】如图，在正方体中， 平面平面，平面平面， 平面平面，，同理可证， 四边形是平行四边形， ，， 又，， ，，则为的中点，，同理， 所以截面是边长为的菱形，其对角线，， 故截面面积． 设平面与底面ABCD所成锐二面角为， 因为截面在底面的射影为正方形， 所以. 故答案为：；. 2．（2023高三·全国·专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】求二面角、面面垂直证线面垂直 【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果. 【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE， ∵平面平面，平面平面， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面内的射影， ∴ 为在平面内的射影，                                                                        设，则， ∴由余弦定理可得，∴， ∴ ， 又，∴ ， 设二面角为，∴ . 而二面角与互补， ∴二面角 的余弦值为. 故答案为： 题型八：二面角（最值+范围） 典型例题 例题1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】过点P作,则O点为AB的中点，再过作于，利用线面 垂直的性质与判定确定为二面角的平面角，结合中位线的性质及三角 形三边关系确定最小值即可. 【详解】 过点P作,则O点为AB的中点，且平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，,， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 此时取得最小值， 故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：. 例题2．（23-24高三上·浙江台州·期末）已知长方体，底面是边长为4的正方形，高为2，点是底面的中心，点在以为球心，半径为1的球面上，设二面角的平面角为，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求二面角、二面角的概念及辨析 【解析】根据题意，画出相应的图形，结合题意，找出什么情况下取最大值，什么情况下取最小值，利用和差角正切公式求得最值，得到结果. 【详解】根据题意，如图所示： 取的中点，过点作球的切线，切点分别为， 可以判断为的最小值，为的最大值， 且， ，所以 ， ， ， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关二面角的求解问题，解题方法如下： （1）先根据题意画图； （2）结合题意，找出在什么情况下取最大值和最小值； （3）结合图形求得相应角的正切值； （4）利用和差角正切公式求得结果. 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】求线面角、证明线面垂直、求二面角 【分析】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，可得，求出，由最大角定理即可求解. 【详解】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，    因为，所以. 因为平面, 所以平面. 因为，， 所以,所以，， 所以. 设，则, 所以, 因为,所以, 所以. 又因为平面，所以由最大角定理可知，， 于是，当时取得“＝”，满足条件. 故答案为:. 2．（23-24高二上·浙江·期中）在三棱锥中，在底面的射影为的重心，点为棱的中点，记二面角的平面角为，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】求二面角 【解析】取中点为，过、分别作底面的垂线、，根据题中条件，得到，；过、分别作的垂线、，连接，， 由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到为二面角的平面角；为二面角的平面角，得出，，令，进而可求出最值. 【详解】 取中点为，过、分别作底面的垂线、， 则为的重心，平面；平面； 由于点为棱的中点，所以有，； 过、分别作的垂线、，连接，， 因为平面，所以，同理； 又，平面，平面， 所以平面；因为平面，所以， 所以为二面角的平面角； 同理，所以为二面角的平面角， 所以，， 因为，，所以； 因此， 所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于确定二面角、以及三者之间的关系，由题中条件得出二面角是二面角的倍，进而可求得结果. 3．（23-24高二上·北京·期中）在正方体中，点是侧面内（不包含边界）的一个动点，且点在棱上运动，则二面角的余弦值的取值范围是 . 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】由线面垂直的判定与性质可得平面即为平面，连接，，由二面角的概念可得即为二面角的平面角，求出二面角余弦值的最值即可得解. 【详解】连接，交于点，连接，，如图， 在正方体中，平面，所以，同理， 所以平面，所以点在线段上（不含端点）， 所以平面即为平面， 连接，，，， 则，，所以即为二面角的平面角， 当与点重合时，最小，连接， 设正方体的棱长为1，则，， 所以； 当与点重合时，最大， ； 所以二面角的余弦值的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键首先是找到点P的轨迹，再由二面角的概念确定平面角，求出临界值即可得解. 题型九：根据二面角求参数 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点．    (1)为侧面的两条对角线的交点，求证：平面； (2)若，，，且二面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）取的中点，连接，．证明四边形是平行四边形．再根据线面平行的判断定理证明即可. （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．先证明．得到平面．证明平面．得到． 进而得到是二面角的一个平面角．再根据三角函数定义，结合勾股定理计算即可. 【详解】（1）如图1，取的中点，连接，． 因为为侧面的两条对角线的交点，所以，且． 因为为三棱柱的侧棱的中点， 所以，且，即，且． 所以四边形是平行四边形． 所以． 因为平面，平面， 所以平面．      （2）如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． 在直三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 所以是二面角的一个平面角． 因为二面角与二面角互补， 所以．所以． 在中，，，， 在中，， 在中，，， 所以．所以． 例题2．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）在三棱锥中，，为的中点． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）作于，连接，根据，求出，利用勾股定理证明，再利用余弦定理求出，再利用勾股定理证明，即可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）易得即为二面角的平面角，再证明平面，则即为直线与平面所成角的平面角，即可得解. 【详解】（1）作于，连接， 在中，，则， 所以，所以， 所以， 在中，，所以，则， 在中，， 又，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）由（1）知，，， 则即为二面角的平面角，故， 又，则， 在中，，所以， 因为为的中点，所以， 则，所以， 又平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角，又， 所以线与平面所成的角为． 精练核心考点 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDE，，F为线段DE上的一点． (1)求证：平面平面ABCD； (2)若二面角与二面角的大小相等，求DF的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求二面角、由二面角大小求线段长度或距离、证明面面垂直 【分析】（1）推导出，，从而面，由此能证明平面平面. （2）取的中点，连结，过作交于，过作交于，连结，推导出就是二面角的平面角，就是二面角的平面角，由此能求出的长. 【详解】（1）∵面，面， ∴，又底面是矩形， ∴，, ∴面，平面， ∴平面平面. （2）取的中点，连结，过作交于，过作交于，连结， ∵，∴且， ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面, 平面,则,,, 平面，∴平面,∴, ∴就是二面角的平面角， 同理是二面角的平面角， 因为二面角与二面角的大小相等, 所以二面角的大小是二面角的大小的二倍, 即：， 平面,， 平面,则, ，则平面,同理可得: , 所以、为直角三角形， 而，则 ∴， ∴，在直角三角形中，，所以. ∴DF的长为. 2．（24-25高三上·新疆·阶段练习）如图，在四棱台中，平面，底面为菱形，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，，二面角的大小为45°，求 该四棱台的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】台体体积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离、证明线面平行 【分析】（1）根据四棱台的性质可得四边形为平行四边形，即可利用线线平行求证， （2）根据勾股定理可得，继而得为的菱形，即可根据线面垂直得二面角的平面角，即可根据三角形的边角关系求解高，即可利用棱台体积公式求解. 【详解】（1）由于，底面为菱形，且为四棱台， 故四边形也为菱形， 故且， 由于点为的中点,故,故四边形为平行四边形， 则，平面，平面， 故平面， （2）因为平面，且平面，故,, 则, , 故, 由于也为菱形，故,故为等边三角形， ,,且也为等边三角形， 由于点为的中点,故, 因为平面，故平面，故, 平面，故平面， 过作于,连接, 平面，平面,故, 平面,故平面, 平面,故, 故为二面角的平面角，所以， ,故, 又，故,故， 因此， ,则, 故四棱台的体积为 3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、证明线面平行 【分析】（1）根据线面垂直关系可得，由勾股定理可得，则∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）做辅助线，根据三垂线法分析可知可知二面角的平面角为，设，根据题意结合三角知识运算求解即可. 【详解】（1）因为底面，且底面，则， 又因为，，平面， 可得平面，由平面，所以， 因为，，，即， 可得，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）若，设，则， 过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 可得，， 因为底面，且底面，则， 且，则，可得， 因为底面，且底面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为，则， 可得，， 则，即， 可得， 整理可得，解得或（舍去）， 且，则，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8-4 方法篇 空间角（异面直线所成角+线面角+二面角）问题 题型一：异面直线所成角（定值） 典型例题 例题1．（2025·安徽合肥·二模）已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例题3．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方婷，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·广西南宁·二模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，与分别为该圆柱的上、下底面的一条直径，若从点出发绕圆柱的侧面到点的最小距离为，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型二：异面直线所成角（最值+范围） 典型例题 例题1．（23-24高一下·江苏徐州·期末）在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 精练核心考点 1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是 . 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是 .（用区间表示） 题型三：根据异面直线所成角求参数 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 精练核心考点 1．（23-24高三上·全国·开学考试）已知圆柱底面的半径为，四边形为其轴截面，若点E为上底面圆弧的中点，异面直线与所成的角为，则圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西西安·期末）如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 . 题型四：求直线与平面所成角（定值） 方法一：定义法 ①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线； ②连接斜足与垂足； ③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角. 典型例题 例题1．（2025·广西柳州·三模）已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 . 例题2．（24-25高二上·湖北·期中）在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值 ． 精练核心考点 1．（24-25高二上·山东·期中）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于 . 2．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，圆所在平面，是圆的直径，是圆周上一点，其中，，，则与平面所成角的正弦值为 . 3．（23-24高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 方法二：等体积求垂线段法 ①利用等体积法求垂线段的长； ② 典型例题 例题1．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为 . 例题2．（2024·广东深圳·模拟预测）对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为 . 精练核心考点 1．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图所示，正四棱锥棱长均为1，为正四面体，点及点在平面两侧，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 题型五：线面角（最值+范围） 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，已知，，且．现将沿对角线翻折成，则在翻折到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为 ．    例题2．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知圆锥的顶点为，轴截面是边长为1的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则与圆锥底面所成角的正切值的取值范围是 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为 . 2．（2024·四川南充·模拟预测）三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为 3．（23-24高二下·浙江杭州）已知正方体棱长为4. 若M是平面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为 . 题型六：根据线面角求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北石家庄·开学考试）如图，在直三棱柱中，，.    (1)求证：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.    例题2．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）如图所示，三棱台中，底面，． (1)证明：是直角三角形； (2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？ 精练核心考点 1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）四棱锥，底面为矩形，，，.    (1)证明：； (2)设与平面所成的角为，求四棱锥的体积. 2．（23-24高一下·全国·单元测试）如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置． (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长． 题型七：二面角（定值） 方法一：定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 典型例题 例题1．（23-24高二上·北京延庆·阶段练习）在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D．2 例题2．（24-25高二上·上海·阶段练习）二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 . 精练核心考点 1．（24-25高二上·山西运城·期末）如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，的中点为，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）矩形中，，，沿将此矩形折成一个二面角，折后与平面所成的角为60°，则折得的二面角的大小为 ． 3．（24-25高二上·四川广安·期中）如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为 . 方法二：射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）如图与所在平面垂直，且，求二面角的余弦值. 精练核心考点 1．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为 ；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ． 2．（2023高三·全国·专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 题型八：二面角（最值+范围） 典型例题 例题1．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 例题2．（23-24高三上·浙江台州·期末）已知长方体，底面是边长为4的正方形，高为2，点是底面的中心，点在以为球心，半径为1的球面上，设二面角的平面角为，则的取值范围是 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为 . 2．（23-24高二上·浙江·期中）在三棱锥中，在底面的射影为的重心，点为棱的中点，记二面角的平面角为，则的最大值为 . 3．（23-24高二上·北京·期中）在正方体中，点是侧面内（不包含边界）的一个动点，且点在棱上运动，则二面角的余弦值的取值范围是 . 题型九：根据二面角求参数 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点．    (1)为侧面的两条对角线的交点，求证：平面； (2)若，，，且二面角的余弦值为，求的长． 例题2．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）在三棱锥中，，为的中点． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角． 精练核心考点 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDE，，F为线段DE上的一点． (1)求证：平面平面ABCD； (2)若二面角与二面角的大小相等，求DF的长． 2．（24-25高三上·新疆·阶段练习）如图，在四棱台中，平面，底面为菱形，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，，二面角的大小为45°，求 该四棱台的体积． 3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，证明：∥平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求. 学科网（北京）股份有限公司 $$