精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025届高三下学期第一次阶段性检测数学试卷

数学试卷 一、选择题(本题共9小题，每题5分，共45分) 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为，全集， 故. 故选：C. 2. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助函数单调性，分别找出其等价条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】充分性：当时，可得. 但是对数函数中，的取值范围是，当时，和无意义，所以由“”不能推出“”，充分性不成立.  必要性：因为对数函数的定义域为，若，根据对数函数的性质，对数相等则真数相等，所以可得. 对，可得，所以由“”可以推出“”，必要性成立.  所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 样本数据，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对数据排序，然后根据百分位数的求解步骤直接求解即可. 【详解】将样本数据从小到大排列为， 因为，所以该样本数据的第百分位数是. 故选：D 4. 要得到函数的图像，只要把函数图像（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】变形，利用三角函数图像平移变换法则求解即可. 【详解】， 把函数图像向左平移个单位， 可得的图像， 所以要得到函数的图像，只要把函数图像向左平移个单位， 故选：D. 5. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得为奇函数，即可排除B、D，由函数在上的函数值的特征排除A. 【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为， 当时，，所以，不符合题意，故A错误； 对于B：定义域为， 且， 所以为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误； 对于D：定义域为， 且， 所以为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误； 对于C：定义域为，， 所以为奇函数， 且当时，，所以，符合题意，故C正确； 故选：C 6. 已知，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，引入中间量，可判断的大小关系. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，即； 因为函数在上单调递减，所以，即； 因为函数在上单调递减，所以，即. 所以：. 故选：B 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|＝2|OM|（O为坐标原点），PF1⊥PF2，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A. y＝±3x B. C. y＝±2x D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，利用已知条件转化求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】由题意双曲线的图形如图， 设PF1＝m，PF2＝n，点P是C的右支上一点， 连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|＝2|OM|（O为坐标原点），PF1⊥PF2， 可得：，所以m＝2n，n＝2a，所以m＝4a， 可得16a2+4a2＝4c2＝4a2+4b2， 解得＝2，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：C． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，是中档题． 8. 如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为x，由可得x，即可得答案. 【详解】由题设分析 如下图，转动了45°后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：A 9. 已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1033 B. 2057 C. 1034 D. 2058 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列与的通项公式，再求出及前10项和. 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列，得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列，得，因此， 所以. 故选：A 二、填空题(本题共6小题，每题5分，共30分) 10. i是虚数单位，则 ___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式计算 即可. 【详解】 . 故答案为：. 11. 展开式中，的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为， 所以的系数为， 故答案为： 12. 若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求解圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求解即可． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离． 据题意，得，解得． 故答案为： 13. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 故答案为：. 14. 已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为_________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，， 所以， 因为为线段的中点，所以，又， 所以， 又， 所以， 因为设是线段上的动点，又为钝角， 所以， 因为正方形的边长为，， 所以， 所以， 所以当点与点重合时，取最小值，最小值为. 故答案为：；. 15. 函数 关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 三、解答题(本题共5小题，共75分) 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）利用同角三角函数关系式，得到，之后应用余弦倍角公式和正弦和角公式求得结果； （3）利用三角形面积公式得到，结合余弦定理求得，进而得到三角形的周长. 【小问1详解】 因， 所以， 所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由已知得，， 所以， ， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以，由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 17. 如图，正方形所在的平面与平面垂直，点为的中点，，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标和平面的法向量，证明即可. （2）求得平面和平面的法向量，代入夹角公式计算； （3）根据已求得的平面的法向量，利用点到面的距离公式，求解. 【小问1详解】 因为平面平面，交线为，平面且，所以平面， 又因为，所以． 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 所以，，，，，，． 因为，平面的法向量为， ，所以，又因为平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，，设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为，， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因为， 则点到平面的距离为． 18. 已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. （1）求数列的通项公式以及 ； （2）若 ，求 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合可得答案； （2）由（1）可得时，，然后当，时，可得，其中为小于的最大整数，据此可得当，其中时，可得，最后由分组求和可得答案. 【小问1详解】 ， 则，因.则两式相减得：. 又各项均为正数，则. 又时，， 则是以1为首项，公差为2的等差数列， 则，； 【小问2详解】 由（1）时， 则. 则，， 当，设， 注意到 ，其中为小于的最大整数. 则当，其中时， . 则当时， . 又注意到时，. 则. 【点睛】关键点睛：对于较复杂数列的求和，可适当引入参数，也可适当分组，从而将较复杂数列转化为已学习过数列的组合. 19. 已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件列出方程组，求解、、，进而得到椭圆的标准方程； （2）利用圆和椭圆的对称性，结合向量垂直的性质求出交点坐标，再根据直线垂直的关系确定圆心坐标和半径，从而判断圆是否存在并求出圆的方程. 【小问1详解】 ，即. 将代入，得，代入， 化简得，解得，（负值舍去），所以， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，且，. 由圆和椭圆的对称性可知，，，.  由（1）知，，所以，.  因为，则，即，可得.  又因为点在椭圆上，所以，联立可得. 整理得，解得或.  当时，，重合，此时题设要求的圆不存在. 当时，. 过，分别与，垂直的直线的交点即为圆，设. 因为，即，解得.  则圆的半径. 所以圆的方程为. 20. 已知 曲线在点处的切线为. （1）当 时，求直线 的方程； （2）证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； （3）在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）设，，利用零点存在定理证明存在使得即可； （3）易知，则计算可得. 令，则命题即要研究有正根的充要条件. 再对分类讨论，利用多次求导研究的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，而，所以. 所以的方程是，即 小问2详解】 由于，故的方程可化为. 设，则直线的方程为. 令， 设，则对有，所以在上单调递增. 记， 则. 由于， 且 ， 故一定存在，使得，即. 而，故是与曲线的交点，且 【小问3详解】 对，设. 则， 令，则， 令，. 由于当时，的导数， 故在上单调递增. 若，则. 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上无零点. 若，则. 由于对有， 故. 从而存在使. 结合在上单调递增，知对有， 从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以， 又由于对有 ， 故对有，从而当时， 有 . 结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点. 综上，对，函数在上存在零点的充要条件是. 最后，一方面因，就有 ， 所以上存在零点，故； 另一方面，对任意，取，则在上存在零点. 记该零点为，取，则 . 所以这样的满足原条件，且. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，将取值范围问题转化为函数的零点存在性问题，然后即可使用导数研究零点的存在性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题(本题共9小题，每题5分，共45分) 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 样本数据，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图像，只要把函数图像（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 5. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|＝2|OM|（O为坐标原点），PF1⊥PF2，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A. y＝±3x B. C. y＝±2x D. 8. 如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方中间一层转动了45°之后，表面积增加了（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A 1033 B. 2057 C. 1034 D. 2058 二、填空题(本题共6小题，每题5分，共30分) 10. i是虚数单位，则 ___________. 11. 的展开式中，的系数为__________． 12. 若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________. 13. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是________. 14. 已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为_________. 15. 函数 关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________. 三、解答题(本题共5小题，共75分) 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若的面积为，，求的周长. 17. 如图，正方形所在的平面与平面垂直，点为的中点，，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知各项均为正数数列 ，其前n项和为，满足. （1）求数列的通项公式以及 ； （2）若 ，求 19. 已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 20. 已知 曲线在点处的切线为. （1）当 时，求直线 的方程； （2）证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； （3）在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $