精品解析：陕西省汉中市西乡县第一中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

2025届高三下学期3月月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知单位向量满足，则（ ） A. 8 B. 3 C. D. 5. 等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 数据的第70百分位数是23. B. 随机变量X服从二项分布，则 C. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60. D. 随机变量X服从正态分布，且，则 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增 11. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 上存在点，使得 C. 上的点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 13. 现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为________． 14. ，是双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 在数列中，，． （1）若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）： （1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； （2）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）设，若，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三下学期3月月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】抛物线化为标准方程可得， 故，焦点坐标为. 故选：A. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合的交集运算、元素与集合、集合与集合的关系逐一分析判断即可得解. 【详解】因为，， 所以不成立，，故CD错误， 则，，故A错误，B正确， 故选：B. 3. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘法和除法法则计算. 【详解】， 所以复数所对应的点位于第四象限. 故选：D. 4. 已知单位向量满足，则（ ） A. 8 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方运算将向量的模转化为向量的数量积，进而根据模长计算公式求解即可. 【详解】由题意得，即， 则，化简得， 则， 故选：D. 5. 等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式可求得公比，进而可得. 【详解】设的公比为，则，从而， 则， 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，结合两角差正切公式求，结合二倍角公式，平方关系将所求式子转化为齐次式，利用齐次式的方法求结论. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以. 故选：C. 7. 已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出外接圆半径，再求出中点到外接圆圆心的距离，从而可求解. 【详解】设球的半径为外接圆圆心为，半径为的边长为． 因为是面积为的等边三角形，所以，解得， 所以，所以，解得， 则，则球的表面积为，故正确. 故选：B. 8. 已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题意可得是增函数，且为奇函数， 进而由，得，进而可得. 【详解】因为，所以， 设，因为，，则在上是增函数， 因，故， 因为为定义在上的奇函数，所以为奇函数， 所以， 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 数据的第70百分位数是23. B. 随机变量X服从二项分布，则 C. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60. D. 随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，利用百分位数的定义求解判断；对B，利用二项分布的方差公式求解；对C，根据方差公式可得该组数据的平均数是3，求解判断；对D，根据正态分布性质即可判断. 【详解】对选项A：数据共10个数， 从小到大排列为，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故A错误； 对选项B：.故B正确； 对选项C：由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，故C正确； 对选项D：服从正态分布， 所以，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先应用降幂扩角及辅助角公式化简，再分别根据周期求判断A，应用最值判断B，根据对称中心判断C，应用单调区间计算判断D. 【详解】因为函数，所以， 对于A：函数的最小正周期为，所以，所以，A选项正确； 对于B：函数的最大值为，B选项错误； 对于C：，计算得，函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，C选项正确； 对于D：，所以单调递增，所以函数在上单调递增，D选项正确. 故选：ACD. 11. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 上存在点，使得 C. 上的点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象所过的定点，即可判断A，根据方程可得，即可判断B，根据方程的转化，变量的转化，利用韦达定理和判别式求得到取值范围，判断C，联立方程后，方程的根只有0，求的取值范围，即可判断D. 【详解】由图可知，点在C上，所以，A正确， 设曲线C上任一点，由，可得，， 即C上不存在点，使得，B不正确, 方程可化为， 令，得， 由可得， 即，等号成立，故C上的点的纵坐标的最大值为，C正确． 直线与C均经过原点，则直线与C除原点外无其他公共点． 联立方程组整理得． 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，当时，方程化简得， 即当时，方程无解，满足题意，综上，，解得或，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程的思想分析几何问题，C选项转化为关于的方程有正根，D转化为方程只有1个根. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用指数式与指数式互化关系及对数运算计算即得. 【详解】依题意，，所以． 故答案为：8 13. 现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算. 【详解】设男生甲和女生乙至少有一人被选派为事件，甲乙两人均被选派为事件， ，， 所以. 故答案为：. 14. ，是双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，从而可求离心率. 【详解】不妨设，，，， 则由题，且，故， 有，得， 故．故，所以， 故，所以， 故即，双曲线的离心率． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与三角形角平分线有关的问题，可以利用面积的关系得到边的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，结合正弦定理角化边，再由余弦定理即可求解； （2）由（1）结合三角形面积公式、余弦定理即可求解； 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得，即， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 即，所以， 又，即， 所以的周长为. 16. 在数列中，，． （1）若，证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），又， ∴是以为首项，为公差的等差数列， ∴． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知得、，结合等差数列的定义证明等差数列，并写出通项公式； （2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则， ∴， ①， ②， ①②，得 ， ∴． 17. 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）： （1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； （2）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据散点图求出成绩达到优秀的人数，再求出古典概率. （2）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望. （4）求出及的概率，再利用两点分布求出方差并比较大小. 【小问1详解】 依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为. 【小问2详解】 依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望. 【小问3详解】 依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）设，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求解； （3）由参变分离得恒成立，设，，则，令，利用导数证明即可求出. 【小问1详解】 ， 当时，，， 当时，，， 函数在处的切线方程为； 【小问2详解】 函数的定义域为，， ①当时，恒成立，令，则， 若，则；若，则， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，， 令，则或， （ⅰ）当，即时， 若，则或；若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当，即时，恒成立，在上递增； （ⅲ）当，即时， 若，则或，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 的定义域为， 由得恒成立，即恒成立， 设，，则， 因为，同构可得， 令，因为，所以， 下面证． 设，，于是， 令，则，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立． 所以，即， 所以， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i），（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，的周长为8，离心率为，结合椭圆标准方程的定义，求解即可； （2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，再求异面直线和所成角的余弦值即可； （ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值． 【小问1详解】 因为的周长为8，离心率为， 所以，即，，， 所以椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由（1）知，点，倾斜角为， 故直线设为：， （i）联立直线与椭圆的方程：，可得， 可得或， 可得，（因为点在轴上方）以及， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系 则，，， ，， ，，， 所以 记异面直线和所成角为，则； （ii）由，，， 设折叠前，， 直线与椭圆联立方程，得， 即，， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）， 设，在新图形中对应点记为，，， ，， ①， 即 所以②， 由①②可得： 即 则 即，， 解得， 因为，所以． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后连接方程，利用空间量的知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $