第11讲 常用分布（3大知识点+9大必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

第11讲 常用分布 课程标准 学习目标 1.通过二项分布、超几何分布、正太分布的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养. 1.理解二项分布、超几何分布、正太分布的概念及特征。 2.掌握二项分布的概率表达形式.会用超几何分布解决一些简单的实际问题． 3.能利用二项分布、超几何分布、正态分布解决一些简单的实际问题． 知识点01 二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 【即学即练1】（21-22高二下·上海奉贤·期末）某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击命中目标的概率都为，且各次命中目标与否是相互独立的.用表示这4次射击中命中目标的次数，求随机变量的分布列和期望. 【答案】分布列见解析； 期望：， 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】先分析的可能取值为0,1,2,3,4，再由二项分布知识可得概率和分布列. 【详解】每次射击都有两种可能的结果：命中目标或没有命中目标，并且每次射击命中目标的概率 都是，每次射击没有命中目标的概率均为.在4次射击中，命中目标的次 数的可能取值为0,1,2,3,4. 事实上，当时，4次射击有次命中目标，有次没有命中目 标，这包含种情况.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，可 得 的分布如下表： x 0 1 2 3 4 P 则 知识点02 正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 【即学即练2】（24-25高三·上海·单元测试）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【知识点】正态密度函数 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 知识点03 正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质． 【即学即练3】（24-25高三上·上海杨浦·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】越小，数据集中在对称轴附近，A正确；由正态曲线的性质知BC正确；因为落在的概率与落在的概率不同，D错误． 【详解】越小，正态曲线越瘦高，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选;D. 题型一：利用二项分布求分布列 1.（24-25高三上·上海·期中）重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为（   ） A．伯努利分布 B．二项分布 C．超几何分布 D．正态分布 【答案】B 【分析】根据二项分布的定义判断即可. 【详解】重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为二项分布， 亦称成功次数服从二项分布. 故选：B 2．（24-25高三·上海·随堂练习）以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 【答案】A 【分析】根据伯努利分布的概念即可判断. 【详解】只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布． 则选项A符合，选项BCD不符合. 故选：A. 3.（25-26高三上·上海·单元测试）已知随机变量X服从二项分布B（4，p），，那么一次试验成功的概率p等于 ． 【答案】或 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】， 即，解得或． 故答案为：或. 4.（21-22高二下·上海黄浦·期末）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是． (1)求甲被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可； （2）利用二项分布，求分布列即可. 【详解】（1）由题意得甲通过两个项目测试的概率为， 通过三个项目测试的概率为， 所以甲被录用的概率为. （2）由（1）得每个人被录用的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 5．（23-24高三上·上海普陀·期末）全国新高考数学推行8道单选，4道多选的政策.单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对5分，部分选对2分，不选得0分.现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他12题均认为是单选题来做.假设两人选对一个单选题的概率都是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案. (1)记小周选择题最终得分为，求的分布列以及数学期望. (2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高. 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）由题意得到小周做对单选题与多选题的个数服从二项分布，然后设他单选题与多选题分别对了个，由此结合二项分布的概率公式、乘法公式以及期望公式即可得解； （2）若他不选其他选项肯定能得两分，如果继续选其它选项的话，那么这个题的得分期望是，故只需比较这两个数的大小即可. 【详解】（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为， 对于多选题，小周每个多选题做对的概率为， 设小周做对单选题的个数为，做对多选题的个数为， 则，， 所以，， 而小周选择题最终得分为， 所以. 设小周单选题与多选题分别对了个， 则 ， 所以的分布列为， （2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上， 如果他不继续选其他选项肯定能得两分， 如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为，则的所有可能取值为0，5， 则的分布列为： 0 5 那么这个题的得分期望是， 所以我们只需要比较2和的大小关系即可， 令，解得，此时四个多选题全部选两个选项得分要高， 反之，若，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高. 题型二：超几何分布的分布列 1.（24-25高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 【答案】B 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布的定义判断各个选项. 【详解】对于A，由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，A对； 对于BCD，超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，根据超几何分布的定义，超几何分布里的总体有两类特点，B错，CD对. 故选：B． 2.（21-22高二下·上海徐汇·期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 ． 【答案】/0.36 【分析】黑球的个数为，通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，求出，然后求解记取出3个球中黑球的个数为，的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可． 【详解】解：设黑球的个数为，由得， 记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3； ，，， 则分布列如下： 1 2 3 所以， 则． 故答案为：. 3.（23-24高三上·上海长宁·期中）有3男､2女共5位学生，从中随机选取3人参加创建文明城区宣传活动，用随机变量X､Y分别表示被选中的男生､女生人数. (1)写出的分布，并求的值； (2)求的值. 【答案】(1)分布列见解析，， (2) 【分析】（1）根据超几何分布求的分布和，并利用期望的性质求； （2）根据的分布列求，并利用方差的性质求. 【详解】（1）根据题意可知：的可能取值为1，2，3，则有： ，，， 可得的分布为 1 2 3 所以， 又因为，即，所以. （2）由（1）可知：， 且，可知. 4.（22-23高二下·上海浦东新·期中）某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名． (1)求选出的4名同学中有男生的概率； (2)记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据期望公式求出期望即可. 【详解】（1）选出的4名同学中有男生的概率为； （2）随机变量可取， ，， ，， ， 则分布列为 期望. 题型三：求超几何分布的概率 1.（23-24高三上·上海·期中）在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 【答案】 【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率. 【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为， 填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为， 由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为． 故答案为：. 2.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况,根据组合知识求得基本事件的个数后可得概率 【详解】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况. 所求概率为. 故答案为：. 3．（20-21高三上·上海黄浦·阶段练习）袋中有同样大小的球7个，其中4个红球，3个黄球，现从中随机地摸出4球，则红色球与黄色球的个数恰好相等的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】根据超几何分布求概率. 【详解】红色球与黄色球的个数恰好相等即红色球与黄色球的个数都为2， 所以所求概率为. 故答案为: . 4．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】至少摸出3个白球，即摸出白球的数量为3,4,5，根据超几何分布的概率公式进行求解即可. 【详解】由题，不放回地摸5个球，摸出至少3个白球，即白球数量为3,4,5， 则概率为， 故答案为： 5．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 . 【答案】 【分析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，根据概率公式，即可得答案. 【详解】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率， 所以. 故答案为： 6.（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)40；80；有关 (2)分布列见解析，1933 【知识点】卡方的计算、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望. 【详解】（1）消费金额不低于800元的人数为：人， 则活跃客户共有60人，所以，， 列联表如下 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 80 100 女 40 60 100 总计 60 140 200 计算， 因此有的把握与性别有关． （2）从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人， 从中抽取2人免单总金额的取值有：， 则，，， 所以的分布列为： 即. 题型四：正态曲线的性质 1.（23-24高二下·上海·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．若随机变量，，则 【答案】D 【分析】根据百分位数、随机变量的方差的性质、二项分布的数学期望的性质、正态分布的对称性，逐项判断即可得结论. 【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，因为，则，故C错误； 对于选项D，因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：， 则，所以，故D正确. 故选：D. 2．（22-23高三下·上海奉贤·阶段练习）设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A．对任意正实数， B．对任意正实数， C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性即可求解. 【详解】依题意，由图可得， 对任意正实数，， 因为， 所以，故A错误，B正确； ，故C错误； 因为，所以，故D错误； 故选：B. 3.（24-25高三·上海·随堂练习）一个正态分布的概率密度函数图像与x轴所夹部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】根据正态分布的特点即可得到答案. 【详解】一个正态分布的概率密度函数图像与x轴所夹部分的面积为1． 故答案为：1 题型五：指定区间的概率 1.（2024·上海黄浦·二模）随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 则. 故答案为： 2．（2024·上海·模拟预测）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】0.35/ 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意可知，则， 故图中阴影部分的面积为． 故答案为：0.35. 3．（2023·上海浦东新·二模）设随机变量服从正态分布，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由正态分布曲线的对称性进行求解. 【详解】服从正态分布，其正态分布曲线关于轴对称， 由对称性可知. 故答案为：0.1 4.（23-24高二下·上海·期末）下列说法中正确的是 ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 【答案】①②③ 【分析】根据二项分布的概率公式判断①；根据正态分布的性质判断②；根据条件概率判断③；根据期望与方差的性质判断④. 【详解】随机变量服从二项分布，则，故①正确； 随机变量服从正态分布且，则，故②正确； 事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，故③正确； ，故④错误. 故答案为：①②③. 5．（23-24高二下·上海·期中）已知随机变量，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由正态分布的对称性得出概率. 【详解】由对称性知，， 故答案为：. 6．（2024·上海普陀·二模）已知，若，则 . 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性计算可得. 【详解】若，且， 则， 则. 故答案为： 7．（2024·上海松江·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 可得. 故答案为：. 8．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由正态分布的对称性可得. 故答案为：. 9．（23-24高三上·上海黄浦·阶段练习）若随机变量服从正态分布，，则 . 【答案】/ 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则. 故答案为：. 题型六：特殊区间的概率 1.（23-24高二下·上海·阶段练习）设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 【答案】/ 【分析】由得，利用得到，根据正态分布图象得到. 【详解】因为，所以，由，得， 由，知， 由正态分布图象知 ， 故答案为：. 2．（2023·上海长宁·二模）设随机变量X服从正态分布，若，则 ． 【答案】 【分析】根据正态分布的概念及性质即可求解概率. 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：. 题型七：正态分布的实际应用 1.（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【详解】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 2.（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 ． 【答案】10 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 3．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）某班级测验均分，根据检测结果可知，若该班级40名学生，则60分以下的人数大约为 ． 【答案】2 【分析】结合正态分布的性质得到，从而可求出结果. 【详解】因为服从正态分布，所以， 因为， 所以， 所以60分以下的人数为人， 故答案为：2. 4．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ． 【答案】 【分析】根据正态分布的性质，求出，即可求得结果. 【详解】根据已知条件有数学成绩低于分的概率为， 又，所以数学分数属于闭区间的概率为， 所以数学分数属于闭区间的学生人数约为人. 故答案为： 5．（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）在2023年4月某区的高三模拟检测中，学生的数学成绩服从正态分布，已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是 ． 附：若，则，． 【答案】1500 【分析】根据正态分布的特点得，最后乘以人数即可. 【详解】因为考试的成绩服从正态分布， 根据，，则， 得， 即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%， 由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500． 故答案为：1500. 题型八：根据正态曲线的对称性求参数 1.（22-23高三下·上海松江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．随机变量服从正态分布，若，则的值等于3. B．为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知四校人数之比为，则应从校中抽取的样本数量为70 C．已知变量线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则 D．箱子中有4个红球､2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件第一次取到红球，第二次取到白球，则为相互独立事件 【答案】C 【分析】利用正态分布的性质得到的值，利用抽样比即可判断从校中抽取的样本数量，根据线性回归直线过样本中心点，可得的值，根据相互独立性的定义即可作出判断. 【详解】A．由正态分布的性质可得：，解得：，故选项A错误； B．由分层抽样的性质可得：应抽取人数为，故B错误； C．因为回归直线必过样本中心，所以，即，故C正确； D．由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故D错误， 故选：C． 2．（2023·上海嘉定·三模）已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题： 甲：；乙：； 丙：；丁： 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析判断. 【详解】因为、均等价于， 由题意可得：乙、丙均为真命题，且， 对于甲：因为，故甲为真命题； 对于丁：因为，故丁为假命题； 故选：D. 3.（23-24高二下·上海·阶段练习）设，已知随机变量，随机变量.若，则 . 【答案】 【分析】利用正态分布的运算性质结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】由，得， 由，且设， 故有，解得，则. 故答案为： 4．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设随机变量服从正态分布，若，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即得. 【详解】由正态分布的对称性，得，所以. 故答案为：2 5．（23-24高二上·上海·期末）若随机变量，，则 . 【答案】0.77/ 【分析】根据正态曲线的对称性，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量，， 故，所以， 故答案为：0.77 6．（22-23高二下·上海浦东新·期末）设随机变量服从正态分布，且，，则 . 【答案】/ 【分析】由题意可得，由可求出，而与关于对称，由正态分布的对称性即可求出. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，又，所以， 所以，而与关于对称， 所以. 故答案为： 7．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 ． 【答案】25 【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再由基本不等式求最值． 【详解】解：随机变量服从正态分布，， 由，得， 又， ，且，， 则． 当且仅当，即，时等号成立． 的最小值为25． 故答案为：25． 题型九：3δ原则 1.（22-23高三上·上海黄浦·阶段练习）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为不合理的是（    ） （参考数据：，则，，） A．若乘坐线路，前一定能到家 B．乘坐线路和乘坐线路在前到家的可能性一样 C．乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大 D．若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过 【答案】A 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以A错误， 对于B，乘坐线路在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为， 所以乘坐线路和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以B正确， 对于C，乘坐线路在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为， 所以乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大， 对于D，乘坐线路，则在前到家的概率为，所以D正确， 故选：A 2.（2024·上海·三模）某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 【答案】(1)0.8186 (2)①分布列见解析，；②选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好，理由见解析 【分析】（1）先求出7个地方的人均得分，进而，利用原则和正态曲线的性质计算即可求解； （2）①可能的取值为元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可；②由①知，即可下结论. 【详解】（1）样本中各地的人均得分分别为 ， 所以7个地方的平均分为， 即，所以. ， ， 所以； （2）①：由题意，得出的话费可能的取值为元， 得50元的情况为低于平均值，概率为； 得100元的情况为有1次机会获得100或2次机会获得50元， 概率为； 得150元的情况为有1次机会获得100和1次机会获得50元， 概率为； 得200元的情况为有2次机会都获得100元，概率为， 所以的分布列为： 50 100 150 200 故； ②：由①知， 所以小李应选择获得价值100元的“元旦迎新”入场卷更好. 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 【答案】B 【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可. 【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布； 将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验， 一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为， 在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布； 件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为， 则服从超几何分布； 若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布； 所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动， 设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布. 故选：B 2．（25-26高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抽得次品数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设抽得次品数为，则随机变量的可能取值有0、1、2， 则，，， 所以． 故选：D． 3．（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 4．（23-24高二下·上海·期中）下列结论正确的有（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B．的第80百分位数为96 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 【答案】D 【分析】根据总体方差公式，即可判断A，根据百分位数公式，即可判断B，根据二项分布的期望公式，即可判断C，根据正态分布的对称性，即可判断D. 【详解】A.根据总体方差公式，可知，总体方差与两层的样本数有关，只有两层的样本数一样，总体方差才是，否则不正确，故A错误； B.将数据按照由小到大的顺序排列，，则，则第80百分位数位，故B错误； C. 若随机变量，则,则，故C错误； D. 若随机变量，，利用对称性，，故D正确. 故选：D 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知，则 【答案】/ 【分析】根据二项分布均值与方差的计算公式即可求得答案. 【详解】由题设，易知，解得． 故答案为： 6．（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则 ． 【答案】/ 【详解】因为随机变量X服从标准正态分布，即， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.2/ 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为正态分布曲线的对称轴为，, 所以. 故答案为：. 8．（22-23高二下·上海松江·期末）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取次，用表示抽到二等品的件数，则 . 【答案】/ 【分析】利用二项分布的方差公式计算即得. 【详解】依题意， ，所以. 故答案为：0.84 9．（25-26高三上·上海·单元测试）设口袋中有黑球、白球共8个，从中任取2个球，令取到白球的个数为，且的期望，则口袋中白球的个数为 ． 【答案】3 【分析】直接由超几何分布的期望公式列方程即可求解. 【详解】设口袋中白球的个数为，则由超几何分布的期望公式有，，解得. 故答案为：3. 10．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【详解】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 11．（23-24高二下·上海·期末）学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为 . 【答案】 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【详解】因为该次考试的成绩服从正态分布， 且， 所以，所以， 因此该年级数学成绩在分以上的人数约为. 故答案为： 12．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 13．（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量服从正态分布，落在区间上的概率和落在区间上的概率相等，则这个正态分布的均值为 【答案】1 【分析】根据正态曲线的对称性可得答案. 【详解】由于正态总体的数据落在区间内的概率和落在区间内的概率相等， 则正态分布曲线的对称轴为：， ∴正态分布的均值. 故答案为：1. 14．（25-26高三上·上海·单元测试）某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则 【答案】 【分析】根据题意结合超几何分布的概率公式求解. 【详解】由题意得. 故答案为： 15．（23-24高二下·上海·期中）如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 . 【答案】2025 【分析】由二项分布的概率公式和组合数的性质计算可得. 【详解】由题意可得， ， 因为， 所以， 所以使成立的的分别为，共2025个， 故答案为：2025. 16．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 三、解答题 17．（23-24高二下·上海·期中）端午节吃粽子是我国民间的传统习俗.一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽3个、肉粽2个、蜜枣粽1个，这三种粽子的外观完全相同． (1)学生小李从中任取两个，设表示取到的肉粽个数，求的分布列与数学期望． (2)学生小李从盘中任取2个粽子装在一袋子里送给学生小红，小红从袋中取出一个粽子吃，求吃到肉粽的概率是多少？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）依题意的可能取值为，，，利用超几何分布的概率公式求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望； （2）依题意分袋子中只有一个肉粽和袋子中有两个肉粽，利用相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 则； （2）依题意小红要能吃到肉粽分两种情况： 袋子中只有一个肉粽和袋子中有两个肉粽， 故能吃到肉粽的概率． 18．（23-24高二下·上海·阶段练习）一出租车司机从某饭店到火车站途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是． (1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差． (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差． 【答案】(1)期望，方差； (2)期望50，方差1000. 【分析】（1）由题意可得，再利用二项分布的期望公式和方差公式求解； （2）由题意得，再利用期望和方差的性质求解即可. 【详解】（1）由题意得这位司机遇到红灯数X服从二项分布， 所以； （2）由题意得，由（1）得， 所以． 19．（25-26高三上·上海·单元测试）某中学选派40名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这40名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用间接法，计算这3名学生中没有学生参加培训次数相等的概率后用1减去即可得； （2）求出可能取值及其对应概率即可得其分布列，由分布列即可得其期望. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， ， ， 则随机变量的分布为， 所以的期望． 20．（25-26高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【答案】(1)成绩在的人数约为20481人，75分以上的人数约为684人； (2)63分 【分析】（1）由题意可得，则可得，从而可估算出成绩在的人数，根据正态分布曲线的对称性求出，从而可估算出成绩在75分以上的人数； （2）设该划线分为m，由题意可得，，则，从而可求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以成绩在的人数约为人， 由正态分布曲线的对称性可得：， 则， 所以估计75分以上的人数约为人； （2）设该划线分为m，由，得，， 令， 由题意因为η～N（0，1），， 所以，所以， 所以． 21．（23-24高三下·上海·期中）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． (1)已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； (2)若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 【答案】(1) (2)（i）当时，；当时，；（ii）. 【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播直播的概念，然后利用正难则反原则即可求解； （2）（i）由已知服从二项分布，则，进而可得，然后利用比值与1比较大小即可求解； （ii）因为，所以可能取值为1或，然后结合（i）分别求出和的概率即可得解. 【详解】（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为； 所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为； （2）（i）由已知服从二项分布，所以， 当时，，所以，即； 当时，，所以，即. （ii）因为，所以或， 当时，， 当时，， . 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解服从二项分布，由二项分别公式利用与1进行比较大小，由，得到可能取值为1或是所对应的值，结合二项式定理化简得到答案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 常用分布 课程标准 学习目标 1.通过二项分布、超几何分布、正太分布的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养. 1.理解二项分布、超几何分布、正太分布的概念及特征。 2.掌握二项分布的概率表达形式.会用超几何分布解决一些简单的实际问题． 3.能利用二项分布、超几何分布、正态分布解决一些简单的实际问题． 知识点01 二项分布 设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为 定义 独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布 【即学即练1】（21-22高二下·上海奉贤·期末）某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击命中目标的概率都为，且各次命中目标与否是相互独立的.用表示这4次射击中命中目标的次数，求随机变量的分布列和期望. 知识点02 正态密度函数 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数： （1）是该分布的期望或均值； （2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线． 【即学即练2】（24-25高三·上海·单元测试）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 知识点03 正态分布 定义 设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与 （），落在区间上的概率（）等于三条直线： 、 、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说， 服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作 三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据． 【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质． 【即学即练3】（24-25高三上·上海杨浦·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 题型一：利用二项分布求分布列 1.（24-25高三上·上海·期中）重复次成功概率为的伯努利试验，其成功次数的分布为（   ） A．伯努利分布 B．二项分布 C．超几何分布 D．正态分布 2．（24-25高三·上海·随堂练习）以下分布中是伯努利分布的是（    ）． A．掷一枚硬币正面次数的分布 B．掷两枚硬币正面次数的分布 C．抛一颗骰子点数的分布 D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布 3.（25-26高三上·上海·单元测试）已知随机变量X服从二项分布B（4，p），，那么一次试验成功的概率p等于 ． 4.（21-22高二下·上海黄浦·期末）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是． (1)求甲被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列． 5．（23-24高三上·上海普陀·期末）全国新高考数学推行8道单选，4道多选的政策.单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对5分，部分选对2分，不选得0分.现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他12题均认为是单选题来做.假设两人选对一个单选题的概率都是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案. (1)记小周选择题最终得分为，求的分布列以及数学期望. (2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高. 题型二：超几何分布的分布列 1.（24-25高三·上海·随堂练习）下列关于超几何分布的命题中错误的命题是（    ）． A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布里的总体可以有两类或三类特点 C．超几何分布中的参数是 D．超几何分布的总体往往是由差异明显的两部分组成的 2.（21-22高二下·上海徐汇·期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 ． 3.（23-24高三上·上海长宁·期中）有3男､2女共5位学生，从中随机选取3人参加创建文明城区宣传活动，用随机变量X､Y分别表示被选中的男生､女生人数. (1)写出的分布，并求的值； (2)求的值. 4.（22-23高二下·上海浦东新·期中）某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名． (1)求选出的4名同学中有男生的概率； (2)记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 题型三：求超几何分布的概率 1.（23-24高三上·上海·期中）在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ． 2.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ． 3．（20-21高三上·上海黄浦·阶段练习）袋中有同样大小的球7个，其中4个红球，3个黄球，现从中随机地摸出4球，则红色球与黄色球的个数恰好相等的概率为 .（结果用最简分数表示） 4．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为 .（结果用最简分数表示） 5．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 . 6.（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 题型四：正态曲线的性质 1.（23-24高二下·上海·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B．若随机变量满足，则 C．已知随机变量，若，则 D．若随机变量，，则 2．（22-23高三下·上海奉贤·阶段练习）设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A．对任意正实数， B．对任意正实数， C． D． 题型五：指定区间的概率 1.（2024·上海黄浦·二模）随机变量服从正态分布，若，则 . 2．（2024·上海·模拟预测）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（2023·上海浦东新·二模）设随机变量服从正态分布，且，则 ． 4.（23-24高二下·上海·期末）下列说法中正确的是 ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 5．（23-24高二下·上海·期中）已知随机变量，且，则 ． 6．（2024·上海普陀·二模）已知，若，则 . 7．（2024·上海松江·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 8．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 9．（23-24高三上·上海黄浦·阶段练习）若随机变量服从正态分布，，则 . 题型六：特殊区间的概率 1.（23-24高二下·上海·阶段练习）设为任取的某袋包装误差的产品的质量，，则的概率是 （结果精确到）．（已知表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积） 2．（2023·上海长宁·二模）设随机变量X服从正态分布，若，则 ． 题型七：正态分布的实际应用 1.（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 2.（23-24高二下·上海·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为 ． 3．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）某班级测验均分，根据检测结果可知，若该班级40名学生，则60分以下的人数大约为 ． 4．（2024·上海静安·二模）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ． 5．（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）在2023年4月某区的高三模拟检测中，学生的数学成绩服从正态分布，已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是 ． 附：若，则，． 题型八：根据正态曲线的对称性求参数 1.（22-23高三下·上海松江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．随机变量服从正态分布，若，则的值等于3. B．为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知四校人数之比为，则应从校中抽取的样本数量为70 C．已知变量线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则 D．箱子中有4个红球､2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件第一次取到红球，第二次取到白球，则为相互独立事件 2．（2023·上海嘉定·三模）已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题： 甲：；乙：； 丙：；丁： 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3.（23-24高二下·上海·阶段练习）设，已知随机变量，随机变量.若，则 . 4．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设随机变量服从正态分布，若，则实数 ． 5．（23-24高二上·上海·期末）若随机变量，，则 . 6．（22-23高二下·上海浦东新·期末）设随机变量服从正态分布，且，，则 . 7．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 ． 题型九：3δ原则 1.（22-23高三上·上海黄浦·阶段练习）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为不合理的是（    ） （参考数据：，则，，） A．若乘坐线路，前一定能到家 B．乘坐线路和乘坐线路在前到家的可能性一样 C．乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大 D．若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过 2.（2024·上海·三模）某市举行了一次大型宣传活动，会后组办方分别从7个不同的地方的问卷调查中各随机抽取了相同数量的数据构成一个样本，依据相关的标准该样本中各地抽取的数据人均得分构成数列，且，由各地的得分可以认为各地人均得分2服从正态分布，近似为抽取的样本中7个地方人均得分的平均值（得分的平均值四舍五入并取整数）. (1)利用正态分布的知识求； (2)组办方为此次参加问卷调查的市民制定如下两种奖励方案： 方案一：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为 获赠的随机话费（单位：元） 50 100 概率 方案二：参加了此次问卷调查的市民可获得价值100元的“元旦迎新”大型晚会活动入场券，参加了此次问卷调查的市民可选择其中一种奖励方案. ①市民小李参加了此次问卷调查，记X（单位：元）为小李参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望； ②请问小李是选择参加获赠随机话费活动，还是获得价值100元的参加“元旦迎新”入场券？请用统计中相关知识为小李作出决策. （附：若，则，，） 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员． 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （    ） A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布 2．（25-26高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 4．（23-24高二下·上海·期中）下列结论正确的有（   ） A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B．的第80百分位数为96 C．若随机变量，则 D．若随机变量，，则 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知，则 6．（23-24高二下·上海·期末）若随机变量X服从标准正态分布，则 ． 7．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 8．（22-23高二下·上海松江·期末）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取次，用表示抽到二等品的件数，则 . 9．（25-26高三上·上海·单元测试）设口袋中有黑球、白球共8个，从中任取2个球，令取到白球的个数为，且的期望，则口袋中白球的个数为 ． 10．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则 . 11．（23-24高二下·上海·期末）学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为 . 12．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 13．（25-26高三上·上海·单元测试）若随机变量服从正态分布，落在区间上的概率和落在区间上的概率相等，则这个正态分布的均值为 14．（25-26高三上·上海·单元测试）某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则 15．（23-24高二下·上海·期中）如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 . 16．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 三、解答题 17．（23-24高二下·上海·期中）端午节吃粽子是我国民间的传统习俗.一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽3个、肉粽2个、蜜枣粽1个，这三种粽子的外观完全相同． (1)学生小李从中任取两个，设表示取到的肉粽个数，求的分布列与数学期望． (2)学生小李从盘中任取2个粽子装在一袋子里送给学生小红，小红从袋中取出一个粽子吃，求吃到肉粽的概率是多少？ 18．（23-24高二下·上海·阶段练习）一出租车司机从某饭店到火车站途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是． (1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差． (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间的期望与方差． 19．（25-26高三上·上海·单元测试）某中学选派40名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这40名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望（结果用最简分数表示）． 20．（25-26高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 21．（23-24高三下·上海·期中）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． (1)已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； (2)若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$