第11讲 向量的应用（2大知识点+5种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第11讲 向量的应用 课程标准 学习目标 1.通过用向量方法解决几何问题的学习，提升数学运算和直观想象的核心素养． 2．通过用向量方法解决物理问题的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养. 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点) 2．体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点) 3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点) 知识点01 平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】（20-21高一下·上海·阶段练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 知识点02 向量在物理中的应用举例 （1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. （3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量. 【即学即练2】（20-21高二下·上海杨浦·期中）家有重物，爸､妈､孩三人合力拉拍，用力依次为，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面. （1）求物重； （2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角. 题型一：用向量解决夹角问题 1.（21-22高一下·上海普陀·期末）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 题型二：用向量解决线段的长度问题 1.在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 2.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知在中，点O是的外心，若，，，则的面积为 3．（20-21高二下·上海静安·期中）空间四边形中，分别是边的中点，且，则 . 4.（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别为、的中点，、分别交于R、T两点.用向量方法证明：.    5．（20-21高二上·上海浦东新·期中）如图，两条相交成角的直路EF､MN，交点是O，一开始，甲在OE上距O点2km的点A处，乙在OM上距O点1km的点B处，现在他们同时以2km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向，设OE同向的单位向量为设OM同向的单位向量为. (1)若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，请用表示； (2)若过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，请用表示； (3)什么时间两人间距最短? 题型三：向量与几何最值 1.（2021·上海金山·一模）已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高一下·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 3．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 4．（21-22高一下·上海崇明·期末）已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数、、，则的最大值等于 ． 5．（21-22高一下·上海杨浦·期末）如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则 ． 6.（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 题型四：向量在几何中的其他应用 1.（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）满足的△ABC（    ） A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形 C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 3．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点满足，则动线段所形成图形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．（21-22高一下·上海浦东新·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 . 7．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 8.（20-21高一下·上海·单元测试）等腰梯形中，已知且，)，求点D的坐标. 题型五：力的合成 1.（21-22高一下·上海虹口·期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 . 2．已知两个力：，同时作用在某物体上，为使物体保持平衡，再加上一个力，则 . 3.（20-21高一下·上海·阶段练习）如图，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是、，且、与水平夹角均为45°，，求物体的重力． 4．（20-21高一下·上海·单元测试）质点受到两个力、的作用，若，，，求这两个力的合力的大小及的大小. 一、单选题 1．（2023高一下·上海·专题练习）已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 3．（2024高一下·上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 4．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为 . 6．（20-21高一下·上海浦东新·阶段练习）已知两个力，的夹角为直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的大小为 N． 7．（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 8．（24-25高一上·上海·单元测试）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两个分别为3牛和5牛的力作用在某物体上，则合力的最大值为 牛． 10．（21-22高一下·上海奉贤·期中）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是 11．（21-22高一下·上海普陀·期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 . 12．（21-22高一下·上海长宁·期末）在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是 ． 13．（20-21高一下·上海杨浦·期末）已知是平面内两两互不平行的向量（为正整数），满足，，则的最大值为 . 14．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知A、B、C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O上一点，则的取值范围为 . 15．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 16．（21-22高一下·上海宝山·期中）如图，定圆C半径为3，A、B为圆C上的两点，且的最小值为1，则 ． 三、解答题 17．（22-23高一下·上海普陀·期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 18．（21-22高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． (1)若，求证：C、M、N三点共线； (2)若，求的最小值． 19．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点． (1)若，求△PAB的面积； (2)若，求的最大值； (3)求的最小值． 20．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 21．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 向量的应用 课程标准 学习目标 1.通过用向量方法解决几何问题的学习，提升数学运算和直观想象的核心素养． 2．通过用向量方法解决物理问题的学习，提升数学想象、数学建模的核心素养. 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点) 2．体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点) 3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点) 知识点01 平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】（20-21高一下·上海·阶段练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 【答案】（1）证明见解析；（2）点C在BG的中点. 【知识点】数量积的坐标表示、用向量证明线段垂直 【分析】（1）建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用向量法证明 （2）建立直角坐标系，利用向量几何均值不等式求解即可. 【详解】以B为原点，BE所在所在直线为x轴，以BG所在直线为y轴，建立直角坐标系．设，，且a<b， ∴、、，，∴，， ∴，∴，即． （2）易知，， ∴，当且仅当时取等号， ∴点C在BG的中点时，最小． 知识点02 向量在物理中的应用举例 （1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. （3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量. 【即学即练2】（20-21高二下·上海杨浦·期中）家有重物，爸､妈､孩三人合力拉拍，用力依次为，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面. （1）求物重； （2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】力的合成 【分析】（1）根据得到，然后根据向量的数量积运算求解出结果； （2）根据结合（1）的结果可求解出所成角的余弦值，则孩子用力方向与竖直方向所成角可求. 【详解】（1）因为，所以， 所以 所以物重； （2）设所求角为，则， 则孩子用力方向与竖直方向所成的较小角为. 题型一：用向量解决夹角问题 1.（21-22高一下·上海普陀·期末）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量的夹角列式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，向量与的夹角为钝角， 所以，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型二：用向量解决线段的长度问题 1.在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长． 【详解】，则四边形为平行四边形， 设都是单位向量，，则，，，则，所以， 因此由知，且是的平分线， 因此四边形是菱形，而， ∴， 故选：D. 2.（23-24高一下·上海·阶段练习）已知在中，点O是的外心，若，，，则的面积为 【答案】 【分析】取的中点分别为，得到和，根据题意，求得，再由，求得，得到，利用面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点分别为，连接， 因为为的外心，可得， 则，可得，同理可得 又由，可得，即 又因为，所以，可得， 因为，可得，解得，所以， 所以的面积为. 故答案为：. 3．（20-21高二下·上海静安·期中）空间四边形中，分别是边的中点，且，则 . 【答案】 【分析】利用三角形的中位线定理分别得到所求的四边形的各边长，根据平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，可得答案． 【详解】点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、、分别为、、、的中位线． ； ， 下面证明：平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和. 所以 故答案为：20 4.（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别为、的中点，、分别交于R、T两点.用向量方法证明：.    【答案】证明见解析. 【分析】设，，得到，，从而得到方程组，求出，得到，同理，故. 【详解】证明：设，，. ∵B、R、E三点共线， ∴存在，使得，即， ∴. ∵，故， ∴. 又与不平行， ∴,解得， 即，同理， ∴ 5．（20-21高二上·上海浦东新·期中）如图，两条相交成角的直路EF､MN，交点是O，一开始，甲在OE上距O点2km的点A处，乙在OM上距O点1km的点B处，现在他们同时以2km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向，设OE同向的单位向量为设OM同向的单位向量为. (1)若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，请用表示； (2)若过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，请用表示； (3)什么时间两人间距最短? 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）若过2小时后，易得CD的位置，用，可表示向量和，而，代入可得； （2）同（1的方法）可得； （3）两人间距离，代入化简可得，由二次函数的知识可得答案. 【详解】（1）若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点， 则，， 故. （2）同（1）可得：经过t小时后，甲到达G点，乙到达H点， 则，， 故. （3）由（2）可得， 故两人间距离 ， 由二次函数的知识可知，当时， 上式取到最小值，故时两人间距离最短. 题型三：向量与几何最值 1.（2021·上海金山·一模）已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设与 交点为，则其中，由于，得，因为 故的最小值可得. 【详解】设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示： 则，设，因为三点共线，则 所以，故 因为，则所以 则 ，故 所以的最小值为2 故选：D 【点睛】设，因为三点共线，则，得是解题的关键. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知线段经过半径为12的圆的圆心，且，，若，为此圆上的两个动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】构建直角坐标系，设，求出，结合辅助角公式可求最值，故可得范围. 【详解】构建如下图示，以为原点的直角坐标系，且， 由圆的半径为12， 设， 则，， 所以， ， 令，则， 故， 又 则，故， 综上， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可. 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 4．（21-22高一下·上海崇明·期末）已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数、、，则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的数量积运算结合不等式确定取值范围求解. 【详解】因为不共线的平面向量、、两两的夹角相等, 所以它们的夹角都为, 因为，，, 所以 因为、、， 所以（1）当时, （时取等号） (i)当时, （时取等号） 而（当时取等号） 即当，，时 有最大值, 所以, (ii)当时, （时取等号） 而（当时取等号） 即当，，时 有最大值, 所以, （2）当时,同理可得, 故答案为: . 5．（21-22高一下·上海杨浦·期末）如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则 ． 【答案】 【分析】结合图形，根据向量线性运算的法则分别讨论t＝0、t＞0、t＜0时的最小值情况，据此即可求出． 【详解】当t＝0时，不满足题意； 当t＞0时，设t＝，延长EA到F，使AF＝AE， 则t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，，此时无最小值不满足题意； 当t＜0时，设t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB， 由图可知，， ∵的最小值为2， ∴＝2，∴． 故答案为：． 6.（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： ， 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 所以当时，最大， 同理时，最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 题型四：向量在几何中的其他应用 1.（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 设的中点为，则，则，    所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心. 故选：A 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）满足的△ABC（    ） A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形 C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得，即可判断三角形形状. 【详解】由，而， 所以且，故. 所以△ABC一定为钝角三角形. 故选：C 3．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点满足，则动线段所形成图形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可. 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，设， ∴，； 由，得； 又， ∴； ∴； ∴， ∴动点在直线上，且，即线段CD上，则, 则扫过的三角形的面积为， 设点 ∵， ∴， ∴，， ∴动点在直线上，且，即线段MN上，则, ∴扫过的三角形的面积为， ∴因此面积和为2+8=10， 故选：B. 4．（21-22高一下·上海浦东新·期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD垂直，从而得到三角形为等腰三角形. 【详解】若，取AB的中点D，连接CD，则， 即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形. 故选：C 5．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，得到O为的重心，设，根据面积比得到，进而得到求解. 【详解】解：设， 因为， 所以， 所以O为的重心， 设， 所以， 则， 所以， 所以， 故选：A 6.（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将转化成结合三角恒等变换公式即可求解. 【详解】连接，则， 由题可设，则， 所以 ， 因为，所以， 故. 故答案为：. 7．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 【答案】 【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可. 【详解】因为， 所以向量、、分别看作以为起点，以为终点， 且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，    又因为， 所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点， 因为，当时，的值为， 故答案为：. 8.（20-21高一下·上海·单元测试）等腰梯形中，已知且，)，求点D的坐标. 【答案】 【分析】令，由题设得，且，利用向量共线的坐标表示，列方程组求，即可得D的坐标. 【详解】令，由题设知，，又， ∴，即，则，得， ∴D的坐标. 题型五：力的合成 1.（21-22高一下·上海虹口·期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45°和30°，则拉力与大小的比值为 . 【答案】 【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案. 【详解】设N，N， 则， 可得. 故答案为： 2．已知两个力：，同时作用在某物体上，为使物体保持平衡，再加上一个力，则 . 【答案】 【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即3个向量相加等于零向量． 【详解】为使物体平衡，即合外力为零，即3个向量相加等于零向量，设， 则，所以 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查向量在物理中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意要使物体平衡，合外力为零． 3.（20-21高一下·上海·阶段练习）如图，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是、，且、与水平夹角均为45°，，求物体的重力． 【答案】20N 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可作出，进而求出的值，从而得出物体重力的大小． 【详解】如图，， ， 物体的重力大小为． 4．（20-21高一下·上海·单元测试）质点受到两个力、的作用，若，，，求这两个力的合力的大小及的大小. 【答案】， . 【分析】由、表示出，把等式平方，即用数量积表示向量的模可得，然后由数量积的定义可求得夹角． 【详解】易得， ， ，即：. 一、单选题 1．（2023高一下·上海·专题练习）已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】设，由题意得，， 所以， 解得，所以. 故选： 2．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】C 【分析】由动点满足，且，得到三点共线，进而得到答案. 【详解】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 3．（2024高一下·上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题错误的是（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】C 【分析】取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；设的外接圆半径为，由圆心角和圆周角的关系可得，从而可用表示出，进而即可判断C；延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，所以， 进而即可求，从而即可判断D． 【详解】对于A：取的中点D，连接， 由，则， 所以， 所以A，M，D三点共线，且， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确； 对于B：由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有， 所以， 即，故B正确； 对于C：由为的外心，则可设的外接圆半径为， 又， 则有， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D：如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D正确． 故选：C． 【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到，，从而可设，则，由，得，进而即可求． 4．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 二、填空题 5．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算律可求出结果. 【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以，， 所以， 所以 . 故答案为： 6．（20-21高一下·上海浦东新·阶段练习）已知两个力，的夹角为直角，且已知它们的合力与的夹角为，，则的大小为 N． 【答案】 【分析】根据向量夹角公式列方程，结合数量积的运算律化简可求的大小. 【详解】因为，的夹角为直角，它们的合力， 所以，， 所以，， 因为与的夹角为， 所以，又 所以. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 【答案】70 【分析】根据题意得到，然后两边平方求解. 【详解】解：由题意得， 所以， 两边同时平方得， 所以， 故答案为：70 8．（24-25高一上·上海·单元测试）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时， . 【答案】/ 【分析】若游船能到处，则有，即可求出. 【详解】若游船正好到达处，即和速度与同向， 则有， 所以， 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两个分别为3牛和5牛的力作用在某物体上，则合力的最大值为 牛． 【答案】8 【分析】根据三角不等式可解. 【详解】设两个力分别为，且，根据题意合力. 则根据三角不等式有，当且仅当同向时取得. 故合力最大值为8． 故答案为：8. 10．（21-22高一下·上海奉贤·期中）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是 【答案】 【分析】根据题意将，两边同时平方可得，再三角代换，利用三角函数的性质即得． 【详解】由题意得，，，， 由，等式两边同时平方，得， 所以，令，则， 则，其中， 因为， 所以，所以， 即的最大值为. 故答案为：． 11．（21-22高一下·上海普陀·期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】 过点作于所以且,其中, 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为 的取值范围是． 故答案为：． 12．（21-22高一下·上海长宁·期末）在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量运算法则得到，利用数量积公式得到，设，从而得到，结合求出取值范围. 【详解】因为是的中线，所以， 故， 因为，设，则， 所以， 故当时，取得最小值，最小值为， 当或3时，. 故答案为：. 13．（20-21高一下·上海杨浦·期末）已知是平面内两两互不平行的向量（为正整数），满足，，则的最大值为 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，令，再结合已知画出图形，由圆的公共点个数即可得解. 【详解】设，，，则， 由知，或，，因此点在以为圆心，以1或2为半径的圆上， 作出以点为圆心，1或2为半径的4个圆，如图， 观察图形知，这4个圆两两的公共点有，共6个， 4个圆上到点和到点距离为1或2的点最多有6个， 所以的最大值为6. 故答案为：6 14．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知A、B、C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知结合图象可知，.分不重合以及重合两种情况，结合图象分别计算，即可得出答案. 【详解】   根据题意，，，， 所以. 当不重合时，由已知可得的夹角， 当方向相同时，可知为圆的直径， 此时有，，取得最大值2，所以； 当重合时，，此时. 综上所述，. 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：对是否重合进行分类，结合图象，得出范围. 15．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 【答案】 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示，    若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 16．（21-22高一下·上海宝山·期中）如图，定圆C半径为3，A、B为圆C上的两点，且的最小值为1，则 ． 【答案】 【分析】结合图形，根据向量线性运算的法则分别讨论t＝0、t＞0、t＜0时的最小值情况，据此即可求出． 【详解】当t＝0时，不满足题意； 当t＞0时，设t＝，延长EA到F，使AF＝AE， 则t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，，此时无最小值不满足题意； 当t＜0时，设t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB， 由图可知，， ∵的最小值为1， ∴＝1，∴． 故答案为：． 三、解答题 17．（22-23高一下·上海普陀·期中）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1)6 (2) (3)时，取最小值 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可； （3）记，，设，其中，表示出向量，，然后表示出的结果，转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）由于为边的中点， 所以， 故. 由于， 故. 因此. （2）由于， 故. 由于为线段上一点，设， 有. 由向量基本定理得，解得，因此. （3）记，， 由得. 设，其中， 则，. 进而有 ，. 当且仅当即时， 取最小值. 18．（21-22高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． (1)若，求证：C、M、N三点共线； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，化简得证明即可； （2）根据，代入化简可得，再根据二次函数的最值分析最小值即可 【详解】（1）当时， ，，故，故C、M、N三点共线，即得证 （2）当时，，，故，故，故当时，取得最小值，即的最小值为 19．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点． (1)若，求△PAB的面积； (2)若，求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)－. 【分析】（1）由重心的性质有，结合三角形面积公式求△PAB的面积； （2）由题设，可得，再应用基本不等式求目标式最值，注意等号成立条件. （3）构建直角坐标系并设P（x，y），确定相关点坐标，利用向量数量积的坐标运算求，即可得结果，注意最值对应x、y. 【详解】（1）由题设知：P为△ABC的重心，故； （2）由于，即，则， ，当且仅当时取到等号， 故的最大值为； （3）以BC的中点O为原点，，分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 设P（x，y），易知A（0，），B（－1，0），C（1，0）， 则 化简得， 故的最小值为－，当且仅当时取到等号. 20．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【答案】(1)约1.41N (2)不能 【分析】（1）根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果； （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，由题意知，代入数据即可求得结果. 【详解】（1）如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以，所以， 所以． （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，当时，， 解得：． 因为超过最大承受拉力，有安全隐患，故此降落伞不能安全使用． 21．（23-24高一下·上海·阶段练习）如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． (1)设，将用、、表示； (2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）在中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可； （2）根据（1）结合，可知，再根据点是重心，，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解. 【详解】（1）， （2），理由如下： 由（1）可知，又，， 所以， 因为点是重心， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； （3）， 由（2）知， 所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$