精品解析：山西省忻州市第一中学校2024-2025学年高一下学期期初考试数学试题

2024级高一年级第二学期期始考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意化简集合N，进而可得交集. 【详解】由题意可得：， 且，所以. 故选：D. 2. 若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】结合共线向量的定义，分别判断条件①②③④下与是否共线，由此可得结论. 【详解】对于①，若与方向相反，则与共线， 对于②，由，只能确定两向量的大小相等，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线， 对于③，由或，可得或，由零向量与任意向量共线可得与共线， 对于④，由与都是单位向量，只能确定两向量的大小都为，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】易知， 所以 . 故选：B 4. 设是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得. 【详解】是平行四边形的对角线的交点，则, 所以. 故选：A. 5. 函数，满足对、且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】由可得函数在上为减函数， 所以，函数在上为减函数，则，解得， 函数在上为减函数，则， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 6. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数的性质可得，求出，再利用齐次式弦化切求解即可. 【详解】对于函数（且），当时，，即， 因为点在角的终边上，所以， 于是. 故选：D. 7. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性，结合“媒介”数比较大小即可求解. 【详解】∵函数在上单调递增，且， ，即. ∵函数在上单调递增，且， ，即. 综上，. 故选：D. 8. 设函数在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题中条件，求出，令，，依次列举其最值点和零点，再由题意，得出，求解即可. 【详解】因为，，所以， 令，， 则函数中大于的最值点与零点依次是： 又函数在区间恰有三个最值点和两个零点， 所以只需，解得； 故选：C 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 10. 下列四个等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于四个选项，利用三角函数恒等变形逐一求出对应的值，即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A. 的一条对称轴是直线 B. 的一条对称轴是直线 C. 方程有3个解 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确. 由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误. 则，所以， 即有， 所以是周期为的周期函数. 当时，， 画出、的大致图象如下图所示， 由图象以及的周期性可知，两个函数图象有个交点， 则有3个解，C选项正确. ， ，所以， 所以，所以D选项错误. 故选：AC 【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性等等，可以根据给定的函数表达式来确定，如本题中，是偶函数，图象关于轴对称，而是由向左平移个单位得到，所以的图象关于对称.如果一个函数既关于直线对称，又关于点对称，可以考虑函数具有周期性. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂和对数的运算计算可得. 【详解】原式. 故答案为： 13. 给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是___________.（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】对每个命题分别判断即可得到答案. 【详解】对于①，由，而显然. 从而是向量的必要不充分条件，故①正确. 对于②，向量，不相等，但满足且，故②错误. 对于③，因为，则且， 又不共线，所以四边形是平行四边形. 反之，在平行四边形中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有. 所以是四边形为平行四边形的充要条件，故③正确. 故答案为：①③. 14. 若方程在有解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将原式化为，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由转化为，即， 因为，则，则， 所以，则，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）当k为何值时，？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用数量积公式计算可得答案； （2）对两边平方再开方可得答案； （3）利用数量积零可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 小问3详解】 由得， 即， 可得，解得 16. （1）若且，求的最小值； （2）若且，求的最小值. 【答案】（1）9；（2）9. 【解析】 【分析】 （1）利用基本不等式可得，再解不等式即可得解； （2）依题意可得，再利用基本不等式乘“1”法计算可得； 【详解】解：（1），. ，.，. 当且仅当，等号成立.故当时，的最小值为9. （2）且.， . 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为9 【得解】本题考查的是基本不等式，注意不等式使用的条件“一正、二定、三相等”，要配凑成和为定值的形式，并关注取等号的条件，属于中档题． 17. 已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量. （注：年利润年销售收入固定成本可变成本） （1）求年利润关于年产量的函数解析式； （2）当为何值时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）6万件，最大年利润为13万元. 【解析】 【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本可变成本，分和两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式； （2）分和两种情况分别用函数单调性与基本不等式求出最大值，即可得到结论． 小问1详解】 当时，； 当时，； 所以 【小问2详解】 当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减. 所以，； 当时，， 当且仅当，即时取“”. 因为，当该电子元件的年产量为6万件时，最大年利润为13万元. 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义计算即可得； （2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式； （3）计算出及的值域后，对任意的，总存在，使得成立即为的值域为的值域的子集，计算即可得. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以， 即在定义域上恒成立， 整理得，故； 【小问2详解】 解法一：由（1）知， 所以函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 所以，解得； 所以此时不等式的解集为； 解法二：因为， 令，则可化简为， 即，即， 解得，即． 所以此时不等式的解集为； 【小问3详解】 在的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立，即， 所以，解得. 19. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再由函数的周期确定的值即得函数解析式； （2）先根据平移伸缩变换求得的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象性质即得的值域； （3）先求出函数的解析式，由求得整体角的范围，结合正弦函数的图象，即可判断方程的解的个数，求得，再根据图象的对称性化简计算即得参数的值. 【小问1详解】 由 ， 因相邻两对称轴间的距离为，则，解得， 故. 【小问2详解】 函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），即得的图象. 当时，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，即时，取得最小值， 当时，即 时，取得最大值， 故函数的值域为. 【小问3详解】 ， 由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象， 由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质的应用，属于较难题. 解决此类问题的关键是先利用三角恒等变换确定三角函数解析式，再将看成整体角，借助于正弦函数的图象的性质即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一年级第二学期期始考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是平行四边形的对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数，满足对、且，都有，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 7. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间恰有三个最值点和两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列四个等式中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A. 的一条对称轴是直线 B. 的一条对称轴是直线 C. 方程有3个解 D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 13. 给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是___________.（填序号） 14. 若方程在有解，则的取值范围是__________. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）当k为何值时，？ 16. （1）若且，求的最小值； （2）若且，求最小值. 17. 已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量. （注：年利润年销售收入固定成本可变成本） （1）求年利润关于年产量函数解析式； （2）当为何值时，年利润最大？最大年利润多少？ 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）设，记方程在上的根从小到大依次为，，…，若，试求与的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $