专题15 立体几何截面及动点压轴小题（9题型+提分快招）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题15 立体几何截面及动点压轴小题 目录 题型01 截面：截面基础型 1 题型02 截面：恒平行型 4 题型03 截面：恒垂直型 9 题型04 截面：最值型 14 题型05 截面：球截面型 19 题型06 动点型截面：相等角度型 22 题型07 动点型截面：截面分体积 26 题型08 动点型：压轴单选题 30 题型09 动点型：压轴小题 33 题型01 截面：截面基础型 【解题规律·提分快招】 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥， 球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清 楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。。 一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法： 1.是利用平行关系找交线， 2.是利用共面直线延长相交得交点. 【典例1-1】 ．（24-25高三 上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面. 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 【典例1-2】 （24-25高三上·安徽六安·阶段练习）在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（    ） A．不存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 【答案】D 【分析】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，由当为的中点时判断选项A；当与或重合时，直线与所成的角最小判断选项B；当与重合时，二面角的平面角最小判断选项C；对于D，由，过作，得到四边形即为平面截正方体所得的截面判断. 【详解】解：异面直线与所成的角可转化为直线与所成角， 如图所示： 当为的中点时，，此时与所成的角为，所以A错误； 如图所示； 当与或重合时，直线与所成的角最小，为，所以B错误； 当与重合时，二面角的平面角最小，，所以， 所以C错误； 对于D，如图所示：过作，交于，交于点， 因为，所以分别是的中点， 又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面， 因为，且， 所以四边形是等腰梯形，作交于点， 所以， 所以梯形的面积为，所以D正确.故选：D 【变式1-1】 （2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为，根据中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值． 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接，， 则，， 在中，，解得， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为． 所得截面圆面积的最大值为．故选：D．    【变式1-2】 （23-24高三·江苏无锡·模拟）如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】根据题意，结合面面平行的性质，证得和，进而得到答案. 【详解】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 【变式1-3】 （2024高三·全国·专题练习）已知四面体的各个顶点都在球O的表面上，，，两两垂直，且，，，E是棱BC的中点，过E作四面体外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把四面体放到长方体中，根据球的几何性质进行求解即可. 【详解】设所得截面圆的面积为，半径为r．因为，，两两垂直， 故可将四面体放入长方体中，如图所示， 易得外接球半径． 过E作球O的截面，当所得截面圆的面积最大时，截面为过球心的圆面， ，当所得截面圆的面积最小时，截面为与最大截面垂直的圆面． 在内，，所以，即， ，所以．故选：B． 题型02 截面：恒平行型 【解题规律·提分快招】 如果是线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题 【典例1-1】 （2022·江西萍乡·三模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面上运动，且满足平面.以下命题中，正确的个数为（    ） ①侧面上存在点，使得； ②直线与直线所成角可能为30°； ③设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先依据题给条件求得点F在侧面上的轨迹为线段，当点为中点时，，则①判断正确；求得直线与直线所成角最大值否定②；举特例否定③. 【详解】分别取的中点，连接 由，可得四边形为平行四边形，则，又，,则平面平面， 则当点落在线段上时，平面，则平面 即满足题意的点F在侧面上的轨迹为线段 ①取中点P，连接，△中，,，则 又，则,即当F为中点时，有.判断正确； ②当点F在线段上运动变化到端点K或H时，直线与直线所成角取得最大值，此时直线与直线所成角为（或）又， 则.则直线与直线所成角不可能为30°.判断错误； ③设正方体棱长为1，当F为与HK交点时， 过点E，F，A的平面交于的中点M，连接 过点E，F，A的平面截正方体所得截面为菱形 又菱形对角线， 则截面的面积为.判断错误.故选：B 【典例1-2】 （23-24高三·四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（    ） A． B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点，使得 D．直线与直线所成的角可能为 【答案】D 【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：连接，作图如下： 因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线， 故可得，则，故A正确； 对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变， 故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值， 故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对C：取的中点分别为，连接，作图如下： 容易知在△中，，又，， 面面，故面面， 又G在侧面上运动，且满足平面，故的轨迹即为线段； 又因为为正方体，故面面，故， 则当与重合时，，故C正确； 对D：因为，故直线与所成角即为直线与所成角，即， 在中，，故， 而当直线与直线BC所成的角为时，， 故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误.故选：D. 【变式1-1】 （22-23高二上·重庆荣昌·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，过的平面与平面平行，以平面截该正方体得到的截面为底面，为顶点的棱锥记为棱锥，则棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面与正方体的截面，利用棱锥外接球的性质求出球半径，即可得出球表面积. 【详解】分别取的中点， 依次连接得到正六边形,如图， 由平面，平面， 可知平面，同理平面， 又，平面， 所以平面与平面EFG平行，所以该正六边形就是平面与正方体的截面， 设该棱锥的外接球球心为，半径为，如图， 连接 相交于点，连接，则球心在线段上，连接， 因为，，所以，所以在中可得，解得，所以外接球的表面积为, 故选：B 【变式1-2】 （20-21高三·云南·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（    ） A．不存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形 【答案】C 【分析】连接，可得平面，即可判断A，由平面可判断B，当截面为正六边形时（其中，，，，，都是中点），计算截面面积，然后可判断C、D. 【详解】如图，连接，可得平面，由与异面可知，不存在点，使得平面，故A正确； 又平面，所以动点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，当截面为正六边形时（其中，，，，，都是中点），易得该正六边形的边长为，所以其面积为，故C错误； 截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确，故选：C. 【变式1-3】 （2022·浙江温州·二模）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（    ） A．存在平面和点，使得平面 B．存在平面和点，使得平面 C．对任意的平面，线段平分线段 D．对任意的平面，线段平分线段 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定定理可判断AB选项；取的中点，的中点为，设，，利用空空间向量的线性运算可得出，可判断C选项；利用反证法结合C选项可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，因为平面，平面，此时平面，A对； 对于B选项，当时，因为平面，平面，此时平面，B对； 对于C选项，取的中点，的中点为，设，， 则有， 同理可得，， ， ， 所以，所以，， 因为、、、四点共面，则，所以，， 所以，，则， 所以，，可得， 即、、三点共线，即的中点在上，即线段平分线段，C对； 对于D选项，若线段平分线段，又因为线段平分线段，则四边形为平行四边形， 事实上，四边形不一定为平行四边形，故假设不成立，D错.故选：D. 题型03 截面：恒垂直型 【解题规律·提分快招】 证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理； 三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化； 另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 【典例1-1】 （2021·全国·模拟预测）已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由正三棱柱的体积为，，可求得，由于，所以要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示，可得点在以为直径的圆上，从而可求出点到底面距离的最大值，进而可求得三棱锥的体积的最小值 【详解】如图所示， 因为正三棱柱的体积为，，所以，即， 因为，所以要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大， 设的中点为，作出截面如图所示， 因为，所以，所以点在以为直径的圆上， 所以点到底面距离的最大值为， 所以三棱锥的体积的最小值为.故选：A. 【典例1-2】 （22-23高二上·浙江温州·期末）正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】解：因为正三棱柱中,O为BC的中点，取中点，连接， 如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为M是棱上一动点，设，且，所以，则， 因为，所以在直角三角形中可得：，所以， 即，于是令， 所以，，又函数在上为增函数， 所以当时，，即线段MN长度的最小值为.故选：B. 【变式1-1】 （2021·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立所示的空间直角坐标系，设点，分、、三种情况讨论，确定截面与各棱的交点，求出截面面积关于的表达式，由此可解得截面面积的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、， 设点，其中. ①当时，点与点重合，，，， 所以，，，则，， ，平面，此时平面即为平面， 截面面积为； ②当时，同①可知截面面积为； ③当时，，， ，，则， 设平面交棱于点，， ，可得，不合乎题意. 设平面交棱于点，， ，可得，合乎题意，即， 同理可知，平面交棱于点， ，且与不重合，故四边形为平行四边形， ，，， 则，所以，截面面积为.综上所述，截面面积的最小值为.故选：C. 【变式1-2】 （21-22高一下·湖北武汉·期末）已知正方体，的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，平面，下列说法正确的是（   ） A．若点为中点，当最小时， B．当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大 C．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 D．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为 【答案】D 【分析】利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项A； 通过两个截面的面积不相等且周长相等判定B；直线与平面所成角的正弦值，即为直线与平面的垂线所成角的余弦值，即，,可通过的取值范围可以求得，进而判定C；利用空间垂直的转化可以得到平面与正方体的截面为，其中为的中点，为的中点，判断其为等腰梯形，进而计算其面积，从而判定D. 【详解】解：对于A：将矩形与正方形展开到一个平面内（如图所示）， 若最小，则、、三点共线，因为， 所以，所以，即，故A错误； 对于B：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示）， 在正方体中，平面， 平面，所以，又因为，且，所以平面， 又平面，所以，同理可证，因为，所以平面， 易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为； 设、、、、、分别是、、、、、的中点， 易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形的周长为，面积为， 则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即B错误； 对于C：直线与平面所成角的正弦值，即为直线与平面的垂线所成角的余弦值，即，如图所示：连接 在正方体中，，，所以 在中，， 点为线段（含端点）上的动点，故，即 所以，所以直线与平面所成角的正弦的取值范围为，故C错误； 对于D，取中点为，连接,,则,设平面与侧面的交线为,为平面与的交点，由于平面，∴，∴,又∵平面，平面，∴,又∵,∴平面,∴,又∵在正方形中为的中点，∴为的中点； 设平面与侧面的交线为,为平面与的交点，同理可得为的中点，连接,于是截面为，计算得,,, 所以截面为为等腰梯形，底边上的高为, 截面为的面积为，故D正确；故选：D. 【变式1-3】 （18-19高一上·广东中山·期末）如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　 当时，为四边形； 当时，为等腰梯形； 当时，与交点R满足； 当时，为六边形； 当时，的面积为． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知根据的不同取值，分别作出不同情况下的截面图形，利用数形结合思想能求出结果． 【详解】 当时，如图，是四边形，故正确 当时，如图，为等腰梯形，正确； 当时，如图, 由三角形与三角形相似可得， 由三角形与三角形相似可得,，正确 当时，如图是五边形，不正确； 当时，如图是菱形，面积为，正确， 正确的命题为，故选D． 【点睛】本题主要考查正方体的截面，意在考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题． 题型04 截面：最值型 【典例1-1】 （2020·湖北荆门·二模）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，有下列结论： ①若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为； ②若在线段上运动，则的最小值为； ③若在以为直径的球面上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为； ④若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为. 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】①根据，可得即为异面直线所成的角或所成角的补角，从而可求出； ②将和四边形沿展开到同一个平面上，易知线段的长度即为的最小值，利用余弦定理即可求出； ③根据题意判断出，为的中点时，三棱锥的体积最大，只需求此时外接球的表面积即可； ④分别为相应棱的中点时，平面为平面时，与正方体每条棱所成角相等，且截面的面积最大. 【详解】对于①：因为，所以即为异面直线所成的角或所成角的补角， 在中，，所以，故①正确； 对于②：将和四边形沿展开到同一个平面上，如图所示， 由图可知，线段的长度即为的最小值， 在中，利用余弦定理，得，故②错误；对于③：如图，当为的中点时，三棱锥的体积最大， 此时，三棱锥外接球的球心是的中点，半径为，其表面积为，故③正确； 对于④：要使平面与正方体每条棱所成角相等，只需与过同一个顶点的三条棱所成的角相等即可， 如图，当时，平面与正方体过点的三条棱所成的角都相等， 若分别为相应棱的中点时，平面平面， 且此时六边形为正六边形， 因为正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为， 所以此正六边形的面积为，为截面最大面积，故④正确.故选：B. 【典例1-2】 （22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）在三棱锥中，和都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为（ ） A．24π B．25π C．26π D．27π 【答案】D 【分析】根据题设找到三棱锥外接球球心位置，由已知及球体截面的性质求过M平面截球体的最大截面积，根据外接球球心、面面垂直以及比例关系易知共线，且过M平面截球体的最小截面积时该平面，且，即可求最大、最小面积和. 【详解】由题设，若为中点，分别是等边和等边的中心， 连接，则分别在上，且， ，，，面，故面， 又面，所以，面面， 又面面，过作面的垂线与过作面的垂线交于， 即面，面，则为外接球球心， 面，且，，则面，所以面面， 综上，结合面面，面面，则面、面为同一平面，所以面， 由面面，，面，面面， 所以面，面，即，且知：为正方形， 如图， ，，若外接球半径为， 所以， 由球体的性质，要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心， 所以，最大截面圆面积为， 要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小，则该平面， 因为，而都在面上，故， 而，故，显然共线，故， 此时截面圆的半径为，则，所以，最小截面圆面积为，综上，最大值与最小值之和为.故选:D. 【点睛】关键点点睛：根据球的性质判断过M平面截棱锥外接球截面面积最大、最小时截面与的位置关系，利用几何关系求截面圆半径，最后求面积和. 【变式1-1】 （高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过 点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．给出下列命题： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与C1D1的交点R满足； ④当时，S为六边形； ⑤当时，S的面积为其中正确的是 A．①②③ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【详解】试题分析：①当时，只需在上找到一点，使，则可截得四边形，故正确；②当时，可得，此时，是等腰梯形； ③当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，，故③正确；④当时，点向上移动，截面仍是如图所示的五边形，不是六边形，所以不正确； ⑤当时，此时与重合，点是的中点，所以，此时四边形是菱形，，，，所以，故正确．故选①②③⑤ 考点：平面 【思路点睛】本题主要考查了截面的问题，属于中档题型，其中①②⑤比较好判断对错，难点在③④，当时，关键如何做出平面，使所做平面内的各点在同一平面，如图，做法如下，首先延长，交的延长线与点，连接，并延长交的延长线与点，在连接，这样做图就使每点都在同一平面，并且根据平行线比例很好得到比值，因为是中点，所以是的中点，就是的中位线，，那么，，再根据，可得，所以，问题得证，④当时，点向上移动，截面的做图方法不变，比较好选择了． 【变式1-2】 （19-20高一上·河南驻马店·期末）正方体的棱长为1，，为线段，上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题：①当且时，为等腰梯形；②当，分别为，的中点时，平面；③当，分别为，的中点时，异面直线与成角；④无论在线段任何位置，恒有平面平面；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①当，与重合，过的平面为平面，如图1，根据面面平行的性质定理，可得截面与平面交线，在上，满足，进而证明，可得截面是等腰梯形，所以①正确； ②当，分别为，的中点时，如图2，连，可证，由线面平行的判定定理，可得②正确； ③由②，或补角为直线与成角，而为正三角形，，所以③正确； ④如图3，在正方体中可证，进而平面，所以 平面平面，而平面即为平面，所以④正确. 【详解】①当，与重合，过的平面为平面， 如图1，设平面与平面交于，在 上， 连，则平面截该正方体所得截面为四边形， 正方体中，平面平面，截面分别与平面平面交于， 所以，因为四边形是平行四边形，，所以，因为正方体，有， 所以，，所以，，在线段上，不与端点重合， 所以，所以，截面是等腰梯形，所以①正确； ②当，分别为，的中点时，如图2，连，则，在正方体中，所以， 平面，平面，所以平面，所以②正确； ③由②可得，或补角为直线与成角，因为正方体中，，所以，即直线与成角为，所以③正确； ④如图3，连接,在正方体中，平面，平面， 所以平面平面，所以，同理，，所以平面，平面，平面平面， 点在上，平面即为平面，所以④正确.故选:D.    【点睛】本题考查正方体的性质、面面平行的性质、线面平行的判定、线面垂直与面面垂直的判定、异面直线所成的角，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题. 【变式1-3】 （22-23高三上·福建福州·开学考试）在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，求得A到PQ的距离为定值，然后求PQ的最小值，代入三角形面积公式得答案． 【详解】过B作BO⊥PQ，垂足为O，连接AO，如下图所示： ∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD＝B，∴AB⊥PQ， 又BO⊥PQ，且AB∩BO＝B，∴PQ⊥平面ABO，则PQ⊥AO， 则∠BAO为AB与平面α所成的角为30°，∵AB＝1，∴AO＝为定值． 要使截面APQ面积最小，则PQ最小，此时BO⊥PQ，PQ的最小值为． ∴截面APQ面积的最小值是S＝．故选：B 【点睛】本题考查直线与平面所成角，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题． 题型05 截面：球截面型 【解题规律·提分快招】 用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。且满足勾股数组 【典例1-1】 （24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值. 【详解】如图，取的中点为， 由正方形的边长为4，得， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，． 由余弦定理可得，． 此时，所以截面面积最小值为.故选：C 【典例1-2】 （23-24高二下·安徽安庆·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得. 空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出BD的中点O为四面体的外接球球心，再分析当截面时截面面积最小，求出截面面积即可. 【详解】如图，取BD的中点为O，由正方形ABCD的边长为2，则， 因此O为四面体的外接球球心，外接球半径，设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则有，即，当截面时，d最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，，由余弦定理可得，， 此时，所以截面面积最小值为.故选：A 【变式1-1】 （23-24高一下·河南驻马店·期末）已知正四面体内接于球O，E为底面三角形ABC中边BC的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设正四面体的棱长为，用棱长表示出其外接球的半径，过点作外接球的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时此时截面圆的半径为，最大截面圆为过球心的大圆，半径为，根据题意则，从而可得出答案. 【详解】如图，在正四面体中，设顶点在底面的射影为， 则球心在上，在上，且,连接､， 设正四面体的棱长为，则 ， 则正四面体的高， 设外接球半径为， 在中，，即，解得， ∴在中，， 过点作外接球的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小， 此时截面圆的半径为，最大截面圆为过球心的大圆，半径为，由题设存在半径为的截面圆，∴，解得， 故选:C. 【变式1-2】 （24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，设该球半径为，利用勾股定理求出，求出，从而确定球心到过点的截面圆的距离，故截面圆半径，得到截面面积的取值范围. 【详解】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心， 点在上，连接，连接并延长交于点，则.设该球半径为，则.由，可得，故.在中，，解得. 因为点为的中点，所以，在中，，所以，设球心到过点的截面圆的距离为，可知， 截面圆半径，所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 【变式1-3】 （2018·湖南长沙·一模）已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：过作球的截面中，面积最大的是过球心的截面，最小的是垂直于的截面，求出球的半径，以及垂直于的截面半径，从而可得结果. 详解： 显然过作球的截面中，面积最大的是过球心的截面，最小的是垂直于的截面， 设三棱锥的外接球半径为，，解得，截面面积最大为， 如图，，， ，垂直于的截面半径满足， ，即截面最小面积为，截面圆面积的取值范围是，故选A. 题型06 动点型截面：相等角度型 【典例1-1】 （20-21高三上·湖南衡阳·阶段练习）在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度以及长度关系先确定出球心所在位置，然后将作为公共底面，利用三棱锥的体积公式求解出外接球的半径，从而三棱锥外接球的表面积可求. 【详解】如图，设的中点为，的中点为，连接，，. 因为，，，所以， 所以，所以为棱锥外接球的球心，设半径为， 又，且，所以，，则. 又由，且可知平面， 所以，解得. 所以外接球的表面积.故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过找中点确定出球心的位置，根据线段长度以及角度确定出球心位置，由此展开后面的计算. 【典例1-2】 （22-23高二下·江西南昌·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得外接球半径，然后求解外接球的表面积即可. 【详解】设CD的中点为， 由余弦定理可得：， 很明显为等腰三角形，则，， 据此有：，由勾股定理的逆定理可得：， 很明显，以P为原点，PC为x轴正方向，PB为y轴正方向，PA为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.易知， 设球心坐标为，由OA=OB=OC=OD可得：， 解得：，则外球半径：，其表面积：. 本题选择A选项. 【变式1-1】 （2024·河南·二模）已知在三棱锥中，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算的外接圆半径，根据平面平面，再求外接球的半径即可.【详解】如图所示，设的外接圆的半径分别为， 在中，由正弦定理得：，所以. 在中，因为，所以由余弦定理得， 即，则， 在中，由正弦定理得：，所以. 设三棱锥的外接球的半径为，因为平面平面， 则，所以其外接球的表面积为. 故选：. 【变式1-2】 （22-23高三上·广东广州·阶段练习）在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，求得的外接圆的半径为，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值． 【详解】如图，设，，为的外心，为三棱锥外接球的球心，则平面，又平面，所以，平面，则，四边形是直角梯形， 设，，，由平面，平面，得， 则，，，即，又，则，， 令，则，，，当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥外接球表面积， 故选：B． 【变式1-3】 （22-23高三上·湖北·开学考试）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可判断△PAB是等腰直角三角形，从而求出∠PAC，在△PAC中利用余弦定理求出PC，根据勾股定理可判断PB⊥PC，从而可知PB⊥平面PAC，从而可将三棱锥补为以△PAC为底面的直三棱柱，外接球球心即为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，根据几何关系即可求解． 【详解】，且，∴，在△PAC中，根据余弦定理得， ，∴， ∴，又，平面PAC，∴PB⊥平面PAC， 故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱， 则直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球， 设△PAC外接圆圆心为，△的外接圆圆心为，则直三棱柱的外接球球心为中点O，OA即为外接球的半径. 在△PAC中，根据正弦定理可得，∴， ∴，∴外接球表面积为：． 故选：A． 题型07 动点型截面：截面分体积 【解题规律·提分快招】 相似形与相似体： 1.如果三角形被平行于底边的平行线所截，那么截得的小三角形和原三角形是相似三角形 2.如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所截得的小三棱锥与原棱锥是相似体 3.如果三角形被“不平行于底边”的直线所截，所截的的小三角形和原三角形是“相似形” 4.如果棱锥被“不平行于底面的平面”所截，那么所截得的小三棱锥与原棱锥是相似体 5.如果是平行底面，则面积比等于相似比平方，体积比等于相似比立方。 如果“不平行于底面”，则面积比等于所截的线段比之积（两边比积）。体积比等于所截的的棱的线段比之积（三跳棱的比之积） 【典例1-1】 （20-21高三上·安徽芜湖·期末）如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设正方体的棱长为，设，可得，设截面与棱的交点为点，连接、，利用面面平行的性质定理可得，可知棱台的体积为，利用台体的体积公式可计算出的值，即可得出的值. 【详解】连接，设设截面与棱的交点为点，连接、，如下图所示： 设正方体的棱长为，设，则， 由于平面平面，平面平面，平面平面，所以，，在正方体中，且，则四边形为平行四边形， ，，，，的面积为， 由题意可知，三棱台的体积为，整理得，，解得，因此，.故选：C. 【典例1-2】 （2023·安徽蚌埠·一模）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出截面，得到截面把正方体分为三棱台和另一几何体，根据棱台体积公式求出，进而求出的值. 【详解】设正方体棱长为1，，如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体， 由面面平行的性质可知：，延长，相交于点，则平面，且平面， 又平面平面，所以在直线上，即三线共点， 所以几何体为三棱台，其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1， 所以，解得：， 所以.故选：C 【变式1-1】 （2022·河南南阳·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，根据已知求出即得解. 【详解】解：如图所示，过点作,交于点,则四边形就是过点的截面，设，，则台体的体积， 解之得，所以,, 所以截面的周长为.故选：D 【变式1-2】 （2017·江西九江·三模）如图所示，在正方体中，点在棱上，分别是棱的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别延长交于，连接交于，则可作出截面，由此即可计算出答案. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，四个侧面面积之和为4， 分别延长交于，连接交于，连接， 易知，则， 则正方体的四个侧面被截面截得的上面部分面积为， 即正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积之比为；故选：C. 【变式1-3】 （2020高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，，计算三棱锥，进而得答案. 【详解】解：法一：设，，，则长方体的体积， 又，且三棱锥的高为，∴， 则剩余部分的几何体体积，则，故选：A. 法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱， 设它的底面面积为，高为，则它的体积为， 而棱锥的底面面积为，高为， ∴棱锥的体积， 剩余部分的体积是， ∴棱锥的体积与剩余部分的体积之比为.故选：A. 题型08 动点型：压轴单选题 【典例1-1】 24-25高二上·福建福州·期中）三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解 【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以， 又，且所以，所以, 取的中点，易得,又 所以平面，又平面，所以平面平面， 建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 令，所以，因为，所以，所以，所以， 因为直线AC与BD所成角为，所以， 解得，即，如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心， 设点A在平面内的投影为，作， 所以, 所以在中， ,, 所以在中，，解得， 所以，三棱锥外接球表面积为，故选：A 【典例1-2】 （22-23高三下·河北邢台·阶段练习）在三棱锥中，是等边三角形，，，且，点是棱的中点，则平面截三棱锥外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心，利用等体积法结合球的截面小圆性质求出截面圆半径作答. 【详解】在三棱锥中，是等边三角形，，，， 则，，则有，取中点O，连接，有，因此点O是三棱锥外接球球心，球半径，如图， 因为点是棱的中点，则，等腰底边上的高，的面积，取中点F，连接， 则，而平面，于是平面， 在中，，由余弦定理得， 有，的面积， ， 显然，令点O到平面的距离为d， 因此，即，解得，令平面截三棱锥外接球所得截面小圆半径为r， 则有，所以平面截三棱锥外接球所得截面面积. 故选：D 【变式1-1】 （2022安徽合肥·一模）已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接，易求得 ，则 .在中，由勾股定理， ，解得 ，由 ，知 ，所以 ，当过点 的截距与 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径 ，此时截面圆的面积为 ；当过点 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为 ，故选B. 【变式1-2】 （2024·湖北·二模）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外接球性质找到外接球球心位置，通过几何直观找到外接球半径与的外接圆半径的关系式；设，在中根据面积关系和正弦定理，得到是关于的函数；利用导数求出范围，进而得到范围. 【详解】如图，连接，交于点，易得为的外心． 连接．交于点，易知平面，则三棱锥的外接球球心在上． 设的外接圆圆心为平面， 由正方体中棱平面,得,又易得分别是中点，所以．    设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为．则， 设，，，又，．设，则，设，则，在单调递增，又，所以在单调递减，在单调递增，又， 所以．故选：C． 【变式1-3】 （23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，根据题意分析可知：三棱锥外接球的球心在过垂直于平面的直线上，设，建系，结合空间两点距离公式可得，进而利用基本不等式运算求解. 【详解】连接，取的中点，可知为的外心， 过作平面的垂线，可知三棱锥外接球的球心在该垂线上，设， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，即， 整理得，当且仅当，即时，等号成立， 所以三棱锥外接球半径的最小值为.故选：C. 题型09 动点型：压轴小题 【典例1-1】 （24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知四棱锥的高为2，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为 ；若点在底面投影点为菱形中心，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据中点，得到，故，先得到为全等的等边三角形，故，从而求出四面体的体积，再作出辅助线，找到三棱锥的外接球的球心，进而根据半径相等得到方程，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】如图，设，连接，底面为菱形，故为的中点， 又分别为的中点，所以，故， 又， 故， 因为四边形是菱形，，所以为全等的等边三角形， 故菱形的面积为， 四棱锥的高为2，所以，故； 若点在底面投影点为菱形中心， 连接，则⊥底面，且， 因为为等边三角形， 所以三棱锥的外接球球心在底面的投影为的中心， 因为，所以，所以， 过点作⊥于点，设，则， 则，由勾股定理得，，因为，所以，解得， 故外接球半径，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：， 【典例1-2】 （22-23高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】对①，由线面平行的判定定理进行判断即可； 对②，证平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，由等体积法列式即可求； 对③，设 ，可得，由向量垂直的坐标表示，存在点使等价于有解； 对④，由点到直线距离求P到的距离d，则△面积为，讨论最小值即可 【详解】对①，如下图所示：因为是中点，， 所以点是的中点，连接，显然也是的交点，连接， 所以，而平面，平面，所以直线平面，①对； 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，, 对②，分别是棱的中点，∴，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为h， ，，，，由得，②错； 对③，设 ，则，则，，由即得，由，故存在点，使得，③对； 对④，由③得到的投影为，故P到的距离， △面积为 ，由二次函数性质，当时，取得最小值为，④错. 故答案为：①③ 【变式1-1】 （22-23高三上·湖北·开学考试）在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为 . 【答案】 【分析】分析可知三棱锥外接球球心为中点，求出点到平面的距离，可得出点到平面的距离的最大值，利用锥体体积可得出关于的等式，求出的值，可得出球的半径的值，再利用球体的体积公式可求得结果. 【详解】正中，为的中点，则， 而平面，平面，则， 而，、平面，则平面， 平面，所以，， 平面，平面，， 所以，的中点到点、、、的距离相等， 即三棱锥外接球球心为中点， 从而，点是三棱锥外接球球心， 设球的半径为，则，， 因为的外接圆圆心为的中点，设为，连接， 因为、分别为、的中点，则，故平面，如图， 则有，即到平面的距离为， 因此到平面距离的最大值为， 又，即有，解得， 所以，，所以球的体积为.故答案为：. 【变式1-2】 （20-21高三上·安徽合肥·阶段练习）已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若，且三棱锥的外接球半径为3，则的最大值为 ． 【答案】18 【分析】连交于，由顶点在底面的射影为的垂心，得，进而证明，由。得，根据三角形相似可得，，进而证明两两互相垂直，将三棱锥拓展为以为棱的长方体，可得，再由基本不等式，即可求出结论. 【详解】连交于，顶点在底面的射影为的垂心， ，又平面，，，平面， 同理可证，由，得， ， ，又平面， ，又平面，两两互相垂直， 三棱锥的外接球为为棱的长方体的外接球， 又三棱锥的外接球半径为3，， ， 当且仅当时，等号成立.故答案为：18. 【变式1-3】 （19-20高三下·山东·阶段练习）已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于 ，球的表面积等于 ． 【答案】 【分析】由题意可知三棱锥是边长为的正四面体,则球是三棱锥的内切球,设其半径为,由，可知,设平面平面,且球和球均与平面相切于点,则球是正四面体的内切球,设其半径为,则,最后代入数据计算即可. 【详解】因为正方体的棱长为,所以三棱锥是边长为的正四面体,的高为,设底面的中心为,连接,则,, 则球是三棱锥的内切球,设其半径为,则有 所以,所以球的体积为,又球与三棱锥的三个面和球都相切, 则设平面平面,且球和球均与平面相切于点,如下图所示, 则球是三棱锥的内切球,设其半径为, 故,因此在正四面体中,, 所以球的表面积为,故答案为:;. 冲高考 1．（2024·四川德阳·模拟预测）设底面为菱形且高为的直四棱柱中，已知底面边长为正整数且为定值，，若矩形内的点满足的轨迹长度为.设点为三棱柱的外接球上一点，则四棱锥体积的最大值为 【答案】3 【分析】利用线面垂直关系，结合勾股定理将转化为，结合几何不等关系建立不等关系解，再由空间直观确定三棱柱的外接球球心，进而求解球心到平面的距离，结合定底动高特点求体积最大值即可. 【详解】在底面中，过作，垂足为，连接， 直四棱柱中，平面，平面， 则，又平面，且平面， 又，故平面，又平面， 所以， 在中，， 在菱形中，由，则，又边长， 可得，又， 则， ， 故点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 又点在矩形内，如图可知， 即，解得， 由题意为正整数，故. 验证知，，， 故点轨迹为如图圆心角为，半径为的圆弧，弧长为，满足题意. 点为三棱柱的外接球上一点，且与为正三角形， 分别在上下底面取与的中心，再取的中点, 由球、直棱柱的对称性及正三角形的性质可知， 即为三棱柱的外接球球心. ， 四边形是平行四边形，则，即 又， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 则平面，故球心到平面的距离即到平面的距离， 在底面内，连接，由为正三角形可知，， 又， 又平面，平面， 则，又平面，且平面， 又，平面， 即为到平面的距离，. 球半径. 要求四棱锥体积的最大值， 而矩形的面积为，为定值， 故当点平面的距离最大时，体积取到最大值， 当且仅当时，四棱锥体积最大， 最大值.故答案为：. 2．（24-25高三下·福建·阶段练习）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时， ． 【答案】 【分析】利用等面积法求出内切球半径，再结合基本不等式找到内切球半径最大时的取等条件，再利用圆心角公式求解即可. 【详解】设扇形面积为，圆锥的底面半径为，母线长为，高为，内切球半径为， 而，由勾股定理得， 而圆锥的内切球在轴截面中与等腰三角形三边相切， 我们以内切球的球心为顶点，向等腰三角形三边作垂线， 可将其分割为三个小三角形，其中两个小三角形以母线为底，内切球半径为高， 另一个小三角形以底面圆直径为底，内切球半径为高， 由题意得圆锥轴截面的面积与以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和相等， 而轴截面面积为，而以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和为 ，故，解得， 则该圆锥的内切球半径，由扇形面积公式得，即， 且记为定值，故，即，而， 因为 ， 由基本不等式得， 而， 即，当且仅当时取等，此时， 设圆锥的内切球体积为，而由球的体积公式得， 由幂函数性质得当圆锥的内切球体积最大时，圆锥的内切球半径最大， 而，解得， 当最大时，由弧长公式得. 故答案为：. 3．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）如图，在长方体中，分别为 的中点，在平面内运动，且与所成的角为在线段上运动，若为的内心，则的值为 . 【答案】1 【分析】构建空间直角坐标系，设，根据异面直线夹角的向量表示列方程求在面上的轨迹方程为，在面上结合已知分析得到直线一定与直线重合，即为中点，进而求出坐标及到轴、直线距离，应用三角形面积公式即可求答案. 【详解】构建如下图示空间直角坐标系，则， 设，则，，而， 又与所成的角为，即与所成的角为， 所以，故， 所以在面上的轨迹如下图示， 又为的内心，故到轴距离与到直线距离相等，即， 而在线段上运动，显然是边长为2的正方形的对角线， 综上，直线一定与直线重合，此时为中点， 所以，，且， 将代入，可得（根据对称性取正值即可），所以， 综上，，，则. 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：利用异面直线夹角的向量表示求出在面上的轨迹，结合题设分析的位置，并求出M坐标为关键. 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为 . 【答案】 【分析】先判断出公共部分的位置，然后利用锥体体积公式来求得正确答案. 【详解】记， 由于， 则为的第一个三等分点（靠近），连，是的中点， 由于平面， 所以到平面的距离是到平面的独立的一半， 则公共部分是三棱锥， 又，作，垂足为， 根据长方体的性质可知平面， 所以面，由等面积法可得， 所以，故.故答案为：    5．（2024高三·全国·专题练习）已知某三棱锥各条棱都相等．若以其外接球的球心为球心作半径为的球，球面与此三棱锥的四个面相交所成曲线的总长度为，则此三棱锥的棱长为 ． 【答案】或 【分析】先求得正三棱锥的高为，利用等体积法球心到三棱锥各个面的距离，半径为的球与三棱锥四个面相交所成曲线的总长度为，则球在一个平面上所截曲线长为，其可能是一个小圆，也有可能是三段圆弧，进而分类计算可求边长．【详解】设三棱锥的棱长为， 顶点在底面的投影为正的中心，由题意可求得， 则高． 记球心到三棱锥各个面的距离为， 由等体积法，，解得． 半径为的球与三棱锥四个面相交所成曲线的总长度为， 则球在一个平面上所截曲线长为，其可能是一个小圆，也有可能是三段圆弧． 若球在一个平面上所截曲线是一个小圆（如图），其长度为，则其半径为， 球心到此平面的距离为，解得． 若球在一个平面上所截曲线是三段圆弧（如图）， 圆心为，每段弧长为，小圆的半径为， 则长度为的弧对应的圆心角．记为的中点， ．又， 则，解得． 令，则 ， 函数在单调递增，且最多有一个零点． 观察到时，， 此时，符合题意．综上，此三棱锥的棱长为或． 【点睛】关键点点睛：本题第二种情况的解决关键是，分析得后，利用导数判断方程的解的个数问题，进而求得方程的解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 立几体几何截面及动点压轴小题 目录 题型01 截面：截面基础型 1 题型02 截面：恒平行型 3 题型03 截面：恒垂直型 5 题型04 截面：最值型 6 题型05 截面：球截面型 7 题型06 动点型截面：相等角度型 8 题型07 动点型截面：截面分体积 9 题型08 动点型：压轴单选题 11 题型09 动点型：压轴小题 12 题型01 截面：截面基础型 【解题规律·提分快招】 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥， 球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清 楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。。 一般地，立体几何中的截面问题，有两种处理方法： 1.是利用平行关系找交线， 2.是利用共面直线延长相交得交点. 【典例1-1】 （24-25高三 上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-2】 （24-25高三上·安徽六安·阶段练习）在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（    ） A．不存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 【变式1-1】 （2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三·江苏无锡·模拟）如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【变式1-3】 （2024高三·全国·专题练习）已知四面体的各个顶点都在球O的表面上，，，两两垂直，且，，，E是棱BC的中点，过E作四面体外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（   ） A． B． C． D． 题型02 截面：恒平行型 【解题规律·提分快招】 如果是线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题 【典例1-1】 （2022·江西萍乡·三模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面上运动，且满足平面.以下命题中，正确的个数为（    ） ①侧面上存在点，使得； ②直线与直线所成角可能为30°； ③设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为. A．0 B．1 C．2 D．3 【典例1-2】 （23-24高三·四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（    ） A． B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点，使得 D．直线与直线所成的角可能为 【变式1-1】 （22-23高二上·重庆荣昌·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，过的平面与平面平行，以平面截该正方体得到的截面为底面，为顶点的棱锥记为棱锥，则棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （20-21高三·云南·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（    ） A．不存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形 【变式1-3】 （2022·浙江温州·二模）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（    ） A．存在平面和点，使得平面 B．存在平面和点，使得平面 C．对任意的平面，线段平分线段 D．对任意的平面，线段平分线段 题型03 截面：恒垂直型 【解题规律·提分快招】 证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理； 三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化； 另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 【典例1-1】 （2021·全国·模拟预测）已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【典例1-2】 （22-23高二上·浙江温州·期末）正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2021·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高一下·湖北武汉·期末）已知正方体，的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，平面，下列说法正确的是（   ） A．若点为中点，当最小时， B．当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大 C．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 D．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为 【变式1-3】 （18-19高一上·广东中山·期末）如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　 当时，为四边形； 当时，为等腰梯形； 当时，与交点R满足； 当时，为六边形； 当时，的面积为． A． B． C． D． 题型04 截面：最值型 【典例1-1】 （2020·湖北荆门·二模）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，有下列结论： ①若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为； ②若在线段上运动，则的最小值为； ③若在以为直径的球面上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为； ④若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为. 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高一下·湖北武汉·阶段练习）在三棱锥中，和都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为（ ） A．24π B．25π C．26π D．27π 【变式1-1】 （高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过 点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．给出下列命题： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与C1D1的交点R满足； ④当时，S为六边形； ⑤当时，S的面积为其中正确的是 A．①②③ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 【变式1-2】 （19-20高一上·河南驻马店·期末）正方体的棱长为1，，为线段，上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题：①当且时，为等腰梯形；②当，分别为，的中点时，平面；③当，分别为，的中点时，异面直线与成角；④无论在线段任何位置，恒有平面平面；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】 （22-23高三上·福建福州·开学考试）在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 题型05 截面：球截面型 【解题规律·提分快招】 用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面不经过球心，所得的截面称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。且满足勾股数组 【典例1-1】 （24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （23-24高二下·安徽安庆·期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，N点在边AD上且，将沿BD翻折到的位置，使得. 空间四点，B，C，D的外接球为球O，过N点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （23-24高一下·河南驻马店·期末）已知正四面体内接于球O，E为底面三角形ABC中边BC的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2018·湖南长沙·一模）已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 A． B． C． D． 题型06 动点型截面：相等角度型 【典例1-1】 （20-21高三上·湖南衡阳·阶段练习）在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高二下·江西南昌·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 【变式1-1】 （2024·河南·二模）已知在三棱锥中，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高三上·广东广州·阶段练习）在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （22-23高三上·湖北·开学考试）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为(    ) A． B． C． D． 题型07 动点型截面：截面分体积 【解题规律·提分快招】 相似形与相似体： 1.如果三角形被平行于底边的平行线所截，那么截得的小三角形和原三角形是相似三角形 2.如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所截得的小三棱锥与原棱锥是相似体 3.如果三角形被“不平行于底边”的直线所截，所截的的小三角形和原三角形是“相似形” 4.如果棱锥被“不平行于底面的平面”所截，那么所截得的小三棱锥与原棱锥是相似体 5.如果是平行底面，则面积比等于相似比平方，体积比等于相似比立方。 如果“不平行于底面”，则面积比等于所截的线段比之积（两边比积）。体积比等于所截的的棱的线段比之积（三跳棱的比之积） 【典例1-1】 （20-21高三上·安徽芜湖·期末）如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为 A． B． C． D． 【典例1-2】 （2023·安徽蚌埠·一模）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2022·河南南阳·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点P是棱AB上的动点，过，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7：25的两部分，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2017·江西九江·三模）如图所示，在正方体中，点在棱上，分别是棱的中点，过三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2020高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 题型08 动点型：压轴单选题 【典例1-1】 24-25高二上·福建福州·期中）三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高三下·河北邢台·阶段练习）在三棱锥中，是等边三角形，，，且，点是棱的中点，则平面截三棱锥外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2022安徽合肥·一模）已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-2】 （2024·湖北·二模）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 题型09 动点型：压轴小题 【典例1-1】 （24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知四棱锥的高为2，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为 ；若点在底面投影点为菱形中心，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【典例1-2】 （22-23高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【变式1-1】 （22-23高三上·湖北·开学考试）在三棱锥中，底面，，，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为 . 【变式1-2】 （20-21高三上·安徽合肥·阶段练习）已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若，且三棱锥的外接球半径为3，则的最大值为 ． 【变式1-3】 （19-20高三下·山东·阶段练习）已知正方体的棱长为，其内有2个不同的小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，则球的体积等于 ，球的表面积等于 ． 冲高考 1．（2024·四川德阳·模拟预测）设底面为菱形且高为的直四棱柱中，已知底面边长为正整数且为定值，，若矩形内的点满足的轨迹长度为.设点为三棱柱的外接球上一点，则四棱锥体积的最大值为 2．（24-25高三下·福建·阶段练习）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时， ． 3．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）如图，在长方体中，分别为 的中点，在平面内运动，且与所成的角为在线段上运动，若为的内心，则的值为 . 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为 . 5．（2024高三·全国·专题练习）已知某三棱锥各条棱都相等．若以其外接球的球心为球心作半径为的球，球面与此三棱锥的四个面相交所成曲线的总长度为，则此三棱锥的棱长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$