精品解析：河南省信阳市商城县丰集高级中学2024-2025学年高三下学期开学数学试题

2025届高三检测数学 本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象在区间上的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知复数满足，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 工厂质检科从标准质量为的一批奶粉中，随机抽查了100袋，测得的质量数据如下表（单位：）：（ ） 质量 频数 11 25 28 20 12 4 A. 这100袋产品质量的中位数为 B. 这100袋产品质量的极差介于到之间 C. 这100袋产品质量的75%分位数为 D. 这100袋产品质量的平均数大于 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 记的内角，，的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则_____． 13. 已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 14. 已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点． （1）求的方程并求点到直线的距离； （2）把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程． 16. 如图，在圆台中，，分别是上、下底面直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，． （1）证明：平面； （2）若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17. 生物工程科研小组为研究某显性基因与患疾病之间的关系，从某地区基因信息库中随机抽取了2000份，得到如下数据： 患疾病 不患疾病 合计 携带显性基因 100 200 300 不携带显性基因 440 1260 1700 合计 540 1460 2000 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为患有疾病与携带显性基因有关？请说明理由； （2）用频率估计概率，在所有参加调查者中按是否携带显性基因进行分层抽样，并随机抽取了20份基因样本，再从这20份样本中随机抽取2份样本进行家族患病史分析，记2份基因样本中来自于携带显性基因且患疾病的份数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的一个极大值点． （i）证明：； （ii）设，，是3个极值点，若存在，使得，，，成递增的等差数列，求该等差数列的公差． 19. 已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴． （1）若，写出一组，，，使得和关于3相伴； （2）是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由； （3）证明：若和关于相伴，则存在正整数，使得对任意，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三检测数学 本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可求得集合，再由交集和并集、补集的运算可判断结果. 【详解】由题意可得，，所以A错误； 又或，可得或，所以B错误； 因为，所以或，所以C错误； 因为，所以，所以D正确． 故选：D 2. 函数的图象在区间上的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用整体思想，结合正弦函数的对称轴，建立方程，可得答案. 【详解】令，解得，当时，， 故函数在区间上的对称轴方程为． 故选：D. 3. 在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用线面平行的判定推理判断CD；证明与相交不垂直判断AB. 【详解】在正四棱锥中，，令，连接， 在中，由E，F分别是边的中点，得，是线段的中点， 而为中点，则，又平面，平面， 因此平面，C正确，D错误； 由平面，平面，得，与相交不垂直， 又，且平面，因此与相交不垂直，AB错误. 故选：C 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的解，再利用充分条件与必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为， 当时，，充分性成立； 由，得或，， 即或，，显然不一定成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5. 已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得每个选项中函数的解析式，利用奇函数的定义一一判断，即可确定答案. 【详解】对于A，，定义域为R， 则，即不是奇函数； 对于B，，定义域为R， 则，即不是奇函数； 对于C，，定义域为R， ，即为奇函数，C正确； 对于D，，定义域为R， ，即不奇函数， 故选：C 6. 设函数，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析分段函数的单调性，结合单调性化简，求出，由此可求结论. 【详解】当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 又，若，此时，不合题设， 所以，即， 由，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以． 故选：C. 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先设点的坐标，再联立抛物线计算求解点，最后应用平行线距离计算求解. 【详解】由题意得，，，， 设点D，E的坐标分别为，， 直线AD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，所以， 同理直线BD：，联立抛物线方程得， 得，解得，，可得， 所以两条反射光线，之间的距离． 故选：B. 8. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入化简得，可得复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，则可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率，结合图形可求得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 故复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆． 又可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率， 如图，直线与单位圆分别切于点，， 因为和都为锐角， 所以， 所以，即的最大值为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 工厂质检科从标准质量为的一批奶粉中，随机抽查了100袋，测得的质量数据如下表（单位：）：（ ） 质量 频数 11 25 28 20 12 4 A. 这100袋产品质量的中位数为 B. 这100袋产品质量的极差介于到之间 C. 这100袋产品质量的75%分位数为 D. 这100袋产品质量的平均数大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据中位数、极差、百分位数、平均数的定义一一判断求解. 【详解】对于A，产品质量的中位数落在上，不可能为，故A错误； 对于B，极差最大为=，最小为=，故B正确； 对于C，75%分位数落在上，设为，则，解得，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均数大于等于，所以D正确． 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用的单调性得出，再将作商法、指数函数的单调性相结合即可. 【详解】因为，所以， 对于A，所以，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，又因为，所以，故D错误． 故选：AC 11. 记的内角，，的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用几何关系得，结合条件及正弦定理可得，即可求解；对于B，在边上取一点，使得，结合条件得，，在中，利用正弦定理，即可求解；对于C，利用选项A和B中结论，通过变形，即可求解；对于D，利用C中结果得，再结合，即可求解. 【详解】对于选项A，如图，易知，又， 由正弦定理可知，即， 故，故A错误， 对于选项B，在边上取一点，使得， 则，，， 故，，在中，由正弦定理可得，即， 故，即，故B正确； 对于选项C,由选项A知， 故，即，得到， 又由选项B知，，可得， 故，即，故C正确； 对于选项D，由选项C知， 故，即，得到， 又，可得，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用几可关系得到，再利用正、余弦定理来解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算及已知可得，再由运算律求即可. 【详解】根据题意有，故， 所以，． 故答案为：. 13. 已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式定理展开式的通项公式求二项式的通项公式，由条件列方程求，再确定常数项的项数及常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 ，， 所以的展开式中第三项和第四项的二项式系数分别为，， 由题意知，解得， 所以展开式的通项为， 令，得，所以常数项为． 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 【答案】或2 【解析】 【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解. 【详解】设，， 因为，所以，设， 因为，所以所以，即， 因为，且，所以， 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）； 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：或2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点． （1）求的方程并求点到直线的距离； （2）把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出，再利用面积法求出距离. （2）利用差角的正切公式求出直线的，再利用直线的点斜式方程求出的方程. 【小问1详解】 依题意，，即，由点在上，得， 解得，，即，，半焦距，因此双曲线的方程为， 点，，在中，设点到直线的距离为， 由，解得， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 记直线，的倾斜角分别为和，由（1）得直线的斜率， 而，则直线的斜率， 所以直线的方程为. 16. 如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，． （1）证明：平面； （2）若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面平面，即可证平面，结合证明，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设点S的坐标，利用空间角的向量求法，即可求出S点坐标，从而求得答案. 【小问1详解】 证明：因为平面平面， 所以平面平面， 因为，，， 所以≌， 所以， 所以， 又因为平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 又因为，，所以四边形为菱形， 在直角梯形中，， 则，故， 所以为等边三角形， 又因为为中点，所以， 又因为平面平面，且平面， 所以平面． 【小问2详解】 解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 结合（1）可知， 则，，，， 所以， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量可取为， 设，则， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面与平面所成的角为， 因为，所以， 所以， 所以，所以，， 所以点的坐标为或， 此时． 17. 生物工程科研小组为研究某显性基因与患疾病之间的关系，从某地区基因信息库中随机抽取了2000份，得到如下数据： 患疾病 不患疾病 合计 携带显性基因 100 200 300 不携带显性基因 440 1260 1700 合计 540 1460 2000 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为患有疾病与携带显性基因有关？请说明理由； （2）用频率估计概率，在所有参加调查者中按是否携带显性基因进行分层抽样，并随机抽取了20份基因样本，再从这20份样本中随机抽取2份样本进行家族患病史分析，记2份基因样本中来自于携带显性基因且患疾病的份数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 【答案】（1）有关，理由见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据代入公式计算求解即可； （2）先根据分层抽样确定携带显性基因的样本有3份，不携带显性基因的样本有17份，再由频率估计概率知携带显性基因患病的概率为，不患病的概率为，进而确定可能的取值，再结合全概率公式求出分布列，进而求解期望. 【小问1详解】 零假设为：分类变量与相互独立，即患有疾病与携带显性基因无关， 根据列联表中的数据，可以计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为患有疾病与携带显性基因有关，此推断犯错误的概率不大于． 【小问2详解】 因为携带显性基因与不携带显性基因的比为， 所以由分层抽样知，随机抽取的20份样本中， 携带显性基因的样本有3份，不携带显性基因的样本有17份． 根据频率估计概率知，携带显性基因患病的概率为，不患病的概率为， 从选出的20份样本中随机抽取2份，则可能的取值为0，1，2． “2份被抽取的基因样本中，恰好抽到份携带显性基因”记为事件， 则， “抽取的2份基因样本中来自于携带显性基因且患疾病的样本恰好为份”记为事件， 则，，，， ，， 所以 ， ， ， 故的分布列如下： 0 1 2 ． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的一个极大值点． （i）证明：； （ii）设，，是的3个极值点，若存在，使得，，，成递增的等差数列，求该等差数列的公差． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求得切线斜率，即可求解； （2）（i）求导，构造函数，由是的一个极大值点，得到，即可求解； （ii）由等差数列概念得到，求得，进而可求解； 【小问1详解】 解：当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 （i）证明：由题意得， 记，， 当时，即恒成立， 易知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的一个极小值点，不合题意，舍去； 当时，得或， 所以有两个不同的根，，不妨设， 依题意：若是的一个极大值点，则必有， 此时， 即，所以，得证； （ii）解：由（i）知，， ， 因为，，，成等差数列， 所以， 故， 此时，，，成等差数列， 所以，解得， 整理得，解得或， 又因为，或，所以， 又，即， 所以， 所以该数列的公差为． 19. 已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴． （1）若，写出一组，，，使得和关于3相伴； （2）是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由； （3）证明：若和关于相伴，则存正整数，使得对任意，． 【答案】（1），，（答案不唯一） （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而结合新定义可得，写出满足要求的答案即可； （2）先假设存在，进而推导出矛盾，即可求证； （3）结合新定义求证即可. 【小问1详解】 由，则，，， 则，要使和关于3相伴，则， 则，，（答案不唯一）. 【小问2详解】 不存在，理由如下： 假设存在和关于相伴，且关于相伴， 则，，，，， 且，． 故，，，． 又，，故． 同理有，，这与和为两个不同的数列矛盾，所以假设不成立． 故不存在和关于相伴，且关于相伴. 【小问3详解】 证明：设，，集合． 记，，， 则，， 故． 所以当时，对任意，， 即，，，， 又 ， ，，，， 故对上述的，存在，使得对任意，． 对任意，设，其中，且， 因为，，，且， 故对任意． 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$