河南省信阳市商城县丰集高级中学2024-2025学年高三下学期开学数学试题

2025届高三检测数学 本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象在区间上的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 工厂质检科从标准质量为的一批奶粉中，随机抽查了100袋，测得的质量数据如下表（单位：）：（ ） 质量 频数 11 25 28 20 12 4 A. 这100袋产品质量的中位数为 B. 这100袋产品质量的极差介于到之间 C. 这100袋产品质量的75%分位数为 D. 这100袋产品质量的平均数大于 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 记的内角，，的对边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则_____． 13. 已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 14. 已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点． （1）求的方程并求点到直线的距离； （2）把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程． 16. 如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，． （1）证明：平面； （2）若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17. 生物工程科研小组为研究某显性基因与患疾病之间的关系，从某地区基因信息库中随机抽取了2000份，得到如下数据： 患疾病 不患疾病 合计 携带显性基因 100 200 300 不携带显性基因 440 1260 1700 合计 540 1460 2000 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为患有疾病与携带显性基因有关？请说明理由； （2）用频率估计概率，在所有参加调查者中按是否携带显性基因进行分层抽样，并随机抽取了20份基因样本，再从这20份样本中随机抽取2份样本进行家族患病史分析，记2份基因样本中来自于携带显性基因且患疾病的份数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的一个极大值点． （i）证明：； （ii）设，，是的3个极值点，若存在，使得，，，成递增的等差数列，求该等差数列的公差． 19. 已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴． （1）若，写出一组，，，使得和关于3相伴； （2）是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由； （3）证明：若和关于相伴，则存在正整数，使得对任意，． 2025届高三检测数学 本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1），； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） 证明：因为平面平面， 所以平面平面， 因为，，， 所以≌， 所以， 所以， 又因为平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 又因为，，所以四边形为菱形， 在直角梯形中，， 则，故， 所以为等边三角形， 又因为为中点，所以， 又因为平面平面，且平面， 所以平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1）有关，理由如下： 零假设为：分类变量与相互独立，即患有疾病与携带显性基因无关， 根据列联表中的数据，可以计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为患有疾病与携带显性基因有关，此推断犯错误的概率不大于． （2）的分布列如下： 0 1 2 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明: 由题意得， 记，， 当时，即恒成立， 易知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的一个极小值点，不合题意，舍去； 当时，得或， 所以有两个不同的根，，不妨设， 依题意：若是的一个极大值点，则必有， 此时， 即，所以，得证； （ii） 【19题答案】 【答案】（1），，（答案不唯一） （2）不存在，理由如下： 假设存在和关于相伴，且关于相伴， 则，，，，， 且，． 故，，，． 又，，故． 同理有，，这与和为两个不同的数列矛盾，所以假设不成立． 故不存在和关于相伴，且关于相伴. （3）证明： 设，，集合． 记，，， 则，， 故． 所以当时，对任意，， 即，，，， 又 ， ，，，， 故对上述的，存在，使得对任意，． 对任意，设，其中，且， 因为，，，且， 故对任意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $