专题18 图形的对称、平移与旋转（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题18 图形的对称、平移、旋转 课标要求 考点 考向 一、图形的轴对称 1. 通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 2. 能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。 3. 理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。 4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 二、图形的旋转 5. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质： 一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。 6. 了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 7. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。 8. 认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。 三、图形的平移 9. 通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。 10. 认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。 11. 运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。 图 形 的 对 称、 平 移、 旋 转 考向一 轴对称图形与轴对称 考向二 中心对称图形与中心对称 考向三 轴对称图形与中心对称图形 考向四 图形的平移 考向五 图形的旋转 考向六 图形的折叠问题 考向七 最值问题 考向八 作图问题 考点一 图形的对称、平移、旋转 ►考向一 轴对称图形与轴对称 解题技巧 轴对称图形 轴对称 区 别 (1)具有某种特性的一个图形； (2)会涉及所有对称轴 (1)两个图形的位置关系； (2)只针对一条对称轴 总 结 (1)关于某条直线对称的两个图形是全等图形； (2)轴对称变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； (3)对应点的连线被对称轴垂直平分； (4)两个图形关于某条直线对称，若对应线段或其延长线相交，则交 点在对称轴上 1．（2021•鄂州）“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此判断即可． 【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． ►考向二 中心对称图形与中心对称 解题技巧 1.中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 2.中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 3.中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 4.中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. 2．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3．（2023•恩施州）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 4．（2023•黄石）下列图案中，（　　）是中心对称图形． A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念解答即可． 【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键． 5．（2022•宜昌）将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，所以D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． ►考向三 轴对称图形与中心对称图形 6．（2022•黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．温州博物馆 B．西藏博物馆 C．广东博物馆 D．湖北博物馆 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 7．（2022•襄阳）襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃圾分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 8．（2022•恩施州）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据各个选项中的图形，可以写出是否为中心对称图形或轴对称图形，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：选项A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 选项B中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项B符合题意； 选项C中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意； 选项D中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，写出各个图形是否为中心对称图形或轴对称图形． 9．（2021•黄石）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A．梯形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． ►考向四 图形的平移 解题技巧 1.平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 10．（2021•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　 　． 【分析】直接利用平移的性质得出B点坐标，再利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：∵将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B， ∴B（1，2）， 则点B关于x轴的对称点C的坐标是（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）． 【点评】此题主要考查了点的平移以及关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 11．（2021•湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的坐标为 　 　． 【分析】观察图象可知，奇数点在第三象限，由题意P1（﹣1，﹣1），P3（﹣2，﹣2），P5（﹣3，﹣3），•••，P2n﹣1（﹣n，﹣n），即可解决问题． 【解答】解：观察图象可知，奇数点在第三象限， ∵P1（﹣1，﹣1），P3（﹣2，﹣2），P5（﹣3，﹣3），•••，P2n﹣1（﹣n，﹣n）， ∴P2021（﹣1011，﹣1011）， 故答案为：（﹣1011，﹣1011）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． ►考向五 图形的旋转 解题技巧 1.旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 2.旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． 3.旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 12．（2021•黄石）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2） 【分析】利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′可得结论． 【解答】解：观察图象，可知C′（﹣2，3）， 故选：B． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． 13．（2024•湖北）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　） A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6） 【分析】根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝∠A+∠AOM＝90°， ∴∠A＝∠BON． 在△AOM和△OBN中， ， ∴△AOM≌△OBN（AAS）， ∴BN＝MO，ON＝AM． ∵点A的坐标为（﹣4，6）， ∴BN＝MO＝4，ON＝AM＝6， ∴点B的坐标为（6，4）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． ►考向六 图形的折叠问题 14．（2023•宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　 ． 【分析】可证∠ADE＝∠AED，得到AD＝AE，再证四边形A′EBC是平行四边形，可得四边形A'EBC的周长＝2（A′C+A′E），即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠AED＝∠A′DE， 由折叠得∠ADE＝∠A′ED，AD＝A′D，AE＝A′E， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AD＝AE＝A′D＝A′E， ∴AB﹣BE＝CD﹣A′D， ∴A′C＝BE， ∴四边形A′EBC是平行四边形， ∴四边形A'EBC的周长＝2（A′C+A′E）＝2（A′C+A′D）＝2CD＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解决问题的关键． 15．（2023•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将△BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为 　 ． 【分析】取BC中点H，连接AH，作DG⊥BC，DM⊥BE，设EF＝a，由折叠的性质得到AD＝CD＝DE＝x，得到cos∠ABC＝cos∠BED，从而推导出a，由三角形中位线定理得到BG，从而推导出△EMD≌△CGD（AAS），得到四边形MBGD是正方形，DG，AH＝15，最后利用勾股定理解答即可． 【解答】解：方法一：取BC中点H，连接AH，过点D作DG⊥BC于点G，DM⊥BE于点M．如图1， 设EF＝a，AD＝CD＝DE＝x，则DF＝x﹣a． ∵AB＝AC， ∴AB＝2x，∠ABC＝∠ACB，BH＝HC＝5． 又由折叠得∠ACB＝∠BED，BE＝BC＝10， ∴∠ABC＝∠BED， ∴cos∠ABC＝cos∠BED，即 ， ∴， 解得：a， ∴DF＝x﹣a＝x， ∵D 是AC中点，DG⊥BC， ∴DG是△AHC的中位线， ∴CGCH， ∴BG， 由折叠知∠DEM＝∠DCG，ED＝CD， 在△EMD和△CGD中， ， ∴△EMD≌△CGD（AAS）， ∴DG＝MD． ∵DE⊥AB， ∴∠EFB＝90°， ∴∠DEB+∠EBF＝90°． 又∵∠CAH+∠ACB＝90°，且∠ACB＝∠DEB， ∴∠EBF＝∠CAH， ∴∠EBF+∠ABC＝90°， ∴∠DMB＝∠MBG＝∠BGD＝90° ∴四边形 MBGD是正方形， ∴DG＝BG， ∴AH＝2DG＝15． 在 Rt△AHC中，AH2+HC2＝AC2， ∴152+52＝（2x）2， 解得：x， ∴a，x﹣a，即AD，DF， 在 Rt△AFD中，AF2； 方法二：如图2，连接CE交BD于G， 由轴对称可得BD垂直平分CE，由DA＝DC＝DE可得∠AEC＝90°， 设∠DCG＝x，则∠ADE＝2x， 由DE⊥AB得∠DAF＝90°﹣2x， 在等腰△ABC中，底角∠ACB＝45°+x， ∴∠BCG＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴； 设DG＝m，则AE＝2m， 在等腰△DAE中导角可得∠EAF＝x， 过点B作BH⊥AE交AE延长线于H，则△CDG与△ABH相似， ∴， 解得， ∴， ∴AF＝AE•cosx2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解． 16．（2023•湖北）如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝　 　． 【分析】在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x 于点F，在 Rt△CEF 中，解直角三角形可得 ，，再证明△CAE≌△ABD（AAS），则 AE＝BD，求得 ，在Rt△BOD中，得 ，解方程即可求得答案． 【解答】解：方法一：在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x轴于点F， ∵点C的坐标为（7，h）， ∴OF＝7，CF＝h， 在Rt△CEF中，∠CEF＝180°﹣∠AEC＝60°，CF＝h，，，∠BAC＝120°，∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵AB＝CA， ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴，AE＝BD， ∵点A（3，0）， ∴OA＝3， ∴ 在Rt△BOD中，∠BDO＝180°﹣∠ADB＝60°，BD， ∴， ∵OA+AE+EF＝OF， ∴， 解得 ， 方法二：将△AOB绕点A顺时针旋转120度，得到三角形ACD，延长DC交x轴于点E，在直角三角形ADE中，∠DAE＝60°，则AE＝2AD＝2OA＝6，过点C作CF⊥x轴于点F， 则CF＝h，AF＝7﹣3＝4， 所以EF＝6﹣4＝2， 在直角三角形CEF中h＝EF•tan30° .故答案为：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键． 17．（2023•黄石）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，AD＝4，BB′，则∠BAB′＝　 　（从“∠1，∠2，∠3”中选择一个符合要求的填空）；DE＝　 　． 【分析】由旋转的性质即可求出∠BAB′＝∠1，连接DD'，由相似三角形的性质可求DD'的长，再证点D′、D、C′在同一条直线上，然后证△CEB′∽△C'ED，即可求解． 【解答】解：由旋转的性质得：∠BAD＝∠B′AD′， ∵∠BAB′+∠B′AD＝∠BAD，∠1+∠B′AD＝∠B′AD′， ∴∠BAB′＝∠1， 如图，连接DD'， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴CB′＝BC﹣BB′＝4， 由旋转得：AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4， ∵∠BAB′＝∠1， ∴∠AD′D＝∠AD′D＝∠AB′B＝∠B， ∴△BAB′∽△DAD′， ∴，即， 解得：DD′＝2， 由旋转的性质得：四边形AB′C′D′是平行四边形，∠AB′C′＝∠B，AB′＝AB＝3，∠C′＝∠ECB′，B′C′＝BC＝4， ∴∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，C′D′＝AB′＝3， ∵∠AD′D＝∠B＝∠AB′B， ∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′、D、C′在同一条直线上， ∴DC′＝C′D′﹣DD′＝3﹣2＝1， ∵∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC， ∴△CEB′∽△C'ED， ∴， 即， 设DE＝x，B′E＝y， ∴， 解得：x， ∴DE， 故答案为：∠1；． 【点评】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△CEB′∽△C'ED是解题的关键． 18．（2023•恩施州）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F． （1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度数； （2）连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据翻折的性质和三角形的外角定义即可解决问题； （2）根据翻折的性质和矩形性质证明GE＝GB，GF＝GA，所以AE＝BF，得F是BC′的中点，证明四边形C′D′EF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， 由翻折可知：D′E＝DE， ∴AE＝D′E， ∴∠EAD′＝∠ED′A， ∵∠DED′＝∠EAD′+∠ED′A＝70°， ∴∠DAD′＝35°； （2）四边形C′D′EF是矩形，理由如下： 如图，连接EF， 由翻折可知：∠EBC＝∠EBG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC＝∠GEB， ∴∠GBE＝∠GEB， ∴GE＝GB， ∵ED′∥BC′， ∴∠AFG＝∠AD′E， ∴∠AFG＝∠GAF， ∴GF＝GA， ∴AE＝BF， ∵AD＝2AE＝BC′， ∴BC′＝2BF， ∴F是BC′的中点， ∴FC′BC′， ∵ED′＝EDAD， ∴FC′＝ED′， ∵ED′∥BC′， ∴四边形C′D′EF是平行四边形， ∵∠C′＝∠C＝90°， ∴四边形C′D′EF是矩形． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形的外角定义，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解决本题的关键是得到F是BC′的中点． 19．（2023•湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM． （1）求证：∠AMB＝∠BMP； （2）若DP＝1，求MD的长． 【分析】（1）利用平行线内错角相等和翻折前后对应角相等，等量代换即可证明； （2）利用相似列出关系式，利用边的关系代入到关系式可求出． 【解答】（1）证明：点B、M关于线段EF对称，由翻折的性质可知：∠MBC＝∠BMP， ∵ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠MBC＝∠AMB， ∴∠AMB＝∠BMP（等量代换）． （2）解：设MD＝x，则AM＝3﹣x，设AE＝y，则EM＝EB＝3﹣y． 在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2， ∴y2+（3﹣x）2＝（3﹣y）2， ∴yx2+x．即AEx2+x． ∵∠ABC＝∠EMN＝90°， ∴∠AME+∠DMP＝90°， 又∵∠AEM+∠AME＝90°， ∴∠AEM＝∠DMP，∠A＝∠D， ∴△AEM∽△DMP． ∴，， 整理得：， ∴x． ∴MD． 【点评】本题考查了翻折的性质以及相似三角的判定，勾股定理的应用，掌握一线三垂直的相似是本题突破的关键． ►考向七 最值问题 20．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝　 　，FB+FD的最小值为 　 ． 【分析】首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长． 【解答】解：如图， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB， ∴∠BAE∠BAC＝30°， ∵△BEF是等边三角形， ∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△BAE和△BCF中， ， ∴△BAE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠BCF＝30°， 作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长． ∵∠DCF＝∠FCG＝30°， ∴∠DCG＝60°， ∵CD＝CG＝5， ∴△CDG是等边三角形， ∴DB＝DC＝DG， ∴∠CGB＝90°， ∴BG5， ∴BF+DF的最小值为5， 故答案为：30°，5． 【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 21．（2023•十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　 　，最大值为 　 ． 【分析】根据题意，可固定四边形GFCE，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值． 【解答】解：如图， BC＝4，AC＝42，CI＝BD＝CEAC，DI＝BC＝4， ∴四边形BCID周长＝4+4+28+2； 如图， AF＝AI＝IC＝FC＝2， ∴四边形AFCI周长为2×4＝8； 故答案为：8，8+2． 【点评】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键． 22．（2023•随州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　 　；DP的最大值为 　 　． 【分析】△CDP的面积直接以CD为底，AD为高即可求；当点P和M重合时，DP的值最大，画出图形，利用勾股定理构造方程即可解答． 【解答】解：△CDP的面积为 ； 由题意可得△CDP的面积等于矩形ABCD的一半，∴△CDP的面积为 ； 在Rt△APD中，PD， 当AP最大时，DP最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C、N、M三点共线，此时点P和M重合，DP的值最大，如图； 设AP＝x，则PB＝5﹣x，DN＝4， ∴CN＝3， 在Rt△PBC中，根据勾股定理有：（5﹣x）2+42＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴DP＝2， 故答案为：10，2， 【点评】本题考查矩形的性质和翻折的性质及勾股定理，熟悉性质是解题关键． ►考向八 作图问题 23．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB； （2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：∠OCB的度数为 　 　． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A的对称点B，从而得到OB； （2）延长AO到C点使OC＝OA，则△COB满足条件； （3）先根据旋转的性质得到OB＝OA，∠AOB＝90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°，然后利用对称的性质得到∠OCB的度数． 【解答】解：（1）如图，OB为所作； （2）如图，△COB为所作； （3）∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB， ∴OB＝OA，∠AOB＝90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠OAB＝45°， ∵△COB与△AOB关于直线OB对称， ∴∠OCB＝∠OAB＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换． 24．（2023•武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°； （2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD． 【分析】（1）取格点F，连接BF，连接 EF，再取格点P，连接CP交EF于Q，连接BQ，延长交CD于G即可； （2）取格点F，连接 BF、EF，交格线于N，再取格点P，Q，连接PQ交EF于O，连接MO并延长交BD于H即可． 【解答】解：（1）如图（1），线段BF和点G即为所求； 理由：∵BC＝BA，CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝90°， ∴△BCF≌△BAE（SAS）， ∴∠CBF＝∠ABE， ∴∠FBE＝∠CBF+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝90°， ∴线段BE绕点B顺时针旋转90° 得BF， ∵PE∥FC， ∴∠PEQ＝∠CFQ，∠EPQ＝∠FCQ， ∵PE＝FC， ∴△PEQ≌△CFQ（ASA）， ∴EQ＝FQ， ∴∠GBEEBF＝45°； （2）如图（2）所示，点N与点H即为所求， 理由：∵BC＝BA，∠BCF＝∠BAE＝90°，CF＝AE， ∴△BCF≌△BAE（SAS）， ∴BF＝BE， ∵DF＝DE， ∴BF与BE 关于BD对称 ∵BN＝BM， ∴M，N关于BD对称， ∵PE∥FC， ∴△POE∽△QOF， ∴， ∵MG∥AE ∴， ∴， ∵∠MEO＝∠BEF， ∴△MEO∽△BEF， ∴∠EMO＝∠EBF， ∴OM∥BF， ∴∠MHB＝∠FBH， 由轴对称可得∠FBH＝∠EBH， ∴∠BHM＝∠MBD． 解法二：图形如图所示： 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，勾股定理、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． 25．（2022•武汉）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC； （2）在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC＝α．先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称． 【分析】（1）构造平行四边形ABCF即可解决问题，CF交格线于点T，连接DT交AC于点G，点G，点F即为所求； （2）取格点M，N，J，连接MN，BJ交于点H，连接AH，PH，PH交AC于点K，连接BK，延长BK交AH 于点Q，线段AH，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图（1）中，点F，点G即为所求； （2）如图（2）中，线段AH，点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 25．（2024•武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积； （2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB； （3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G； （4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）． 【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形； （2）方法一：作点A作BC的对称点A′，连接CA′交射线ADF于点E，点E即为所求．方法二：取格点P，Q，连接BR，作射线PD交BQ于点M，连接CM交AD一点E，点E即为所求； （3）构造等腰直角三角形AFC即可； （4）取格点P，Q，E，W，K，L，连接PQ，EW，KL，PQ交射线AF于点M，EW交KL于点J，连接MJ，延长MJ交BC一点N，线段MN即为所求（证明△ABG≌△MNG，可得结论）． 【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求； （2）如图1中，点E即为所求； （3）如图2中，点F，射线AF，点G即为所求； （4）如图2中，线段MN即为所求． （其中（2）的方法二：如图所示）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2024•武汉模拟）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2．（2024•广水市模拟）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 3．（2024•恩施市模拟）如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小，不可旋转与翻转，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C． 【解答】解：观察图形可知，图案C可以看作由“基本图案”经过平移得到． 故选：C． 【点评】此题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而导致错选． 4．（2024•大冶市模拟）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5．（2024•湖北一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意利用轴对称图形定义即可得到本题答案． 【解答】解：∵沿着一条直线折叠，直线两边的部分能完全重合的图形为轴对称图形， ∴为轴对称图形， 故选：D． 【点评】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义和识别是解题的关键． 6．（2024•兴山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点B在第一象限内，顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（a，0），（b，c）．将▱OABC沿着x轴向下翻折后，则点B的对应点B'的坐标为（　　） A．（﹣c，a+b） B．（a+b，﹣c） C．（c，﹣a﹣b） D．（﹣a﹣b，c） 【分析】先求出点B的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形．OA在x轴上， ∴点B可以看作是由点C向右平移OA个单位， ∵顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（a，0），（b，c）， ∴点B的坐标为：（a+b，c）， ∵将▱OABC沿着x轴向下翻折后，则点B的对应点B'， ∴点B'的坐标为：（a+b，﹣c）， 故选：B． 【点评】本题考查翻折的性质，平行四边形的选择，平面直角坐标系中点的平移规律，关于x轴对称点的坐标特征，掌握相关图形的性质是解题的关键． 7．（2024•秭归县模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO两边与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，2） 【分析】先根据矩形的性质可知B（2，1），再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【解答】解：∵OA＝2，OC＝1， ∴B（2，1）． 将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，如图： 可知：B1（﹣1，2），B2（﹣2，﹣1），B3（1，﹣2），B4（2，1），…， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵2025÷4＝506⋯1， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与B1（﹣1，2）的位置相同， ∴B2025的坐标为（﹣1，2）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质． 8．（2024•当阳市模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（　　）cm A． B． C．4π D．2π 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，然后求出旋转角∠ACA′，再根据弧长公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°， ∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∵△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置， ∴∠A′CB′＝∠ACB＝60°， ∴旋转角∠ACA′＝180°﹣∠A′CB′＝180°﹣60°＝120°， 又∵AC＝4cm， ∴点A所经过的最短路线的长． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，直角三角形的两锐角互余的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 9．（2024•铁山区二模）如图，点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（　　） A．（﹣8，﹣2） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣8，﹣4） D．（﹣6，﹣4） 【分析】分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则∠ACE＝∠CDB＝90°，证明△ACE≌△CDB（AAS），结合坐标性即可求解． 【解答】解：如图所示，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则∠ACE＝∠CDB＝90°． ∵点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0）， ∴CE＝2，AE＝4， ∵将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB， ∴CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠DCB＝∠ECA， ∴△ACE≌△CDB（AAS）， ∴EC＝DB＝2，AE＝DC＝4， ∴DO＝DC+CO＝4+2＝6， ∴B（﹣6，﹣2）， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 10．（2024•枣阳市模拟）在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，3）沿水平方向平移3个单位长度得到点P1，点P1的坐标是 　 　． 【分析】先进行分类讨论，再根据横坐标，右移加，左移减进行解答即可． 【解答】解：∵点P（﹣5，3）沿水平方向平移3个单位长度得到点P1， ∴当点P（﹣5，3）沿水平方向向右平移3个单位长度，得出P1（﹣2，3）， 当点P（﹣5，3）沿水平方向向左平移3个单位长度，得出P1（﹣8，3）， 综上：点P1的坐标是（﹣8，3）或（﹣2，3）， 故答案为：（﹣8，3）或（﹣2，3）． 【点评】本题考查了坐标与图形的变化−平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 11．（2024•恩施市模拟）如图，是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，则图中线段CF为 　 　cm． 【分析】根据平移的性质即可求解． 【解答】解：将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF，BE＝4cm， ∴BC＝EF， ∴BE＝BC﹣EC＝EF﹣EC＝CF＝4（cm）， 故答案为：4． 【点评】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 12．（2024•湖北一模）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　 　． 【分析】已知△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，可得△COD≌△AOB，旋转角为38°，由点C恰好在AB上，可得△AOC为等腰三角形，可结合三角形的内角和定理求∠B的度数． 【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB， ∴CO＝AO， 由旋转角为38°， 可得∠AOC＝∠BOD＝38°， ∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝71°， ∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD＝14°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝52°， 在△AOB中，由内角和定理得∠B＝180°﹣∠OAC﹣∠AOB＝180°﹣71°﹣52°＝57°． 答：∠B的度数为57°． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应角分别相等，同时要充分运用内角和定理求角． 13．（2024•洪山区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为 　 　． 【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，由勾股定理可求B'D的长，即可求解． 【解答】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′， ∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5， ∵∠D＝90°， ∴B'D4， ∴B'C＝CD﹣B'D＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 14．（2024•湖北一模）如图，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，△BCD的面积为 　 　． 【分析】连接CF，证明ACF为直角三角形，根据勾股定理列出AF2＝CF2+AC2，设BC＝x，则AC＝8﹣x，建立关于x的二次函数关系式，求出x＝2时，AF最小，再求出顶角是120°的三角形BCD的面积即可． 【解答】解：连接CF，则CF＝DF＝EF， ∵∠EDC＝90°﹣∠E＝60°， ∴∠FCD＝60°． ∵∠DCB（180°﹣120°）＝30°， ∴∠FCB＝∠FCD+∠DCB＝60°+30°＝90°， ∴△ACF是直角三角形． 设BC＝x，则AC＝8﹣x，BC＝BD＝x，CD＝CFx，由勾股定理得： AF2． 当x＝2时，AF有最小值． ∴BC＝BD＝2，∠CBD＝120°， ∴S△BCD2×2． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为120°的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口． 15．（2024•阳新县一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时，AD＝　 　． 【分析】根据BC＝2cm，，可得∠E＝∠A＝30°，∠ACD＝∠ECD，AD＝DE，再由直角三角形两锐角的关系可得∠B＝60°，AB＝2BC＝4cm，然后分两种情况讨论：当∠DFE＝90°时，当∠EDF＝90°时，分别进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵BC＝2，，可得：∠E＝∠A＝30°，∠ACD＝∠ECD，AD＝DE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝4， 如图，当∠DFE＝90°时，则∠BFC＝90°， ∴∠FCB＝90°﹣∠B＝30°， ∴， ∴AF＝AB﹣BF＝3， ∵∠E＝30°， ∴， ∴， ∴AD＝2cm； 如图，当∠EDF＝90°时， 则∠EFD＝90°﹣∠E＝60°， ∴∠BFC＝60°， ∵∠B＝60°， ∴△BFC是等边三角形， ∴CF＝BC＝BF＝2， ∴， ∵∠E＝30°，∠EDF＝90°， ∴， ∴， 综上，AD的值为2cm或， 故答案为：2cm或． 【点评】此题考查直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形的特征，轴对称的性质，勾股定理等知识， 16．（2024•汉川市一模）如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝9，将△BAC绕点A顺时针旋转得到△B1AC1，取AB的中点D，B1C1的中点E．则在旋转过程中，线段ED的最小值为 　 　． 【分析】连接AE，根据将△ABC绕顶点A顺时针旋转得到△AB1C1，可得∠B1AC1＝∠BAC＝90°，B1C1＝BC＝7，由E为B1C1的中点，知AEB1C1＝4.5，求出ADAB＝2，即可得当A，D，E不能构成三角形，且D在AE上时，DE取最小值，此时DE＝AE﹣AD＝4.5﹣2＝2.5． 【解答】解：连接AE，如图： ∵将△ABC绕顶点A顺时针旋转得到△AB1C1， ∴∠B1AC1＝∠BAC＝90°，B1C1＝BC＝9， ∵E为B1C1的中点， ∴AEB1C1＝4.5， ∵AB＝3，D为AB中点， ∴ADAB＝2， 在△ADE中，AE﹣AD＜DE， ∴当A，D，E不能构成三角形，且D在AE上时，DE取最小值，此时DE＝AE﹣AD， 如图： ∴DE的最小值为4.5﹣2＝2.5， 故答案为：2.5． 【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后，对应边线段及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 17．（2024•茅箭区一模）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD'E，延长ED'，交BC于点F．若AB＝15，DE＝10，则tan∠EFC的值是 　 　． 【分析】连接AF，由折叠可得AD＝AD′＝15，DE＝DE′＝10，∠D＝∠AD′E＝90°，易通过HL证明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF＝D′F，因此设BF＝D′F＝x，则CF＝15﹣x，EF＝10+x，在Rt△EFC中，利用勾股定理建立方程，即可求出BF，CF，再根据正切定义求解即可． 【解答】解：连接AF，如图， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝15， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝15， 根据折叠的性质可得，AD＝AD′＝15，DE＝DE′，∠D＝∠AD′E＝90°， ∴AB＝AD′，∠AD′F＝90°， 在Rt△ABF和Rt△AD′F中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△AD′F（HL）， ∴BF＝D′F， ∵DE＝10， ∴D′E＝DE＝10，CE＝CD﹣DE＝15﹣10＝5， 设BF＝D′F＝x，则CF＝BC﹣BF＝15﹣x，EF＝D′E+D′F＝10+x， 在Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2， ∴52+（15﹣x）2＝（10+x）2， 解得：x＝3， ∴BF＝3， ∴CF＝12， ∴tan∠EFC， 故答案为：． 【点评】本题主要考查折叠的性质、正方形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，利用HL定理证明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF＝D′F是解题关键． 18．（2024•广水市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连结AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝　 ． 【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理得到AE5，设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，②当∠APD′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6， ∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝3， ∴AE5， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处， ∴PD′＝PD， 设PD′＝PD＝x，则AP＝6﹣x， 当△APD′是直角三角形时， ①当∠AD′P＝90°时， ∴∠AD′P＝∠B＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠PAD′＝∠AEB， ∴△ABE∽△PD′A， ∴， ∴， ∴x， ∴PD； ②当∠APD′＝90°时， ∴∠APD′＝∠B＝90°， ∵∠PAE＝∠AEB， ∴△APD′∽△EBA， ∴， ∴， ∴x， ∴PD， 综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD或， 故答案为：或． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 图形的对称、平移、旋转 课标要求 考点 考向 一、图形的轴对称 1. 通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 2. 能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。 3. 理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。 4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 二、图形的旋转 5. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质： 一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。 6. 了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 7. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。 8. 认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。 三、图形的平移 9. 通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。 10. 认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。 11. 运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。 图 形 的 对 称、 平 移、 旋 转 考向一 轴对称图形与轴对称 考向二 中心对称图形与中心对称 考向三 轴对称图形与中心对称图形 考向四 图形的平移 考向五 图形的旋转 考向六 图形的折叠问题 考向七 最值问题 考向八 作图问题 考点一 图形的对称、平移、旋转 ►考向一 轴对称图形与轴对称 解题技巧 轴对称图形 轴对称 区 别 (1)具有某种特性的一个图形； (2)会涉及所有对称轴 (1)两个图形的位置关系； (2)只针对一条对称轴 总 结 (1)关于某条直线对称的两个图形是全等图形； (2)轴对称变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； (3)对应点的连线被对称轴垂直平分； (4)两个图形关于某条直线对称，若对应线段或其延长线相交，则交 点在对称轴上 1．（2021•鄂州）“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． ►考向二 中心对称图形与中心对称 解题技巧 1.中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 2.中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 3.中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 4.中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. 2．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•恩施州）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•黄石）下列图案中，（　　）是中心对称图形． A． B． C． D． 5．（2022•宜昌）将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． ►考向三 轴对称图形与中心对称图形 6．（2022•黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．温州博物馆 B．西藏博物馆 C．广东博物馆 D．湖北博物馆 7．（2022•襄阳）襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃圾分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2022•恩施州）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 9．（2021•黄石）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A．梯形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形 ►考向四 图形的平移 解题技巧 1.平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 10．（2021•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　 　． 11．（2021•湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的坐标为 　 　． ►考向五 图形的旋转 解题技巧 1.旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 2.旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． 3.旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 12．（2021•黄石）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，2） D．（﹣3，2） 13．（2024•湖北）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　） A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6） ►考向六 图形的折叠问题 14．（2023•宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　 ． 15．（2023•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，将△BCD沿BD折叠得到△BED，连接AE．若DE⊥AB于点F，BC＝10，则AF的长为 　 ． 16．（2023•湖北）如图，已知点A（3，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为（7，h），则h＝　 　． 17．（2023•黄石）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，AD＝4，BB′，则∠BAB′＝　 　（从“∠1，∠2，∠3”中选择一个符合要求的填空）；DE＝　 　． 18．（2023•恩施州）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C′，D′，连接AD′交BC′于点F． （1）若∠DED′＝70°，求∠DAD′的度数； （2）连接EF，试判断四边形C′D′EF的形状，并说明理由． 19．（2023•湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM． （1）求证：∠AMB＝∠BMP； （2）若DP＝1，求MD的长． ►考向七 最值问题 20．（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝　 　，FB+FD的最小值为 　 ． 21．（2023•十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　 　，最大值为 　 ． 22．（2023•随州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　 　；DP的最大值为 　 　． ►考向八 作图问题 23．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB； （2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：∠OCB的度数为 　 　． 24．（2023•武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°； （2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD． 25．（2022•武汉）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC； （2）在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC＝α．先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称． 1．（2024•武汉模拟）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•广水市模拟）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•恩施市模拟）如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•大冶市模拟）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•湖北一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•兴山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点B在第一象限内，顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（a，0），（b，c）．将▱OABC沿着x轴向下翻折后，则点B的对应点B'的坐标为（　　） A．（﹣c，a+b） B．（a+b，﹣c） C．（c，﹣a﹣b） D．（﹣a﹣b，c） 7．（2024•秭归县模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO两边与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，2） 8．（2024•当阳市模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为（　　）cm A． B． C．4π D．2π 9．（2024•铁山区二模）如图，点A坐标为（﹣4，4），点C坐标为（﹣2，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是（　　） A．（﹣8，﹣2） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣8，﹣4） D．（﹣6，﹣4） 10．（2024•枣阳市模拟）在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，3）沿水平方向平移3个单位长度得到点P1，点P1的坐标是 　 　． 11．（2024•恩施市模拟）如图，是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，则图中线段CF为 　 　cm． 12．（2024•湖北一模）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　 　． 13．（2024•洪山区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为 　 　． 14．（2024•湖北一模）如图，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，△BCD的面积为 　 　． 15．（2024•阳新县一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F（所给图形仅仅是示意图）．当△DEF是直角三角形时，AD＝　 　． 16．（2024•汉川市一模）如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝9，将△BAC绕点A顺时针旋转得到△B1AC1，取AB的中点D，B1C1的中点E．则在旋转过程中，线段ED的最小值为 　 　． 17．（2024•茅箭区一模）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD'E，延长ED'，交BC于点F．若AB＝15，DE＝10，则tan∠EFC的值是 　 　． 18．（2024•广水市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连结AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$