专题14 立体几何外接球归类（8题型+提分快招）2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（天津专用）

专题14 立体几何外接球归类 目录 题型01 外接球：基础思维 1 题型02 外接球：对棱相等 5 题型03 外接球核心思维：线面垂直（直棱柱型） 8 题型04 外接球核心技巧：双线交心型 11 题型05 外接球：二面角型 16 题型06 外接球：怪异几何体型 20 题型07 外接球：压轴单选题 24 题型08外接球：压轴填空题 28 题型01 外接球：基础思维 【解题规律·提分快招】 正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝. 【典例1-1】 2021·天津武清·模拟预测）已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可知正方体的中心满足： ，故外接球半径为1，即可求其表面积． 【详解】如图所示：设正方体的中心满足： 所以该几何体的外接球的球心为，半径为1 则外接球表面积为 故选：A 【典例1-2】 （24-25三·湖北·开学考试）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，再结合空间向量的线性运算将用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可. 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 球心为正方体对角线的交点，以为原点建立空间直角坐标系， 得到，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为R，则，则， 故，，， 故，，， 由向量模长公式得， 而， ， ， 设， 由数量积的定义得， 所以，由余弦函数性质得当时， 取得最小值，故B正确. 故选：B 【变式1-1】 （22-23高三·浙江·阶段练习）在三棱锥中，两两垂直，且，半径为1的球在该三棱锥内部且与面､面､面均相切.若平面与球相切，则三棱锥的外接球被平面所截得的截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先推出球的截面面积与球心距离的关系，再根据条件将三棱锥看作正方体的一部分，求出外接球的球心和半径，运用前面推出的关系求解. 【详解】设截面圆与球心的距离为h，球的半径为R，截面圆的半径为r，则， 即h越大，截面的面积越小； 由题意三棱锥是正方体的一部分， 其外接球的球心为正方体对角线AH的中点， 外接球的半径，则，如下图：    以BC为x轴，BD为y轴，BA为z轴建立坐标系，则，， 到球O球面上最远的点距离为， 此时以最远点为切点的平面截外接球截面圆的半径为， 即截面面积的最小值为； 故选：C. 【变式1-2】 （21-22高三上·江苏南京·开学考试）已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得三棱锥中，两两垂直，且，进而三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球，进而求解得外接球的半径与表面积，再根据等体积法求解内切球的半径，进而计算内切球的表面积，最后计算比值即可得答案. 【详解】解：如图，依题意知， ，， ，平面， 又平面， 所以三棱锥中，两两垂直，且， 所以三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球， 所以三棱锥的外接球半径满足，则其外接球的表面积为. 因为三棱锥的表面积为正方形的面积，， 设三棱锥的内切球的半径为， 所以由等体积法得，得， 所以内切球的表面积为 所以三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为 故选：C． 【变式1-3】 （2019·江西·二模）在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算BD长为2，判断三角形BCD为直角三角形，将三棱锥还原为长方体，根据体对角线等于直径，计算得到答案. 【详解】三棱锥中，面 中： 在中： 即ABCD四点都在对应长方体上：体对角线为AD 答案选D 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积，将三棱锥放在对应的长方体里面是解题的关键. 题型02 外接球：对棱相等 【解题规律·提分快招】 对棱相等的四面体： 三棱锥对棱相等， 【典例1-1】 （2022高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，求出即得三棱锥外接球的半径，即得解. 【详解】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，， 设长方体的长、宽、高分别为， 则，，， 解得，，． 所以三棱锥外接球的半径． 三棱锥外接球的体积． 故选：C 【典例1-2】 （19-20高三下·全国·阶段练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（    ） A．12π B．13π C． D． 【答案】B 【分析】如图1，取中点，由棱锥体积求得面积，并得出为二面角的平面角，由面积求得此角，然后求出，由此知四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，长方体的外接球就是四面体的外接球，长方体的对角线就是球的直径，计算可得球表面积． 【详解】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面， ，所以， 又， ，， 又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角， 所以， 所以， 因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2， 此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为， 则，解得， 所以外接球的直径为，， 球表面积为． 故选：B． 【变式1-1】 （21-22高三上·山西运城·期末）在三棱锥中，，，，M，N，P，Q分别为棱AB，CD，AD，BC的中点，则以下四个命题中真命题的个数为（    ） ①直线MN是线段AB和CD的垂直平分线 ②四边形MQNP为正方形 ③三棱锥的体积为 ④三棱锥外接球的表面积为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】将三棱锥放置在长方体中，得分别是上下底面的中心，可判断①；求出过同一个顶点的三条棱长可得每一个面都为长方形，由三角形中位线定理可得，，与不垂直，可判断②； 由可判断③；由三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的对角线就是外接球的半径，求出可判断④. 【详解】 如图，将三棱锥放置在长方体中，可得分别是上下底面的中心，则，则直线MN是线段AB和CD的垂直平分线，故①正确； 设过同一个顶点的三条棱长分别为，则 ，解得， 所以过同一个顶点的三条棱长不相等，每一个面都为长方形， 由三角形中位线定理可得，， 得，，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，因为每一个面都为长方形，所以与不垂直，所以四边形不是正方形，故②错误； 三棱锥的体积为，故③正确； 设三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的对角线就是外接球的半径，设为，则，所以经过三棱锥各个顶点的球的表面积为，故④正确. 故选：B. 【变式1-2】 （22-23高三广东揭阳·模拟）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 【变式1-3】 （23-24高三上·云南德宏·模拟）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥转化为长方体，结合长方体的外接球以及长度关系运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，    可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则，可得，则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C. 题型03 外接球核心思维：线面垂直（直棱柱型） 【解题规律·提分快招】 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理） 1.模板图形原理 图1 图2 2.计算公式 【典例1-1】 （23-24高三·四川内江·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，其中，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面，该三棱锥为墙角模型，即可解题. 【详解】在三棱锥中，平面， ∴三棱锥的每个顶点都可以放置在以为长宽高的长方体中， ∴三棱锥外接球的直径为该长方体的外接球直径， ∴, 则三棱锥外接球的表面积为. 故选：C. 【典例1-2】 （22-23高三广西南宁·模拟）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求解作答. 【详解】在中，，，，则， 设外接圆半径为，则，即，令外接圆圆心为，      三棱锥外接球球心为，半径为，有平面， 由平面，得，又，取中点，于是四边形为矩形， 则球心到平面的距离， 因此，所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 【变式1-1】 （22-23高三·四川成都·模拟）在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外接球的特点和线面垂直的判定结合几何关系即可求解. 【详解】   因为平面，平面，所以， 由面，所以面， 由面，则，由面，则， 是和的公共斜边，则是三棱锥的外接球直径，由， 设，则，则，故选：C． 【变式1-2】 （21-22高三河南安阳·模拟）已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出三棱锥外接球截平面所得小圆圆心位置及半径，再确定球心的位置，并求出球半径即可计算作答. 【详解】因平面，平面，则，而， 则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，， 连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图，   则四边形是矩形，，因此，球的半径有：， 所以三棱锥外接球的表面积. 故选：C 【变式1-3】 （2022·四川宜宾·模拟预测）在三棱锥P—ABC中， PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P—ABC体积为6，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（    ） A．18π B．24π C．36π D．40π 【答案】D 【分析】取PC的中点O,确定三棱锥外接球的球心位置，利用三棱锥体积求出AB，从而可得求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积． 【详解】取PC的中点O, 由平面ABC，BC在平面ABC内,得 , 又∠PBC=90°，  , , 所以平面PAB，从而, 所以AC是 的外接圆的直径， 在 中，有OA=OP=OC, 在 中，有OP=OC=OB,故OA=OP=OC=OB, 故O是三棱锥P-ABC的外接球的球心， 由三棱锥P-ABC的体积为6可得： , 故 ,所以 , 所以 ,故外接球半径 , 故三棱锥P—ABC外接球的表面积为 , 故选：D. 题型04 外接球核心技巧：双线交心型 【解题规律·提分快招】 解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为： 1、寻找一个或两个面的外接圆圆心 2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心； 3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积. 如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法 1、 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； （2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心； 【典例1-1】 （19-20高三·湖北荆门·模拟）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，与平面所成的角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，，根据题意，得到是与平面所成的角，即，求出，设三棱锥外接球的球心为，过点作于，于，得到为矩形，在中，求出，设外接圆半径为r，三棱锥的外接球半径为，根据，再由球的表面积公式，即可求出结果. 【详解】如图，取的中点，连接，， 根据，，得，， 又，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 可得是与平面所成的角，即. 又在中，，，所以， ，所以， 设三棱锥外接球的球心为，过点作于，于， 根据球的性质，可得点，分别是，的外接圆的圆心， 则为矩形，在中， ，所以， 设外接圆半径为r，三棱锥的外接球半径为， 则， 故，， 因此， 则三棱锥的外接球的表面积为. 故选：B． 【点睛】本题主要考查求三棱锥外接球的表面积，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型 【典例1-2】 （19-20高三上·湖南·阶段练习）在三棱锥中，，是的中点，与均是正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与的中心分别为G，H，过G，H分别作面PAB与面ABC的垂线交于点O，则O是外接球的球心，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可得解； 【详解】解：如图，，，设与的中心分别为G，H，过G，H分别作面PAB与面ABC的垂线交于点O，则O是外接球的球心，连接OE，则.，，，. 故选：C 【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算，属于中档题. 【变式1-1】 （22-23高三辽宁抚顺·模拟）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，推导出EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，证明G为EF中点，球半径为DG，由此能求出外接球的表面积． 【详解】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF， 由条件，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5， 可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形， AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF， ∴EF是AB与CD的公垂线， 球心G在EF上，推导出△AGB≌△CGD，可以证明G为EF中点， DE==4，DF=3，EF==， ∴GF=，球半径DG==， ∴外接球的表面积为S=4π×DG2=43π． 故选D． 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 【变式1-2】 （22-23高三·四川成都·阶段练习）在三棱锥中，平面平面，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得：， 所以，的外接圆半径为，所以，故， 过作交于点，连接，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 在中，，，所以， ，，， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为，解得：， 所以设三角形的外接圆半径为，，故， 设三棱锥的外接球的半径为，    分别取的外接圆的圆心为， 则分别过作直线，且平面，平面， 交点为即为外接球的球心， 取的中点，连接， 则，又因为平面平面， 所以四边形为矩形，连接， ， 故三棱锥的外接球的表面积为： 故选：B. 【点睛】方法点睛：求棱锥外接球的表面积的关键是过好“双关”：一是“方程关”，能借用图形，寻找直角三角形（外接球的球心、截面圆的圆心、截面圆的内接三角形的顶点所构成的直角三角形），适时运用勾股定理或解三角形，得到外接球的半径R所满足的方程（组）；二是“公式关”，即应用球的表面积公式求其表面积． 【变式1-3】 （2023·广西·模拟预测）在三棱锥中，，平面经过的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取靠近的四等分点，的中点，截此三棱锥所得的截面为平面，当时截面面积最大，，为，外接圆圆心，球心满足面，面，由求得外接球的半径进而求得球的表面积. 【详解】 如图所示，取中点及靠近的四等分点，的中点，连接，，，，， 由，所以，又是中点，是的中点，所以 可知，同理可得， 又，平面，平面，所以平面，所以平面即为平面， 又因为，所以，所以， 所以截此三棱锥所得的截面面积为， 当时，取得最大值， 设外接球球心为，半径为，，分别为，外接圆圆心，球心满足面，面，又因为和均为边长为4的正三角形，所以， 所以四边形为正方形，且，又,所以， ∴.故选：D. 题型05 外接球：二面角型 【解题规律·提分快招】 二面角型求外接圆 在空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为两面交线的中点 所以 因为四点共圆，，根据余弦定理可知 【典例1-1】 （2020·黑龙江哈尔滨·二模）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使二面角的大小为，则所得三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得、都是边长为的等边三角形，由菱形的对角线互相垂直，可得为二面角的平面角，即，作出图形，找出三棱锥的外接球球心，利用四点共圆结合正弦定理求解三棱锥的外接球的半径，代入球的表面积公式可得结果. 【详解】由于四边形是边长为的菱形，且，则， 所以，、都是边长为的等边三角形， 由于菱形的对角线互相垂直，则，， 所以，为二面角的平面角，即， 过点作平面的垂线，垂足为点，则点在线段上， 由，，可得， 且是等边三角形，所以，， 设的外心为点，的中点， 在平面内，过点、分别作平面、的垂线交于点， 则点为三棱锥的外接球的球心，则，， ，则， 由于、、、四点共圆，可得， 所以，三棱锥的外接球的表面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积的求解，找出球心的位置，并求出球的半径是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 【典例1-2】 （21-22高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题作出图形，易得外接圆圆心在中点，结合正弦定理可求外接圆半径，结合图形知，，再结合二面角大小求出，进而得解. 【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，， 又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为， 故选：B 【变式1-1】 （2022·广东·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的截面性质确定球心的位置，结合条件求出球的半径，由此可求外接球的表面积 【详解】如图所示，为直角三角形，又， 所以， 因为为正三角形，所以， 连接，为的中点，E为中点， 则，所以为二面角的平面角 所以． 因为为直角三角形，E为中点， 所以点为的外接圆的圆心， 设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H， ， 所以,，∴． 所以，故选：C. 【变式1-2】 （23-24高三上·山东德州·模拟）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，所以为二面角的平面角，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，在中利用余弦定理可得，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，取的中点，连接，， 由题意，，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且， 所以，为外接圆的圆心， 又是边长为2的等边三角形，所以， 过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上， 设球的半径为，连接，可得， 在中，， 利用余弦定理可得， 所以，解得， 所以外接球的表面积为.故选：A. 【变式1-3】 （22-23高三·云南昆明·阶段练习）已知三棱锥中，底面ABC是边长为的正三角形，点P在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥外接球的表面积为，球心在三棱锥内，则二面角的平面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出球半径并确定球位置，再作出二面角的平面角，结合三棱锥的结构特征求解作答. 【详解】设正的中心为，有，而平面，则， 延长交于点D，则点为的中点，有，， 即为二面角的平面角， 由，得，显然三棱锥为正三棱锥，其外接球的球心M在线段上， 由三棱锥的外接球的表面积为，则该球半径，由，解得， ，，所以， 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 题型06 外接球：怪异几何体型 【解题规律·提分快招】 正棱台外接球，以棱轴截面为主。 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主 圆台外接圆模型 圆台外接球，即轴截面题型外接圆 【典例1-1】 （2024·云南楚雄·一模）已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正三棱台补形成正三棱锥，并确定正三棱锥的结构特征，求出点到平面的距离，进而求出截面小圆半径作答. 【详解】将正三棱台补形成正三棱锥， 如图，由得． ∵，∴，∴为正三角形， ∴三棱锥为正四面体．令正的中心为，连接，， 则平面，，∴． ∵球半径为，∴这个球面截平面所得截面小圆是以为圆心，为半径的圆．在正中，取，的中点，，取的三等分点，，连接，， 显然，即，，同理，即， ∴六边形是正六边形，点，，，，，在此球面截平面所得截面小圆上． 连接，，，，则，此球面与侧面的交线为图中的两段圆弧（实线），∴交线长度为．故选：C. 【点睛】思路点睛：将正三棱台补形成正三棱锥，并确定正三棱锥为正四面体，由此可求出点到平面的距离，进而求出球面与侧面的截面小圆半径，从而确定交线为两段圆弧，求出弧长得解. 【典例1-2】 （2025·广东·一模）如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径. 【详解】如图，，又放入的球的半径为， 由于圆台的体积， 由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则， 由于，则， 则，那么，则，那么在上方， 即该小球先与上下底面相切．故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出圆台的体积，还需检验小球与侧棱相切的情形. 【变式1-1】 （24-25高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 【变式1-2】 （2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得，故所求体积之比为 故选：B   【变式1-3】 （22-23高模拟·广东·模拟）把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为，内切球的表面积为，外接球的表面积为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的轴截面分析可得，，进而结合表面积公式运算求解. 【详解】设圆柱的母线长为，内切球的半径为，外接球的半径为， 则其轴截面如图所示，则，， 则， 所以. 故选：C.    题型07 外接球：压轴单选题 【典例1-1】 （22-23高三上·江西·阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的几何体，确定出球心O的位置，求出球半径，再建立空间直角坐标系求出点O到直线距离，进而求出最小截面圆半径作答. 【详解】依题意，四边形是正方形，令正方形与正方形中心分别为，连接， 因为正方形与正方形在同一平面内，且有相同中心，因此它们有相同的外接圆， 从而十面体与长方体的外接球相同，球心O是线段的中点，如图， 取中点M，连接，因为，则，显然， 又平面，则平面， 而平面，平面，即有， 平面，则平面，平面与平面有公共点， 显然平面与平面为同一平面，有，而，， 在直角梯形中，过作于I，， 球O的半径， 过D作平面，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由已知得，即， ，，则点到直线的距离有：, 球O被过直线的平面所截的截面圆最小时，球心O到平面的距离最大，即为点到直线的距离， 截得的最小截面圆半径为，而，则 ，所以截得的截面圆面积的最小值是.故选：C 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 【典例1-2】 （高三·天津·）过四面体的顶点作半径为1的求，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切.若，，，则四面体的外接球的半径为 A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】过点作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，作，垂足为，则，且. 由于，则. .故的半径是1的求的直径.则四面体的外接球的球心在的延长线上，有，解得. 【变式1-1】 （2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形中心为，取中点，连接、、，由正四棱锥的性质可知，，平面，则为二面角的平面角，设正方形的边长为，利用锐角三角函数求出，即可求出，，再设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，利用勾股定理求出，最后再由球的表面积公式计算可得. 【详解】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则，，平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，所以， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得，所以外接球的表面积.故选：A 【变式1-2】 （23-24高三·浙江温州·模拟）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由面积公式可得，由余弦定理结合基本不等式可求，根据正弦定理可得外接圆半径，由勾股定理即可求解. 【详解】如图，取的外接圆圆心，过点作平面的垂线， 则三棱锥的外接球的球心在该垂线上，且， 在中，，即， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 设外接圆半径为，由正弦定理得，即， 所以外接球的半径，则， 故三棱锥的外接球表面积的最小值为. 故选：. 【变式1-3】 （23-24高三上·安徽·阶段练习）在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由题设．将放在棱长为x，y，z的长方体中，可得的关系式，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解. 【详解】设，，由题设. 三棱锥中，，，， 将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图， 则有，三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 所以， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的难点是根据题意得到三棱锥的特征，从而放置到相应的长方体中，由此得解. 题型08外接球：压轴填空题 【典例1-1】 （23-24高二下·江苏镇江·期末）如图，在直三棱柱中，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面､底面均相切），为的中点，为棱上的动点，当直线､与平面成角相等时， ，此时四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】根据内切球的半径求出柱体的棱长，然后利用球的性质求解外接球的半径，进一步求出外接球的表面积. 【详解】因为直三棱柱的内切球的体积为，所以， 解得内切球的半径为，所以内切圆半径为， 则，因为为的中点，为棱上的动点， 当直线､与平面成角相等时，， 又，所以， 所以，设，则 ，解得，所以，，从而， ，，所以，即有， 所以四点共圆，且圆心为的中点，其半径为， 因为，，，平面， 所以平面，如图， 将直三棱柱补成长方体， 设为中点，连接，取的中点， 连接，则中点即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为， 此时四面体的外接球表面积为. 故答案为：，. 【点睛】方法点睛：求解几何体外接球的半径的解题思路：一是根据球的截面的性质，利用球的半径，截面圆的半径及球心到截面圆的距离三者的关系求解，其中，确定球心的位置是关键；二是将几何体补形成长方体，利用该几何体与长方体共有的外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解. 【典例1-2】 （23-24高三上·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值． 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是， 则，∴， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，， 又平面，所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以， 在直角中，，， ，，∴， ，令，则， ， 当且仅当，时等号成立，所以的最小值是． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题． 【变式1-1】 （2023·湖南衡阳·模拟预测）在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设，由正弦定理求得外接圆半径为，根据球心特点求得，结合三角函数及基本不等式求最小值即可. 【详解】在平面图形中设，即Rt中， .在中，. 设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得. 设三棱锥外接球球心为，则平面. 又平面平面，交线为平面 四边形为直角梯形. 设外接球的半径为，在平面中，过做于， 在中，为的中点， . 令，则 ，当且仅当时，即时（满足）等号成立. 所以球表面积最小值为.故答案为：. 【变式1-2】 （23-24高三·辽宁·模拟）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，. （1）求DC与平面ABC所成线面角大小 . （2）若，求三棱锥外接球表面积 . 【答案】 【分析】（1）过作作，可得出线面角，再过作于，连接，在三个直角三角形中，分别计算，，，进而得出，即可求解； （2）通过已知，结合余弦定理得出，进而证出，，结合线面垂直的判定定理得出平面，再结合勾股定理求出外接球半径即可求解； 【详解】过点作于，连接， 因为平面平面ABC，且平面平面ABC，所以平面ABC， 为DC与平面ABC所成的线面角，过作于，连接，则， 在中，，在中，， 在中，，所以，即，解得， 所以，即DC与平面ABC所成线面角大小为；如图： 因为，所以，即，且， 所以，又因为，，所以， 即，所以，即， 又，平面，所以平面，因为平面， 所以，由（1）知，，且，由余弦定理可得，所以，即， 又平面，所以平面，设三棱锥外接球半径为，底面的外接圆半径为，且，所以，所以， 所以三棱锥外接球表面积为，故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第一空关键是能够在三个直角三角形中利用余弦值找到；第二空是能通过线面垂直和余弦定理找到. 【变式1-3】 （2024高三·江苏·专题练习）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为 【答案】 【分析】通过已知条件可分析出球心为中点，再由确定点在半径为1的圆上，从而确定点到平面的距离为定值，求出的面积最大值，即可确定三棱锥的体积最大值. 【详解】    该三棱锥的外接球O为的中点，下证： 因为平面，平面，所以，所以， 又，即，所以， 即三棱锥的外接球球心为的中点，球半径. 点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足， 在△中，由正弦定理可得△的外接圆的半径为， 球心到平面的距离为， 因为为的中点，所以到平面的距离为， ， 要使三棱锥的体积最大，只需△的面积最大即可. 在△中由余弦定理可得： ， 所以，当且仅当时等号成立， ， 所以， 当且仅当时, 三棱锥的体积取到最大值. 故答案为：. 【点睛】本题两个关键点：一是通过空间中线线垂直确定球心位置，二是利用正弦定理确定点的轨迹，才能求得三棱锥体积最大值. 冲高考 1．（22-23高三·湖北十堰·模拟）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    【答案】 【分析】设，利用表示出AD，CD，由正弦定理可得外接圆的半径，由已知条件和平面可得，然后用换元法和基本不等式可得. 【详解】在平面四边形中设， 即在Rt中，. 在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得.设三棱锥外接球球心为，则平面. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则，所以四边形为直角梯形. 设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于， 在中，为的中点，， 由，所以 .令，则，因为，当且仅当，即时（满足）等号成立.所以， 所以外接球表面积的最小值为.   故答案为： 2．（22-23高三上·湖南·开学考试）三棱锥中，，底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解； 【详解】为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又分别为中点，，，又 平面平面，为正方体一部分， 故，即，∵为三棱锥外接球上的动点， ∴当位于正方体的如图所示的顶点处，点到平面距离最大，设为， ∴可求得三棱锥的体积为：， ∴， 解得： 故答案为： 【点睛】求解立体几何外接球问题，根据题目特征作出辅助线，找到球心，求出半径，或补形为长方体或正方体，进而求出表面积或体积. 3．（21-22高三·浙江宁波·模拟）如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 ． 【答案】 【分析】过A作于E，交CD于F，连，利用余弦定理、面积定理求出点到平面的距离，再借助锥体体积求出内切球半径，结合该锥体的结构特征求出外接球半径作答. 【详解】过A作于E，交CD于F，连，如图， 在中，由余弦定理得：，， ，， ，，， 因，则三棱锥的4个表面三角形全等，在中，， ， 在中，，， 因，，平面，则平面，而平面， 于是得平面平面，在平面内过作于，又平面平面， 因此，平面，， 设三棱锥的内切球半径为，则，解得， 因是锐角三角形，则三棱锥的外接球截平面所得截面圆圆心在内， 半径，则，解得，令三棱锥的外接球球心为O， 显然，球O截三棱锥的4个表面三角形所得截面圆圆心均在相应三角形内， 因球心O与各个三角形的外心连线均垂直于相应的三角形所在平面，且这些三角形的外接圆半径均为， 因此，球心O到各个三角形所在平面距离都相等，且球心O在三棱锥内，必为三棱锥内切球球心， 令三棱锥的外接球半径为，则， 所以三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为.故答案为： 【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 4．（2022高三·全国·专题练习）已知等边的边长为，分别为的中点，将沿折起得到四棱锥．点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意可确定当平面平面时，四棱锥的体积最大；根据四棱锥外接球的性质可确定球心的位置，利用勾股定理可求得球的半径及球心到平面的距离，由此可知所求最大值为. 【详解】如图，当平面平面时，四棱锥的体积最大时，如图所示： 为等边三角形，，取的中点，则是等腰梯形外接圆圆心． 设是的外心，作平面，平面，则是四棱锥的外接球的球心，且，．设四棱锥的外接球半径，则，解得：.又，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为：. 故答案为： 【点睛】本题考查立体几何中几何体外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球的性质确定球心的位置，即球心必为过棱锥底面和侧面的外接圆圆心且垂直于底面和侧面的直线的交点的位置. 5．（2024·四川德阳·模拟预测）设底面为菱形且高为的直四棱柱中，已知底面边长为正整数且为定值，，若矩形内的点满足的轨迹长度为.设点为三棱柱的外接球上一点，则四棱锥体积的最大值为 【答案】3 【分析】利用线面垂直关系，结合勾股定理将转化为，结合几何不等关系建立不等关系解，再由空间直观确定三棱柱的外接球球心，进而求解球心到平面的距离，结合定底动高特点求体积最大值即可. 【详解】在底面中，过作，垂足为，连接， 直四棱柱中，平面，平面， 则，又平面，且平面， 又，故平面，又平面， 所以， 在中，， 在菱形中，由，则，又边长， 可得，又， 则， ， 故点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 又点在矩形内，如图可知， 即，解得， 由题意为正整数，故. 验证知，，， 故点轨迹为如图圆心角为，半径为的圆弧，弧长为，满足题意. 点为三棱柱的外接球上一点，且与为正三角形， 分别在上下底面取与的中心，再取的中点, 由球、直棱柱的对称性及正三角形的性质可知， 即为三棱柱的外接球球心. ， 四边形是平行四边形，则，即 又， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 则平面，故球心到平面的距离即到平面的距离， 在底面内，连接，由为正三角形可知，， 又， 又平面，平面， 则，又平面，且平面， 又，平面， 即为到平面的距离，. 球半径. 要求四棱锥体积的最大值， 而矩形的面积为，为定值， 故当点平面的距离最大时，体积取到最大值， 当且仅当时，四棱锥体积最大， 最大值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是空间问题平面化，利用射影将长度转化为长度；二是借助几何直观寻找球心及最值状态. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 立体几何外接球归类 目录 题型01 外接球：基础思维 1 题型02 外接球：对棱相等 2 题型03 外接球核心思维：线面垂直（直棱柱型） 4 题型04 外接球核心技巧：双线交心型 5 题型05 外接球：二面角型 6 题型06 外接球：怪异几何体型 7 题型07 外接球：压轴单选题 9 题型08外接球：压轴填空题 10 题型01 外接球：基础思维 【解题规律·提分快招】 正方体的棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝. 【典例1-1】 2021·天津武清·模拟预测）已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （24-25三·湖北·开学考试）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23高三·浙江·阶段练习）在三棱锥中，两两垂直，且，半径为1的球在该三棱锥内部且与面､面､面均相切.若平面与球相切，则三棱锥的外接球被平面所截得的截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高三上·江苏南京·开学考试）已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2019·江西·二模）在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球表面积是 A． B． C． D． 题型02 外接球：对棱相等 【解题规律·提分快招】 对棱相等的四面体： 三棱锥对棱相等， 【典例1-1】 （2022高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）   A． B． C． D． 【典例1-2】 （19-20高三下·全国·阶段练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（    ） A．12π B．13π C． D． 【变式1-1】 （21-22高三上·山西运城·期末）在三棱锥中，，，，M，N，P，Q分别为棱AB，CD，AD，BC的中点，则以下四个命题中真命题的个数为（    ） ①直线MN是线段AB和CD的垂直平分线 ②四边形MQNP为正方形 ③三棱锥的体积为 ④三棱锥外接球的表面积为 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】 （22-23高三广东揭阳·模拟）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三上·云南德宏·模拟）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型03 外接球核心思维：线面垂直（直棱柱型） 【解题规律·提分快招】 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理） 1.模板图形原理 图1 图2 2.计算公式 【典例1-1】 （23-24高三·四川内江·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，其中，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【典例1-2】 （22-23高三广西南宁·模拟）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23高三·四川成都·模拟）在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】 （21-22高三河南安阳·模拟）已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2022·四川宜宾·模拟预测）在三棱锥P—ABC中， PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P—ABC体积为6，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（    ） A．18π B．24π C．36π D．40π 题型04 外接球核心技巧：双线交心型 【解题规律·提分快招】 解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为： 1、寻找一个或两个面的外接圆圆心 2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心； 3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积. 如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法 1、 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 2、 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； （2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心； 【典例1-1】 （19-20高三·湖北荆门·模拟）在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，与平面所成的角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （19-20高三上·湖南·阶段练习）在三棱锥中，，是的中点，与均是正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （22-23高三辽宁抚顺·模拟）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【变式1-2】 （22-23高三·四川成都·阶段练习）在三棱锥中，平面平面，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023·广西·模拟预测）在三棱锥中，，平面经过的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型05 外接球：二面角型 【解题规律·提分快招】 二面角型求外接圆 在空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为两面交线的中点 所以 因为四点共圆，，根据余弦定理可知 【典例1-1】 （2020·黑龙江哈尔滨·二模）在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使二面角的大小为，则所得三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （21-22高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2022·广东·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三上·山东德州·模拟）在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （22-23高三·云南昆明·阶段练习）已知三棱锥中，底面ABC是边长为的正三角形，点P在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥外接球的表面积为，球心在三棱锥内，则二面角的平面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型06 外接球：怪异几何体型 【解题规律·提分快招】 正棱台外接球，以棱轴截面为主。 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主 圆台外接圆模型 圆台外接球，即轴截面题型外接圆 【典例1-1】 （2024·云南楚雄·一模）已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （2025·广东·一模）如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式1-1】 （24-25高三下·浙江·阶段练习）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （22-23高模拟·广东·模拟）把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上､下底面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上､下底面圆上的点均在同一个球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为，内切球的表面积为，外接球的表面积为，则为（    ） A． B． C． D． 题型07 外接球：压轴单选题 【典例1-1】 （22-23高三上·江西·阶段练习）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】 （高三·天津·）过四面体的顶点作半径为1的求，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切.若，，，则四面体的外接球的半径为 A．2 B． C．3 D． 【变式1-1】 （2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （23-24高三·浙江温州·模拟）在三棱锥中，底面，，，的面积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （23-24高三上·安徽·阶段练习）在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型08外接球：压轴填空题 【典例1-1】 （23-24高二下·江苏镇江·期末）如图，在直三棱柱中，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面､底面均相切），为的中点，为棱上的动点，当直线､与平面成角相等时， ，此时四面体的外接球表面积为 . 【典例1-2】 （23-24高三上·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【变式1-1】 （2023·湖南衡阳·模拟预测）在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【变式1-2】 （23-24高三·辽宁·模拟）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，. （1）求DC与平面ABC所成线面角大小 . （2）若，求三棱锥外接球表面积 . 【变式1-3】 （2024高三·江苏·专题练习）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为 冲高考 1．（22-23高三·湖北十堰·模拟）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    2．（22-23高三上·湖南·开学考试）三棱锥中，，底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为 . 3．（21-22高三·浙江宁波·模拟）如图，四边形为平行四边形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 ． 4．（2022高三·全国·专题练习）已知等边的边长为，分别为的中点，将沿折起得到四棱锥．点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为 . 5．（2024·四川德阳·模拟预测）设底面为菱形且高为的直四棱柱中，已知底面边长为正整数且为定值，，若矩形内的点满足的轨迹长度为.设点为三棱柱的外接球上一点，则四棱锥体积的最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$