2025年中考数学一轮复习 专题14 反比例函数讲义+练习

2025中考数学一轮复习 专题14 反比例函数 基础知识梳理 1．反比例函数的概念 （1）一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． 反比例函数解析式还有其他两种形式： ①y=kx-1（k为常数，k≠0）； ②xy=k（k为常数，k≠0）． （2）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义． 2．用待定系数法求反比例函数的解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： （1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为； （2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程； （3）解——解方程，求出常数k； （4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式． 3．反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象的画法 ①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来； ②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点； ③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸． （2）反比例函数图象的特点 ①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）． （3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数； ②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线； ③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点； ④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． （4）反比例函数的性质如下表： 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图象 性质 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 （1）自变量x的取值范围为x≠0； （2）图象的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 4．反比例函数中比例系数k的几何意义 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|． 5．实际问题与反比例函数 （1）一般地，建立反比例函数模型有以下两种常用方法： ①待定系数法 若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． ②列方程法 若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式． （2）用反比例函数解决实际问题的步骤： ①审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系； ②设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； ③列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； ④写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； ⑤解——用函数解析式去解决实际问题． 常用方法结论 1．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义 从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．常见模型如图： 2．应用反比例函数解决实际问题的基本步骤如下： （1）审清题意，找出题目的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）根据常量、变量之间的关系，设出函数关系式，待定系数用字母表示； （3）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （4）写出函数关系式，并注意关系式中变量的取值范围； （5）用函数关系式解决实际问题． 3．跨学科问题中常见的反比例关系： （1）压力一定时，压强与受力面积成反比例． （2）当功率一定时，力与速度成反比例． （3）当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例． （4）当电压一定时，电流强度与电阻成反比例． 4．反比例函数的解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样，也是待定系数法． 5．当问题中设计几何问题时，可根据其图形建模，构造反比例函数解析式，并运用其性质解决问题，但要注意自变量的取值范围． 课前测（含高考真题） 一、选择题（共5小题） 1．（2024•西宁）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，顶点在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为　　 A． B． C． D． 2．（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是　　 A．或 B．且 C．或 D．或 3．（2024•自贡）一次函数，二次函数，反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2024•宿迁）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若△的面积是6，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024•浙江）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题（共7小题） 6．（2024•北京）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 　　． 7．（2024•广元）已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为 　　． 8．（2024•无锡）在电压不变的情况下，某电器的电流（A）与它的电阻之间成反比例函数关系，其图象如图所示．为保证该电器各元件安全工作，限制电流不超过，则该电器可变电阻的取值范围是 　　． 9．（2024•齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 　　． 10．（2024•连云港）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 　　． 11．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点，分别为边，上的点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点在边的中点处，点的对应点在反比例函数的图象上，则 　　． 12．（2024•福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，则点的坐标为 　　． 三、解答题（共3小题） 13．（2024•兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 14．（2024•淄博）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求△的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 15．（2024•东营）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 课前测∙参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B C C C A 一、选择题（共5小题） 1．【答案】 【分析】根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，在轴上，， ，， ， ， 故选：． 2．【答案】 【分析】当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【解答】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【解答】解：根据题意得， 解得， 的取值范围是， 故选：． 4．【答案】 【分析】依据题意，过作轴于，再设，，从而可得，再求出直线为，然后联立，可得的坐标，最后结合，进而可得的方程，计算即可得解． 【解答】解：如图，过作轴于． 由题意，设，， ，， ． 又设直线为， ． ． 直线为． 联立， ． ． ，． ． 又， ． ． 故选：． 5．【答案】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 、当时，， ， ，正确，符合题意； 、当时，点在第三象限，点在第一象限， ，， ，原结论错误，不符合题意； 、由知，当时，，原结论错误，不符合题意； 、当时，， ，在第一象限， ， ，原结论错误，不符合题意． 故选：． 二、填空题（共7小题） 6．【答案】0． 【分析】将两点代入得到，，则． 【解答】解：函数的图象经过点和， ，， ． 故答案为：0． 7．【答案】． 【分析】依据题意，由在上，可得，故，，又在反比例函数上，进而可得，进而可得反比例函数为，再由翻折的性质，，进而可设为，则为，设直线与直线的交点为，建立求出，，又与关于直线对称，且，可得，，又在反比例函数上，最后可得，求出可以得解． 【解答】解：由题意，在上， ． ，． 又在反比例函数上， ． 反比例函数为． 由翻折的性质，， 可设为， 为． 设直线与直线的交点为， ． ，． 又与关于直线对称，且， ，． 又在反比例函数上， ． 或（舍去）． ． 故答案为：． 8．【答案】． 【分析】根据题意先求出反比例函数的解析式，然后根据其限制电流不超过，即可算出的取值范围． 【解答】解：设反比例函数的解析式为， 如图所示，把代入可得：， ， 其限制电流不超过， ，解得：， 故答案为：． 9． 【分析】延长交轴于点，根据平行四边形面积可求出，继而可得点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可． 【解答】解：如图，延长交轴于点， ，， ， 是平行四边形， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 10． 【分析】根据进行求解即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 11． 【分析】设交轴于点，交于点，过点作轴于，根据折叠性质得：，，，设，则，在△中，由勾股定理求出，则，证明△△相似，利用相似三角形的性质得，，则，由此得点，据此即可得出的值． 【解答】解：设交轴于点，交于点，过点作轴于，轴于点，如图所示： 则四边形为矩形， ， 根据折叠性质得：，，，， 点，是矩形的顶点， ，，， 设，则， 点是的中点， ， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， ，， ， 又， △△， ， 即：， ，， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 12．【答案】． 【分析】先求出直线解析式和反比例函数解析式，联立两个函数解析式求出交点坐标即可． 【解答】解：点与关于直线对称， 设直线的解析式为，将点坐标代入得， ，解得， 直线解析式为， 点在反比例函数图象上， 反比例函数解析式为， 联立方程组，解得或． ． 故答案为：． 三、解答题（共3小题） 13．【答案】（1）一次函数解析式为：，反比例函数解析式为；（2）． 【分析】（1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）反比例函数与一次函数的图象交于点， ，， 解得：，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为； （2）将代入一次函数得， ， 将代入反比例函数得， ， ， ． 14． 【分析】（1）由得，由，，故一次函数解析式为．过作轴，由，得，故反比例函数解析式为． （2）过作轴，联立和得，得．，求出直线解析式为，得，故△面积． （3）看图得：当或时，，即． 【解答】解：（1）由得， ， ， ， 代入得， 一次函数解析式为． 过作轴，如图1． ， ， ， ， ， 代入得， 反比例函数解析式为． （2）如图2：过作轴，交于． 联立和得， 或1， ． ， ， ， ， 设直线解析式为， ， ，， 直线解析式为， ， △面积． （3）看图得：当或时，，即． 15．【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为；（2）或；（3）点，． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据一次函数解析式先求出点、坐标，再设点的坐标为利用三角形面积公式计算出值即可得到点的坐标． 【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， ，， 反比例函数解析式为， 一次函数图象过，， ，解得， 一次函数解析式为； （2）由图象可知，不等式的解集为：或． （3）在一次函数中，当时，；当时，， ， ， ， 设点的坐标为， ， 解得， 点，． 考点梳理 ►考点01 反比例函数的定义 【例1】　（2024•城关区校级一模）下列函数中，是关于的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断． 【解答】解：、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意； 、该函数是反比例函数，故本选项符合题意． 故选：． 【例2】　（2024•中山市一模）下列函数中，是的反比例函数的是　　 A ． B ． C ． D ． 【分析】根据反比例函数的定义， 直接分别判断即可得出答案 ． 【解答】解：．，不符合一般式，故此选项错误； ．，符合一般式，故此选项正确； ．，不符合一般式，故此选项错误； ．，不符合一般式，故此选项错误 ． 故选：． 【例3】　（2024•红桥区模拟）下面四个关系式中，是的反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】形如为常数，的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 【解答】解：、是一次函数，故此选项不符合题意； 、是正比例函数，故此选项不符合题意； 、是二次函数，故此选项不符合题意； 、是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：． 提分 要点 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数． ►考点02 反比例函数的图象和性质 【例4】　（2025•泉州模拟）下列函数中，当时随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【分析】、由，利用反比例函数的性质，即可得出当时随的增大而增大；、由，利用正比例函数的性质，即可得出当时随的增大而减小； 、由，利用一次函数的性质，即可得出当时随的增大而减小；、由，利用二次函数的性质，即可得出当时随的增大而减小，当时随的增大而增大．综上即可得出结论． 【解答】解：、， 函数，当时随的增大而增大； 、， 函数，当时随的增大而减小； 、， 函数，当时随的增大而减小； 、， 函数，当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． 故选：． 【例5】　（2024•望江县三模）在一次函数为常数且中，随的增大而增大，那么反比例函数的图象在　　 A．第二、四象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 【答案】 【分析】根据题意易得，然后根据反比例函数的性质可进行求解． 【解答】解：在一次函数为常数且中，随的增大而增大， ， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选：． 【例6】　（2024•青秀区校级模拟）已知反比例函数，下列结论中不正确的是　　 A．图象必经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．在每一个象限内．随的增大而减小 【答案】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：反比例函数， 图象必经过点，故选项正确，不符合题意； 图象位于第二、四象限，故选项正确，不符合题意； 图象关于原点对称，故选项正确，不符合题意； 在每一个象限内．随的增大而增大，故选项不正确，符合题意； 故选：． 提分 要点 图象和性质 函数 图象 所在象限 性质 （k≠0，k为常数） k>0 1、 三象限 （x，y同号） 在每个象限内，y随x增大而减小 k<0 2、 四象限 （x，y异号） 在每个象限内，y随x增大而增大 ►考点03 反比例函数图象的对称性 【例7】　（2024•汝南县一模）如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称，且点坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【例8】　（2023•海口二模）如图，直线与双曲线相交于、两点，则点坐标为　　 A． B． C． D．， 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：点与关于原点对称， 点的坐标为． 故选：． 【例9】　（2023•思明区校级模拟）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为　　． 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【解答】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： 解得：． 点是反比例函数与的一个交点． ． ． ， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为：． 提分 要点 反比例函数的图象是一条双曲线，它关于坐标原点成中心对称，两个分支在第一、三象限或第二、四象限． ►考点04 反比例函数中比例系数k的几何意义 【例10】　（2024•常德三模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，，若的面积为3，则的值为　　 A．3 B． C．6 D． 【答案】 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【解答】解：连接，如图， 轴， ， ， 而， ， ， ． 故选：． 【例11】　（2025•大渡口区模拟）如图，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，连接，若△的面积为2，则　　． 【答案】4． 【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，再根据反比例函数的图象位于第二象限即可求出的值． 【解答】解：由反比例函数值几何意义可得： ， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则． 故答案为：4． 【例12】　（2025•深圳校级一模）如图，△的顶点，在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，△的面积为50，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】设，则．设，则，求出，根据，求出，再根据直线的斜率即可求得结果． 【解答】解：设，则． 设，则， ， ， ， ， 变形得． 又， ． 故答案为：． 提分 要点 如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|． ►考点05 反比例函数与一次函数综合 【例13】　（2025•晋安区校级模拟）如图，△中，，，反比例函数的图象经过点．直线垂直平分，交于点，交轴于点，交轴于点，． （1）求点的坐标及反比例函数的解析式； （2）求点的坐标． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）根据，直线垂直平分，求出，利用勾股定理求出，即可得到点坐标，再将点坐标代入，求出的值即可解答； （2）连接，由线段垂直平分线的性质结合勾股定理得出，设直线的解析式为，将点坐标代入求出解析式为，最后求出直线与轴交点坐标即可得到点的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知， ， △中，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ； （2）由（1）知，， 连接， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 根据题意，点为，两点的中点，即，即， 将代入解析式可得，， 解得：， 直线的解析式为， 令，则． ． 【例14】　（2025•茅箭区校级模拟）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数的关系式与的值； （2）根据图象直接写出不等式时的取值范围； （3）若动点在轴上，求的最小值． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）或； （3）10． 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出的值，然后根据待定系数法求得直线的解析式； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，利用勾股定理即可得到的长． 【解答】解：（1）点反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为， 点代入，得， 点的坐标为， 直线过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）不等式时的取值范围为：或； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长， 点，， ， ． 的最小值为10． 【例15】　（2025•柳州一模）如图，直线，为常数，与双曲线为常数且相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集． （3）连接、，求△的面积． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象得出不等式的解集即可； （3）先求出点，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可． 【解答】（1）由题意，将点代入双曲线解析式， ， ． 双曲线为． （2）关于的不等式的解集为：或． （3）在双曲线为， ， ， 将，代入， 得：， 解得：， ， 设与轴交于点，则坐标， ， 答：△的面积为． 提分 要点 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． ►考点06 反比例函数的实际应用 【例16】　（2025•长沙一模）一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，若某一时刻氧气的密度，则此时的体积是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设密度体积的函数解析式为，把时，代入解析式求出，即可求出求与的函数表达式，再把代入解析式求出即可． 【解答】解：设密度体积的函数解析式为， 时，， ， ， 当时，， 故选：． 【例17】　（2025•南山区模拟）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 　4.5　． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：4.5． 【例18】　（2024•金凤区校级三模）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少； （2）若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【分析】（1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【解答】解：（1）设线段解析式为， 线段过点，， ， 解得， 线段的解析式为：， 当时，， 这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）根据解析（1）可知，线段的解析式为：， 当时，， 坐标为， 点的坐标为， 线段的解析式为：， 设双曲线解析式为：， ， ．， 双曲线的解析式为：， 当时，， ， 当时，， ， 气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． 提分 要点 应用反比例函数解决实际问题的基本步骤如下： （1）审清题意，找出题目的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）根据常量、变量之间的关系，设出函数关系式，待定系数用字母表示； （3）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （4）写出函数关系式，并注意关系式中变量的取值范围； （5）用函数关系式解决实际问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025中考数学一轮复习 专题14 反比例函数 一、选择题（共8小题） 1．（2025•大渡口区模拟）若反比例函数的图象经过点，那么的值为　　 A．3 B． C．6 D． 2．（2025•茅箭区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为　　 A． B． C．20 D．32 3．（2025•凉州区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点、在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025•沂水县校级一模）在反比例函数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 5．（2024•武威二模）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的横坐标为2，当，时，的取值范围是　　 A．或 B．或 C．或 D．或 6．（2024•章丘区二模）已知点，，，在反比例函数的图象上．若，则　　 A． B． C． D． 7．（2024•济南一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，若点在函数的图象上，则的值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2024•苍溪县一模）如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共8小题） 9．（2025•福建模拟）如图，反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则　　． 10．（2025•永寿县校级一模）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为　　． 11．（2025•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过点，且在每一个象限内，随的增大而减小，则的值为　　． 12．（2025•江北区模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，点为反比例函数图象上另一点，连接，点为线段的中点，若点、点的横坐标分别为和，，则值是 　　． 13．（2025•柳州一模）如图所示，为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为 　　． 14．（2024•南宁一模）如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的负半轴上，点在上，点，均在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则正方形的周长为 　　． 15．（2024•西城区一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 　　． 16．（2024•盐都区三模）如图，△的直角顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，延长交轴于点，连接，，当且△的面积为时，点的坐标为 　　． 三、解答题（共5小题） 17．（2025•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）如果，求点的坐标． 18．（2025•闵行区一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． （1）求点、的坐标； （2）求的值； （3）求的值． 19．（2025•泗洪县一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若△的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）求点坐标； （3）结合图象直接写出关于的不等式的解集：　　． 20．（2025•大渡口区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 21．（2024•茅箭区校级一模）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在这个反比例函数图象上，连接并延长交轴于点，且．求点的坐标． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A D D A C B 一、选择题（共8小题） 1．【答案】 【分析】直接把点代入反比例函数，求出的值即可． 【解答】解：反比例函数的图象经过点， ． 故选：． 2．【答案】 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的关系式． 【解答】解：过点作轴的垂线，垂足为如图所示， 点的坐标为， ，， ， 四边形为菱形， ， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ． 故选：． 3．【答案】 【分析】由一次函数的关系式可求出与轴，轴的交点坐标，即求出、的长，由正方形的性质、三角形全等可以求出、、、的长，进而求出的坐标，最后求出的长就是的值． 【解答】解：过、分别作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图象于， 把和分别代入得：和， ，， ，； 由是正方形，易证△△△ ， ，， ，， 把，代入得，， 把代入得，，即， ，即， 故选：． 4．【答案】 【分析】分别把三个点，，代入反比例函数，求出，，，然后进行比较即可． 【解答】解：分别把三个点，，代入反比例函数得： ， ， ， 故选：． 5．【答案】 【分析】由正、反比例的对称性结合点的横坐标即可得出点的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集． 【解答】解：反比例函数的图象过点，点的横坐标为2 ， 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， 点． 观察函数图象，发现： 当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方， 当时，的取值范围是或． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据反比例函数的所在的象限，判断即可． 【解答】解：， 在反比例函数的图象分居于第一、三象限， 点，，，在反比例函数的图象上，且， ，， ． 故选：． 7．【答案】 【分析】利用△△求出和，得到点坐标即可求出值． 【解答】解：作轴，垂足为点， 点，， ，， ，， △△， ， ， ，， ， ， 点在函数的图象上， ． 故选：． 8．【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，利用反比例函数系数的几何意义得到，，证明，利用相似三角形的判定与性质得出，从而得出． 【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图． 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ，即， ， 故选：． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】． 【分析】连接，作轴于，轴于，如图，利用反比例函数的性质得，根据等腰三角形的性质得，利用正切的定义得到，再证明，利用相似的性质得，然后根据的几何意义求的值． 【解答】解：连接，作轴于，轴于，如图， 、两点为反比例函数与正比例函数的两交点， 点、点关于原点对称， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， ， 而， ， ， 而， ． 故答案为：． 10．【答案】． 【分析】先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【解答】解：由条件可知点的坐标是， 点的坐标为． 故答案为：． 11．【答案】3． 【分析】将点坐标代入反比例函数解析式，再结合反比例函数的特征对的值进行取舍即可． 【解答】解：由题知， 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 解得或3． 又因为在每一个象限内，随的增大而减小， 所以， 则． 故答案为：3． 12．【答案】． 【分析】根据一次函数及反比例函数的对称性得出点和点关于点对称，再由点为中点及△的面积得出△的面积，过点作轴的平行线交于点，用表示出点的坐标，再根据△与△的面积之和为△的面积建立方程即可解决问题． 【解答】解：直线与反比例函数的图象交于、两点， 点和点关于点对称． 点的横坐标为， 点的横坐标为1， 则点的坐标可表示为，点的坐标可表示为． 又点为线段的中点，且， ． 过点作轴的平行线，交于点， 点坐标可表示为，也可表示为， ． 点坐标为， 则将代入得， ， 点的横坐标为， ． ， ， 解得， 的值为． 故答案为：． 13．【答案】12． 【分析】设，则，再利用反比例函数的性质可得答案． 【解答】解：设， 则， ， 由条件可知， 取． 故答案为：12． 14． 【分析】设正方形的边长是，表示出的坐标是，把的坐标代入得到，把的坐标代入得到关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：设正方形的边长是， 在反比例函数的图象上，点的坐标为， ， ， ， 的坐标是， 把代入， ， 或（舍， 正方形的周长是． 故答案为：8． 15．【答案】． 【分析】由点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值． 【解答】解：将点代入得：， 解得：， 反比例函数解析式为 当时，， 的值为． 故答案为：． 16． 【分析】延长交轴于点，可知，设，利用相似三角形面积比等于相似比的平方列出求出值即可得到点坐标． 【解答】解：延长交轴于点， ， ， 点在反比例函数图象上， ， ， 设， ， △△， ， 解得， ，． 故答案为：，． 三、解答题（共5小题） 17．【答案】（1）直线的表达式为； （2）． 【分析】（1）把点代入中求出，确定点，然后利用待定系数法求出直线的表达式； （2）过点作轴于点，根据可设，，则，进而得出的坐标，代入直线的解析式解答即可． 【解答】解：（1）把点代入中得， ， ， 设直线的解析式为， 把代入中得， 解得， 直线的表达式为； （2）过点作轴于点， ， 设，则， ， ， 把点代入中得， 解得， ，， ． 18．【答案】（1），； （2）； （3）． 【分析】（1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）先确定点的纵坐标，进一步求得点的坐标，然后利用待定系数法求得； （3）作于，利用勾股定理求得、，利用三角形面积公式求得，然后解直角三角函数即可． 【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 将代入，得到：， ， 将代入，得到， 解得：， ； （2）， ， ， ， 的纵坐标为2， 把代入得，， ， 双曲线过点， ； （3）作于，如图， ，， ， ， ， ， ， ． 19．【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据点坐标及△的面积，求出点的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题． （2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）点坐标为， ． 轴，且△的面积为4， ， ， 点的坐标为． 将点坐标代入得，； 将点坐标代入得，． （2）由（1）知， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 则， 解得，， 经检验，是原方程的解． 当时，， 所以点的坐标为． （3）由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为：或． 故答案为：或． 20．【答案】（1）； （2）点的坐标为，或，； （3）点的坐标为或． 【分析】（1）先求得点的坐标，再运用待定系数法即可求得答案； （2）通过联立方程组求得点、的坐标，设，过点作轴，交直线于点，分两种情况：当点在直线的右侧时，当点在直线的左侧时，分别求得和，再根据题意列方程求解即可； （3）设，过点作于点，可得，，，，，再证得△△，利用相似三角形性质列方程求解即可． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 设直线的函数关系式为，把，代入， 得：， 解得：， 直线的函数关系式为； （2）由得：， 解得：， ， ，， 点的坐标为． 由得：， ． ， 设，过点作轴，交直线于点，如图， 则， ， 当点在直线的右侧时， 则， ， ， 解得：， ，； 当点在直线的左侧时， 则 ， ， ， 解得：， ，； 综上所述，点的坐标为，或，； （3）设，如图，过点作于点， 则， 直线的解析式为， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ，， ，， ，， △△， ，即， 解得：或， 所有符合条件点的坐标为或． 21．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）求出点坐标，最后用待定系数法即可求出； （2）过作轴于，求出点坐标，进而求出直线的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点的坐标，即可求出点的坐标． 【解答】解：（1）轴于点， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ； 反比例函数的解析式为； （2）如图，过作轴于， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 点，在直线上， ，， 直线的解析式为①， 由（1）知，反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，或， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$