精品解析：河南省郑州市中原区郑州外国语中学2024-2025学年九年级下学期摸底考试（一）数学试卷

数学 注意事项： 1，本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟； 2，本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. 1.23 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可． 【详解】解：在，，1.23，0这四个数中，，1.23，0是有理数，是无理数， 故选：B． 2. 天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，河南省接待国内游客1906.9万人次，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%，旅游总收入增长20.6%．数据“112.5亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】他们主要考查科学记数法的表示，其形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记科学记数法的形式是解题的关键． 【详解】解：数据亿用科学记数法可表示为：， 故选：D． 3. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 根据三视图的定义逐项分析即可． 【详解】A．左视图不符合题意，故不正确； B．俯视图与左视图与题意不符，故不正确； C．符合题意，正确； D．俯视图不符合题意，故不正确． 故选C． 4. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 又， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 5. 春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把三部影片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种， ∴琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为， 故选：B． 6. 若关于 的一元二次方程有实数根，则 的值不可能是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 7. 如图， 为的直径，C、D为上的点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系等知识点，利用其求得的度数是解题的关键． 根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系得，从而求得的度数，再利用圆周角定理即可求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 8. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（ ， 为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出 的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图1， 点E在正方形的边 上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系． 根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得 的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值． 【详解】连接， ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴， 又， ∴， ∴， ， 连接交于点， （三角形两边之和大于第三边）． 当点P运动到时， ， 解得， ． 连接，则． 在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出，随便写出一个小于0的b值即可． 【详解】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知 与 互为相反数，并且则______________________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得x+y=0，联立即可求出x,y，故可求解． 【详解】依题意可得 解得 ∴ 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知二元一次方程组的解法及负指数幂的运算法则． 13. 如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为，则这座金字塔原来的高为 ___________（用含 的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握三角函数的定义及应用是解题关键．根据底部是边长为的正方形求出 的长，再由锐角三角函数的定义表示出的长即可． 【详解】解：如图， ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，且，点M为上一点，以点A为圆心，的长为半径作圆与边 相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段，及所围成的阴影部分的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用网格线及勾股定理逆定理求得 是等腰直角三角形，再利用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接． 根据网格线，可得，，， ∴，且， ∴ 是等腰直角三角形，且， ∵边 与所在的圆相切于点，， ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，扇形的面积公式，切线的性质，判断出是解本题的关键． 15. 如图，在中，，，线段 绕点C在平面内旋转，过点B作 的垂线，交射线 于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以 为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在 内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在 外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段 绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以 为直径的圆上， 在中，， ∵ 为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在 内部时，最小，最大，连接 ， ，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在 外部时，最大，最小，连接 ， ，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）8；（2） 【解析】 【分析】此题考查了立方根和负整数指数幂，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算立方根和负整数指数幂，然后计算加减； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 86 82 90 99 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 96 100 92 100 整理数据： 3 4 a 8 分析数据： 平均数 中位数 众数 92 b c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数； （3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 【答案】（1）5；91；100 （2）1755人 （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分，众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为众数； （2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以2700即可得到结果； （3）根据中位数和众数的意义进行回答即可． 【小问1详解】 （人）； 将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100 ∴中位数（分） ∵100出现次数最多，出现4次， ∴众数； 【小问2详解】 估计成绩不低于90（分）的人数是（人）， 答：估计成绩不低于90（分）的人数是1755人； 【小问3详解】 中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分， 众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多． 【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键 18. 如图，四边形的顶点B，C在x轴上，顶点D在y轴上，，顶点A的坐标为，顶点B的横坐标．双曲线经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)； （3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2） （3），， ， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，关键是掌握菱形的判定条件． （1）将点代入双曲线，解得 的值，可得反比例函数的解析式； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交 、 于点、 ，连接，分别以、 为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即的平分线； （3）因为，可得，已知，可得5，已知，因为，可得 的长，因为是的角平分线，所以，即，可得，因为，可得，可得，因为，所以四边形是平行四边形，因为，可证平行四边形是菱形． 【小问1详解】 解：将点代入双曲线， 得，， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面 ， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． （1）求点 D到地面 的距离； （2）为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】（1）点D到地面BC的距离为 ； （2）改建后需占路面宽度 的长为 【解析】 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点 ，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【小问1详解】 作于点 ， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面 的距离为； 【小问2详解】 作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 20. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费（元），B品牌收费（元）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）A品牌每分钟收费_______元； （2）求B品牌收费的函数关系式，并描述B品牌的收费方案； （3）如果小豫每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小豫家到工厂的距离为，那么小豫选择哪个品牌的共享电动车更省钱？ 【答案】（1）0.2； （2）；当骑行时间不超过时，收费3元；当骑行时间超过时，除了收费3元，每多骑行加收0.1元； （3）小豫选择B品牌的共享电动车更省钱． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）由图可知骑行20分钟需4元，计算即可求解； （2）当时，；当时，设，设待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得骑行时间，然后结合函数图象观察即可求解． 【小问1详解】 解：设， 把点代入中，得：， 解得：， 故答案为：0.2． 【小问2详解】 由图象可知，当时，， 当时，设， 把点和代入中，得： 解得：， ， 综上：． B品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费3元；当骑行时间超过时，除了收费3元，每多骑行加收0.1元． 【小问3详解】 ， ，由图象可知，当骑行时间超过时，， 小豫选择B品牌的共享电动车更省钱． 21. 某超市分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 30 40 2900 第二次 40 30 2700 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】（1）30元，50元 （2）A商品800件，B商品200件，17000元 【解析】 【分析】设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元，根据题意可列方程组，即可求A、B两种商品每件的进价； （2）根据利润=A商品利润+B商品利润，列出函数关系式，再根据一次函数的性质可求最大利润． 【小问1详解】 解：设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种商品每件的进价分别是30元，50元； 【小问2详解】 解：设A商品a件，B商品件，利润为m元 根据题意得：， 解得：， ， ∴m随a的增大而减小 ∴时，m的最大值为17000元． ∴A商品800件，B商品200件． 【点睛】本题考查一次函数的应用、不等式组的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 22. 我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表 达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图1)，可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在 轴上，坐标原点为伞骨， 的交点(单位：分米)，点 为抛物线的顶 点，点，在抛物线上，， 关于 轴对称．分米，点．设抛物线 表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长， 交抛物线于点 ， ，求以 为直径的圆的周长． 【答案】（1）抛物线解析式为： ； （2）以直径的圆的周长为分米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． （ ）待定系数法求出抛物线解析式即可； （ ）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标 ，根据抛物线的对称性计算出点 坐标，利用横坐标之差计算线段长，再由圆周长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， 把和代入 ， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线 解析式为 ， 将 坐标代入得，， 解得：， ∴直线 解析式为： ， 联立函数解析式， 解得：，或 ∴点 坐标为； ∵抛物线的对称轴是 轴， ∴点 的坐标为， ∴（分米）， ∴直径 的圆的周长为：（分米）． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有 和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边 ，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）①． 理由： 延长 至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长 至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①略 ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1，本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟； 2，本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（　　） A. B. C. 1.23 D. 0 2. 天地正清明，最美四月天．2024年清明假期，河南省文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．三天假期，河南省接待国内游客1906.9万人次，旅游总收入112.5亿元．与2023年同期相比，接待人次增长9.9%，旅游总收入增长20.6%．数据“112.5亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于 的一元二次方程有实数根，则 的值不可能是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 如图， 为 的直径，C、D为 上的点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（ ， 为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 如图1， 点E在正方形的边 上， 且 点P沿 从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）． 12. 已知 与 互为相反数，并且则______________________． 13. 如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为，则这座金字塔原来的高为 ___________（用含的式子表示）． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知 的三个顶点均在格点上，且，点M为 上一点，以点A为圆心，的长为半径作圆与边 相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段， 及所围成的阴影部分的面积为______. 15. 如图，在 中，，，线段 绕点C在平面内旋转，过点B作 的垂线，交射线 于点E．若，则 的最大值为_________，最小值为_________. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下： 86 82 90 99 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 96 100 92 100 整理数据： 3 4 a 8 分析数据： 平均数 中位数 众数 92 b c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表格中a，b，c的值； （2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数； （3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义． 18. 如图，四边形的顶点B，C在x轴上，顶点D在y轴上，，顶点A的坐标为，顶点B的横坐标．双曲线经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)； （3）上问中所作的角平分线与x轴交于点E，若点C的坐标为，求证：四边形是菱形． 19. 过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面 ， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． （1）求点 D到地面 的距离； （2）为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 20. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费（元），B品牌收费（元）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）A品牌每分钟收费_______元； （2）求B品牌收费的函数关系式，并描述B品牌的收费方案； （3）如果小豫每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小豫家到工厂的距离为，那么小豫选择哪个品牌的共享电动车更省钱？ 21. 某超市分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 30 40 2900 第二次 40 30 2700 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 22. 我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表 达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图1)，可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在 轴上，坐标原点为伞骨， 的交点(单位：分米)，点 为抛物线的顶 点，点 ， 在抛物线上，， 关于 轴对称．分米，点．设抛物线 表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长， 交抛物线于点 ， ，求以 为直径的圆的周长． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有 和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在 中， ，， ，分别在边 ， 上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $