第4单元比例尺知识梳理、例题剖析、考点突破-2024-2025学年数学六年级下册青岛版

第4单元比例尺知识梳理、例题剖析、考点突破 知识梳理 比例尺的意义 （1）一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 （2）图上距离∶实际距离=比例尺或=比例尺 比例尺的分类 （1）按表现形式分。 （2）按根据情况将实际距离放大还是缩小分。 比例尺分为放大比例尺和缩小比例尺。 求比例尺的方法 先写出图上距离和实际距离的比，再化简。 求实际距离 方法一：根据“=比例尺”列方程求解。 方法二：根据“图上距离∶实际距离=比例尺”推出“实际距离=图上距离÷比例尺”列除法算式求解。 方法三：根据图上距离和实际距离的倍比关系列乘法算式求解。 求图上距离 方法一：根据“=比例尺”列方程求解。 方法二：根据“实际距离×比例尺=图上距离”直接列乘法算式求解。 平面图形的放大与缩小 意义：保持图形的形状不变，使图形变大或变小。 方法： （1）看原图每边各占几格。 （2）计算出按给定的比将图形的各边放大或缩小后的新图形的每边各占几格。 （3）按计算出的边长画出原图放大或缩小的图形。 例题剖析 例题一：比例尺的意义 1．比例尺表示（      ）。 A．图上距离是实际距离的 B．实际距离是图上距离的800000倍 C．实际距离与图上距离的比为1∶800000 【答案】B 【分析】根据比例尺的认识和意义解答即可。 【详解】线段比例尺可表示为1：800000，即实际距离是图上距离的800000倍。 故答案为：B 2．把一个圆形鱼塘画在比例尺是（　　）的图上，面积最大。 A．1∶200 B． C． 【答案】A 【分析】根据比例尺的意义来解答，比例尺表示图上距离与实际距离的比，把同一个鱼塘画在图纸上，要想面积越大，那么1厘米表示实际的长度就越小，画出鱼塘就越大，据此来解答。 【详解】A．1∶200图上1厘米表示实际的200厘米； B．图上1厘米表示实际的300厘米； C．4米＝400厘米，图上1厘米表示实际的400厘米。 200＜300＜400 所以把一个圆形鱼塘画在比例尺是1∶200的图上，面积最大。 故答案为：A 3．比例尺1∶5表示图形的（  ） A．放大 B．缩小 C．不变 【答案】B 【分析】根据比例尺的意义可知，比例尺1∶5，是指图形按照1∶5的比例进行缩小，据此即可选择。 【详解】解：比例尺1∶5，是指图形按照1∶5的比例进行缩小， 故选：B 例题二：求比例尺 1．一个长6毫米的零件画在图纸上是12厘米，则这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．20∶1 D．1∶20 【答案】C 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，据此解答。 【详解】图上距离∶实际距离 ＝12厘米∶6毫米 ＝（12×10）毫米∶6毫米 ＝120∶6 ＝（120÷6）∶（6÷6） ＝20∶1 所以，这幅图的比例尺是20∶1。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查比例尺的认识，掌握比例尺的意义是解答题目的关键。 2．一种精密的机器零件长4mm，在图纸上长8cm，图纸的比例尺是（　　）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶20 D．20∶1 【答案】D 【详解】8cm＝80mm 80∶4＝20∶1， 所以这幅图纸的比例尺为20∶1。 故答案为：D 3．北京距天津120千米，在一幅地图上量得它们之间的距离是1.2厘米，这幅地图的比例尺是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例尺的公式：图上距离:实际距离=比例尺，先将图上距离和实际距离的单位化统一，然后化成前项或后项是1的最简整数比，据此解答. 【详解】1.2厘米:120千米 =1.2厘米:12000000厘米 =(1.2÷1.2):(12000000÷1.2) =1:10000000 = 故答案为B. 例题三：图形的放大与缩小 1．一个圆按3∶1放大后，半径是15厘米，原来圆的周长是( )厘米。 【答案】31.4 【分析】一个圆按3∶1放大就是把原来的圆的半径扩大到原来的3倍，扩大后半径是15厘米，原来的圆的半径是15÷3＝5（厘米），根据圆的周长公式C＝2r解答即可。 【详解】圆的半径是：15÷3＝5（厘米） 2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（厘米） 所以圆的周长是31.4厘米。 【点睛】本题考查图形的放大与缩小、圆的周长，解答本题的关键是掌握图形放大的概念，去求出圆的实际半径。 2．一种长为2.5毫米的仪器零件，画在图纸上的长度是10厘米，这幅图纸的比例尺是( )，是( )（选填“缩小”或“放大”）比例尺。 【答案】 40∶1 放大 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出比例尺，把零件在图纸上放大时，是放大比例尺，据此解答即可。 【详解】比例尺： 10厘米∶2.5毫米 ＝10厘米∶0.25厘米 ＝1000∶25 ＝40∶1 所以这幅图纸的比例尺是40∶1，是放大比例尺。 3．把一个长2厘米、宽3厘米的长方形按4∶1的比放大，得到的图形的面积是( )平方厘米。 【答案】96 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式计算即可。 【详解】2×4＝8（厘米） 3×4＝12（厘米） 12×8＝96（平方厘米） 得到的图形的面积是96平方厘米。 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，掌握并灵活运用长方形面积公式。 例题四：应用比例尺画图 1．一个长方形的花坛，长160米，宽40米．请用的比例尺，在下面的方格图中画出这个长方形花坛的平面图．（方格边长是1厘米） 【答案】如图： 【详解】略 2．星华公园在实验小学学校正北200米处，文都书店在学校正东，春光动物园在学校正西400米处，请你在图中标出比例尺，并画出春光动物园的位置。 【答案】 【详解】略 3．（1）在方格内按2∶1画出下面三角形扩大后的图形。 （2）在方格内按1∶2画出下面长方形缩小后的图形 【答案】 【分析】把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1； 把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n 【详解】作图如下： 【点睛】本题考查了图形的放大和缩小，图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数。 例题五：应用比例尺解决面积问题 1．“小状元”学校新建科教大楼的长是150米,画在图纸上长是25厘米,宽是15厘米｡ (1)在设计平面图上占地面积为多少平方米? (2)科技大楼实际占地多少平方米? 【答案】（1）0.0375平方米 （2）13500平方米 【详解】（2）15÷25= 150×=90（米） 150×90=13500平方米 2．在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的周长是10厘米，长与宽的比是3:2．求这间教室实际面积是多少？ 【答案】150平方米 【详解】10÷=5000（厘米）=50（米） 50×÷2=15（米） 50×÷2=10（米） 15×10=150（平方米） 3．某建筑工地挖一个长方形的地基，把它画在比例尺是的平面图上，长是6厘米，宽是4厘米，这块地基的面积是多少？ 【答案】5400平方米 【详解】长：6÷=9000（厘米） 9000厘米=90米 宽：4÷=6000（厘米） 6000厘米=60米 90×60=5400（平方米） 例题六：用比例尺解决路程问题 1．在一幅比例尺是1:9000000的地图上,量得甲乙两地的图上距离是10.2厘米,一架飞机以每小时700千米的速度飞行,从甲地飞往乙地需要多少时间?(得数保留一位小数) 【答案】1.3小时 【详解】10.2÷ =91800000（厘米） 91800000厘米=918千米 918÷700≈1.3(小时) 2．在一张比例尺是1∶6000000的地图上，量得北京到上海的距离是21厘米，一列火车从北京开往上海，每小时行126千米，几小时才能达到？ 【答案】10小时 【详解】21÷＝126000000（厘米）＝1260（千米） 1260÷126＝10（小时） 3．在比例尺是的地图上，量得、两地的距离是20厘米，两列火车同时从、两地相对开出，甲车每小时行54千米，乙车每小时行46千米，几小时后两车相遇？ 【答案】8小时 【详解】20×4000000＝80000000（厘米） 80000000厘米＝800千米 800÷（54＋46） ＝800÷100 ＝8（小时） 答：8小时后两车相遇。 考点突破 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ）。 A．比例尺是一把尺子 B．比例尺的前项都是1 C．比例尺是一个比 D．比例尺按对应长度的大小关系可分为数值比例尺和线段比例尺 2．把线段比例尺改写成数字比例尺是（    ）。 A．1∶50 B．1∶200 C．1∶5000000 D．1∶20000000 3．实验小学新建一个长方形游泳池，长50米，宽30米。选用比例尺（    ）画出的平面图最大；选用比例尺（    ）出的平面图最小。（    ） A．1∶1000；1∶1500 B．1∶1500；1∶500 C．1∶500；1∶100 D．1∶100；1∶1500 4．在比例尺是20︰1的图纸上，量得零件的长是2厘米，这个零件实际长（    ）。 A．40厘米 B．1厘米 C．1毫米 D．4毫米 5．在比例尺是1∶150000的地图上，3厘米表示实际距离（    ）千米。 A．15 B．45 C．4.5 D．30 6．在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮上午6时以每小时30千米的速度从A港开向B港，到达B港的时间是（    ）。 A．14时 B．16时 C．18时 D．20时 二、填空题 7．在一幅地图上，用4cm表示实际140km，这幅地图的比例尺是( )。 8．把一个长5厘米，宽2厘米的长方形按3∶1放大在图纸上后，得到的图形的面积是( )平方厘米。 9．把数值比例尺1∶6000000，改写成线段比例尺是( )。在这幅地图上量得甲乙两地的距离是5厘米，甲乙两地的实际距离是( )千米。 10．一个圆形，按3∶1放大后，周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 11．张强的爸爸想带家人自驾游，在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，张强量得要去的地方距出发地为4.8厘米，这段路程的实际距离是( )千米，计划三小时到达目的地，小车的平均速度是( )千米/时。 12．在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地间的路程是4.2厘米。一辆客车分两天按行完全程，第二天行了( )千米。 三、判断题 13．改写成数值比例尺是1∶5。( ) 14．在一个零件的加工图纸上，用5厘米的线段表示实际长度10毫米，这个图纸的比例尺是5∶1。( ) 15．所有比例尺的前项都是1。( ) 16．按某比例尺画出的图形，两点之间图上的距离一定小于实际距离。( ) 17．有的比例尺的前项是1，有的比例尺的后项是1。( ) 四、解答题 18．一段铁路全长26千米，如果画在比例尺1∶500000的地图上，应画多少厘米？ 19．在一幅比例尺是1∶200000的地图上，量得甲、乙两地的距离是20厘米。部队进行野外训练，从甲地到乙地，要求5小时到达，平均每小时行军多少千米？ 20．在方格纸上按要求画图。 （1）将三角形绕A点顺时针旋转90°再向右平移4格。 （2）把图中的长方形按2∶1放大，画出放大后的长方形，放大后的长方形与原来长方形面积的比是（    ）。 21．在比例尺1∶100的图纸上量得一个无盖圆柱形水罐的底面直径是4厘米，高是2厘米。制作这样一个水罐至少需要多少平方米的铁皮？ 22．下图是一个平行四边形花圃的平面图。这个花圃的实际面积是多少平方米？如果每平方米栽3棵牡丹花，这个花圃一共能栽多少棵牡丹花？ 23．在比例尺是1∶6000000的地图上，量得AB两地之间的距离是7厘米，甲乙两车同时从AB两地相对开出，甲车每小时行45千米，甲车的速度比乙车的速度慢，两车开出后几小时相遇？ 24．动手画一画 ①文化宫北面300米处，有一条商业街与人民路互相平行，在图中画直线表示这条街，并标上：商业街。 ②体育馆在文化宫（    ）偏（    ）（    ）方向大约（    ）米处。 ③小泽以70米/分的速度从学校沿着人民路向东走，3分钟后他在文化宫正（    ）方向（    ）米处。 ④超市在文化宫的北偏西30度方向400米处，请在图中标出超市的位置。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。比例尺的种类：按表现形式分为数值比例尺与线段比例尺；按功能分为放大比例尺与缩小比例尺。放大比例尺是后项为1的比，缩小比例尺是前项为1的比。 【详解】A．比例尺是图上距离与实际距离的比，原题说法错误； B．比例尺的前项不一定是1，原题说法错误； C．比例尺是一个比，原题说法正确； D．比例尺按表现形式可分为数值比例尺和线段比例尺，原题说法错误。 故答案为：C 2．C 【分析】观察线段比例尺可知，图上距离1厘米表示实际距离50千米，然后根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此进行计算即可。 【详解】1厘米∶50千米 ＝1厘米∶5000000厘米 ＝1∶5000000 故答案为：C 【点睛】本题考查比例尺，明确比例尺的计算方法是解题的关键。 3．D 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，比例尺越大，即后项越小，表示的内容越详细，比例尺越小，即后项越小，表示的内容越简略，据此即可判断。 【详解】要画出的平面图最大，即要比例尺最大，所以选用比例尺1∶100画出的平面图最大； 要画出的平面图最小，即要比例尺最小，所以选用比例尺1∶1500画出的平面图最小。 故答案为：D 【点睛】本题考查比例尺的意义，明确比例尺、图上距离、实际距离之间的关系是解题的关键。 4．C 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离；实际距离＝图上距离÷比例尺；代入数据，即可解答。 【详解】2÷＝0.1（厘米） 0.1厘米＝1毫米 故答案为：C 【点睛】根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系，进行分析解答即可。 5．C 【解析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，进行换算。 【详解】3×150000＝450000（厘米）＝4.5（千米） 故答案为：C 【点睛】本题考查了图上距离与实际距离的换算，实际距离×比例尺＝图上距离。 6．C 【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，再根据“路程÷速度＝时间”求出货轮从A地到B地需要的时间，进而可以求出到达B地的时刻。 【详解】9÷ ＝36000000（厘米）＝360（千米）；   360÷30＝12（小时）； 6＋12＝18（时）； 故答案为：C 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及基本的数量关系“路程÷速度＝时间”。 7．1∶3500000 【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，进行分析。 【详解】4厘米∶140千米＝4厘米∶14000000厘米＝1∶3500000 【点睛】比例尺没有单位名称。为了方便，通常把比例尺的前项化作1（图上距离大于实际距离的，常把后项化为1）。 8．90 【分析】将长方形按3∶1放大，则放大后的长和宽都是原来的3倍，即长为5×3＝15厘米、宽为2×3＝6厘米，再进一步求出面积即可。 【详解】5×3＝15（厘米） 2×3＝6（厘米） 15×6＝90（平方厘米） 故答案为：90 【点睛】明确按3∶1放大后，得到的图形的长和宽分别为多少是解答本题的关键。 9． 300 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。据此将数值比例尺1厘米表示的实际距离换算成以千米为单位的数，画出1厘米的线段，进行标注；根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算。 【详解】6000000厘米＝60（千米） 线段比例尺： 5×60＝300（千米） 【点睛】比例尺没有单位名称。为了方便，通常把比例尺的前项化作1（图上距离大于实际距离的，常把后项化为1）。 10． 3 9 【分析】一个圆形，按3∶1放大后，则半径和直径都扩大到原来的3倍；假设圆的半径为1，扩大后半径为3，分别求出变化前后的周长和面积，再进行解答即可。 【详解】假设圆的半径为1，扩大后半径为3 周长：（2×3×π）÷（2×1×π） ＝6π÷2π ＝3 面积：（π×3²）÷（π×1²） ＝9π÷π ＝9 【点睛】明确圆按3∶1放大后，半径和直径都扩大到原来的3倍是解答本题的关键。 11． 240 80 【分析】由题意可知，已知比例尺和图上距离，根据实际距离＝图上距离÷比例尺即可求出；已知路程和时间，求速度。根据速度＝路程÷时间即可。 【详解】4.8×5000000＝24000000（厘米）＝240（千米） 240÷3＝80（千米/时） 【点睛】本题考查比例尺的应用，掌握比例尺＝图上距离÷实际距离是解题的关键。 12．480 【分析】先求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离图上距离÷比例尺”代入数值求出实际距离，进而根据比例分配求出第一天和第二天行驶的路程比求出第二天行驶的路程。 【详解】（厘米） 84000000厘米千米 （千米） 【点睛】本题主要考查了比例尺的应用，熟记公式：比例尺图上距离∶实际距离，灵活变形列式解决问题。注意单位换算。 13．× 【分析】线段比例尺上1厘米代表实际距离5米，把5米化成500厘米，即图上1厘米代表实际距离500厘米，改写成数值比例尺是1∶500。 【详解】 改写成数值比例尺是1∶500，本题说法错误。 故答案为：× 14．√ 【分析】先统一单位，然后根据比例尺＝图上距离∶实际距离，写出这个图纸的比例尺即可。 【详解】5厘米＝50毫米 50毫米∶10毫米 ＝（50÷10）∶（10÷10） ＝5∶1 这个图纸的比例尺是5∶1。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了比例尺的意义。 15．× 【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”可知，如果实际距离较大，图上距离较小时，则比例尺写成前项是1的形式；如果实际距离较小，图上距离较大时，则比例尺写成后项是1，而前项大于1的形式。 【详解】缩小比例尺写成前项是1的形式，放大比例尺写成后项是l的形式，它的前项大于1。所以，不是所有比例尺只能写成前项是1的形式。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查比例尺的意义，掌握缩小比例尺和放大比例尺的写法区别是解题的关键。 16．× 【分析】比例尺是图上距离比实际距离，图上距离不一定小于实际距离。 【详解】当比例尺是1∶1的时候，图上距离等于实际距离； 所以图上距离不一定小于实际距离， 故答案为：×。 17．√ 【分析】比例尺表示图上距离和实际距离的比，为了计算方便，通常写出前项是1或后项是1的比，据此解答即可。 【详解】有的比例尺的前项是1，有的比例尺的后项是1，原题说法正确； 故答案为：√。 【点睛】比例尺的前项是1时，属于缩小比例尺，比例尺的后项是1时，属于放大比例尺。 18．5.2厘米 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，据此代入数值进行计算即可。 【详解】26千米＝2600000厘米 2600000×＝5.2（厘米） 答：应画5.2厘米。 【点睛】本题考查比例尺，明确图上距离∶实际距离＝比例尺是解题的关键。 19．8千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算出实际距离，再根据路程÷时间＝速度，代入数据解答即可。 【详解】20÷＝4000000（厘米） 4000000厘米＝40千米 40÷5＝8（千米/小时） 答：平均每小时行军8千米。 【点睛】熟练掌握图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系以及路程、速度、时间三者间的关系是解题的关键。 20．（1）见详解 （2）图见详解；4∶1 【分析】（1）根据旋转的特征，三角形绕点A顺时针旋转90°后，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同的方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形；再根据平移的特征，把旋转后的三角形的各顶点分别向右平移4格，首尾连接即可得到平移后的图形。 （2）根据图形放大与缩小的意义，把长方形的长、宽分别扩大到原来的2倍，所画出的长方形就是长方形按2∶1放大后的图形，分别求出放大后的长方形的面积、原长方形的面积，根据比的意义写出比并化简。 【详解】（1）作图如下： （2）如上图： 原长方形的面积＝4×2＝8 放大后的长方形的面积＝8×4＝32 所以放大后的长方形与原来长方形面积的比是32∶8＝4∶1。 【点睛】此题考查的知识点较多，有作旋转一定度数后的图形；图形的放大与缩小；长方形面积的计算、比的意义等，要求学生熟练掌握。 21．37.68平方米 【分析】已知在这个1∶100的图纸上，这个无盖的圆柱形水罐的底面直径是4厘米、高是2厘米；则可利用比例尺先求出圆柱形水罐的实际直径和高分别是多少；再求其表面积。 【详解】4÷＝4×100＝400（厘米）＝4（米） 2÷＝2×100＝200（厘米）＝2（米） S表＝S底＋S侧 ＝3.14×（4÷2）2＋3.14×4×2 ＝12.56＋25.12 ＝37.68（平方米） 答：制作这样一个水罐至少需要37.68平方米的铁皮。 【点睛】本题综合了比例尺的应用与圆柱体的表面积的计算两个知识点；比例尺前项为1，后项为100，相当于图上距离是实际长度的；在计算表面积时，注意这里是一个无盖的圆柱形，只需计算一个底面积即可。 22．12800平方米；38400棵 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际的长与高，进而求出实际面积即可；用实际面积×每平方米栽的棵数即可。 【详解】2÷＝8000（厘米）＝80（米） 4÷＝16000（厘米）＝160（米） 160×80＝12800（平方米） 12800×3＝38400（棵） 答：这个花圃的实际面积是12800平方米，一共能栽38400棵牡丹花。 【点睛】本题主要考查实际距离与图上距离的换算，求出实际长、高的值是解题的关键。 23．4小时 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出实际距离；根据“乙车的速度×（1－）＝甲车的速度”，求出乙车的速度，再用实际距离除以两车的速度和即可求出相遇时间。 【详解】7÷＝42000000（厘米）＝420千米； 45÷（1－） ＝45÷ ＝60（千米）； 420÷（45＋60） ＝420÷105 ＝4（小时）； 答：两车开出后4小时相遇。 【点睛】解答本题的关键是根据“实际距离、图上距离、比例尺”之间的关系求出实际距离，根据分数除法的意义求出乙车的速度。 24．①见详解 ②北；东；45°；300 ③东；10 ④见详解 【分析】①根据地图上的方向“上北下南，左西右东”及其他信息（距离）来确定商业街的位置，再画出人民路的平行线即可。 ②根据地图上的方向“上北下南，左西右东”及其他信息（角度、距离）确定体育馆的位置即可，用直尺量得体育馆到文化宫的图上距离为3厘米，则它们的实际距离约为300米。 ③从学校到文化宫的路程大约为2×100＝200米，小泽3分钟走的总路程为3×70＝210米，所以3分钟后他在文化宫正东方向10米处。 ④根据地图上的方向“上北下南，左西右东”及其他信息（角度、距离）确定超市的位置即可。 【详解】①和④如图： ②体育馆在文化宫北偏东45°方向大约300米处。 ③3×70－2×100 ＝210－200 ＝10（米） 3分钟后他在文化宫正东方向10米处。 【点睛】本题综合性较强，熟练掌握根据距离和方向确定位置的方法以及能够灵活利用线段比例尺是解答本题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$