精品解析：河北省石家庄市河北辛集中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

河北辛集中学2024-2025学年第二学期第一次阶段考试 高二数学试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根据导数乘法运算法则判断D. 【详解】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D 2. 曲线的单调增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导函数，令，可求单调递增区间. 【详解】由，可得， 令，可得，因为，所以，则有， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 3. 已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ） A. B. 4 C. －4 D. －3 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式及等差数列通项的性质求得，即可求得公差. 【详解】∵是等差数列，， ∴，解得 ∵,∴公差. 故选：B. 4. 已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理结合等比数列性质即可求解； 【详解】由题意可得，解得． 故选：D． 5. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为3，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得，， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 故选：B. 6. 已知函数，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意对函数求导得到，然后利用导数分析讨论最大值和最小值. 【详解】函数的定义域为，由题得， 当时，单调递增； 当时，单调递减． 又当时，与二次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而； 当时，．所以函数无最大值，有最小值，故B正确. 故选：B. 7. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由题意可得出，解出、的值，再结合题意进行检验，即可得解. 【详解】因为，则 又在处取得极大值， ，解得或， 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极小值，与题意不符； 当，时，， 当时，，当时，， 则在处取得极大值，符合题意，则， 故选：C. 8. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 84 C. 90 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，计算可求得. 【详解】因为是等比数列的前项和，因为，所以公比， 所以，，，成等比数列， 又，，所以，， 所以. 故选：C. 9. 已知两个等差数列与的前项和分别为和，则使得的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，令即可得答案. 【详解】根据题意，两个等差数列和， 则＝＝＝＝＝＝， 当时， 故选：C. 10. 已知，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性即可求解A，构造函数，求导即可判断C,构造函数即可求解B，根据指数以及对数的性质即可求解D. 【详解】令且，则，故在上递减， 又，所以，A错误； 令且，则， 所以上，递减，上，递增， 而，此时不能比较，的大小，所以无法确定的大小，C错误； 令且，则，故在上递增， 又，所以，B错误； 由于，所以，故,D正确， 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 12. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解. 【详解】对于AC：因为， 且， 所以，，又因为， 所以，解得； 所以等差数列是递减数列，故AC错误； 对于B：因为，所以，故C正确； 对于D：因为等差数列是递减数列， 且，，则，， 所以，，故D正确. 故选：BD. 13. 若函数，则（ ） A. 的极大值点为2 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，探讨函数的单调性及极值判断AB；探讨对称性求解判断CD. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，作出其图象. 由图知，函数在处取得极大值，只有一个极大值点，故A错误； 函数在处取得极小值，且当时，，则有且仅有2个零点，故B正确； 因，则点是图象的对称中心，故C正确； 因 ，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.） 14. 已知等比数列，若，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知根据等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 15. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案： 16. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】将条件转化为在上单调递增，再转化为在上恒成立，利用导数求函数的最小值，可得结论. 【分析】不妨设，则不等式可化为， 所以， 设，由已知可得在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以上恒成立， 设，则， 设，则， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，满足， 即，所以， 设，则， 所以在上单调递增，又， 所以， 所以当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立. 四、解答题（本题共5个大题，共67分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义由前项和公式计算可得； （2）易知是公比为4的等比数列，代入等比数列前项和公式可得结果. 【小问1详解】 设的公差为， 由可得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 易知是公比为4的等比数列， 所以可得. 18. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）若，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，则，所以，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，所以， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，函数在区间上的最大值为， 因为，，，故. 19. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以 . 20. 设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 小问1详解】 由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． 【小问2详解】 显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 21. 已知函数，其中，e为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，讨论、、、，得出的单调性； （2）将变形为，构造函数，由导数得出其单调性，进而根据恒成立问题的解题方法得出实数m的取值范围． 小问1详解】 ， 当时，， 若，则；若，则. 则函数在上单调递减，在上单调递增. 当时， 若，则或；若，则. 则函数在，上单调递增，在上单调递减. 当时，，函数在上单调递增. 当时，若，则或； 若，则； 即函数在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 当时，函数在上单调递增. 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 不等式可化为， 令，则，即在恒成立. 当时，在恒成立. 构造函数，且，. 令，. 若，则；若，则. 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以当时，；当时，. 即函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 函数的图象如下图所示: 要使得在恒成立，则，解得. 即. 【点睛】关键点睛：在得出的单调性时，关键在于令，进行二次求导，从而得出函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2024-2025学年第二学期第一次阶段考试 高二数学试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导正确的（ ） A. B. C. D. 2. 曲线的单调增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 3. 已知等差数列前n项和为，则数列的公差是（ ） A. B. 4 C. －4 D. －3 4. 已知数列为等比数列，若，是方程的两个不相等的实数根，则（ ） A. 5 B. C. 4 D. 5. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知函数，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 7. 若在处取得极大值，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 84 C. 90 D. 112 9. 已知两个等差数列与的前项和分别为和，则使得的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 已知，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 12. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列递增数列 B. C. D. 中最大是 13. 若函数，则（ ） A. 的极大值点为2 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.） 14. 已知等比数列，若，，则________. 15. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 16. 已知函数，若，且，有恒成立，则实数取值范围是________. 四、解答题（本题共5个大题，共67分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 18. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）若，求在区间上的最大值和最小值. 19. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求前项和. 20. 设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 21. 已知函数，其中，e为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $