2025届宁夏回族自治区银川一中2025届高三第一次模拟数学试卷

2025届高三第一次模拟数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C A D C B ACD ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用集合的混合运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故选：C. 2．B 【分析】利用复数的乘法运算法则计算可得结果. 【详解】易知. 故选：B 3．D 【详解】分析：首先利用向量的数量积的运算律，化简求得，利用向量夹角余弦公式，求得对应角的余弦值，求得结果. 详解：向量满足，， 可得，所以，可求得， 所以， 因为向量夹角的取值范围是，所以，故选D. 点睛：该题考查的是有关向量的夹角的大小问题，在求解的过程中，需要先求出向量夹角的余弦值，通过余弦值来确定角的大小，利用题的条件，求得向量的数量积，之后应用公式求得结果. 4．C 【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出和，进而求出公差即可求解. 【详解】在等差数列中，依题意，， 故， 解得，， 故和是的两根，解得，，， 因为为正项等差数列，故公差， 从而，，则，即， 所以. 故选：. 5．A 【分析】先根据题意求出，再根据任意角的三角函数的定义和诱导公式求出的值，然后代入计算即可. 【详解】由题意得，且，解得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 6．D 【分析】取一条渐近线，利用圆心到直线的距离等于半径得到答案. 【详解】的一条渐近线为 根据题意： 故答案选D 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力. 7．C 【分析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解. 【详解】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图； 对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B； 对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D. 故选：C 8．B 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由可得： ； 即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此，‘ 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得 综上可知的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“完整函数”定义，将问题转化为在上至少存在两个最大值点，再通过比较区间长度和周期之间的关系即可求解. 9．ACD 【分析】根据正态分布概率性质计算判断A，由百分位数定义计算判断B，根据相关系数的概念判断C，把中心点代入回归方程求解后判断D． 【详解】选项A，由已知，因此，A正确； 选项B，总共有10个数，由于，因此第60百分位数为，B错； 选项C，线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关性越强，越接近0，两个变量的线性相关性越弱，C正确； 选项D，由已知，解得，D正确． 故选：ACD． 10. ABD 【分析】对于A项，通过作关于轴对称的函数的图象与的交点情况，不难判断；对于B，C两项，主要是考虑二次函数图象的对称性和的取值范围分析或者特例判断即得；对于D项，要先判断的范围，结合图象易得. 【详解】 如图，依题意作出函数的图象. 对于A项，作出关于轴对称的函数的图象， 与直线交于点，则， 不难看出点在点的右侧，则，故，A项正确； 对于B项，因当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，则， 由可得：，即，则得，故B项正确； 对于C项，当时，由解得：， 由解得：， 此时，故C项错误； 对于D项，依题意，，在上单调递增，故， 于是由图知，函数与的图象恰有三个交点，即关于的方程恰有3个实数解，故D项正确. 故选：ABD. 11．BCD 【分析】A．根据函数是偶函数，进行判断即可． B．判断当时，函数的单调性即可． C．求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解． D．利用两点间的距离公式进行判断求解． 【详解】当，时，函数. A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，故A错误； B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，故B正确； C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为， 所以“囧点”为，设，则，设切点为，，切线的斜率， 当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，，解得， 切点坐标为， 故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，故C正确， D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值； 当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中， 则点到圆心的距离的平方为， 令，，则， 再令，（其中，则， 所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时， 最小半径为．又， 综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为． 故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为，故D正确， 故选：BCD． 12．2 【分析】由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得可得答案. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以， 设，由抛物线的性质得：，故到的距离为2. 故答案为：2． 13． 【分析】利用累加法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】由题意可知，，，，……，， 所以， ， ， 所以数列， . 故答案为： 14． 【分析】根据题意，令，可知当时符合题意，利用导数可得函数的单调性和最小值，其中，令最小值大于或等于0，进而得解. 【详解】由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程有解，设解为，则，从而表示出的最小值，进而求解. 15．(1) (2) 【分析】（1）求导，根据斜率即可求解， （2）求导，得函数的单调性，即可根据极值的定义求解. 【详解】（1）由可得，--------------------------------2分 则，-------------------------------------------------------------------------4分 由于，故，------------------------------------------------------------------------6分 （2）， ------8分 当或时，，当时，，-------------------------------9分 故在单调递增，在单调递减，在单调递增，-----------------------11分 故的极小值为.--------------------------------------------------------------13分 16．(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得, ------------------------------------------2分 ∵, ∴, ∴，∴，---------------------------------------4分 又，解得； --------------------------------------------------------------6分 （2）∵M是BC的中点， ∴， 两边平方得 ，∴；------------------------------------8分 ∵M，N分别是BC，AC的中点， ，. 所以与的夹角等于， ∴. --------------------------------------------------------------------------------9分 ∵ ， ---------------------------------------------------11分 ，------------13分 所以. -------------------------------------------------------------15分 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可得证； （2）利用线面平行的判定和性质定理来进行推理证明即可； （3）先把二面角的正切值转化为余弦值，再利用空间向量法来求解二面角的余弦值，从而得到方程求解边长，也可以利用空间关系来证明线面垂直，并作图证明二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1） 因为，，，平面，所以平面， -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分 又因为平面，所以，-----------------------------------------------------------3分 （2）因为分别是的中点， 所以，因为平面，平面，即平面，---------5分 又因为平面，而平面平面，所以，---------------------7分 而平面，平面，所以平面；----------------------------------------8分 （3）解法一：以A为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由（2）知，平面且平面，故平面平面， 平面PAB的法向量，-------------------------------------------------------------------10分 设，则，，---------------------------------------------11分 ，则， 设平面法向量，则， --------------13分 设二面角的平面角为，已知，所以， ， 解得：.（设也同样可以）-------------------------------------------------------------15分 解法二：延长，过C作于点，连接，过 P作于点 ，   面，， 为所成的二面角.------------------------10分 设，二面角的正切值为2，则 得 ------------12分 中，  为等腰直角三角形， ，. --------------------------------------------------------------------------13分 在中，，代入得， 解得：，.-------------------------------------------------------------------------15分 18．(1) ，所以依据小概率值 的独立性检验，认为对赌博感兴趣的情况与性别无关． (2)①,；②答案见解析. 【详解】（1）由题意得： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 35 20 55 女生 15 30 45 合计 50 50 100 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分 则的观测值为，--------------------------4分 所以依据小概率值 的独立性检验，认为对赌博感兴趣的情况与性别无关．-------------------------5分 （2）①当时，赌徒已经输光了，因此. 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.------------7分 ②记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元且下一场赢的事件, , 即，-----------------------------------------------------------------------9分 所以， 所以是一个等差数列，------------------------------------------------------------------------11分 设，则， 累加得， ----------------------------------------------------------------------------13分 故，得， ，由得,即,--------------------------14分 当时，， 当时，，-------------------------------------------------------------------------16分 当时，，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏， 只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．-----------------------------------------------------17分 【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解. 19．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可； （3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【详解】（1）由题意，，则， 椭圆方程为：----------------------------------------------------------------------------2分 （2）如图， 设，则， 对，令，-----------------------4分 所以由相似三角形可得：， --------------------------------------6分 所以， 又因为，所以，，-------------------------------------------8分 解得或，所以对应的分别为或， 所以或．-------------------------------------------------------------------------------9分 （3）设， 则， 则．---------------------------------------------------------11分 又因为， 所以，则，---------------------------------------------------------------13分 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则，-----------------------------------15分 因为，所以，此时， 所以直线方程为．----------------------------------------------------------------------17分 【点睛】关键点点睛：第二问关键将三角形面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可；第三问关键是将最大问题转化为正切值的最值，结合基本不等式计算.综合性较强，属于中难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 试 题 卷 ( 银川一中第一次模拟考试 ) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．设全集U，集合，则= A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．设向量满足，，，则与的夹角为 A． B． C． D． 4．已知正项等差数列，若，，则 A． B． C． D． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标 原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线 和射线，若射线与单位圆的交点为，射线 与单位圆的交点为，且，则的值是 A． B． C． D． 6．双曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲 线的离心率为 A． B． C． D．2 7．如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内 切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得 到的．现用一个平面去截这个几何体,则截面图形不可能是 A． B． C． D． 8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为 “完整函数”．已知是上的“完整 函数”，则的取值范围为 A． B． C． D． 二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．下列说法正确的是 A．若随机变量服从正态分布，且，则 B．一组数据的第60百分位数为14 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心 为，则实数的值是－4 10．已知函数若关于的方程有3个实数解，则 A． B． C． D．关于的方程恰有3个实数 11．函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是 A．函数的图象关于直线对称 B．当时，的最大值为－1 C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为 D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．已知抛物线：的焦点为，点在上，且，则到轴的距离为 . 13．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前10项和 ． 14．若不等式（e是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数 . 四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(13分) 已知函数在处的切线垂直于轴． (1)求实数的值； (2)求函数的极小值． 16．(15分) 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若. (1)求A; (2)若，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，求cos∠MPN. 17．(15分) 如图，在三棱锥中，AB⊥AC，， ，，、分别为、中点. (1)证明：； (2)证明：平面与平面的交线平面； (3)若，二面角的正切值为2，求的长. 18．(17分) 数学中的概率概念最早起源于对赌博问题的研究.一个数学兴趣小组随机调查了100名成年人，对关于赌博是否感兴趣的话题进行了统计，其中被选取的男女人数之比为11∶9． (1)请补充完整列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为对赌博感兴趣的情况与性别有关． 感兴趣 不感兴趣 合计 成年男性 成年女性 15 合计 50 100 (2)假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： ①请直接写出与的数值． ②证明是一个等差数列，当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19．(17分) 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是面积的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程. 数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$