第3节 整式及因式分解(精讲册)-【鸿鹄志·名师测控】2025年中考特训方案数学（贵州专版）

第3节 整式及因式分解 梳要点·过教材 知识梳理 概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子，如：m一1,30， 数式 列代数式：用含数、字母和运算符号的式子表示实际向题中的数量关系 代数式求值：(1)化简后直接带入求值：(2)变形后整体带人求值题 易错警醒相加减的代数式后面带单位时，需用括号括起来，知：（十）个 解题技巧(1)观察已知条件和所求代数式的关系： (2)所求代数式变形后与已知代数式成倍数或分数关系，一般会用到提公因式法、平方差公 式法、完全平方公式法： (3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值（体现整体思想） 概念：数与字母的① 组成的式子（单独的数或字母也是单项式） 单项式系数：单项式中的数字因数 次数：单项式中所有字母的指数之和 式及 式相关 概念：儿个单项式的② 多项式项：多项式中的每个单项式，特别地，不含字母的项叫作③ 式分 念 次数：多项式中次数④ 的项的次数，如：2x2十xy的次数是⑤ 整式：单项式和多项式统称为整式 易错警醒元是教字，而非字母，知：了的系数是⊙】 合并同类项：同类项的系数相加诚作为新的系数，同类项的字母和字母的指 加减运算 数不变，如：-2x2y-3.x2y=-5.x2y (实质：合并 括号前是“+”，去括号时，括号内各项不变号，如：a十(b十c)= 同类项) 去括号⑦ 法则 括号前是“一”，去括号时，括号内每一项都变号.如：a一(b十c)= ⑧ 整 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a"·a”=⑨ 幂的运算 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a÷a"=⑩ (a≠0且m>n) (m,n为 幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（α“）"=① 正整数) 算 积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(b)”=② 单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数作 为积的一个因式.如：3a2·3ab=(3×3)a+1b=⑧ 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如：α(b十c) 法 0 算 多 用多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.如： 项 (a+b)(c+d)=⑤ 乘 平方差公式：(a+b)(a-b)=⑩ 式 公式 ub b 完全平方公式：(a士b)2=⑦ 8 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式 公式：ma十mb+mc=⑧ 提公因式法 系数：取各项系数的最大公因数 公因式的确定 字母：取各项相同的字母 方法 指数：取各项相同字母的最低次数 a2-b 因式分解 公式法 整式乘 因 a±2ab+b 因式分解@ 整式乘法 因式分解 十字相乘法：x十(p十q)x+9整式乘法 (x+p)(x十g) 方法拓展 配方法：a+2ab+b一c2 因式分解 整式乘法 (4+b-c)(a+b+c) 整式及因 因式分解 分组分解法：am十bm十an十bn 整式乘法 (a+b)(m十n) 两顶且枯 号相反 分解 平方差公式日 般步骤：翅餐是石 提出公阿 龙全平方公式 检验分料是香彻底， 观系利 三项 印要使行一个国式 有公式 注意 十宇相乘法 敲李因式 余班 配方法 都不能再分解 的项 分组分解法 易错警醒(1)因式分解：和、差的形式→积的形式：整式乘法：积的形式→和、差的形式： (2)因式分解要彻底 令基础练习 (建议用时：10分钟) L.(北师七下P33复习题T1变式)下列运算正确的是 A.n÷n2=m B.(x+1)2=x2+1 C.(3n2)5=9m D.2a3·a'=2a 2.情境串题练某公园的成人门票价格是10元/张，儿章门票价格是4元/张.某旅行团有α名成 人和b名儿童 (1)旅行团的门票费用总和为 元： (2)①当a=8,b=6时，共需 元的门票费： ②当5a+2b=26时，共需 元的门票费。 3.串题训练把下列代数式的序号填人(1)~(4)相应的横线上，并完成第(5)题： ①6+u+:@:@,0,⑤0：国-+岁0g,国3x+号02.@号 (1)单项式： :(2)多项式： :(3)整式： (4)二项式： :(5)④的系数为 4.串题训练（人教八上P125复习题T7变式）(1)用提公因式法分解因式8a36一12abc+2ab 时，应该提取的公因式是 (2)将3a(x一y)一6b(y-x)分解因式，应该提取的公因式是 (3)因式分解： ①x”y-xy= ②ax2-4a.x+4a= ③8.x3y-2xy= 9 5.计算： (1)4h-3a-3b+2a: (2)(x-y)(x+3y)-x(x+2y): (3)(8.x2y3-6xyx)÷2x2y: (4)(3a2)2-a2·2a2+4a÷a. 6.(北师七下P34复习题T7变式)先化简，再求值：[(2x十y)(2x-y)一(2x一3y)2]÷(一2y),其 中x=1,y=-2. 刷真题·探考点 命题点1 列代数式及代数式求值 命题点2 整式的有关概念 1.(2018·贵阳中考)当x=-1时，代数式 4.(2019·毕节中考)如果3ab2m-1与9abm+1是 3x+1的值是 同类项，那么m的值为 ( A.-1B.-2 C.4 D.-4 A.2 B.1 C.-1 D.0 2.(2021·黔酉南中考)已知2a一5b=3,则2+ 5.(2020·黔西南中考)若7a'b”与-ab的和 4a一10b的值是. 为单项式，则y的值为· 3.(2019·贵阳中考)如图，矩形的长为a,宽为 命题点3整式的运算 b,两个阴影图形都是一对底边长为1，且底 6.(2024·贵州中考)计算2a+3a的结果正确 边在矩形对边上的平行四边形. 的是 ( (1)用含字母4，b的代数式表示矩形中空白 A.5a B.6a C.5a2 D.6a2 部分的面积： 7.(2022·毕节中考)计算(2.x2)3的结果是 (2)当a=3,b=2时，求矩形中空白部分 ( A.8x B.6x C.6.x5 D.8.x 的面积. 8.(2022·遵义中考)下列运算结果正确的是 ( A.a3·a=a2 B.3ab-2ab=1 C.(-2ab)2=4a2bD.(a-b)2=a2-b 9.(2019·贵阳中考)计算(-4xy2十3x2y)(4xy+ 3.xy)的最佳方法是 ( 10 A,运用多项式乘多项式法则 命题点4 因式分解 B.运用平方差公式 13.(2022·贵阳中考)因式分解：a十2a= C.运用单项式乘多项式法则 D.运用完全平方公式 14.(2023·贵州中考)因式分解：x2一4= 10.(2020·安顺中考)化简x(x一1)+十x的结 果是 15.(2022·毕节中考)因式分解：2m2一8 11.(2022·遵义中考)已知a+b=4,a一b=2, 则a一b的值为 16.(2020·铜仁中考)因式分解：a十ab-a= 12.(2021·贵阳中考)小红在计算a(1十a) (a一1)时，解答过程如下： 17.(2022·黔东南中考)因式分解：2022x2 解：a(1+a)-(a-1)月 4044.x+2022= =a十a”一(a2-1)…第一步 命题点⑤规律探索 =a十a-a3-1…第二步 =a一1.…第三步 18.(2021·朝仁中考)观察下列各项：1， 小红的解答从第 步开始出错，请写 23日4后…，则第n项是 1 出正确的解答过程. 19.(2019·安顺中考)如图，将 12510 43611 从1开始的自然数按以下 98712 规律排列，例如，位于第3行 16151413… 。。”4,。。。。。。, 第4列的数是12，则位于第45行第7列的 数是 20.(2020·黔西南中考)如图，图形都是由同样 【延伸问·新考法】除纠正上述错误外，请你 大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第 根据平时的学习经验，就整式的加诚还需要 ①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中 注意的事项给其他同学提一条合理化建议. 一共有7个菱形，第③个图形中一共有13 个菱形…按此规律排列下去，第⑦个图形 中菱形的个数为 ◆◇◆ ◆◆◆ ◆◆◆ ◆◆ ◇◇ 品 ◆ ◆◆◆ ◇◆◇◆ ◇◆◇◇◆ ① ② ③ ④ 拓视野·提素养 1.注重数学文化我国南宋数学家杨辉所著 {a-b)… (a-h)…11 的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三 (a-b)…121 (gb)…1331 角形解释二项式(a十b)”的展开式中各项的 (和6)…14641 {eb)}°…151010.51 系数，此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉 三角”，计算(a+b)"的展开式中从左起第四 A.84 B.56 C.35 D.28 项的系数为 川温馨提示 请完戒（精练本）P5~6 11第3节 整式及因式分解 叫---100. 参考答案 如理 ,3+10 -100-2.题100-1-75.答1大 思二,第,没大和语一人,黑小和高有(100一25人,根据题 ② ②和①数项④最高3②+b十 10-1)四 精讲本 1.:(1)①(2)否 去括号时,括号内的第二项没有变号(3)1 离有25人,小和有75人. - __一 第一培 回归教材夯基篇 5.第,方法一,没该店有客度·列.根题意,71十1- ③+r③+++③-2b+& 出 第一章 数与式 33.程,一871本7一3.落,流店有客3,客53人. +ì③+i-A” 第1节 实数及其运算 基2习 法二设该店有客序1时:度言人限题意: 知理 1D (11+ 12①0②5 3.1 叶 ①无限不林 ②正数 ③-- ③一。③0 第二命 方程(组)与不等武(组) ③(①③ (4)- 第5节 一次方程与方程级 跟真·规考点 -1等 距离 ②大-l (1(2-)(n{r-1)②a- 识梳理 1.A 3.--5 35 4.1 55 6.C 7.C 8.C.D 1+2y-1 11.D 12.B 1.1000 1420 15.17 0 1 ②01110* ③(7+10-1 士:②②①-②1式啊 ⑧ 视野·养 5.:(1题式-号-3-3十2-21原式-+ 相数 数 ②②0 习 1.B 3--v- ③<>(-! 1B3D31-11 2..1)3(2)根据题意,(+30)×20-100×152 --4y-3(4式--2+4-1. 4.08×0+-1-增1-1,- -。 十1一为,--1十一13设 .,题-(4--&+1-2(-(-]y -11是是1 、面一10,第8 +1y+(-2-by-6,-1.-时,式-x 个小球的质量为三&.一开始左幅托中若干个N物体的后量 础习 (-2-6X1--16. 1.B2.B【党式题】X1 副直题考点 8.:(1去分号,5(3-11-2(,+23-15.去题号,得15 --+十4-1.页,得1-8-4-10+5.项,等 3.(1②① (①② (0③ 个小球的量考201. 1.B 2.B :1(2) 11.数化为1.(2,释y2-,把 第6节 一元二次方程 3.:(1)形中空日第分的面8一一十1(2). 一时,53×2-3一2+1一.中空分的面积为. 代②.料3+20一2一.得-.-2代入③,寻 n-1(-1( 4.A 5.8 6.A 7.D 8.C 9.B 10. 11.5 ②式②土 1.-证确(14】--1-+--+1 ,~1.才是-1. ,_1. o-t 画不相等 ②-tar-0 段-A 6..(1题-】-2x+1-1--2)--5x-+2 -+-+l-]-l-1 【或区】部:去题号时,若辨号霜面是色号:去标折号行析号是 1.:(1代人加减(7)由②,得y--1②.把②代人①。 应题·规点 x-1--2x(3+)-8x-是 的料一项标要变号,若括号前面有数字,利用乘法对加遍的分配 得1(2r-1-11.解得-2担1-代入,y-3.以 -t3-(-10-) 时,注意不要漏(答案不确一) 习 明真题.探考点 13.(+23 14.(-+00-2 15.20+20-2) 1.AB 3B.B 5.D6.C7.A C 9.B1DB 1.C 【题】-]2.1)-1。(2--1 15.( -1)1.22c-1 1.) 一.料-3.把,-3代人①,得,-2..方程提的% 19:0n{ 11.C 12.1.2X1 13.A 14. D 15.D 16.A 17.C (0-1-130 -3(2- (1 1-. 1.B 拉.7 _ 拓程野· 4.(101+-121(202--3(25-)-540 1.,(题共-4+1-1-4.(2第式-2+1+x-3- 2.思路一,幅,设鸡有:只,则免有(35一1)只,由题意,得2十 1.B 5.,01a-tb--3-1-4a-(-3y-411 4(-】-4.:-235-.--21-1(共), 1-:-1------ 第4节分式 ->.--.-_--是 有3B:有1目. 2.解;答案不喻一,如:选题①②②这3个数选行求和,将斗 如梳理 ,-2-(-2)--(-20]-2)- -+(-D-1+2+1-7. ①字母 ②B③-{{③号 异号 框:提素据 这·重点 (+2(----1-. 1.A 2.C 3.A.4.2 基础练习 3.一,,-代人1+-6-,×4+2- 第2节 二次规式 3.路一::没人数为5.题童,得8一1-7X十4.第得” 1.C2.8 1(01-1(-7(3)-1 .得-7上程为5--6-得1、-.” 知 1.8-3-3.答:人数为7.物为5顿 41-(③-)) ①分 ②因数减因式 ②①一。二次式 一-..的第一个根为一-,的第为~了 #。_是 、-___--- 要路二:解:设方程的另一个题为5.根景题意: 习 1- 一2+--2-6.V为是-1<4的数,日 31-_ 1.(1) (2):为实数(30rr6 _善. 【交式题1】;方法一:设共2人合伙买全,全价为:按,当题意, 2.00到,说式一(或当1时. 1_-7. 式--:x1---) 2.1 n o.o(ov- 2.3【4题大】-(+1]-2+3 .. -1113.A4- 副真:探考点 价为950线,方法二,设共。人合秋买金,由题意,得450r一 3.(1-2 (21 (05 0 4(m4( 30-20-10.1-0-340-0×1- 【段试题::一? 期真题·探考点 30-》300(题)答;共33人合使买是,恰为1800。 【题习】1证:-[-(-1D-4×1×(-+ 5:原式(c+)-D·ro-,等r-1时式 【变式题2】,方法一,设合次人数为,单格为y,题意,得 1.A 2.C3.C45.863 7.160-1 --4+1+12r-1-+1(-1 --1. ---二: &无论对为何损,方程总有实数根,(20等:由题意,提动十动” 拓奖野·要素善 1.20): -..1--7+-0.” 6一_,_,一当。 方接二:设合往人数为..题意,得5十45-71+2,得 1 ##2去- 3.幅,任务一,一没有带分数化为般分数再化简任务二:累 21.占51十45-1×21+45-152(钱).答:次人数为21,价% 1501. 高-2+1-、---1,三在 4.思路一,,设大相有:人,小遍有y人.根数题意,科 -1_ 据视野·提素卷 .在题1-)1-十 行二次极式运算时,站果必受成最二次极式。(答案不一。 3.分题分(150.05 200 (202 合理即可) ,设在贺年卡降价·元,则单家贺年卡利(03一1)元, 考数学·考答案·第1(共13页 者视数学·来考文·第】页《48页)