第1节 实数及其运算(精讲册)-【鸿鹄志·名师测控】2025年中考特训方案数学（贵州专版）

第一编 回归教材夯基篇 第一章数与式 第1节实数及其运算 梳要点·过教材 令知识梳理 有理数 整数 分数：有限小数或无限循环小数 按定义分 无理数：① 实数的分类 小数新意餐巧 按正负分：正数、0、负数■ 解题技巧常见的无理数：()开方开不尽的数，如W巨W5,(2)与x有关的数，如：受：(3)含根号的三角画 数值，如：sin60°，tan60°：(4)有规律的无限不循环小数，如：0.101001…（相邻两个1之间依 次多一个0) 易错警醒(1)非负数包括② ；一a不一定是负效； (2)判断一个数是不是无理数，不在于形式，关键在于化简后的结果 原点正方向 数轴 三要素：今之0十汇单位长度 性质：实数与数轴上的点③ 实数a(a≠0)的相反数是④ ,特别地，0的相反数是0 实数a,b互为相反数台a十b=⑤ 或号=⑥ (b≠0) 相反数 数 几何意义：在数轴上，互为相反数(0除外)的两个点在原点两侧，且到 其 实数的相 原点的距离⑦ 关概念 定义：数轴上表示数a的点到原点的⑧ ,记作|a.离原点越远的数 算 的绝对值越⑨ a(a>0) 绝对值 lal={0(a=0) →la⑩ 0 -a(a<0) 若|a=|b川，则a=b或a=① 倒数 实数a(a≠0)的倒数为② 实数a,b互为倒数台ab=⑧ 易错警醒 没有倒数：倒数是它本身的数是⑥ 表示形式：a×10(1≤|a≤10，n为整数)期题西 科学记数法常见的计数单位换算：1万=⑥ ,1亿=⑩ 常见的计量单位换算：12m=⑧ m,1 nm=9 m 解题技巧n的确定方法：(1)当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，则n为原数的整数位数减1， 如：31400=3.14×10：(2)当原数的绝对值大于0且小于1时，n为负整数，则|n为原数左起 第1个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零），如：0.0001=1×10- 1 若x2=a(a≥0)，则x=@ 平方根、算平方根一个正数的平方根有两个，它们互为@ 没有 术平方根 平方根 与立方根算术平方根：若非负数x有x2=a(a≥0)，则x=⑧ 想绵著程 立方根：若x3=a,则x=a 易错警醒平方根等于它本身的数是@：算术平方根等于它本身的数是国 ；立方根等于 它本身的数是⑥ ,任何数都有一个立方根，且与原数同号 数轴法：如图，可得a⑦b方。一 性质法：正数>0>负数：两个负数相比较，绝对值大的反而⑧ 实数的大作差法：a一b>0曰a>b;a一b=0台a④ b;a-b<0台a④ b 小比较 平方法：wa>√ba① b≥0（主要应用于无理数估算及含无理数的式子的大 小比较) 其他方法：作商法，绝对值比较法 「同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小 加法 的绝对值 一个数同0相加，仍得这个数 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a一b=a十@ 及 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 实数的运 乘法 任何数与0相乘，积仍为0 算 算法则 除法：除以一个数（不等于0）等于乘这个数的倒数，即a÷b=a·⑧ (b≠0) 乘方：a=a·a·…·a n个a 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，同级运算从左到右依次进行，若有括号，则先进 行括号内的运算 负整数指数幂：a=@ 一(a≠0，p为正整数)，特别地，a1=1 (a≠0)导帝m 易错警醒（1①)对于负整载指数系，防止出现2a=品这样的错误： (2)指数的符号与结果的正负无关 (n为奇数) 零指数幂：a°=⑤ (a≠0)；-1的奇、偶次幂：（一1）"= 团 @ (n为偶数) 加法交换律：a十b=b十a 加法结合律：a十b十c=a十(b十c) 实数的 实数的运算律 乘法交换律：ab=ba 运算 乘法结合律：abc=a(bc) 分配律：(a+b)c=ac+bc [a-b(a>b), 去绝对值符号：a一b1=0(a=b), b一a(a<b)解题楼巧 解题技巧若能直接求出a一b的值，则先求值，后去绝对值符号：若不能直接求出a一b的值，则先 通过比较大小，判断α一b的特号，再利用绝对值的非负性去绝对值特号 特殊角的三 sin30°=cos60°=8 :sin45°=cos45°=④ 角函数值 sin60°=cos30°=⑩ tan30°=① :tan45°=4② ;tan60°=④级 2 令基础练习（建议用时：8分钟） 1.(人教七上P4练习T3变式)小戴同学的微信钱包账单如图所示，十8表示收入8元，下列说法 正确的是 () 微信账单：十8，一3 A.一3表示收人3元 B.一3表示支出3元 C.一3表示支出一3元 D.收支总和为11元 2.○情境事题训练（北师七上P63例题变式）中国的探月、登月计划受到世人的关注.月球与地 球之间的平均距离约为384000公里，数据384000用科学记数法表示为 () A.38.4×10 B.3.84×10 C.0.384×10 D.3.84×10 【变式题】科学记数法：表示较大的数→较小的数 中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的 金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一，若一根头发丝的直径大约为90m,且 1m=0.000001m,则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为 m. 3.(北师八上P40T1变式)将下列实数前的序号填入相应的括号内. ①号，②2，③：国-11，⑤3，⑥-6.101001001（每相年两个1之间依次多一个0）： ⑦-0.1；⑧-√8. (1)整数集合：{ …}: (2)分数集合：{ (3)负有理数集合：{ }; (4)无理数集合：( } 4.(北师八上P29习题T2变式)√16的算术平方根是 的平方根是 5.串题训练如图，点A表示一4，点D表示一5. D A (1)在数轴上标出原点O: (2)点B所表示的数为 (3)点A所表示的数的相反数为。，倒数为 ,绝对值为： (4)若C,B两点到原点的距离相等，且C,B两点在原点的两侧，则点C表示的数为 (5)点B,D两点之间的距离为 6.计算： (14-2sin45°+(3-x)”-(号）， (2)-5×+25×号-25×2 3 刷真题·探考点 命题点1 正数和负数 A.0.1087×105 B.1.087×10 1.(2022·贵阳中考)下列各数为负数的是（ C.1.087×103 D.10.87×103 A.-2 B.0 C.3 D.5 10.(2021·安顺中考)袁隆平院士被誉为“杂交 2.(2018·遵义中考)如果电梯上升5层记为 水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努 十5，那么电梯下降2层应记为 ( ) 力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿 A.+2 B.-2 C.+5 D.-5 亩，每年增产的粮食可以养活80000000 命题点「2】数轴、相反数、绝对值、倒数的概念 人，将80000000这个数用科学记数法可表 3.(2023·贵州中考)5的绝对值是 示为8×10"，则n的值是 () A.±5 B.5 C.-5 D.5 A.6 B.7 C.8 D.9 4.(2022·毕节中考)2的相反数是 11.(2021·毕节中考)6月6日是全国“放鱼 A.2 B.-2 c号 - 日”，为促进渔业绿色发展，今年“放鱼日”当 天，全国同步举办增殖放流200余场，放流 5.(2020·黔东南中考)一2020的倒数是( A.-2020 B.2020 各类水生生物苗种近30亿尾.数据30亿用 ( 1 科学记数法表示为 C.2020 D.- 1 2020 A.0.3×10 B.3×10 6.(2018·贵阳中考)如图，数轴上的单位长度 C.3×10° D.30×10 为1，有三个点A,B,C,若点A,B表示的数 12.(2022·黔东南中考)有一种病毒直径为 互为相反数，则图中点C表示的数是( 0.000000012m,数据0.000000012用科 学记数法表示为 A.-2 B.0 C.1 D.4 命题点⑤实数的大小比较 命题点③ 实数的分类 13.(2024·贵州中考)下列有理数中，最小的 7.(2021·毕节中考)下列各数中，为无理数 的是 数是 () ) A.-2B.0 C.2 D.4 A.π B22 C.0 D.-2 14.(2021·安顺中考)在-1,0,1，√2四个实数 8.(2022·铜仁中考)在实数√2,3，√4,5中， 中，大于1的实数是 ( 有理数是 ( ) A.-1B.0 C.1 D.√2 A.√2 B.3 C.4 D.√5 15.(2020·铜仁中考)实数a,b在数轴上对应 命题点④ 科学记数法 的点的位置如图所示，下列结论正确的是 9.(2023·贵州中考)据中国经济网资料显示， 今年一季度全国居民人均可支配收人平稳增 长，全国居民人均可支配收入为10870元. 10870这个数用科学记数法表示正确的是 A.a>b B.-a<b ( C.a>-b D.-a>b 4 命题点6实数的有关运算 (2)(2020·毕节中考)|一2|+（π+3）°+ 16.(2020·安顺中考)计算（一3）×2的结果是 2cos30°-（号）-12， ( A.-6B.-1 C.1 D.6 17.(2019·遵义中考)遵义市2019年6月1日 的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义 市这一天的最高气温比最低气温高() A.25℃B.15℃C.10℃ D.-10℃ 20.(2024·贵州中考)在①2，②1-2，③(-1)°， 18.(2022·毕节中考)计算√⑧+|-2×cos45 ④2×2中任选3个代数式求和 的结果，正确的是 ( A.2 B.3√2 C.22+3 D.2√2+2 19.计算： (1)(2023·贵州中考)(-2)2+(W2-1)°-1： 拓视野·提素养 1.○注重数学文化我国古代数学名著《九章 图②表示的计算过程是 算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相 反，要令正负以名之”，如果把收入5元记作 图① +5元，那么支出5元记作 () A.-5元B.0元 C.+5元D.+10元 图② 2.○科技热点情境(2024·常州中考)2024年 A.(-13)+(+23)=10 5月10日，记者从中国科学院国家天文台获 B.(-31)+(+32)=1 悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离 C.(+13)+(+23)=36 地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄 D.(+13)+(-23)=-10 今直接探测到的最远的一批中性氢星系， 4.学科融合·跨物理(2024·广州中考)如 50亿光年用科学记数法表示为 图，把R1,R:,R,三个电阻串联起来，线路 A.50×108光年 B.5×10光年 AB上的电流为I,电压为U,则U=IR十 C.5×10°光年 D.5×101°光年 IR2+IR.当R1=20.3,R2=31.9,R3= 3.注重数学文化在《九章算术注》中用不同 47.8,1=2.2时，U的值为 颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示 正数和负数（白色为正，黑色为负），图①表示 R 的是（十21）十(-32)=-11的计算过程，则 温馨提示 情完成（精陈车）P1~2 5氧3节整式及因式分解 县码三：解，量大雅商有王人，期个和得有们间一)人.相图 参考答案 -1一」当u-10期时，醇式- 始组横理 a-11 da +li 制中阳家数填酸两3面子。①+6中 180-12 意，韩十上-10，解得-5，州1一与一，若1大和 精讲本 100100 号有5人：小和南有75人 2解：【1①(2)否去斯号时，经号内的第二壤没有交号幻11 第一嫡同归教材夯基真 。一-ru、r+=0w 解，左使一量成有客向间.根都意，样十T一 b+arg这十d+女+d-P±tb+ 1》4解海1一”7，+7=们.答该言有客得80，裤客3人.方 弟一章我与式 Bm(a十b+r》Da十ie一1号a上为 法二：设填转有客倍：间，用容￥人：融或随意：料 氧1节实数及其运算 基秘性习 划纸疯理 1b工11*443①104141)00 十3y 巾尤限不附环心冷程正数更一林府一度0 2006aT85远g5G)-青 第二章方极{血)与不等式（盘》 一斯一点着：食有衣痘海，得客人 刚真期·程号点 8-】立刚等雪无岗大>级一。0.0时 第5节一欢方程与方程烟 1A2.上=-i34.15C7C9D 4(1tM树2a-)B①(r-1D(r—1 加因核理 18.上+1y-对1.D1I13,E州01415,17 00色土1@1r位10登1001n4目+，G 0a4+11月 山土A女金-1的维式用国捐 托程野“提索泰 3相匠数细负数石0色0,1多，士1分 -3yY一一)=一3,0武=F￥÷2ry一 基秘性刀 上第，11112k题意，周u十30m)×-0×15,3时 最小一图<>象(-0士m ÷2=4y一1.44期式=一2山十山=1w, 1B2.0A(1-1t21x-3.5 +10n写25.号两，n为草数，m0,月1.n十时无.8)壮追 y-100. 8-11号吗号10，落 个小体的延隆为民，一开前发侧托盘中春干个飞物体的质黄为 4(00Mx41+%04--0-103 r+ 基碧体习 4一2)-×1m-16. 3限化批香这 L,52.B【交式题×10 制言题·家清点 解：(1》去对.目3：=1=4+)=1具去活，周15 个小球的量 一1=十4一收徐预.科1上一山=4一10十5.合并同要减.料 3.1)B④012①01④D8(403@ 1,B2 第6节一元二次方程 41=年射—号4一2 3.第：(1)后中空白富分的衡积S=h一。一十1,21当。=3. 7一一1，是监堂为上，样一一子d,得一一3@，起 加识根理 2时，9=1×2一3一2十1三，加形中空白落什的国积为2. 税人由，释山十2一)=1，解料4=2，把=学代入日，料 如9水V层生店，进国 244 12.解：一正扇解第u十》一a一1-a+a一a-1+) 6,解，1厚式-子8×空+1一1-返g限或-一×+宽 =g十一a+2,-1=w=L. 程典酸·级重点 国一仙心再个不特带多w-意量有单一吕 燃枪传】解：去动号时，若盐号有时是鱼号，去境括号后结号显 ×女-5×十5×（得号+号）一海×一号 躬每一项数变号，若话号慎直有数学，料用希齿对加猛的对配 得十到2一1)=11，解样3=总把1=2代A9:限=1，所1 审时，住塞不要M来，4养至不一1 别喜盟·家考点 13.+2114.+E—25.2m十2n-2 聚寿程触的解为·1把D代人以，每21r十)一（言+） 蒂想罐可 y3 1C【资式题1-3.1h-1且￥(2=-1 11,C12,12×1n支A.015.D16,417, 1,4D72-指+是3,8am =,解料=及纪x一1代人小少，停与=.二象方程州的解为 ac-14ha-1111n-32号au 21.57 表1001+3=世12)过-1H2U-r1540 5,新山限发-4十1--42出家次--2关号 拓规野，漫素剂 上见期一，解，设鸡有x月，侧兔有55一r1开.由链意，得2r+ 区解，1由=1，h=-3c=1,料含-r4(-1”-4×1×1 LB 25=118-1-2,5=- 第节分式 -4n-2适n5-与5，c 21 有1只，鱼有只 2强，解：答案不响一，如：感单这》个数进行求阳，得+ 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