第11课 三元一次方程组-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第10课 三元一次方程组 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解三元一次方程组的概念 2.会解三元一次方程组 ( 知识精讲 ) 知识点01 三元一次方程组的概念 含有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程；有三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组. 同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫做这个三元一次方程组的解 知识点02 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程. ( 能力拓展 )考点01 三元一次方程组的解法 【典例1】解方程组：． 【即学即练1】解方程组：． 考点02 三元一次方程组的应用 【典例2】信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为 　　． 【即学即练2】一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列方程中，属于三元一次方程的是（　　） A．π+x+y＝6 B．xy+y+z＝6 C．x+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z 2．下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 3．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 4．方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（　　） A．0 B． C． D． 5．已知且x+y＝3，则z的值为（　　） A．9 B．﹣3 C．12 D．不确定 6．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　） A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③ 7．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（　　） A．20元 B．30元 C．40元 D．50元 8．方程组的解为 　　． 9．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝5，则a＝　　，b＝　　，c＝　　． 10．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行（沿虚线箭头）加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值等于 　　． 11．解方程组：． 12．解方程组：． 题组B 能力提升练 13．已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 14．由方程组，可得x：y：z是（　　） A．1：（﹣2）：1 B．1：（﹣2）：（﹣1） C．1：2：1 D．1：2：（﹣1） 15．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）元． A．33 B．34 C．35 D．36 16．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元；如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（　　） A．1元 B．2元 C．3元 D．7元 17．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为11a厘米，此时木桶中水的深度是 　　厘米（用含a的代数式表示）． 18．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③ ③×得：2x+y+z＝3， 所以2x+y+z的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 题组C 培优拔尖练 19．对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．11 20．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　） A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1 21．宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有 　 　种． 22．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组 可以写成矩阵 的形式．例如：可以写成矩阵 的形式． 根据以上信息解决下列问题： （1）请求出矩阵 对应的方程组的解； （2）若矩阵 所对应的方程组的解为 ，求 a+b+c的值． 23．有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 23．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元． （1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买； （2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课 三元一次方程组 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解三元一次方程组的概念 2.会解三元一次方程组 ( 知识精讲 ) 知识点01 三元一次方程组的概念 含有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程；有三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组. 同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫做这个三元一次方程组的解 知识点02 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的消元方法也是“代入法”或“加减法”，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程. ( 能力拓展 )考点01 三元一次方程组的解法 【典例1】解方程组：． 【思路点拨】①﹣③×2，得5y﹣3z＝﹣11④，②﹣③，得y﹣2z＝﹣5⑤，④⑤联立方程组求出y、z值，最后代入②求出x值即可． 【解析】解：， ①﹣③×2，得5y﹣3z＝﹣11④ ②﹣③，得y﹣2z＝﹣5⑤ ④、⑤联立方程组得， 解得， 把代入②得：x+1﹣2＝0，解得x＝1． 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组的解法步骤是解答的关键． 【即学即练1】解方程组：． 【思路点拨】用加减消元法解三元一次方程组． 【解析】解：， 由②﹣①，得：3x+3y＝3④， 由③﹣②，得：21x+3y＝57⑤， 由⑤﹣④，得：18x＝54， 解得：x＝3， 将x＝3代入④，得：9+3y＝3， 解得：y＝﹣2， 将x＝3，y＝﹣2代入①，得：3+2+z＝0， 解得：z＝﹣5， ∴方程组的解为：． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握消元法解方程组的步骤准确计算是解题关键． 考点02 三元一次方程组的应用 【典例2】信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为 　　． 【思路点拨】根据题意列出方程，求解即可． 【解析】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，掌握方程的解法是解题的关键． 【即学即练2】一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 【思路点拨】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组 通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定． 【解析】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z． 由题意列方程组 ②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7， 由①得x﹣z＝1⑤， 将y＝7代入③得 x+z＝7⑥， ⑤+⑥得2x＝8， 即x＝4，那么z＝3， 答：这个三位数是473． 【点睛】解决本题的关键是根据百位数字、十位数字、个位数字与数值间的关系列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列方程中，属于三元一次方程的是（　　） A．π+x+y＝6 B．xy+y+z＝6 C．x+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z 【思路点拨】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【解析】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：﹣x﹣2z＝0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程是解答本题的关键． 2．下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 【思路点拨】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答案． 【解析】解： ①+③得：4a＝﹣4， 解得：a＝﹣1， ②+③得：5a﹣2b＝﹣9④， 把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9， 解得：b＝2， 把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0， 解得：c＝﹣1， 故原方程组的解为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，能正确消元是解此题的关键． 3．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题． 【解析】解： ①﹣③得，4x+3y＝2， ③×4+②得：7x+5y＝3， ∴三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是， 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确题意，会用消元法解方程组． 4．方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（　　） A．0 B． C． D． 【思路点拨】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入kx+2y﹣z＝﹣5即可求出k． 【解析】解：， ①﹣②得：x﹣z＝10④， ③+④得：2x＝14， 解得：x＝7， 把x＝7代入①得：7+y＝8， 解得：y＝1， 把x＝7代入③得：z+7＝4， 解得：z＝﹣3， ∴原方程组的解为， 把代入kx+2y﹣z＝﹣5得：7k+2×1﹣（﹣3）＝﹣5， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 5．已知且x+y＝3，则z的值为（　　） A．9 B．﹣3 C．12 D．不确定 【思路点拨】用第二个方程减去第一个方程即可得到x+y与z的关系，然后根据x+y＝3，即可得到z的值，本题得以解决． 【解析】解： ②﹣①，得 x+y＝z+6， ∵x+y＝3， ∴z+6＝3， 解得，z＝﹣3， 故选：B． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解答此类问题的关键是将原方程组变形，建立与已知条件x+y的关系，求出相应的z的值． 6．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　） A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③ 【思路点拨】观察z的系数，利用加减消元法消去z即可． 【解析】解：解三元一次方程组，如果消掉未知数z， 则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③． 故选：C． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 7．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（　　） A．20元 B．30元 C．40元 D．50元 【思路点拨】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．”可得出关于x，y，z的三元一次方程组，①×2﹣②得，6y＝180，即可求出购买一件二等奖所需的费用． 【解析】解：设一等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，三等奖奖品的单价是z元，根据题意得， ， ①×2﹣②得，6y＝180， 解得：y＝30， 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 8．方程组的解为 　　． 【思路点拨】利用加减消元法求解即可． 【解析】解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝10，即x+y+z＝5④， ④﹣①得：z＝3； ④﹣②得：x＝2： ④﹣③得：y＝0； ∴方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元思想． 9．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝5，则a＝　6　，b＝　﹣11　，c＝　3　． 【思路点拨】根据题意可得：，然后利用加减消元法进行计算，即可解答． 【解析】解：由题意得：， ①﹣②得：2b＝﹣22， 解得：b＝﹣11， ③﹣②得：3a+3b＝﹣15， 即a+b＝﹣5， a﹣11＝﹣5， 解得：a＝6， 把a＝6，b＝﹣11代入①得：6﹣11+c＝﹣2， 解得：c＝3， ∴原方程组的解为：， 故答案为：6；﹣11；3． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 10．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行（沿虚线箭头）加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值等于 　2　． 【思路点拨】设3a的十位数字是m，个位数字是n，列出符合条件的方程组，求解即可． 【解析】解：由题意得，如图， 设3a的十位数字是m，个位数字是n， 则， ∴ ， ∴a的值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义，理解新定义的计算方法是解题的关键． 11．解方程组：． 【思路点拨】利用加减消元法求解即可． 【解析】解：， ①+③，得：10y＝30， 解得y＝3， ②+③，得：8y﹣4z＝27④， 将y＝3代入④，得：， 将，y＝3代入②，得：， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 12．解方程组：． 【思路点拨】先消去y，把三元一次方程组变成二元一次方程组，解二元一次方程组即可求解． 【解析】解：， ①+②得3x+z＝1④， （②+③）÷2得3x﹣2z＝﹣2⑤， ④与⑤组成方程组得， 解得， 把代入①得，0+3y+2＝3， ∴， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的步骤是解题的关键． 题组B 能力提升练 13．已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】把三个方程相加，进行计算即可解答． 【解析】解：， ①+②+③得： 2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9， ∴x+y+z＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 14．由方程组，可得x：y：z是（　　） A．1：（﹣2）：1 B．1：（﹣2）：（﹣1） C．1：2：1 D．1：2：（﹣1） 【思路点拨】将方程组看成二元一次方程组解出x与z，y与z的关系即可求出答案． 【解析】解：由题可知： 解得： ∴x：y：z＝1：2：1， 故选：C． 【点睛】本题考查方程组的解法，解题的关键是熟练运用方程组的解法，本题属于基础题型． 15．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（　　）元． A．33 B．34 C．35 D．36 【思路点拨】设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．列方程组得：，然后求得x+y+z的值． 【解析】解：设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元． 列方程组得：， ①×3﹣②×2得：x+y+z＝34． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解． 16．某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元；如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（　　） A．1元 B．2元 C．3元 D．7元 【思路点拨】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据题意列出关于x，y，z的三元一次方程组，解之即可求解． 【解析】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱， 根据题意得：， （①﹣②）÷3得： [2x+5y﹣3﹣（5x+2y+3）]÷3＝（z﹣z）÷3， （3y﹣3x﹣6）÷3＝0， y﹣x﹣2＝0， y﹣x＝2， ∴每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵2元， 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 17．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为11a厘米，此时木桶中水的深度是 　4a　厘米（用含a的代数式表示）． 【思路点拨】设较长铁棒的长度为x厘米，较短铁棒的长度为y厘米，根据题意可知两根铁棒长度之和为11a厘米，即x+y＝11a；在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，即x＝y，可列方程组：，解得：x＝6a，y＝5a，因此木桶中水的深度是：＝4a． 【解析】解：设较长铁棒的长度为x厘米，较短铁棒的长度为y厘米， 根据题意可列， 解得：x＝6a，y＝5a， ∴木桶中水的深度是：＝4a， 故答案为：4a． 【点睛】本题考查的是列代数式和解方程组，根据题意正确列出方程组并求解是解题的关键． 18．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③ ③×得：2x+y+z＝3， 所以2x+y+z的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【思路点拨】（1）由整体思想求值即可； （2）设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元，根据若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；列出三元一次方程组，由整体思想求出a+b+c＝10，即可解决问题． 【解析】解：（1）， ①+②得：6x+8y+10z＝36③， ③×得：3x+4y+5z＝18， ∴3x+4y+5z的值为18； （2）设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元， 由题意得：， ②﹣①×2得：a+b+c＝10③， ③×45得：45a+45b+45c＝450， 答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 19．对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（　　） A．﹣1 B．﹣11 C．1 D．11 【思路点拨】先由运算的定义，写出3□5＝15，4□7＝28，得到关于a、b、c的方程组，用含c的代数式表示出a、b．代入2□2求出值． 【解析】解：∵3□5＝3a+5b+c＝15，4□7＝4a+7b+c＝28， ∴， 解这个方程组，得 ， 所以1□1＝a+b+c＝13﹣2b+b+b﹣24＝﹣11． 故选：B． 【点睛】本题考查了新运算、三元一次方程组的解法．解题的关键在于把其中一个字母看作常数，巧妙之处在于正好消掉作为常数的字母． 20．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　） A．m﹣2t＝﹣1 B．m+2t＝1 C．2m﹣t＝1 D．2t+m＝﹣1 【思路点拨】根据矩阵定义列方程组可解答． 【解析】解：由题意得：， ①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8， ∵4x+y﹣z为定值， ∴2t+m＝﹣1． 故选：D． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，二元一次方程组的定义，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键． 21．宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有 　2　种． 【思路点拨】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z＝6，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案． 【解析】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得： ， 解得：y+2z＝6， y＝6﹣2z， ∵x，y，z是正整数， 当z＝1时，y＝4，x＝2； 当z＝2时，y＝2，x＝3； 当z＝3时，y＝0，x＝4；（不符合题意，舍去） ∴租房方案有2种． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用． 22．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．规定：关于x，y的二元一次方程组 可以写成矩阵 的形式．例如：可以写成矩阵 的形式． 根据以上信息解决下列问题： （1）请求出矩阵 对应的方程组的解； （2）若矩阵 所对应的方程组的解为 ，求 a+b+c的值． 【思路点拨】（1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，①+②+③得，a+b+c＝13． 【解析】解：（1）由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得：， ∴矩阵对应的方程组的解为； （2）∵矩阵所对应的方程组的解为， ∴将代入， 得， ①+②+③得，a+b+c＝13． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 23．有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ （2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 【思路点拨】首先设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草． （1）根据 原草量+每天生长的草量×放牧的天数＝每头牛每天吃草量×头数×天数 列出方程组，可解得x的值即为所求． （2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛． 要使牧草才永远吃不完，则有 每头牛每天吃草量×放牧的牛头数≤每天生长的草量，解得结果即为所求． 【解析】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草． （1）由题意得： 由②﹣①得 b＝12c ④ 由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c ⑤ 将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18 （2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤＝12． 答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”． 23．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元． （1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买； （2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案． 【思路点拨】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可． （2）可根据三种不同类型的电脑的总量＝26台，购进三种电脑的总费用＝104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案． 【解析】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台， ①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得 ， 解得：； ②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得 ， 解得：； ③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得 ， 解得：，不合题意，舍去． 故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台． （2）根据题意得： ， 解得：或． 答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系：购进的两种电脑的数量和＝50台，购进两种电脑的费用和＝104000元．列出方程组．要注意自变量的取值范围要符合实际意义，有两解． 学科网（北京）股份有限公司 $$