山西省忻州市第一中学校2024-2025学年高二下学期期初考试数学试题

高二数学期始考试答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 【解析】解：易知点，不妨设渐近线方程为，即， 设点在第一象限，如图所示： 则，即， 设，则，， 因为，，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，解得， 故双曲线的方程为. 故答案为：D. 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】D 【解析】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8．【答案】B 9．【答案】A,B,C 10．【答案】A,B,C 【解析】【解答】对于A，，A符合题意； 对于B，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，， 则， 则平面，B符合题意； 对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，C符合题意； 对于D，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为，设两个平面夹角为， ，D不符合题意． 故答案为：ABC． 11．【答案】A,B,D 【解析】解：对于A，设直线的方程为，， 联立方程组，消去整理得， ， ，即， 又因为，上式可化简整理得，所以， 所以直线的方程为，即， 所以，因为，所以，故A正确； 对于B，由双曲线定义得，且， 则 所以的最小值为，故B正确； 对于C，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线， 因为且，所以， 若，则， 所以直线直线，同理可知，当也可判断直线直线， 所以入射光线与反射光线的夹角为，故C错误； 对于D，如图， 因为为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点， 则垂直平分，即点为的中点， 又因为是的中点， 所以，，故D正确. 故答案为：ABD. 12．【答案】 13．【答案】 【解析】因为， 所以，，， 所以为周期数列，且周期为， 所以. 故答案为： 14．【答案】 【解析】解：设椭圆的左焦点为，连接，，，，如图所示： 由直线交椭圆于两点及， 结合椭圆的对称性可得， 所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，，， 所以在直角中，即①， 在直角中，即②， 由②解得，将代入①得，即， 所以. 故答案为：. 15．【答案】 （1）所有学生没有任何限制地站成一排，这样的排列数为 ​=7!=5040。………….…..2分 学生甲在最左边的情况，这样的排列数为 ​=6!=720。…………………………………………..…4分 最后，用所有可能的排列数减去甲在最左边的排列数，即 5040−720=4320。………..…6分 （2）将3名男生看作一个整体，那么整体加上4名女生就有 ​=5!=120。…………….9分 考虑3名男生内部的排列，排列数为 ​=3!=6。……………………………………………………...11分 最后，根据分步计数原理，总的排列方法为 120×6=720。……………………………………..…13分 16．【答案】（1）解：若方程表示圆， 则， 解得；…………………………..………6分 （2）解：由（1）可知圆，则圆心，…………8分 半径，………………………………………………………………………..10分 圆心到直线的距离，…………………………….…12分 故，……………………………………………………………14分 解得…………………………………………………………………………………15分 17．【答案】（1）解：选择在公司连续工作年，第一年月工资元， 以后每年的月工资比上一年的月工资增加元， 则他第年的月工资是：（元）……3分 选择在公司连续工作年，第一年月工资元， 以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增， 则他第年的月工资（元）．…………………………6分 （2）解：若此人选择在一家公司连续工作10年，则分别为： 公司A： （元）；…………………………..10分 公司B：（元），……………………………………….……14分 因为，故从公司得到的报酬较多. …………………………………15分 18．【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：………………………………………………………1分 …………………………………………………………..……………2分 则，……………………………….…3分 ，…………………………………………….….…4分 ， ，………………………………………………………………………...….5分 又因为不在同一条直线上，……………………………………………….…6分 ………………………………………………………………………………7分 （2）解：由已知得， 则，………………………….......9分 设平面的法向量， 则， 令，得，，…………………………………………..…12分 设平面的法向量， 则， 令，得，，………………………………………….…15分 ，…………………………………………….….…16分 所以平面与平面的夹角的余弦值为．…………………………..….…17分 19．【答案】（1）解：设C的方程为，其中，…………….…1分 由C过A，B两点，故，，解得，，……………2分 故C的方程为；……………………………………………………….….…3分 （2）解：（ⅰ）设，，，其中，，i＝0，1，2． 因为，所以直线BM的斜率为，………………………………….…4分 方程为． 由，得 ，…………………………….….5分 所以， ．……………………………….……6分 因此．………………….…7分 同理可得直线AN的斜率为，………………………………..…………….…8分 直线AN的方程为．由，得 ，………………………………………………9分 所以， ，……………………………...…10分 因此 ．……………………………………….…….…11分 则， 即存在，满足．………...…13分 （ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为，………………….…….….14分 所以点P到直线MN的距离．…………………………….…...…15分 而，……………………………….…...…16分 所以的面积为定值．…………………………………….…....17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二年级第二学期期始考试试题 高二数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知两条直线，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D． 3．已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（　　） A．120 B．15 C．25 D．90 4．已知双曲线的左､右焦点分别为、.过向一条渐近线作垂线，垂足为.若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 5．设等差数列满足，则（　　） A．80 B．100 C．120 D．160 6．在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 7．已知点在直线上运动，是圆上的动点，是 圆上的动点，则的最小值为（　　） A．13 B．11 C．9 D．8 8．甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（　　） A．150 B．243 C．183 D．393 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（　　）． A． B．展开式中各项系数和为 C．展开式中常数项为 D．展开式中各二项式系数和为 10．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（　　） A．三棱锥的体积为1 B．平面EFG C．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是 D．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为 11．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（　　） A． B．平面上点的最小值为 C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D．过点作，垂足为H，则 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．甲、乙、丙等人站成一排，甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有　 　种． 13．已知数列满足，则　 　. 14．已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为　 　． 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. （1）学生甲不在最左边； （2）3名男生必须排在一起. 16．（15分） 已知圆的方程为. （1）求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 17．（15分） 在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． （1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 18．（17分） 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（17分） 已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过，两点． （1）求C的方程； （2）设P，M，N三点在C的右支上，，，证明： （ⅰ）存在常数，满足； （ⅱ）的面积为定值． 第2页 /共 2页 学科网（北京）股份有限公司 $$