精品解析：河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

南阳市一中2025年高二年级春期第一次月考 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设是等差数列，且，，则等于 A. 13 B. 35 C. 49 D. 63 2. 已知在等比数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和，则（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 4. 已知等比数列满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ） A. 3月5日或3月16日 B. 3月6日或3月15日 C. 3月7日或3月14日 D. 3月8日或3月13日 8. 在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（ ） A. 1275 B. 1596 C. 1597 D. 1598 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前项和最大 B. 若等比数列是单调递减数列，则公比满足 C. 已知等差数列的前项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 10. 在数列中，，且，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等差数列 11. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设是首项为1的数列，且，则___________． 13. 知数列的通项公式为，则数列的最大项为第______项． 14. 某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是__________．（横线上给出一个满足条件的x的值即可） 对工作满意 对工作不满意 男 5x 5x 女 4x 6x 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 四、解答题（共77分） 15. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. 16. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． （1）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 17. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 18. 已知数列满足，，为数列的前 项和． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前 项和． 19. 设满足以下两个条件的有穷数列、、、为阶“曼德拉数列”：①；② （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，直接写出一个满足条件的数列的通项（不需要证明）． （2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用、表示）． （3）记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳市一中2025年高二年级春期第一次月考 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设是等差数列，且，，则等于 A. 13 B. 35 C. 49 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质求解可得. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以，所以. 故选：C 2. 已知在等比数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项求出及. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，因此， 所以. 故选：B 3. 已知数列的前项和，则（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用计算即可. 【详解】. 故选：C. 4. 已知等比数列满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到，设出公比，从而得到，得到答案. 【详解】因为，所以， 设的公比为，则， 则，负值舍去， 故. 故选：C 5. 已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求数列的解析式，再结合数列的解析式，以及条件，判断数列和的单调性，即可判断选项. 【详解】由条件可知，， 当时，， 当时，， 验证，当时，， 所以， 当时，，单调递减，此时，故A错误； ，单调递增，所以，故B错误； 当时，，成立， 当时，，故C错误； 当时，， 当时，单调递减，当时，数列取得最大值，， 当时，， 所以，故D正确. 故选：D 6. 数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论. 【详解】当时，， 数列为递增数列，充分性成立； 当数列为递增数列时，， 恒成立，又， ，必要性不成立； “”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ） A. 3月5日或3月16日 B. 3月6日或3月15日 C. 3月7日或3月14日 D. 3月8日或3月13日 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式列方程求解. 【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第天所得积分为． 假设他连续打卡天，第天中断了， 则他所得积分之和为 ，化简得， 解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的应用，注意审题“一天中断”两次求和公式的应用. 8. 在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（ ） A. 1275 B. 1596 C. 1597 D. 1598 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件分析得出该数列逐项之差成等差数列，利用累加法及等差数列求和公式计算即可. 【详解】设该数列为，则由题意可知：， 即从第二项开始后一项与前一项之差构成等差数列，所以， 利用累加法可得， 所以. 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前项和最大 B. 若等比数列是单调递减数列，则公比满足 C. 已知等差数列的前项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】解不等式，可判断A选项；利用等比数列的单调性可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的求和公式以及等差数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得， 又因为，故数列前项的和最大，A对； 对于B选项，当，时，则对任意的，， 则，所以，，此时等比数列也是递减数列，B错； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，若为等差数列，则，， 则（为常数），所以，数列也是等差数列，D对， 故选：ACD. 10. 在数列中，，且，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，可求，的值，判断AC是否正确；利用等比数列的定义判断数列是否为等比数列，再利用等差数列的通项公式判断是否为等差数列. 【详解】因为，且， 所以，，A正确，C错误． 因为，所以，又， 所以，所以为等比数列，且首项为3，公比为3， 所以，所以， 所以为等差数列，且公差为，B，D均正确． 故选：ABD 11. 已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列、等比数列求和公式及，推导出，不妨设，，是不为0的常数，即可表示出，，从而得解. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为等差数列的前项和； 等比数列的前项和； 又，所以等比数列的公比，即. 不妨设，，是不为0的常数， 所以当时， 当时， 则，， 所以，. 故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设是首项为1的数列，且，则___________． 【答案】32 【解析】 【分析】由递推公式可得，已知求，再求. 【详解】，得，又，得，所以. 故答案为：32． 13. 知数列的通项公式为，则数列的最大项为第______项． 【答案】4 【解析】 【分析】利用作差法比较判断数列的单调性，再找出其最大项即可. 【详解】解法一：∵， ∴当时，；当时，， 即，故数列的最大项为第4项． 解法二：设数列中的最大项为，则 即解得． ∵，∴．故数列的最大项为第4项． 【点睛】思路点睛：（1）利用数列的单调性求最大项或最小项； （2）求数列中的最大项，只需满足求数列中的最小项，只需满足 14. 某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值可以是__________．（横线上给出一个满足条件的x的值即可） 对工作满意 对工作不满意 男 5x 5x 女 4x 6x 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】14（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据卡方公式求出x的取值范围，再根据且，即可得解. 【详解】由题意得，故， 所以. 故答案为：14（答案不唯一）. 四、解答题（共77分） 15. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）讨论的符号去绝对值，结合等差数列求和公式求解. 【小问1详解】 在等差数列中，， 解得，则 . 【小问2详解】 因为，则. 当时，数列的前项和； 当时，数列的前项和. 故. 16. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． （1）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； （2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 【答案】（1）， （2）乙超市在第7年将被收购 【解析】 【分析】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式； （2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 【小问1详解】 设甲超市前年总销售额为，第年销售额为， 则， 因为时，， 则时，， 故； 设乙超市第年销售额为，则， 时，， ， 显然时也符合， 所以. 【小问2详解】 当时，，，有； 当时，，，有； 当时，，，故乙超市有可能被收购， 当，令，则， 整理得， 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 17. 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； （3）根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 【答案】（1）适宜 （2） （3）99.25亿元． 【解析】 【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案； （2）利用最小二乘法求出即可得解； （3）令即可得解. 【小问1详解】 由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型． 【小问2详解】 由题意得：，， ， 所以． 【小问3详解】 令，估计2025年的企业利润为99.25亿元． 18. 已知数列满足，，为数列的前 项和． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前 项和． 【答案】（1）证明：对整理有：， 等式两边同时除以可得， 等式两边再同时减 得，即， 又由，可得，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列； （2）由（1）结合等比数列的通项公式可求； （3）利用分组求和法可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得的通项公式为， 得，所以． 【小问3详解】 由（2）知， 所以 ． 19. 设满足以下两个条件的有穷数列、、、为阶“曼德拉数列”：①；② （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，直接写出一个满足条件的数列的通项（不需要证明）． （2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用、表示）． （3）记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“曼德拉”数列的定义可得出满足条件的一个阶数列； （2）结合曼德拉数列的定义，首先得,然后分公差是大于、等于、小于进行讨论即可求解； （3）记中非负项和为，负项和为，则，，进一步，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解. 【小问1详解】 根据题意，一个满足条件条件的阶“曼德拉数列”的通项公式可以为. 【小问2详解】 设等差数列、、、、的公差为， 因为， 即，所以，， 即，所以，， 当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾， 当时，根据“曼德拉数列”的条件①②得， ， 即，即， 由得，即， 则. 当时，同理可得，即. 由得，即， 所以，. 综上所述，当时，；当时，. 【小问3详解】 记、、、中非负项和为，负项和为，则， 得，，，即. 若存在，使，由前面的证明过程知： ，，，，，，，，且. 若数列为阶“曼德拉数列”， 记数列的前项和为，则. 所以，， 又，所以，， 则，， 又， 所以，，，，， 所以，， 又与不能同时成立， 所以，数列不为阶“曼德拉数列”. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到，，，，，，，，且，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $