12.4 定理（2）课件-2024-2025学年苏科版数学七年级下册

12.4 定理(2) 执教:张二平 苏科版初中数学七年级下册 1.进一步掌握几何问题中辅助线的添加,理解添加 辅助线在几何证明、计算中的作用。 2.经历探讨用多种方法证明多边形内角和定理与多边形外角和定理,并能进行简单运用; 3.继续感受数学的严谨性和数学结论的确定性, 在交流中发展有条理思考和表达的能力。 重点:用多种方法证明多边形内角和定理与多边形 外角和定理 ,并能进行简单运用. 难点:添加辅助线和有条理的表述. 学习目标 一、情境引入: 在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形。 三角形 你能仿照三角形的定义给出四边形、五边形……等多边形的定义吗? 四边形 五边形 六边形 八边形 你知道任意六边形的内角和是多少度? 二、探究新知: 从特殊到一般,运用数学归纳法 得到一般规律。 活动1:一个多边形可以分割为若干个三角形,是否可以利用三角形内角和定理推出多边形的内角和呢? 如图是一个任意的四边形ABCD,在四边形内部任取一点P,连接点P与4个顶点就得到了4个三角形,这4个三角形的内角和减去以P为顶点的 周角就是四边形的内角和, 即四边形ABCD的内角和 =180 4-360 =180 (4-2)= 360 对任意的五边形,同样可得: 五边形的内角和 。 =180 5-360 =180 (5-2)=540 对于n边形的内角和,你有什么猜想? 多边形边数 4 5 6 … n 分成的三角形个数 2 3 … 多边形的内角和 180 2 180 3 … 4 180 4 n-2 (n-2) 180 填表: n边形的内角和等于(n-2) 180 . 其中n≥3的整数. 多边形的内角和定理: 5 为了说理的方便,我们给图形添加了字母与数字. 活动2: 如图,S是六边形草地ABCDEF的边AB上一点, 小明从点S出发,沿着它的边步行1周,仍回到 点S处,小明转过的角度是多少?这说明了什么? 问题: 多边形有内角,也有外角, 如图,延长CD,得到射线CF, ∠EDF是五边形ABCDE的一个外角。 顺次延长多边形的各边:AB,BC,CD,…, 在每个顶点处得到一个外角, 这些外角的和叫作这个多边形的外角和。 多边形的一边与另一边的延长线的夹角,叫做多边形的外角. 内角和有一般规律,外角和也有一般规律吗? 仿照多边形的内角和研究过程, 如何求多边形的外角和? 如图1, ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角, 因为三角形的内角和为180 , 所以三角形的外角和是 ; 如图2,四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角,因为四边形的内角和为360 , 所以四边形的外角和是 。 180 3-180 =360 180 4-180 (4-2)=360 我们可以把上面的结果推广到一般的n边形,得到:多边形的外角和 =180 n一多边形的内角和 =180 n-180 (n-2) = 180 2 =360 小结: 多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360 。 8 用规范的几何语言来讲,我们可以从A处作BC的平行线,从而实现角度的转移,完成证明。 但这里需要提醒学生注意两个180度的异同,实现认知的提升。 至此,授课时间为10分钟左右。 1、一个多边形的每一个外角都等于60 , 则它是_ 边形,内角和为_ . 2、一个多边形的每一个外角等于72 , 则这个多边形的边数为_, 它的每个内角都等于_, 其内角和为_。 3、某三角形三个外角的度数之为7:6:5, 则这个三角形的最大内角度数为_。 六 720 5 108 540 140 、120 、100 80 试一试: 例题讲解: 例1、如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数. 例2、(1)一个多边形的每一个外角都等于30 , 它的边数是 ; (2)一个多边形的每一个内角都等于1440 , 它的边数是 ; (3)在一个多边形中,小于108 的内角 最多有 个。 (4)一个多边形的内角和等于外角和的 , 求这个多边形的边数。 1、一个多边形的边数每增加一条时,内角和增加( ) A、120 B、180 C、270 D、360 B 2、八边形内角和是_ ; 3、 边形内角和是 1440 , 共有 条对角线。 1080 十 35 三、合作交流: 4、一条直线把五边形分成两个多边形,它们的内角和的度数分别是 ,则 的最大值为 。 5、在一个多边形中,小于112 的内角最多有 个。 900 360 (180 -112 )≈ 5 5 四、拓展延伸: 1、如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线交于点0.若∠1,∠2,∠3,∠4相邻外角的和等于230 ,则∠BOD 的度数是( ) A、50 B、55 C、40 D、45 2、一个多边形的所有内角与它的一个外角的和 等于2000 ,求多边形的边数这个外角的度数. 五、总结反思: 1、多边形的内角和定理: n边形的内角和等于(n-2) 180 ,其中n≥3的整数. 多边形内角和定理是求关于多边形内角和与边数 等问题的重要依据. 2、多边形外角和定理: 任意多边形的外角和等于360 . 剖析: ①多边形的外角和与边数无关是一个固定值360 ②这里的“外角和”指每一个顶点处取一个外角相加的和. ③若知道每一个外角都相等,则利用“外角和”的不变性, 求边数有时比较简捷. 六、达标检测: 1、如图,S是六边形草地ABCDEF的边AB上一点,小明从点S 出发,沿着它的边步行1周,仍回到点S处, 小明转过的角度是 ; 若六边形草地ABCDEF的每边长为5米, 小明走了 米。 2、已知如图①, 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = 。 如图②,求∠A+∠B+…+∠K=_ ① ② 360 900 360 30 4、一个多边形除一个内角外,其余各内角的和为2220 ,求这个内角的度数和这个多边形的边数及对角线的条数. 3、如图,在四边形ABCD中, ∠A十∠D=a,∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线相交于点P, 则∠P的度数为( )。 $$