浙江省宁波大学附属学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷

2024-2025学年浙江省宁波大学附属学校九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.沸点是液体沸腾时的温度，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是(    ) 液体名称 液氧 液氢 液氮 液氦 沸点 A. 液氧 B. 液氢 C. 液氮 D. 液氦 2.新的课程标准规定，学生在初中阶段课外阅读总量不少于260万字，每年阅读两、三篇名著.数据260万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.如图是底面为正方形的直四棱柱，下面关于它的三个视图的说法正确的是(    ) A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三个视图都相同 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.某运动员在一次比赛中，六名裁判对其打分情况如表所示： 成绩/分 94 96 97 次数 2 3 1 则六名裁判所打分数的中位数为(    ) A. 97分 B. 分 C. 94分 D. 96分 6.如图，AB为的直径，C、D为上两点，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 7.不等式组的解集在数轴上表示为(    ) A. B. C. D. 8.甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，于点D，点F在AD上，，若点G、E、H分别为BF、AC、AB的中点，连结GE，HE，HG，则GE的长为(    ) A. 4 B. C. D. 5 10.已知函数，若，，则下列说法正确的是(    ) A. 当时，有最小值 B. 当时，无最大值 C. 当时，有最小值 D. 当时，有最大值 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.分解因式：______. 12.某班级共有20位女同学和22位男同学，将每位同学的名字分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀.老师从盒中随机取出1张纸条，抽到男同学名字的概率是______. 13.若扇形的圆心角为，半径为18，则它的弧长为______. 14.如图，在中，，，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线AF，则______ 15.对于平面直角坐标系xOy中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”.如图，双曲线C：和直线1：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是______. 16.如图，在正方形ABCD中，，点P在正方形内，，交边AD于点F，，交PF延长线于点E，且，连结AP，若五边形AEDCP的面积为24，则的度数为______， PC的长为______. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： 18.本小题8分 解方程： ； 19.本小题8分 如图，在中，，D为边BC上的一点，， 求AC的长. 若，求的值. 20.本小题8分 安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查： 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴 A 68 B 245 C 510 D 17 合计 1000 宣传活动前，在抽取的市民中______的人数最多，占抽取人数的______； A.每次戴经常戴偶尔戴都不戴 该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数； 小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，仅比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果.小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法. 21.本小题8分 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且，连接EF与AC交于点M，连接AF， 求证：≌； 若，，求四边形AECF的周长. 22.本小题10分 一天中午，小明和小丽分别骑自行车和乘坐公共汽车从甲地去乙地.八一班数学兴趣活动小组的同学们根据有关信息画出了两人行驶距离与所用时间之间的函数关系图象，如图，回答下列问题： 填空： ①甲、乙两地相距______ km； ②小明骑自行车的平均速度是______ ①求小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式并写出t的取值范围； ②求小丽出发后多长时间与小明相遇？ 23.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 求抛物线的顶点坐标用含t的代数式表示； 点，在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求的值； ②若对于，，都有，求t的取值范围. 24.本小题12分 已知在中，AB是的直径，点B为弧CD中点，连接CD交AB于点 如图1，求证：； 如图2，在弧AD上有一点G，连接GC、GA，DG，求证：； 在的条件下，GC交AB于点F，在弧AC上取一点H，连接HC、HD，使，当，，时，求线段CH的长. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：，，，， ， ， 沸点最高的液体是液氧． 故选： 根据负数比较大小，其绝对值大的反而小进行解答即可． 本题考查了有理数大小的比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：260万， 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：A、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，故A不符合题意； B、左视图是一个长方形，主视图是个长方形，且两个长方形的长和宽分别相等，所以B符合题意； C、左视图是一个长方形，俯视图是一个正方形，故C不符合题意； D、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，左视图是一个长方形，故D不符合题意． 故选： 根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图． 4.【答案】D  【解析】解：与不是同类项不能合并， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意． 故选： 分别运用同底数幂相除、合并同类项、幂的乘方与积的乘方对各选项进行逐一计算即可求解． 此题考查了同底数幂相除、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 5.【答案】D  【解析】解：将六名裁判所打分数从小到大排列：94，94，96，96，96，97， 排在中间的两个数均为96， 故中位数为：分， 故选： 根据中位数的定义进行计算即可．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 本题考查了中位数，掌握中位数的定义是解答的关键． 6.【答案】B  【解析】解法一：连接AD，如图1， 为的直径， ， ， 解法二：连接OD，如图2， 根据圆周角定理，， 和OB均为的半径， ， ， 在中， 故选： 解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算的度数． 解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可的胡结论． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 7.【答案】B  【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选： 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为： 故选： 直接利用甲厂生产30000个和乙厂生产25000个口罩的时间相同得出等式即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键． 9.【答案】C  【解析】解：点G、E、H分别为BF、AC、AB的中点， 、HG分别为、的中位线， ，，，， ， ， ， 故选： 根据三角形中位线定理得到，，，，得到，再根据勾股定理计算，得到答案． 本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 10.【答案】C  【解析】解：如图： 由图可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，，， 当时，即：， ， ，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，，， 当时，即：， 当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选： 根据题意画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，数形结合和分类讨论的思想；进行正确的分类讨论是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 此多项式有公因式，提取公因式3m即可分解． 本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12.【答案】  【解析】解：某班级共有20位女同学和22位男同学， 抽到写有男生名字纸条的概率是： 故答案为： 确定出男生人数为22人，然后根据概率公式列式计算即可得解． 本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13.【答案】  【解析】解：由弧长公式得， 故答案为： 根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径 14.【答案】10  【解析】解：在中，，， ， 由作图知，AF平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：根据题意，曲线上点到直线L的距离为有2个， ①先找到只有一个时，直线L的位置， 直线L的解析式为：， 直线L与x轴的夹角为， 曲线与直线的交点为， 交点到原点的距离为， ， ②根据题意若图形C到直线l的“距点”有3个时， ，， ， 此时直线L与直线交点距离原点距离为， 是等腰直角三角形， ，， ，代入得， 则，n的范围为 根据新定义分别计算有1个和3个，确定n的取值范围． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键． 16.【答案】   【解析】解：过C作于G，过A作于M，于N，连结PB， ，，，， 四边形PCGE是正方形， ，， 正方形ABCD， ，， ， ≌， ， ， 、F、P、B四点在一条直线上， ， 于M，， 四边形AMEN是矩形， ≌， ， 矩形AMEN是正方形，AE平分， ，， 设，， ， ≌， ， ， ， ， 即 过C作于G，即可得到正方形PCGE，可得≌，进而得到E、F、P、B四点在一条直线上，过A作于M，于N，易证≌≌，即可得到AE平分，即，再利用五边形AEDCP的面积为24列方程求出PC的长即可． 本题综合考查正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、角平分线的判定，通过手拉手模型构造正方形，证明E、F、P、B四点在一条直线上是解题的关键． 17.【答案】解：原式   【解析】先根据绝对值的性质，零指数幂，特殊的锐角三角函数值，负整数指数幂，立方根的相关知识进行化简，再根据实数的加减运算法则进行运算． 本题考查了绝对值的性质，零指数幂，特殊的锐角三角函数值，负整数指数幂，立方根等相关知识，先正确化简，再正确运算实数的加减运算法则是解题的关键． 18.【答案】解；， ， ， 或， 所以，； 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 所以原方程无解．  【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； 先把方程两边乘以得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解． 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的混合运算． 19.【答案】解：在中，，，， ， ； ，， ， ，   【解析】根据正切定义求解即可； 根据勾股定理求出，再根据正弦定义求解即可． 此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键． 20.【答案】偶尔戴  51  【解析】解：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多； 占抽取人数的； 故答案为：偶尔戴，51； 估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数约为：万人； 小明分析数据的方法不合理，理由如下： 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比： ， 活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比： ， ，因此交警部门开展的宣传活动有效果． 宣传活动前，属于类别C的人数最多，用类别C的人数的人数除以总人数即可求解； 活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数=在抽取的市民中“经常戴”的人数占抽取人数的百分比万； 先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果． 本题考查了条形统计图，统计表以及用样本估计总体，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． 21.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形 ，平行四边形的对边平行且相等， 两直线平行，内错角相等， ， 即， 在和中 ≌； 解：， 四边形AECF是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 又， ▱AECF是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 菱形的四条边都相等， 菱形AECF的周长  【解析】直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法分析得出答案； 利用菱形的判定与性质得出答案． 此题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，正确掌握相关性质是解题关键． 22.【答案】20  8  【解析】解：①观察函数图象可得，甲、乙两地相距20km； 故答案为：20； ②观察图象可知，小明骑自行车行驶了20km， 小明骑自行车的平均速度是； 故答案为：8； ①设，把，代入得： ， 解得， 小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式为； ②当小丽与小明相遇时，， 解得， ， 小丽出发后与小明相遇． ①观察函数图象直接可得甲、乙两地相距20km； ②观察图象可知，根据路程速度，时间的关系列式计算可得小明骑自行车的平均速度； ①用待定系数法可得； ②当小丽与小明相遇时，两人离甲地的路程相同，列出方程可解得答案． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 23.【答案】解：， 抛物线的顶点坐标为； ①， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， 当时，的最小值为， 的最小值是， ， ，抛物线表达式为， ； ②抛物线抛物线的对称轴为， 关于对称轴的对称点为， 点，在抛物线上，其中，，对于，，都有， 当在对称轴的右侧时，则，解得， 当在对称轴的左侧时，则，解得， 即满足条件的t的取值范围为或  【解析】将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； ①先确定出当时，的最小值为t，进而求出t，从而求得解析式，再根据求得，代入解析式即可求出答案； ②先由求得抛物线的开口方向和对称轴，再分两种情况，根据题意，利用，，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出答案． 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握二次函数的对称性，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 24.【答案】证明：是的直径，点B为弧CD中点， ； 证明：如图2，连接OC，OD， ， ， ， ， 点B为弧CD中点， ， ， ， ， ； 解：如图3，连接AD，AC，DF，延长DF至M，使，连接AM，过点G作于K， ，AB是的直径，， 是CD的垂直平分线，， ，，， ，， ，， ， ， ≌， ， ， ，即， ，， ≌， ，， ， ， ， ∽， ， ， 或舍， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，   【解析】由垂径定理推论即可求证； 连接OC，OD，由圆周角定理得到，，由点B为弧CD中点，得到，从而，因此，根据，即可得证； 如图3，连接AD，AC，DF，延长DF至M，使，连接AM，过点G作于K，先证明≌，得，再证明≌，则，，证明∽，列比例式可得FM的长，最后证明，则，即可解答． 本题考查了圆的综合题目，涉及圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 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