专题04 十字架模型与对角互补模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题4 十字架模型与对角互补模型 十字架模型与对角互补模型常常出现在正方形和矩形为背景的题目中，多以选择、填空题为主，考察线段长度，角度，结论判断等。 2 模型1.十字架模型 2 模型2.对角互补模型 10 17 模型1.十字架模型 （1）条件：如图，正方形，点E，F分别在边，上， 结论：①；②. （2）条件：正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上， 作法：分别过点H，F作于点I，于点J，与交于点M，与交于点O. 结论：. （3）条件：矩形，点E在边上，，交于点F， 结论：①；②. （4）条件：矩形，点E，F，G，H分别在边，，，上， 作法：分别过点E，G作于点J，于点K，与交于点I，与交于点L. 结论：. （1）条件：如图，正方形，点E，F分别在边，上， 结论：①；②. 证明：如图，，交于点G， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 在和中， ， ∴， ∴. （2）条件：正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上， 作法：分别过点H，F作于点I，于点J，与交于点M，与交于点O. 结论：. 证明：分别过点H，F作于点I，于点J，与交于点M，与交于点O， ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 在和中， ， ∴， ∴. （3）条件：矩形，点E在边上， 结论：①；②. 证明：如图，，交于点F， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （4）条件：矩形，点E，F，G，H分别在边，，，上， 作法：分别过点E，G作于点J，于点K，与交于点I，与交于点L. 结论：. 证明：分别过点E，G作于点J，于点K，与交于点I，与交于点L， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴. 例1．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，平 分交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 例2．如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，与相交于点G，连接交 于点H．若，，，则的面积为 　 　． 【答案】． 【解答】解：如图：过点H作，垂足为M， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴的面积， 故答案为：． 例3．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形， 点E、F、G、H分别在边、、、上，若EG⊥FH，则．”为了解决这个问题，经 过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 方案二：过点H作交于点M，过点E作交于点N． （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图1）． （2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，（如图2），并设，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）的值是． 【解答】（1）证明：如图1，作交于点M，作分别交、、于点P、Q、N，设交于点R， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，作于点M，于点N，分别交、于点T、K，设交于点L， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值是． 模型2.对角互补模型 对角互补模型 条件：如图，，平分， 作法：过点D分别作于点E，交的延长线于点F， 结论：①；②；③. 条件：如图，，平分， 作法：过点D分别作于点E，交的延长线于点F， 结论：①；②；③. 证明：如图，过点D分别作于点E，交的延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴. 易证四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 例1．如图，正方形，点P是对角线上一点，连接，过P作，交于Q， 连接交于G，若，Q为中点，则下列结论： ①；②；③；④正方形的面积是16； 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A． 【解答】解： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、Q、P四点共圆， ∴，，∴①正确；③正确； 过P作于M，于E，于F，则E、P、F三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 设， 则， ∵， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴②正确； ∴， ∵Q为中点， ∴， ∴正方形的面积是， ∴④正确； 故选：A． 例2．如图，四边形中，，平分，平分，、交于G 点，求证： （1）； （2）． 【答案】证明见解析． 【解答】证明（1）∵四边形的内角和是， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 例3．如图，正方形中，点E，F分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是 周长的2倍．连接，分别与对角线交于点M，N． （1）若，，求的长； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解答】解：（1）∵正方形的周长是周长的2倍， ∴， ∴， 若，， 则； （2）如图，在的延长线上取点 H，使得， 在正方形中，，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即； （3）作于点G，连接，， 在和中， ， ∴， 同理，， ∴，，， ∴点A，G关于对称轴，C，G 关于对称， ∴，，，， ∴， 即是直角三角形， 若， 则， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴， 由轴对称可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：． 十字架模型 1．如图，点E、F、G分别是正方形的边、、上的点，连接，，．且， ，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，过点F作于点H， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点H为中点， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形，， ∴． 故选：C． 2．正方形中，E、F分别为、的中点，与相交于点O，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：根据题意，，，， ∴． ∴，． ∵正方形， ∴， ∴． ∴． 所以． 故选：D． 3．如图所示，E、F、G、H分别为正方形的边，，，上的点，且 ，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， 同理可以证明，，，是全等的直角三角形，它们的面积相等， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 令正方形的边长是a，，则，， ∴正方形的面积是，的面积是， ∵， ∴， ∵阴影的面积， ∴阴影部分的面积与正方形的面积的比是． 故选：A． 4．如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点O，下 列结论①；②；③；④中，正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B． 【解答】解：在正方形中，，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，故②正确； 假设， ∵（已证）， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∵在中，， ∴，这与正方形的边长相矛盾， 所以，假设不成立，，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上所述，错误的有③． 故选：B． 5．如图，正方形中，，与相交于点H，点O为中点，连结，若， 则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点O为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得， 在中，根据勾股定理， 过点O作于点P，过H作于点N，过O作交的延长线于点M，如图： 则四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理可得， ∴， 故选：A． 6．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边，的中点，连接，交于点O， 将沿翻折，得到，延长交的延长线于点H，连接．有以下结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由折叠得： ， ∴， ∴， 故②正确； 由折叠得： ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 所以，以上结论，正确的有4个， 故选：D． 7．如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A点D重合），将正方形 纸片沿折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，连结、，下列结论： ①； ②当P为中点时，三边之比为3：4：5； ③； ④周长等于8． 其中正确的是 　 　（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④． 【解答】解：如图，过点F作于点M， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可知，， 设，则， ∵P为中点， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 即三边之比为，故②正确； 由折叠可知，，， ∴，， ∵， ∴，故③正确； 如图，过点B作于点N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 8．如图，已知四边形是正方形，点F是边上的动点（不与端点重合），点E在线段上， ，，，M为线段的中点，点N在线段上（不与点F重合）， 且． （1）求证：； （2）随着点F的运动，试猜想的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）的值不发生变化，，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即：， ∴， 即：． （2）解：猜想的值不发生变化，，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形，即：， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的值不发生变化，值为2． 9．如图，在正方形中，，点E在边上，连接，且，点F是 的中点． （1）过点F作直线，分别交，于点G，H，且，求的长； （2）如图，过点F作的垂线，分别交，，于点M，O，N，连接，求的度数． 【答案】（1）或；（2）． 【解答】（1）如图，过点B作，交于R， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴； 如图，过点A作，交于R，过点G作于点O， 同理可证：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为或； （2）如图，连接，过点O作于点Q，于点P， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．已知点E、F分别是四边形边、上的点，且与相交于点G．若， ，设，当时，直接写出的值． 【答案】． 【解答】解：如图，作于点N，交的延长线于点M，连接，设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（不合题意舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在平行四边形中，，，点E、F分别在边、上，点M、N分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由． 【答案】当时，，证明见解析． 【解答】解：当时，， 作，交于G，，交于H， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴当时，． 同理，当时， 此时时，． 对角互补模型 1．如图，为等边三角形，以为边向形外作，使，再以点C为旋转中心 把旋转到，则下列结论： ①D、A、E三点共线； ②平分； ③； ④． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A． 【解答】解：如图， ①设，则，，故， ∴， ∴D、A、E三点共线； 故①正确； ②∵绕着点C按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 故②正确； ③∵， ， ∴． 故③正确； ④由旋转可知， 又∵， ∴． ∵为等边三角形， ∴． 故④正确； 故选：A． 2．在四边形中，平分，，E为中点，求证：． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：过点C作交于F点，过点C作交延长线于点G， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴． 3． 如图，在四边形中，，平分． 结论：①；②；③，请证明以上的结论． 【答案】证明见解析． 【解答】①证明：如图， 过点D作于点F，交的延长线于点E， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图， 以D为中心将逆时针旋转得到， 由旋转的性质可得，，，，， ∵， ∴， ∴点B，C，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③证明：如②图， 由旋转的性质可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，点在第一象限的角平分线上，，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上． （1）求点P的坐标． （2）当绕点P旋转时， ①的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①不变，；②的最小值为8． 【解答】解：（1）∵点在第一象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴； （2）①不变． 过点P作轴于M，于N． ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ②连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，当最小时，也最小． 根据垂线段最短原理，最小值为2， ∴的最小值为8． 5．在四边形中，的两边，分别交直线，于点E，F，已知， 且，． （1）如图1，当全部位于四边形的内部时，试探究与，之间的数量关系．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示：证明：如图2，将绕点A旋转到处． ∴，，，， ∵， ∴， ∴G，D，F三点共线． … 请你将上述证明过程补充完整，并写出结论； （2）如图3，当旋转到如图所示的位置时，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；如若不成立，请写出正确的结论，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中的结论不成立，正确的结论为：，证明见解析． 【解答】（1）证明：如图2，将绕点A旋转到处． ∴，，，， ∵， ∴， ∴G，D，F三点共线． ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即与，之间的数量关系为． （2）当旋转到如图3所示的位置时，（1）中的结论不成立． 正确的结论为：． 证明：如图3，将绕点A旋转到处． ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴G，D，F三点共线． ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 即与，之间的数量关系为． 6．在四边形中，，对角线平分． （1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系为 　 　； （2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图3，若，若，，求线段的长和四边形的面积． 【答案】（1）；（2）（1）中结论成立，理由见解析；（3）． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵对角线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）（1）中结论成立，理由如下： ， 以C为顶点，为一边作，的另一边交延长线于点E， 由（1）可得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）过点C作交延长线于点E， ， ∵对角线平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解： （1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接，． 求证：四边形是等补四边形； 探究： （2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用： （3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点F，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）平分，理由见解析；（3）． 【解答】解：（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形； （2）平分，理由如下： 如图2，过点A分别作于点E，垂直的延长线于点F， 则， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，即平分； （3）如图3，连接， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）知，平分， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∴． 8．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． （1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　 　（请填序号）； （2）在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分： 想法一：通过，可延长到E，使，通过证明，从而可证平分∠BCD； 想法二：通过，可将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）④；（2）①证明见解析，②，理由见解析． 【解答】解：（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”． 故答案为：④ （2）①想法一：延长使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴． 即平分； 想法二：将绕点A顺时针旋转，使边与边重合，得到， ∴． ∴，，． ∵， ∴． ∴点C，B，E在一条直线上． ∵， ∴， ∴， 即平分． ②，理由如下： 延长使，连接， 由 ①得为等腰三角形． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 9．四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　 　； ③　 　； （2）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明：； （3）如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】（1）①作图见解析，②等腰直角三角形，③；（2）证明见解析；（3），理由见解析． 【解答】（1）解：①如图1， ②如图1，延长至M，使得，连， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 即， ∴为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； ③∵为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至M，使得，连， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． （3）．理由如下： 证明：如图3，延长至M，使得，连，， 则， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．在四边形中，，，连接，． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系 　 　； （2）如图2，当时，猜想线段，，之间的数量关系；并证明你的猜想； （3）如图3，当时，请直接写出线段，，之间的数量关系．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【解答】解：（1）如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 过点A作， ∴，， ∴， ∴． 11．如图，在四边形中，连接对角线、，平分，，． （1）如图1，求：的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，在边上取一点E，边上取一点F，连接、交于点M，连接，若，，，求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解答】（1）解：如图1中， ∵，， ∴， ∵， ∴，． （2）证明：如图1中，作于E，交的延长线于点F． ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图2中，作于G，于H，交的延长线于N． 在中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，设， 则，，，， 在中， ， 解得或8（舍弃）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 59 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 十字架模型与对角互补模型 十字架模型与对角互补模型常常出现在正方形和矩形为背景的题目中，多以选择、填空题为主，考察线段长度，角度，结论判断等。 2 模型1.十字架模型 2 模型2.对角互补模型 10 17 模型1.十字架模型 （1）条件：如图，正方形，点E，F分别在边，上， 结论：①；②. （2）条件：正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上， 作法：分别过点H，F作于点I，于点J，与交于点M，与交于点O. 结论：. （3）条件：矩形，点E在边上，，交于点F， 结论：①；②. （4）条件：矩形，点E，F，G，H分别在边，，，上， 作法：分别过点E，G作于点J，于点K，与交于点I，与交于点L. 结论：. （1）条件：如图，正方形，点E，F分别在边，上， 结论：①；②. 证明：如图，，交于点G， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 在和中， ， ∴， ∴. （2）条件：正方形，点E，F，G，H分别在边，，，上， 作法：分别过点H，F作于点I，于点J，与交于点M，与交于点O. 结论：. 证明：分别过点H，F作于点I，于点J，与交于点M，与交于点O， ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 在和中， ， ∴， ∴. （3）条件：矩形，点E在边上， 结论：①；②. 证明：如图，，交于点F， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （4）条件：矩形，点E，F，G，H分别在边，，，上， 作法：分别过点E，G作于点J，于点K，与交于点I，与交于点L. 结论：. 证明：分别过点E，G作于点J，于点K，与交于点I，与交于点L， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴. 例1．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，平 分交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 例2．如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，与相交于点G，连接交 于点H．若，，，则的面积为 　 　． 【答案】． 【解答】解：如图：过点H作，垂足为M， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴的面积， 故答案为：． 例3．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形， 点E、F、G、H分别在边、、、上，若EG⊥FH，则．”为了解决这个问题，经 过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 方案二：过点H作交于点M，过点E作交于点N． （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图1）． （2）如果把条件中的“正方形”改为“矩形”，（如图2），并设，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）的值是． 【解答】（1）证明：如图1，作交于点M，作分别交、、于点P、Q、N，设交于点R， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，作于点M，于点N，分别交、于点T、K，设交于点L， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值是． 模型2.对角互补模型 对角互补模型 条件：如图，，平分， 作法：过点D分别作于点E，交的延长线于点F， 结论：①；②；③. 条件：如图，，平分， 作法：过点D分别作于点E，交的延长线于点F， 结论：①；②；③. 证明：如图，过点D分别作于点E，交的延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴. 易证四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 例1．如图，正方形，点P是对角线上一点，连接，过P作，交于Q， 连接交于G，若，Q为中点，则下列结论： ①；②；③；④正方形的面积是16； 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A． 【解答】解： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、Q、P四点共圆， ∴，，∴①正确；③正确； 过P作于M，于E，于F，则E、P、F三点共线， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 设， 则， ∵， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴②正确； ∴， ∵Q为中点， ∴， ∴正方形的面积是， ∴④正确； 故选：A． 例2．如图，四边形中，，平分，平分，、交于G 点，求证： （1）； （2）． 【答案】证明见解析． 【解答】证明（1）∵四边形的内角和是， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 例3．如图，正方形中，点E，F分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是 周长的2倍．连接，分别与对角线交于点M，N． （1）若，，求的长； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解答】解：（1）∵正方形的周长是周长的2倍， ∴， ∴， 若，， 则； （2）如图，在的延长线上取点 H，使得， 在正方形中，，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即； （3）作于点G，连接，， 在和中， ， ∴， 同理，， ∴，，， ∴点A，G关于对称轴，C，G 关于对称， ∴，，，， ∴， 即是直角三角形， 若， 则， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴， 由轴对称可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：． 十字架模型 1．如图，点E、F、G分别是正方形的边、、上的点，连接，，．且， ，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．正方形中，E、F分别为、的中点，与相交于点O，则（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，E、F、G、H分别为正方形的边，，，上的点，且 ，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（　　） A． B． C． D． 4．如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点O，下 列结论①；②；③；④中，正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，正方形中，，与相交于点H，点O为中点，连结，若， 则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边，的中点，连接，交于点O， 将沿翻折，得到，延长交的延长线于点H，连接．有以下结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A点D重合），将正方形 纸片沿折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，连结、，下列结论： ①； ②当P为中点时，三边之比为3：4：5； ③； ④周长等于8． 其中正确的是 　 　（写出所有正确结论的序号） 8．如图，已知四边形是正方形，点F是边上的动点（不与端点重合），点E在线段上， ，，，M为线段的中点，点N在线段上（不与点F重合）， 且． （1）求证：； （2）随着点F的运动，试猜想的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由． 9．如图，在正方形中，，点E在边上，连接，且，点F是 的中点． （1）过点F作直线，分别交，于点G，H，且，求的长； （2）如图，过点F作的垂线，分别交，，于点M，O，N，连接，求的度数． 10．已知点E、F分别是四边形边、上的点，且与相交于点G．若， ，设，当时，直接写出的值． 11．如图，在平行四边形中，，，点E、F分别在边、上，点M、N分别在边、上，当与的度数之间满足什么数量关系时，有？试写出其数量关系，并说明理由． 对角互补模型 1．如图，为等边三角形，以为边向形外作，使，再以点C为旋转中心 把旋转到，则下列结论： ①D、A、E三点共线； ②平分； ③； ④． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在四边形中，平分，，E为中点，求证：． 3． 如图，在四边形中，，平分． 结论：①；②；③，请证明以上的结论． 4．如图，点在第一象限的角平分线上，，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上． （1）求点P的坐标． （2）当绕点P旋转时， ①的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出的最小值． 5．在四边形中，的两边，分别交直线，于点E，F，已知， 且，． （1）如图1，当全部位于四边形的内部时，试探究与，之间的数量关系．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示：证明：如图2，将绕点A旋转到处． ∴，，，， ∵， ∴， ∴G，D，F三点共线． … 请你将上述证明过程补充完整，并写出结论； （2）如图3，当旋转到如图所示的位置时，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；如若不成立，请写出正确的结论，并证明． 6．在四边形中，，对角线平分． （1）如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系为 　 　； （2）如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图3，若，若，，求线段的长和四边形的面积． 7．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解： （1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接，． 求证：四边形是等补四边形； 探究： （2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用： （3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点F，，，求的长． 8．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”． （1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 　 　（请填序号）； （2）在“完美”四边形中，，，连接． ①如图1，求证：平分； 小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分： 想法一：通过，可延长到E，使，通过证明，从而可证平分∠BCD； 想法二：通过，可将绕点A顺时针旋转，使与重合，得到，可证C，B，E三点在一条直线上，从而可证平分． 请你参考上面的想法，帮助小明证明平分； ②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 9．四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　 　； ③　 　； （2）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，试证明：； （3）如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 10．在四边形中，，，连接，． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系 　 　； （2）如图2，当时，猜想线段，，之间的数量关系；并证明你的猜想； （3）如图3，当时，请直接写出线段，，之间的数量关系．（用含的代数式表示） 11．如图，在四边形中，连接对角线、，平分，，． （1）如图1，求：的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，在边上取一点E，边上取一点F，连接、交于点M，连接，若，，，求的值． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$