第04讲 反比例函数及其应用（测试）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

第04讲 反比例函数及其应用 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），那么k的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．6 D．﹣6 【分析】直接把点（3，﹣2）代入反比例函数，求出k的值即可． 【解析】解：∵反比例函数的图象经过点（3，﹣2）， ∴k＝3×（﹣2）＝﹣6． 故选：D． 2．已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案． 【解析】解：∵反比例函数y的图象位于第一、三象限， ∴n﹣2＞0， 解得：n＞2． 故n的取值可以是：3． 故选：D． 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.431kg/m3.若某一时刻氧气的密度ρ＝4.77kg/m3，则此时的体积V是（　　） A．2m3 B．3m3 C．5m3 D．6m3 【分析】设密度ρ（kg/m3）体积V（m3）的函数解析式为ρ，把V＝10m3时，ρ＝1.431kg/m3代入解析式求出k，即可求出求ρ与V的函数表达式，再把ρ＝4.77代入解析式求出V即可． 【解析】解：设密度ρ（kg/m3）体积V（m3）的函数解析式为ρ， ∵V＝10m3时，ρ＝1.431kg/m3， ∴k＝10×1.431＝14.31， ∴ρ， 当ρ＝4.77时，V3， 故选：B． 4．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【解析】解：A、由点（1，﹣1）的坐标满足反比例函数关系式，故A正确； B、由k＝﹣1＜0，反比例函数图象位于二、四象限，故B错误； C、由反比例函数的对称性，可知反比例函数图象关于直线y＝x和y＝﹣x对称，是中心对称图形，故C错误； D、由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D错误． 故选：A． 5．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到﹣4时，关于线段AB的长度，下列判断正确的是（　　） A．由大变小 B．由小变大 C．保持不变 D．有最小值 【分析】根据一次函数是正比例函数，AB的长度最小可得答案． 【解析】解：∵一次函数y＝x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点时，AB最小， ∴．当m的值由4逐渐减小到﹣4时，线段AB的长度有最小值， 故选：D． 6．如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，则可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，把A、B坐标代入一次函数解析式可求得a、b，进一步求得k﹣a的值． 【解析】解：∵点A（1，3）在反比例函数图象上， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数解析式为y， ∵B（c，﹣1）在反比例函数图象上， ∴c＝﹣3， ∴B（﹣3，﹣1）， ∵A、B在一次函数图象上， ∴，解得， ∴k﹣a＝3﹣1＝2． 故选：A． 7．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 【分析】根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将y＝200代入，结合函数图象即可求解． 【解析】解：设反比例函数解析式为， 将（0.4，250）代入得，k＝100， ∴反比例函数解析式为：， 当y＝200时，x0.5． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5， 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据反比例函数图象随着k的取值，分布不同的象限，结合P，Q，M，N四个点分布在不同的象限，且其中恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，从而得到结果． 【解析】解：∵反比例函数y（k≠0）， ∴当k＞0时，函数图象分布在第一，三象限， 当k＜0时，函数图象分布第二，四象限， ∵P，Q，M，N四个点，有两个点P，Q在第一象限，有一个点N在第二象限，有一个点M在第三象限， 且P，Q，M，N四个点中，恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴函数图象应分布在第一，三象限， ∴不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是点N， 故选：D． 9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜0，则y1•y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1•y2＞0 C．若y1•y2＜0，则x1•x2＜0 D．若y1•y2＞0，则x1•x2＜0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解析】解：∵反比例函数的常量k＜0， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数图象上， ∴x1y1＜0，x2y2＜0， A、若x1+x2＜0，则y1•y2＞0或y1•y2＜0，选项错误，不符合题意； B、若x1+x2＞0，则y1•y2＞0或y1•y2＜0，选项错误，不符合题意； C、若y1•y2＜0，则x1•x2＜0，选项正确，符合题意； D、若y1•y2＞0，则x1•x2＞0，选项错误，不符合题意； 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到CG＝HG，求得AH＝2BG，设B（a，），得到A（，），由OD∥AB，得到S△AOC＝S△ADC＝15，根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论． 【解析】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G， ∴AH∥BG， ∵AB＝BC， ∴CG＝HG， ∴AH＝2BG， ∵A、B两点在反比例函数的图象上， ∴设B（a，）， ∴A（，）， ∵OD∥AB， ∴S△AOC＝S△ADC＝15， ∴S△AOBS△AOC， ∵S四边形AHGB＝S△AOB， ∴（AH+BG）•HG）×（a）， ∴k＝10， 故k的值为10， 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知点M（a+2，1）与点N（﹣3，a）在同一反比例函数的图象上，则a的值为　　． 【分析】设反比例函数解析式为，反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k，即k＝﹣3a＝a+2，据此可得a的值． 【解析】解：设反比例函数解析式为， 由条件可知k＝﹣3a＝a+2， 解得， 故答案为：． 12．已知反比例函数的图象经过点（2，m）和（n，1），则m2+n＝　24　． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2m＝n＝8，然后求得m＝4，n＝8，代入m2+n即可求解． 【解析】解：∵反比例函数y的图象经过点（2，m）和（n，1）， ∴2m＝n＝8， ∴m＝4，n＝8， ∴m2+n＝42+8＝24．故答案为：24． 13．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝ 　4.5　m/s． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m＝80代入计算即可． 【解析】解：设反比例函数解析式为v， ∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s； ∴k＝60×6＝360， ∴反比例函数解析式为v， 当m＝80kg时，v4.5（m/s）， 故答案为：4.5． 14．如图，点A，D在反比例函数第一象限内的图象上，点B在y轴上，AC∥y轴，BC∥x轴，D为BC的中点．若△ABC的面积为8，则该反比例函数的表达式为 　　． 【分析】设点D（a，b），根据题意可推出，B（0，b），C（2a，b），k＝ab，然后表示出AC、BC的代数式，最后利用即可求得k值，从而得到答案． 【解析】解：设点D（a，b）（a＞0，b＞0）， 由条件可知点A的横坐标为2a，B（0，b），C（2a，b）， ∵点A，D在反比例函数， ∴，ab＝k， ∵，BC＝2a，△ABC的面积为8， ∴， ∴k＝16， ∴该反比例函数的表达式为． 故答案为：． 15．已知yx与y（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y（x＞0）上点C处，则B点坐标为 　（0，4）　． 【分析】依据题意，由A在yx上，可得m＝2，故A（2，2），又A在反比例函数y上，进而可得k＝2×24，进而可得反比例函数为y，再由翻折的性质，BC⊥OA，进而可设BC为yx+b，则B为（0，b），设直线BC与直线OA的交点为P，建立求出P（b，b），又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），可得C（b，b），又C在反比例函数y上，最后可得bb＝4，求出b可以得解． 【解析】解：由题意，∵A在yx上， ∴m＝2． ∴A（2，2）． 又A在反比例函数y上， ∴k＝2×24． ∴反比例函数为y． 由翻折的性质，BC⊥OA， ∴可设BC为yx+b， ∴B为（0，b）． 设直线BC与直线OA的交点为P， ∴． ∴P（b，b）． 又B与C关于直线OA对称，且B（0，b）， ∴C（b，b）． 又C在反比例函数y上， ∴bb＝4． ∴b＝4或b＝﹣4（舍去）． ∴B（0，4）． 故答案为：（0，4）． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）已知反比例函数（m为常数）． （1）若函数图象经过点A（﹣1，6），求m的值； （2）若x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得m的值； （2）根据增减性确定m﹣8的符号，从而确定m的取值范围． 【解析】解：（1）∵函数图象经过点A（﹣1，6）， ∴m﹣8＝xy＝﹣1×6＝﹣6， 解得：m＝2， ∴m的值是2； （2）∵若x＞0时，y随x的增大而减小， ∴m﹣8＞0， 解得：m＞8， ∴m的取值范围是m＞8． 17．（7分）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度（Lux）．智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度y（Lux）是透明度x（%）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度1000Lux至3000Lux的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y，把（30，2000）代入y即可得到结论； （2）把y＝1000和3000分别代入y得，即可得到结论． 【解析】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y， 把（30，2000）代入y得，k＝30×2000＝60000， ∴y与x之间的函数表达式为y； （2）智能玻璃的透明度x应控制在20≤x≤60范围内， 理由：把y＝1000和3000分别代入y得， x60，x20， ∴智能玻璃的透明度x应控制在20≤x≤60范围内． 18．（7分）如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝2，反比例函数的图象经过点A．直线CD垂直平分AO，交AO于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，AC＝AB． （1）求点A的坐标及反比例函数的解析式； （2）求点E的坐标． 【分析】（1）根据AC＝AB，直线CD垂直平分AO，求出AO＝4，利用勾股定理求出，即可得到A点坐标，再将A点坐标代入，求出k的值即可解答； （2）连接AD，由线段垂直平分线的性质结合勾股定理得出，设直线CD的解析式为，将C点坐标代入求出解析式为，最后求出直线与x轴交点坐标即可得到点E的坐标． 【解析】解：（1）由条件可知AC＝OC＝AB＝2， ∴AO＝4， ∵Rt△ABO中，∠ABO＝90°， ∴， ∴， ∵A点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知，， 连接AD， 设AD＝DO＝x，则， 由勾股定理可得：AD2＝AB2+BD2， ∴， 解得：， ∴， 设直线CD的解析式为， 根据题意，点C为O，A两点的中点，即，即， 将代入解析式可得，， 解得：， ∴直线CD的解析式为， 令y＝0，则x＝﹣4． ∴E（﹣4，0）． 19．（9分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）图象和反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣2）． （1）求n的值及一次函数的表达式． （2）点C为反比例函数图象上一点，点C关于y轴的对称点再向下平移4个单位得到点D，点D恰好落在反比例函数图象上，求点C的坐标． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征计算出m、n，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点C坐标为（m，），根据对称平移性质得到点D（﹣m，4）代入反比例函数解析式求出m值即可得到点C坐标． 【解析】解：∵点A（1，n）和点B（﹣2，﹣2）在反比例函数图象上， ∴m＝1×n＝﹣2×（﹣2）＝4， ∴m＝n＝4，A（1，4），B（﹣2，﹣2）， ∵A（1，4），B（﹣2，﹣2）在一次函数解析式上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为：y＝2x+2． （2）由（1）可知，反比例函数解析式为y，根据题意设点C坐标为（m，）， 点C关于y轴的对称轴为C′（﹣m，）， 将C′（﹣m，）向下平移4个单位得到点D（﹣m，4）， ∵点D（﹣m，4）在反比例函数图象上， ∴﹣m（）＝4， 解得m＝2， ∴（2，2）． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（1，0），（4，0），以A，B，C为顶点作平行四边形ACBD，点D落在第二象限，BD与y轴交于点E，反比例函数经过点A，与边AC交于点F，反比例函数经过点D． （1）求k1和k2的值； （2）连接EF，判断四边形ADEF是什么特殊四边形，并说明理由． 【分析】（1）将A（1，4）代入反比例函数解析式得到k1，根据平移法则得到点D坐标继而求出k2即可； （2）分别求出直线AC、BD的解析式，利用解析式求出点E、F坐标，求出BE＝CF，利用解析式k值相等得到BE∥CF可得证明． 【解析】解：（1）∵反比例函数经过点A（1，4）， ∴k1＝4， ∵BC＝AD＝4﹣1＝3， ∴点A向左平移3个单位得到D（﹣2，4）， ∵反比例函数经过点D． ∴k2＝﹣8， （2）四边形ADEF是平行四边形，理由如下： 由（1）可知，两个反比例函数解析式为y和y， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，A（1，4），C（4，0）在一次函数图象上， ，解得， ∴直线AC的解析式为y， ，解得，， ∴F（3，）， FC． 同理可得直线BD解析式为：yx， 令x＝0，则y． ∴E（0，）， BE， ∴BE＝CF，BE∥CF， ∴四边形ADEF是平行四边形． 21．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，1），B（﹣2，b）两点，与x轴相交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的一动点，连接AP，BP，当△APB的面积为6时，求点P的坐标． 【分析】（1）利用一次函数求出A（4，1），问题随之得解； （2）先求出点B的坐标，反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）设点P坐标为（m，0），先求出C（2，0），表示出PC＝|2﹣m|，根据S△APB＝S△APC+S△BPC列出方程，解方程即可求解． 【解析】解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，1），将点A的坐标代入一次函数得： ， 解得：a＝4， ∴A（4，1）， 将点A的坐标代入反比例函数得： 1， 解得：k＝4， ∴反比例函数表达式为； （2）不等式的解集是x≤﹣2或0＜x≤4；理由如下： ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，1），B（﹣2，b）两点，将点B的坐标代入一次函数得： ∴， ∴B（﹣2，﹣2）， ∴由图可得，不等式的解集是x≤﹣2或0＜x≤4； （3）设点P坐标为（m，0），在中，令y＝0，则x＝2， ∴C（2，0）， ∴PC＝|2﹣m|， ∴S△APB＝S△APC+S△BPC1×|2﹣m|2×|2﹣m|＝6， 整理得：|2﹣m|＝4， 解得：m＝﹣2或6． ∴P（﹣2，0）或（6，0）． 22．（13分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3）． （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点C是直线AB右侧的双曲线第一象限分支上一动点，当S△ABC＝16时，求点C的坐标；点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值； （3）在（2）问的条件下，连接BC并延长交x轴于点D，点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的横坐标． 【分析】（1）将点A（m，﹣3）分别代入与（k≠0）之中得m＝﹣2，k＝6，则点A（﹣2，﹣3），再根据点A，B关于原点O对称即可得出点B的坐标； （2）过点C作直线CG⊥x轴，过A作AF⊥CG于点F，过点B作BE⊥CG于点E，设点C的坐标为（a，b），则a＞0，b＞0，根据S梯形ABEF＝S△BCE+S△ACF+S△ABC，得，再根据ab＝6即可得出a＝6，b＝1，据此可得点C的坐标；作点B关于y轴的对称点Q，过点Q作QR∥y轴，且QR＝1，连接MQ，NR，CR，则MB＝MQ＝NR，根据“两点之间线段最短”得MB+NC的最小值为线段CR的长，然后求出点R（﹣2，2），得CR，由此可得MB+MN+NC的最小值； （3）先求出直线BC的表达式为，则可得点D（8，0），过点D作DP∥AB，交第三象限的双曲线于点P，则∠ODP＝∠DOB，再求出直线DP的表达式为，解方程组可得点的横坐标；当点P在第一象限双曲线上时，设为P'，则直线DP与直线DP'关于x轴对称，先求出直线BP'的表达式为，进而解方程组可得点的横坐标，综上所述即可得出答案． 【解析】解：（1）∵直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3）， ∴， 解得：， ∴点A（﹣2，﹣3），双曲线的表达式为：， ∵直线与双曲线都关于原点O对称， ∴点A，B关于原点O对称， ∴点B的坐标为（2，3）； （2）过点C作直线CG⊥x轴，过A作AF⊥CG于点F，过点B作BE⊥CG于点E，如图1所示： 则四边形ABEF是直角梯形， 设点C的坐标为（a，b），则a＞0，b＞0， ∵点A（﹣2，﹣3），点B（2，3）， ∴BE＝a﹣2，CE＝3﹣b，CF＝3+b，AF＝a+2，EF＝6， ∴S△BCEBE•CE（a﹣2）（3﹣b），S△ACFAF•CF（a+2）（3+b）， ∴S△BCE+S△ACF（3a+2b﹣ab﹣6+3a+2b+ab+6）＝3a+2b， ∵S梯形ABEF（BE+AF）•EF（a﹣2+a+2）×6＝6a， 又∵S梯形ABEF＝S△BCE+S△ACF+S△ABC，S△ABC＝16， ∴6a＝3a+2b+16， ∴， ∵点C（a，b）在双曲线y＝6/x上， ∴ab＝6， ∴， 整理得：3a2﹣16a﹣12＝0， 解得：a＝6，（不合题意，舍去）， 当a＝6时，1， ∴点C的坐标为（6，1）； 作点B关于y轴的对称点Q，过点Q作QR∥y轴，且QR＝1，连接MQ，NR，CR，如图2所示： ∴MB＝MQ， ∵MN＝1在y轴上，QR＝1，且QR∥y轴， ∴QR∥MN，QR＝MN＝1， ∴四边形QRNM是平行四边形， ∴MQ＝NR， ∴MB+NC＝NR+NC， 根据“两点之间线段最短”得：NR+NC≤CR， 即MB+NC≤CR， ∴MB+NC的最小值为线段CR的长， ∵点B（2，3），点Q与点B关于y轴对称， ∴点Q（﹣2，3）， ∴点R（﹣2，2）， ∵点C（6，1）， ∴CR， ∴MB+NC的最小值为， ∴MB+MN+NC的最小值为：； （3）存在， ∵在（2）问的条件下， ∴点B（2，3），点C（6，1）， 设直线BC的表达式为：y＝k1x+b1， 将点B（2，3），点C（6，1）代入y＝k1x+b1， 得：， 解得：， ∴直线BC的表达式为：， 对于，当y＝0时，x＝8， ∴点D的坐标为（8，0）， 过点D作DP∥AB，交第三象限的双曲线于点P，则∠ODP＝∠DOB，如图3所示： 设直线DP的表达式为：y＝k2x+b2， ∵直线AB的表达式为：， ∴， 将，D（8，0）代入y＝k2x+b2， 得：， 解得：， ∴直线DP的表达式为：， 解方程组：，得：，， ∵点P在第三象限， ∴0，符合题意，0，不符合题意， 此时点P的横坐标为； 当点P在第一象限双曲线上时，设为P'，如图4所示： 设直线DP'的表达式为：y＝k3x+b3， ∵∠ODP＝∠DOB＝∠ODP'， ∴直线DP与直线DP'关于x轴对称， 对于，当x＝0时，y＝﹣12， ∴直线与y轴交于点（0，﹣12）， ∴点（0，﹣12）关于x轴的对称点（0，12）在直线DP'上， 将点D（8，0），点（0，12）代入y＝k3x+b3， 得：， 解得：， ∴直线BP'的表达式为：， 解方程组：，得：，， 综上所述：符合条件的P点的横坐标为，，． 23．（14分）已知点A（s，t）在反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上． （1）当s＝﹣1，t＝3时，则k＝　﹣3　； （2）当点A在第二象限时，将双曲线沿着y轴翻折，翻折后的曲线与原曲线记为曲线l，与过A点的直线y＝b（b＞0）交于点C，连接AO，过点O作AO的垂线与直线y＝b交于点B． ①如图1，当时，求值； ②如图2，若，作直线x＝n（n＞0）交曲线l于G点，分别交射线AB，射线OB于点E、F．当时，试求出n所有可能的值． 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求k； （2）①设直线y＝b与y轴交于点D，由题意可证△AOD∽△OBD，可得，即可求解； ②分当0＜n＜1时，当1＜n时，当n＜3时，当n＞3时，四种情况讨论即可． 【解析】解：（1）∵点A（s，t）在反比例函数的图象上，且s＝﹣1，t＝3， ∴k＝st＝﹣3； 故答案为：﹣3． （2）①如图，设直线y＝b与y轴交于点D， ∵点A与点C关于y轴对称， ∴C（﹣s，t），AD＝CD＝﹣s，OD＝t． ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝∠ADO＝∠ODB＝90°， ∴∠OAD+∠OBD＝∠OAD+∠AOD＝90°， ∴∠AOD＝∠OBD， ∴△AOD∽△OBD， ∴， ∴BD， ∴BC＝BD﹣CD， ∵，即3AC＝2BC， ∴3（﹣2s）＝2， 整理得：t2＝4s2，即|t|＝2|s|， ∵点A在第二象限，s＜0，t＞0， ∴； ②∵A（﹣1，），由①得xB， ∴C（1，），B（3，）， ∴直线OB解析式为：yx，双曲线在x＞时解析式为：y， ∴直线OB与双曲线在第一象限交点为（，1）， ∵直线x＝n（n＞0）交双曲线于G点，交射线AB于点E，交射线OB于点F， ∴G（n，），E（n，），F（n，）； i）如图2，当0＜n＜1时，EF，FG， ，即，解得：n1＝3（舍去），n2＝3； ii）如图3，当1＜n时，EF＞FG，不合题意； iii）如图4，当n＜3时，EF，FG， ，即，解得：n或n＝1（舍去）； iiii）如图5，当n＞3时，EF，FG， ，即，解得：n或n （舍去）， 综上所述，当时，n的值为：，，． 试卷第1页，共3页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 反比例函数及其应用 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），那么k的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．6 D．﹣6 2．已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.431kg/m3.若某一时刻氧气的密度ρ＝4.77kg/m3，则此时的体积V是（　　） A．2m3 B．3m3 C．5m3 D．6m3 4．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第一、三象限 C．它的图象不是中心对称图形 D．y随x的增大而增大 5．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到﹣4时，关于线段AB的长度，下列判断正确的是（　　） A．由大变小 B．由小变大 C．保持不变 D．有最小值 6．如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5 8．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜0，则y1•y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1•y2＞0 C．若y1•y2＜0，则x1•x2＜0 D．若y1•y2＞0，则x1•x2＜0 10．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知点M（a+2，1）与点N（﹣3，a）在同一反比例函数的图象上，则a的值为　 　． 12．已知反比例函数的图象经过点（2，m）和（n，1），则m2+n＝　 　． 13．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝80kg时，它的最快移动速度v＝ 　 　m/s． 14．如图，点A，D在反比例函数第一象限内的图象上，点B在y轴上，AC∥y轴，BC∥x轴，D为BC的中点．若△ABC的面积为8，则该反比例函数的表达式为 　 　． 15．已知yx与y（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y（x＞0）上点C处，则B点坐标为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）已知反比例函数（m为常数）． （1）若函数图象经过点A（﹣1，6），求m的值； （2）若x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． 17．（7分）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度（Lux）．智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度y（Lux）是透明度x（%）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度1000Lux至3000Lux的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 18．（7分）如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝2，反比例函数的图象经过点A．直线CD垂直平分AO，交AO于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，AC＝AB． （1）求点A的坐标及反比例函数的解析式； （2）求点E的坐标． 19．（9分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）图象和反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣2）． （1）求n的值及一次函数的表达式． （2）点C为反比例函数图象上一点，点C关于y轴的对称点再向下平移4个单位得到点D，点D恰好落在反比例函数图象上，求点C的坐标． 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（1，0），（4，0），以A，B，C为顶点作平行四边形ACBD，点D落在第二象限，BD与y轴交于点E，反比例函数经过点A，与边AC交于点F，反比例函数经过点D． （1）求k1和k2的值； （2）连接EF，判断四边形ADEF是什么特殊四边形，并说明理由． 21．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，1），B（﹣2，b）两点，与x轴相交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的一动点，连接AP，BP，当△APB的面积为6时，求点P的坐标． 22．（13分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3）． （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点C是直线AB右侧的双曲线第一象限分支上一动点，当S△ABC＝16时，求点C的坐标；点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值； （3）在（2）问的条件下，连接BC并延长交x轴于点D，点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的横坐标． 23．（14分）已知点A（s，t）在反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上． （1）当s＝﹣1，t＝3时，则k＝　 　； （2）当点A在第二象限时，将双曲线沿着y轴翻折，翻折后的曲线与原曲线记为曲线l，与过A点的直线y＝b（b＞0）交于点C，连接AO，过点O作AO的垂线与直线y＝b交于点B． ①如图1，当时，求值； ②如图2，若，作直线x＝n（n＞0）交曲线l于G点，分别交射线AB，射线OB于点E、F．当时，试求出n所有可能的值． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$