第03讲 一次函数的应用（测试）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

第03讲 一次函数的应用 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A． B．y＝2x2+3x﹣1 C．y＝x﹣1 D．y＝x2﹣1 2．已知函数y＝（1﹣3m）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m＞1 D．m＜1 3．将直线y＝kx﹣2（k≠0）向下平移6个单位后，正好经过点（2，4），则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 5．下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 6．明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则（　　） A．明明的速度是80米/分 B．第二次相遇时距离B地800米 C．出发25分时两人第一次相遇 D．出发35分时两人相距2000米 7．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（3，0），则不等式ax+b＞0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2 8．如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．如图，入射光线MN遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P（﹣1，0），若光线MN满足的一次函数关系式为，则a的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2024个等边三角形的边长等于（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若函数y＝xm﹣1+2是一次函数，则m＝　 　． 12．直线y＝3x﹣1与直线y＝x﹣k的交点在第四象限，k的取值范围是　 　． 13．如图，点Q在线段AC上由A向C匀速运动，速度为a（cm/s），设运动时间为t（s）．CQ＝y（cm），y与t的函数图象经过点（3，2）和（1，6），则a的值为 　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），将△AOB沿x轴向右平移得到△A'O'B'，与点A对应的点A'恰好在直线yx上，则BB'＝　 　． 15．如图，直线y＝kx+3与直线交于点A（﹣2，1），与y轴交于点B，点M（m，y1）在线段AB上，点N（1﹣m，y2）在直线上，则y1﹣y2的最小值为 　 　. 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？ 17．（7分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B（﹣2，0），且与y轴交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 18．（7分）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． （1）求k的值； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　． 19．（9分）如图反映的是小温、小州两人从学校出发到瓯华站乘车的过程．两人同时从学校步行出发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留2分钟后乘出租车赶往瓯华站，结果比小州早3分钟到达瓯华站． （1）求两人步行的速度； （2）求出图中出租车行驶时路程S与时间t的函数解析式； （3）求学校到瓯华站的路程． 20．（9分）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． （1）（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． （2）该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件． ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 21．（9分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C的坐标为（1，0）． （1）求直线BC的函数表达式． （2）点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的时，求点D的坐标． （3）点E坐标为（0，﹣2），连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP＝45°，求点P坐标． 22．（13分）如图，直线l1：y＝x+4与y轴，x轴交于点A，B，直线l2与y轴，x轴交于点A，C，OC＝2OA． （1）求点A的坐标及直线l2的解析式； （2）点在直线l3上， ①直接写出直线l3的解析式； ②若点D在△ABC内部（含边界），求m的取值范围； ③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线l3向上平移n个单位长度（n为整数），直线l3在第二象限恰有2023个整点，直接写出n的值． 23．（14分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线yx+4分别交x轴，y轴于点A、B，四边形OACB是矩形． （1）如图1，求C的坐标； （2）如图2，点D为线段AB上的一个动点，连接CD并延长交线段AO于点P，连接BP，设点D的横坐标为t，△BDP的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，在直线PC的下方，以PC为斜边作Rt△PCN，且∠PCN∠CPB，在BC的延长线上取点T，连接NT，NT与x轴交于点G，且∠CNT∠CPA，若四边形CPGT的面积是，求∠CPB的正切值． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一次函数的应用 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A． B．y＝2x2+3x﹣1 C．y＝x﹣1 D．y＝x2﹣1 【分析】根据一次函数的定义：y＝kx+b（k≠0），进行判断即可． 【解析】解：A．y是反比例函数，不符合题意； B．y＝2x2+3x﹣1是二次函数，不符合题意； C．y＝x﹣1是一次函数，符合题意； D．y＝x2﹣1是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2．已知函数y＝（1﹣3m）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m＞1 D．m＜1 【分析】先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解析】解：∵正比例函数y＝（1﹣3m）x中，y随x的增大而增大， ∴1﹣3m＞0，解得m． 故选：B． 3．将直线y＝kx﹣2（k≠0）向下平移6个单位后，正好经过点（2，4），则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平移规律可得，直线y＝kx﹣2向下平移6个单位后得y＝kx﹣8，然后把（2，4）代入即可求出k的值． 【解析】解：直线y＝kx﹣2向下平移6个单位后所得解析式为y＝kx﹣8， ∵平移后的直线经过点（2，4）， ∴4＝2k﹣8， 解得：k＝6， 故选：D． 4．若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y1＞y3＞y2． 【解析】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 5．下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数的性质和一次函数的性质，可以得到kb的正负和k、b的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：选项A中，由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＜0，故选项A不可能，符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＜0，故选项B可能，不符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＞0，故选项C可能，不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知k＞0，b＞0，由正比例函数的图象可知kb＞0，故选项D可能，不符合题意； 故选：A． 6．明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则（　　） A．明明的速度是80米/分 B．第二次相遇时距离B地800米 C．出发25分时两人第一次相遇 D．出发35分时两人相距2000米 【分析】C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误； A、当x＝35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度＝路程÷时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误； B、根据第二次相遇时距离B地的距离＝明明的速度×第二次相遇的时间﹣A、B两地间的距离，即可求出第二次相遇时距离B地800米，B选项正确； D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离＝明明的速度×出发时间，即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误． 【解析】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3×2800米，且二者速度不变， ∴c＝60÷3＝20， ∴出发20分时两人第一次相遇，C选项错误； 亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分）， 两人的速度和为2800÷20＝140（米/分）， 明明的速度为140﹣80＝60（米/分），A选项错误； 第二次相遇时距离B地距离为60×60﹣2800＝800（米），B选项正确； 出发35分钟时两人间的距离为60×35＝2100（米），D选项错误． 故选：B． 7．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（3，0），则不等式ax+b＞0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2 【分析】由题意知，不等式ax+b＞0的解集为一次函数图象在x轴上方部分所对应的x的取值范围，结合图象作答即可． 【解析】解：由题意知，不等式ax+b＞0的解集为一次函数图象在x轴上方部分所对应的x的取值范围， 由图象可知，不等式ax+b＞0的解集为x＜3， 故选：B． 8．如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】由直线l1：y＝x+2求得的交点坐标，即可求出方程组的解即可． 【解析】解：∵y＝x＝2经过P（m，4）， ∴4＝m+2， ∴m＝2， ∴直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，4）， ∴方程组的解是， 故选：D． 9．如图，入射光线MN遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P（﹣1，0），若光线MN满足的一次函数关系式为，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】延长MN交x轴于点P′，过点N作AB⊥y轴，根据光的反射定律、全等三角形的判定与性质证明OP＝OP′，从而求出点P′的坐标，将点P′的坐标代入一次函数关系式y＝ax，得到关于a的一元一次方程并求解即可． 【解析】解：如图，延长MN交x轴于点P′，过点N作AB⊥y轴． 根据光的反射定律，∠MNA＝∠PNA， ∵∠MNA＝∠BNP′， ∴∠PNA＝∠BNP′， ∵∠PNA+∠PNO＝90°，∠BNP′+∠P′NO＝90°， ∴∠PNO＝∠P′NO， 在Rt△PNO与Rt△P′NO中， ， ∴Rt△PNO≌Rt△P′NO（ASA）， ∴OP＝OP′， ∵P（﹣1，0）， ∴P′（1，0）， 将P′（1，0）代入y＝ax， 得a0， 解得a． 故选：A． 10．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2024个等边三角形的边长等于（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出OB，OC＝1，BC＝2，则∠OBC＝30°，∠OCA＝60°，根据等边三角形性质得∠COA1＝90°﹣∠A1OB1＝30°，则∠OA1C＝90°，在Rt△OA1C中，由勾股定理得A1B1＝OA1，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出∠A2A1B1＝30°，∠A2B1A2＝60°，则∠A1A2B1＝90°，在Rt△A1B1A2中，得A2B2＝A2B1A1B1，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，……，依次类推，第n个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长． 【解析】解：对于，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x， ∴点B，点C（0，1）， ∴OB，OC＝1， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC2， ∴∠OBC＝30°，则∠OCA＝60°， ∵△OA1B1是等边三角形， ∴∠A1OB1＝∠OA1B1＝∠A1B1O＝60°，OA1＝OB1＝A1B1， ∴∠COA1＝90°﹣∠A1OB1＝90°﹣60°＝30°， ∴∠OA1C＝90°， 在Rt△OA1C中，∠COA1＝30°，OC＝1， ∴A1COC， 由勾股定理得：A1B1＝OA1， 即第1个等边三角形的边长为：， ∴∠A2A1B1＝180°﹣（∠OA1C+∠OA1B1）＝180°﹣（90°+60°）＝30°， ∵△A2B1B2是等边三角形， ∴∠A2B1B2＝∠B1A2B2＝∠A2B2B1＝60°，A2B1＝B1B2＝A2B2， ∴∠A2B1A2＝180°﹣（∠A1B1O+∠A2B2B1）＝180°﹣（60°+60°）＝60°， 在△A1B1A2中，∠A1A2B1＝180°﹣（∠A2B1A2+∠A2A1B1）＝180°﹣（60°+30°）＝90°， 在Rt△A1B1A2中，∠A2A1B1＝30°，A1B1， ∴A2B2＝A2B1A1B1， 即第2个等边三角形的边长为：， 同理：第3个等边三角形的边长为：， ……，依次类推，第n个等边三角形的边长为：， ∴第2024个等边三角形的边长等于． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若函数y＝xm﹣1+2是一次函数，则m＝　2　． 【分析】依据一次函数的定义可得到关于m的方程，从而可求得m的值． 【解析】解：由题意得，m﹣1＝1， 解得m＝2． 故答案为：2． 12．直线y＝3x﹣1与直线y＝x﹣k的交点在第四象限，k的取值范围是　k＜1　． 【分析】首先求出方程组的解，然后根据第四象限内点的坐标特征，列出关于k的不等式组，从而得出k的取值范围． 【解析】解：解方程组， 得． ∵交点在第四象限， ∴， 解得：k＜1． 13．如图，点Q在线段AC上由A向C匀速运动，速度为a（cm/s），设运动时间为t（s）．CQ＝y（cm），y与t的函数图象经过点（3，2）和（1，6），则a的值为 　2　． 【分析】设y与t的函数关系式解为y＝kt+b，利用待定系数法求出y与t的函数关系式，其中k的绝对值即为速度为a． 【解析】解：设y与t的函数关系式解为y＝kt+b，根据题意，得： ， 解得， ∴y与t的函数关系式解为y＝﹣2t+8， 故速度为a＝|﹣2|＝2． 故答案为：2． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），将△AOB沿x轴向右平移得到△A'O'B'，与点A对应的点A'恰好在直线yx上，则BB'＝　2　． 【分析】根据平移的性质知BB′＝AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度． 【解析】解：如图，连接AA′、BB′． ∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′， ∴点A′的纵坐标是3． 又∵点A′在直线yx上一点， ∴3x，解得x＝2． ∴点A′的坐标是（2，3）， ∴AA′＝2． ∴根据平移的性质知BB′＝AA′＝2． 故答案为2． 15．如图，直线y＝kx+3与直线交于点A（﹣2，1），与y轴交于点B，点M（m，y1）在线段AB上，点N（1﹣m，y2）在直线上，则y1﹣y2的最小值为 　　. 【分析】利用待定系数法求得直线y＝kx+3的解析式，然后利用一次函数图象上点的坐标特征得到y1﹣y2＝m+3﹣（），根据题意以及一次函数的性质当m＝﹣2时，y1﹣y2的值最小，代入求得即可． 【解析】解：∵直线y＝kx+3与直线交于点A（﹣2，1）， ∴1＝﹣2k+3，解得k＝1， ∴y＝x+3， ∵点M（m，y1）在线段AB上，点N（1﹣m，y2）在直线上， ∴y1＝m+3（﹣2≤m≤0），y2（1﹣m）， ∴y1﹣y2＝m+3﹣（）， ∵﹣2≤m≤0， ∴y1﹣y2的最小值为：． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？ 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集即可． 【解析】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将x＝1，y＝6和x＝2，y＝8.4分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴与x之间的函数表达式为y＝2.4x+3.6． （2）根据题意，得2.4x+3.6≤28.8， 解得x≤10.5， ∵x为非负整数， ∴此时碗的数量最多为10个． 17．（7分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B（﹣2，0），且与y轴交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标； （2）先利用（1）中解析式计算x＝2时，y＝4，再把点（2，4）代入y＝﹣3x+n中得到n＝10，则利用一次函数的性质可判断当n≥10时满足条件． 【解析】解：（1）根据题意得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+2， 当x＝0时，y＝x+2＝2， ∴C（0，2）； （2）当x＝2时，y＝x+2＝4， 把点（2，4）代入y＝﹣3x+n得﹣6+n＝4， 解得n＝10， ∴当n≥10时，对于x＜2的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值． 18．（7分）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． （1）求k的值； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　4　． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）利用两点画出函数的图象； （3）线段OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求OP； 【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． ∴﹣3k+4＝0， ∴k； （2）由函数y＝kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4）， （3）作AP⊥BC于P，此时AP是最小值， ∵A（2，0），B（0，4），C（3，0）， ∴BC＝5，AC＝5， ∵CA•OB， ∴5×4＝5AP， ∴AP＝4． ∴AP的最小值是4， 故答案为：4． 19．（9分）如图反映的是小温、小州两人从学校出发到瓯华站乘车的过程．两人同时从学校步行出发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留2分钟后乘出租车赶往瓯华站，结果比小州早3分钟到达瓯华站． （1）求两人步行的速度； （2）求出图中出租车行驶时路程S与时间t的函数解析式； （3）求学校到瓯华站的路程． 【分析】（1）根据速度＝路程÷时间计算即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）设两人出发m分钟时小温到达瓯华站，则两人出发（m+3）分钟时小州到达瓯华站，根据两人分别到达终点时的路程相等列关于m的方程并求解，将m的值作为t的值代入S与t的函数关系式，求出对应S的值即可． 【解析】解：（1）325×2÷10＝65（米/分钟）． 答：两人步行的速度是65米/分钟． （2）10+2＝12（分钟）， 16×65＝1040（米）． 设S与t的函数解析式为S＝kt+b（k、b为常数，且k0）， 将坐标（12，0）和（16，1040）分别代入S＝kt+b， 得， 解得， ∴S与t的函数解析式为S＝260t﹣3120． （3）设两人出发m分钟时小温到达瓯华站，则两人出发（m+3）分钟时小州到达瓯华站． 260m﹣3120＝65（m+3）， 解得m＝17， 当m＝17时，S＝260×17﹣3120＝1300． 答：学校到瓯华站的路程是1300米． 20．（9分）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． （1）（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． （2）该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件． ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【分析】（1）设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，列出方程组，解方程组即可； （2）①由题意：该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，设购进A种m个，B种n个，列出二元一次方程，整理可得m关于n的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出关系式，再求最大利润即可． 【解析】解：（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意，， 解． （2）①依题意，15m+25n＝5000， ∴n＝200m． ②w＝（20﹣15）m+（35﹣25）（200m）＝2000﹣m． ∴w随m的增大而减小，且m≥100． ∴当m＝100，w取得最大值1900元． 即A礼品进货100件时，该店获利最大为1900元． 21．（9分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C的坐标为（1，0）． （1）求直线BC的函数表达式． （2）点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的时，求点D的坐标． （3）点E坐标为（0，﹣2），连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP＝45°，求点P坐标． 【分析】（1）解方程得到B（0，4），设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，解方程组得到直线BC的函数表达式为y＝﹣4x+4； （2）解方程得到A（2，0），求得OA＝2，设D（m，0），则CD＝|m﹣1|，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）过C作CH⊥EP于H，过H作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过E作ET⊥KT于T，设H（p，q），当P在EC下方时，当P在EC上方时，根据等腰直角三角形的性质得到∠CHE＝90°，EH＝CH，根据全等三角形的性质得到ET＝HK＝p，HT＝CK＝q﹣1，解方程即可得到结论． 【解析】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4， ∴B（0，4）， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， ∵C的坐标为（1，0）， ∴， ∴， ∴直线BC的函数表达式为y＝﹣4x+4； （2）当y＝﹣2x+4＝0， ∴x＝2， ∴A（2，0）， ∴OA＝2， 设D（m，0），则CD＝|m﹣1|， ∵△BCD的面积＝△AOB面积的， ∴CD•BOOA•BO，|m﹣1|2＝3， 解得m＝﹣2或m＝4， ∴点D的坐标为（﹣2，0）或（4，0）； （3）过C作CH⊥EP于H，过H作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过E作ET⊥KT于T，设H（p，q）， 当P在EC下方时，如图： ∵∠CEP＝45°，CH⊥EP， ∴△CEH是等腰直角三角形， ∴∠CHE＝90°，EH＝CH， ∴∠EHT＝90°﹣∠CHK＝∠HCK， ∵∠T＝∠K＝90°， ∴△EHT≌△HCK（AAS）， ∴ET＝HK＝p，HT＝CK＝q﹣1， ∴， 解得p，q， ∴H（，）， 由H（，），E（0，﹣2）得直线EP解析式为yx﹣2， 解得， ∴P（，）； 当P在EC上方时，如图： 同理可得△EHT≌△HCK（AAS）， ∴ET＝HK，HT＝CK， ∴1﹣p＝2+q，p＝q， 解得pq， ∴H（﹣，）， ∴直线EP解析式为y＝﹣3x﹣2， 联立， 解得， ∴P（﹣6，16）； 综上所述，P的坐标为（，）或（﹣6，16）． 22．（13分）如图，直线l1：y＝x+4与y轴，x轴交于点A，B，直线l2与y轴，x轴交于点A，C，OC＝2OA． （1）求点A的坐标及直线l2的解析式； （2）点在直线l3上， ①直接写出直线l3的解析式； ②若点D在△ABC内部（含边界），求m的取值范围； ③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线l3向上平移n个单位长度（n为整数），直线l3在第二象限恰有2023个整点，直接写出n的值． 【分析】（1）求出点A的坐标为（0，4），可得C（8，0），再用待定系数法可得直线I2的解析式为yx+4； （2）①由在直线l3上，设x＝m，ym，可得直线l3的解析式为：yx； ②当m≤0时，0mm+4，当m＞0时，0mm+4，分别解不等式组可得答案； ③将直线yx向上平移n个单位长度所得直线解析式为yxn，可知平移后的直线与x轴交点为（﹣5﹣2n，0），而平移后的直线yxn在第二象限恰有2023个整点知，在第二象限，直线yxn上的点的横坐标有2023个奇数，故﹣2024×2+1≤﹣5﹣2n＜﹣2023×2+1，得2020＜n≤2021，从而可得n的值为2021． 【解析】解：（1）∵在y＝x+4中，令x＝0得y＝4， ∴点A的坐标为（0，4）， ∴OA＝4， ∵OC＝2OA， ∴OC＝8， ∴C（8，0）， 设直线 I2 的解析式为y＝kx+4， 将C（8，0）代入y＝kx+4得：8k+4＝0， 解得k， ∴直线I2的解析式为yx+4； （2）①由在直线l3上，设x＝m，ym， ∴yx， ∴直线l3的解析式为：yx； ②当m≤0时，D（m，m）在直线y＝x+4下方且在x轴上方（包括边界）， ∴0mm+4， 解得m≥﹣3， ∴﹣3≤m≤0； 当m＞0时，同理可得； 0mm+4， 解得：﹣5≤m， ∴0＜m； 综上所述，m的取值范围是﹣3≤m； ③将直线yx向上平移n个单位长度所得直线解析式为yxn， 在yxn中，令y＝0得x＝﹣5﹣2n， ∴平移后的直线与x轴交点为（﹣5﹣2n，0）， 由平移后的直线yxn在第二象限恰有2023个整点知，在第二象限，直线yxn上的点的横坐标有2023个奇数， ∴﹣2024×2+1≤﹣5﹣2n＜﹣2023×2+1， 解得2020＜n≤2021， ∵n为整数， ∴n的值为2021． 23．（14分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线yx+4分别交x轴，y轴于点A、B，四边形OACB是矩形． （1）如图1，求C的坐标； （2）如图2，点D为线段AB上的一个动点，连接CD并延长交线段AO于点P，连接BP，设点D的横坐标为t，△BDP的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，在直线PC的下方，以PC为斜边作Rt△PCN，且∠PCN∠CPB，在BC的延长线上取点T，连接NT，NT与x轴交于点G，且∠CNT∠CPA，若四边形CPGT的面积是，求∠CPB的正切值． 【分析】（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题； （2）根据S△BDP＝S△PBC﹣S△BDC，求解即可； （3）如图3中，以CP为直径作圆，作∠CPA的角平分线交圆于点L，交BC的延长线于点H，连接CL，NL．首先证明N，L，T共线，再证明CP＝CH，利用三角形的面积求出CH，CP，再利用图4，过点C作CC′⊥PB于点C′．利用勾股定理，面积法求出CC′，PC′，可得结论． 【解析】解：（1）对于直线yx+4，令x＝0，得到y＝4， 令y＝0，可得x＝6， ∴A（6，0），B（0，4）， ∴OA＝6，OB＝4， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC＝OA＝6，AC＝OB＝4， ∴C（6，4）； （2）如图2中，由题意D（t，t+4）（3≤y＜6）． ∵S△PBC6×4＝12，S△BDC6×[4﹣（t+4）]， ∴S△BDP＝S△PBC﹣S△BDC ＝12﹣12﹣2t+12 ＝﹣2t+12， ∴S＝﹣2t+12（3≤t＜6）； （3）如图3中，以CP为直径作圆，作∠CPA的角平分线交圆于点L，交BC的延长线于点H，连接CL，NL． ∵∠PNC＝90°， ∴点N在圆上， ∴∠CNL＝∠CPL∠CPA， ∵∠CNT∠CPA， ∴∠CNT＝∠CNL， ∴N，L，T共线， ∵四边形OABC是矩形， ∴CH∥OA， ∴∠H＝∠HPA＝∠HPC， ∴CP＝CH， ∵PC是直径， ∴∠CLP＝90°， ∴CL⊥PH， ∴PL＝LH， ∵∠PLG＝∠HLT，∠H＝∠LPG， ∴△PLG≌△HLT（ASA）， ∴S△PLG＝S△HLT， ∴S四边形CPGT＝S△PCH， ∴CH×4， ∴CP＝CH， 如图4中，过点C作CC′⊥PB于点C′． 在Rt△PAC中，PA， ∴OP＝OA﹣PA＝6， 在Rt△POB中，PB， ∵S△PCB•PB•CC′＝12， ∴CC′， 在Rt△PCC′中，PC′， ∴tan∠CPB． 试卷第1页，共3页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$