专题03 方程与不等式（5类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（广东专用）

专题03 方程与不等式 课标要求 考点 考向 1. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，掌握一元一次方程的解法，会用移项、合并同类项等方法将方程化为最简形式并求解。能运用一元一次方程解决简单的实际问题，如行程问题、工程问题、销售问题等，提高分析问题和解决问题的能力。 2. 了解二元一次方程（组）的概念，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，体会“消元”思想，能将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，解决简单的实际问题，如调配问题、行程问题中的相遇和追及问题等，并能检验方程组的解是否符合实际意义。 3. 了解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，会解简单的分式方程，理解增根产生的原因，能检验分式方程的根。能根据实际问题中的数量关系列出分式方程，解决一些简单的实际问题，如行程问题中的顺水逆水问题、工程问题等，体会分式方程在解决实际问题中的作用。 4. 理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，体会转化思想在解方程中的应用。能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，解决一些简单的实际问题，如增长率问题、利润问题、面积问题等，能根据问题的实际意义检验方程的解是否合理。 5.了解一元一次不等式（组）的概念，理解不等式的基本性质，能运用不等式的基本性质解一元一次不等式，并在数轴上表示解集。会解一元一次不等式组，能在数轴上表示不等式组的解集，能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，如方案选择问题、资源分配问题等。 方程 一元一次方程及应用 二元一次方程（组）及应用 分式方程及应用 一元二次方程及应用 不等式 一元一次不等式(组） 考点一 方程 ►考向一 一元一次方程及应用 易错点 去分母时漏乘：在方程两边同时乘以分母的最小公倍数去分母时，容易漏乘不含分母的项。 移项未变号：移项时要注意变号，这是学生经常忽略的地方。 解题技巧 仔细审题：明确题目中的已知量和未知量，找出等量关系。 规范解题步骤：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解，每一步都要认真仔细，避免出错。 考查角度1新定义问题 1.（2024•广州）定义新运算：a⊗b＝例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若x⊗1＝﹣，则x的值为 　﹣或　． 【分析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可． 【解答】解：∵x⊗1＝﹣， ∴当x≤0时，x2﹣1＝﹣， 解得x＝﹣或x＝（不合题意，舍去）； 当x＞0时，﹣x+1＝﹣， 解得x＝； 由上可得，x的值为﹣或， 故答案为：﹣或． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 考查角度2实际应用问题 2.（2024•广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（　　） A．1.2x+1100＝35060 B．1.2x﹣1100＝35060 C．1.2（x+1100）＝35060 D．x﹣1100＝35060×1.2 【分析】等量关系：今年5月交付新车的数量＝1.2×去年5月交付的新车数量+1100． 【解答】解：根据题意，得1.2x+1100＝35060． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． ►考向二 二元一次方程（组）的应用 易错点 消元方法选择不当：在解二元一次方程组时，不能根据方程组的特点灵活选择消元方法，导致计算繁琐或出错。 代入消元时计算错误：代入消元时，对含未知数的式子进行代入时，容易出现计算错误。 解题技巧 观察方程组特点：根据方程组中未知数的系数特点，选择合适的消元方法，如代入消元法或加减消元法。 回代检验：求出方程组的解后，要将解代入原方程组进行检验，确保答案的正确性。 1.（2024•深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7＝y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房， ∴9（x﹣1）＝y． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2.（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． （1）求A，B玩具的单价； （2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 【分析】（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元元列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设商场最多可以购置A玩具y个，根据B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元列出不等式，求出不等式的解即可得到结果． 【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元， 根据题意得：2（x+25）+x＝200， 解得：x＝50， 可得x+25＝50+25＝75， 则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元； （2）设商场可以购置A玩具y个， 根据题意得：50y+75×2y≤20000， 解得：y≤100， 则最多可以购置A玩具100个． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系和不等关系是解本题的关键． ►考向三 分式方程及应用 易错点 去分母产生增根：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为零，导致产生增根，而学生往往忽略对增根的检验。 忽略分母不能为零的条件：在求解分式方程的过程中，有时会忽略分母不能为零的隐含条件。 解题技巧 检验增根：解分式方程一定要检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为零，则为增根，应舍去。 化整求解：通过去分母将分式方程化为整式方程求解，去分母时要准确找到最简公分母。 考查角度1解分式方程 1.（2024•广东）方程＝的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：＝， 2x＝3（x﹣3）， 解得：x＝9， 检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0， ∴x＝9是原方程的根， 故选：D． 【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 2.（2024•广州）解方程：＝． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x＝6x﹣15， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（2x﹣5）≠0， 故原方程的解为x＝3． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 考查角度2分式方程的实际应用 1.（2023•深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【分析】由每辆大货车的货运量是x吨，则每辆小货车的货运量是（x﹣5）吨，根据用大货车运送75吨货物所需车辆数与小货车运送50吨货物所需车辆数相同，即可得出关于x的分式方程． 【解答】解：∵每辆大货车的货运量是x吨， ∴每辆小货车的货运量是（ x﹣5）吨， 依题意得：＝． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 2.（2023•广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km/h，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，且动车提速后的平均速度为x km/h， ∴动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h． 根据题意得：＝． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3.（2023•广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度． 【分析】设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：设乙骑自行车的速度为x km/h，则甲骑自行车的速度为1.2x km/h， 根据题意得﹣＝， 解得x＝12． 经检验，x＝12是原分式方程的解， 答：乙骑自行车的速度为12km/h． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． ►考向四 一元二次方程及应用 易错点 判别式使用错误：在判断一元二次方程根的情况时，对判别式b2 - 4ac的计算或判断不准确。 忽略二次项系数不为零：在确定方程是一元二次方程时，有时会忽略二次项系数不能为零的条件。 解题技巧 牢记公式：熟练掌握一元二次方程的求根公式 ，以及判别式与根的关系。 合理配方：对于一些一元二次方程，可以通过配方的方法将其化为完全平方式，方便求解。 考查角度1一元二次方程的解 1.（2024•深圳）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　 　． 【分析】将x＝1代入一元二次方程，求出a的值即可． 【解答】解：由题知， 将x＝1代入一元二次方程得， 1﹣4+a＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． 考查角度2根的判别式 2.（2024•广东）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　 　． 【分析】根据一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，即4﹣4c＝0，即可解得答案． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即4﹣4c＝0， 解得c＝1 故答案为：1． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0． 3.（2024•广州）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：÷•． 【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可． （2）根据m的取值范围化简即可． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0， 解得m＞3； （2）∵m＞3， ∴m﹣3＞0， ∴÷• ＝•• ＝﹣2． 【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键． 考查角度3解一元二次方程 4.（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0． 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0，x﹣5＝0， x1＝1，x2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 考点二 不等式（组） ►考向一 一元一次不等式（组） 考查角度1不等式的性质 1.（2024•广州）若a＜b，则（　　） A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若a＜b，两边同时加上3得a+3＜b+3，则A不符合题意； 若a＜b，两边同时减去2得a﹣2＜b﹣2，则B不符合题意； 若a＜b，两边同时乘﹣1得﹣a＞﹣b，则C不符合题意； 若a＜b，两边同时乘2得2a＜2b，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 考查角度2一元一次不等式的实际应用 2.（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 　 　折． 【分析】利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：（打折后的销售价﹣进价）÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：设这种商品可以按x折销售， 则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4， 所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%， 解得：x≥8.8． 答：该商品最多可以打8.8折， 故答案为：8.8． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值． 考查角度3解一元一次不等式组 3.（2023•广东）一元一次不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜4 【分析】求出第一个不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：， 由不等式x﹣2＞1得：x＞3， ∴不等式的解集为3＜x＜4． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟知解集的规律． 4.（2023•广州）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜3， ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 考查角度4一元一次不等式组的实际应用 5.（2024•深圳）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米. 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是 　 　； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【分析】（1）根据“一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m，列出函数关系式； （2）把L＝2.6代入解析式求出n的值即可； （3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次，根据题意得，，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意得：L＝0.2（n﹣1）+1.2＝0.2n+1， ∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L＝0.2n+1； 故答案为：L＝0.2n+1； （2）当L＝2.6时，0.2n+1＝2.6， 解得 n＝8，2×8＝16（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车； （3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次， ，则用扶手电梯5次可以运完， 根据题意得：， 解得m ∴m为正整数，且m≤5， ∴m＝3，4，5， ∴共有3种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输1次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输0次． 【点评】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式． 1.（2024·广东深圳·三模）如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）数学的应用无处不在，如图，某机场的告示牌中，提示随身携带行李的规则，其中提到每件行李重量限制“千克”，则将表示行李限额的不等式表示在数轴上为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示． 根据数轴表示不等式的方法表示即可． 【详解】解：由题意得每件行李重量的取值范围为， 故选：C． 3.（2024·广东深圳·三模） 背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕．从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分，助力深圳竞飞“低空经济第一城”． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？ 任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）； ①若使用无人机配送商品，共需要_________元； ②若不使用无人机配送商品，共需要_________元．（结果均用含a的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 【答案】任务1：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；任务2：①；②；任务3：当时，使用无人机配送商品更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 任务1：设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元,根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解； 任务2：分别根据题意列代数式即可； 任务3：根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元, 根据题意得：， 解得：． 答：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元； 任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件， ∴B商品购买件． ①若使用无人机配送商品，共需要元； ②若不使用无人机配送商品，共需要元． 故答案为：①；②； 任务3：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：当时，使用无人机配送商品更合算． 一、单选题 1．（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可． 【详解】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得． 故选：B． 2．（2024·广东广州·一模）若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集、方程的解和方程的解，再根据关于的不等式组 的解集中点大于方程的解且小于方程的解，即可得到的取值范围，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法． 【详解】由可得：， 方程的解为， 方程的解为， ∵关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程 的解， ∴， 解得， 故选：． 3．（2024·广东深圳·一模）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．有多少个牧童，多少个杏？设共有个牧童，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有个牧童，根据题意，列出方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设共有个牧童， 由题意可得，， 故选：． 4．（2024·重庆·一模）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为x，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元，据此列出方程即可． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 5．（2024·广东广州·一模）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每个月生产成本的下降率为，由题意可列方程，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每个月生产成本的下降率为， 由题意得：， 故选：． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）下列选项中正确的是（    ） A．线段既是中心对称图形，又是轴对称图形 B．关于x一元二次方程可能无实数根 C．用反证法证明“在三角形中，至少有一个角不大于60度”，应假设“两个角大于60度” D．一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，根的判别式，反证法，平行四边形的判定等知识，根据这些基础知识逐项判定即可，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：A、线段既是中心对称图形，又是轴对称图形，原说法正确； B、由于，所以关于x一元二次方程有两个不相等实数根，原说法错误； C、用反证法证明“在三角形中，至少有一个角不大于”，应假设“三角形的每个角都小于”，原说法错误； D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原说法错误． 故选：A． 7．（2024·广东·模拟预测）随着外卖行业快速发展，外卖平台积极用科技和行动助力骑手，让配送更快更安全．某外卖小哥现在平均每小时比原来多送3件外卖，送40件外卖所用的时间比原来所用的时间少3小时，若设此外卖小哥原来平均每小时送x件外卖，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设此外卖小哥原来平均每小时送x件外卖，则现在平均每小时送件外卖，根据现在送40件外卖所用的时间比原来所用的时间少3小时，列出方程求解即可． 【详解】解：设此外卖小哥原来平均每小时送x件外卖，则现在平均每小时送件外卖， 由题意得，， 故选：B． 8．（2024·广东广州·三模）明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用，设妹妹跑步的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设妹妹跑步的速度为，则明明跑步的速度为，根据“跑完一圈明明比妹妹少用”列出方程即可． 【详解】解：设妹妹跑步的速度为，则明明跑步的速度为， 根据题意，可得． 故选：B． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）山西刀削面作为国家级非遗美食，吸引了大批游客品尝！为了更好地传承这种非遗美食，同时解放人的双手，某公司推出了一款刀削面机器人，宣传标语如下： 机器化时代，帮您解决一切人工问题！ 速度更快：每台削面机器人比一个削面师傅每分钟多削160刀！ 效率更高：每台削面机器人削660刀的时间和一个削面师傅削180刀的时间相同！ 机器铸造未来，让生活美美的偷个懒！ 根据该宣传，求每台削面机器人每分钟能削多少刀面．设每台削面机器人每分钟能削x刀面，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是建立方程的关键． 设每台削面机器人每分钟能削x刀面，则由每台削面机器人削660刀的时间和一个削面师傅削180刀的时间相同建立方程． 【详解】解：设每台削面机器人每分钟能削x刀面， 根据题意可列方程为：． 故选：D． 10．（2024·浙江温州·二模）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据加压后气体对气缸壁所产生的压强比加压前增加列方程即可． 【详解】解：根据题意得，即， 故选：A． 11．（2024·广东·模拟预测）为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 【答案】(1)， (2)该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键正确分析等量关系． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元），（元） ∴该企业第一次捐赠元，第二次捐赠（元）； （2）根据题意得， 解得 （个）． ∴该企业月销售A、B两款产品各600个，400个． 12．（2024·广东云浮·一模）某商场以110元的价格购进某种商品进行销售，销售过程中发现．以原售价销售5件该商品与打8折销售9件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 【答案】该商品的原售价为200元． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设该商品的原售价为元．利用以原售价销售5件该商品与打8折销售9件该商品所获得的利润相同，再建立方程求解即可． 【详解】解：设该商品的原售价为元． 根据题意，得， 解得． 答：该商品的原售价为200元． 13．（2024·广东深圳·一模）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元． (1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量； (2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量． 【答案】(1)购进甲种笔记本本，乙种笔记本本 (2)第二次购买乙种笔记本本 【分析】本题主要考查一元一次方程和分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设文具店购进甲种笔记本本，根据题意列出等量关系即可得到答案； （2）设第二次购买乙种笔记本本，列出方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设文具店购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 依题意得：， 解得， ， 文具店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本； （2）解：设第二次购买乙种笔记本本， 依题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， 故第二次购买乙种笔记本本． 14．（2024·广东广州·一模）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费元，再额外收取每人元；乙旅行社收费标准：每人收取元．该中学第一批组织了名学生参加，总费用为元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)该中学为节约开支，要控制人均费用不超过元，试求每批组织人数的合理范围． 【答案】(1)人； (2)． 【分析】（）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； （2）解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 15．（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 【答案】荔枝200箱，龙眼300箱 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用．熟练掌握总利润与每箱利润和数量的关系，列出方程组，是解题的关键． 设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，根据“这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元”，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得： ， 解得：． 答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱． 16．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 【答案】(1)A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元 (2)W的最大值为10562.5元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次函数关系式是解题的关键． （1）设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，根据每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等，列出方程组，求解即可； （2）根据利润=每份利润×销售量，列出w关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是a元，每份B类速食餐的进价是b元，                         依题意得： ， 解得， 答：A、B两种速食餐的进价分别是每份10元和15元． （2）解：依题意：获得的利润 ， 由于A类速食餐每份的利用率不低于，那么 ， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为10562.5， 答：W的最大值为10562.5元． 17．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. (1)任务一：解方程组 (2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. （1）直接运用整体代入消元法解答即可； （2）先将代入得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可. 【详解】（1）解： 由①得③ 将③代入②，得，解得， 将代入③，解得， 所以原方程组的解为. （2）解：将代入得 拋物线与轴有唯一的交点， ，解得， 抛物线的解析式为. 18．（2024·河南商丘·三模）2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案： 商店 足球单价 跳绳单价 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 足球原价，跳绳五折 (1)在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价； (2)已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用． 【答案】(1)跳绳的单价为元根，足球的单价为元个 (2)在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是：（）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（）由总价单价数量，找出关于的函数关系式． （1）设跳绳的单价为元个，足球的单价为元条，根据“按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买跳绳条，则购买足球（）个，根据总价单价数量，可得出关于的函数关系式，由跳绳的数量不超过足球数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质求出最值比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元根，足球的单价为元个，依题意，得： ， 解得： ． 答：跳绳的单价为元根，足球的单价为元个． （2）设购买跳绳条，则购买足球（）个， ∵跳绳的数量不超过足球数量的一半， ∴ ∴ 设总费用为元，依题意，得：． ， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，为（元）， ， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，为（元） ∵， ∴在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元． 19．（2024·广东中山·二模）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出关于的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利元，请直接写出利润的最大值为________元． 【答案】任务一：甲类图书每本进价为36元，乙类图书每本进价为45元；任务二：①；②380 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是b元， ，根据“购进3 本甲类图书和4本乙类图书共需元； 购进5本甲类图书和2本乙类图书共需270元．”列出方程组，即可求解； 任务二：①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出w关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲类图书每本的进价是元，乙类图书每本的进价是元； 任务二：①根据题意得：， ∴关于的关系式为； ②设书店所获利润为w元， 根据题意得： ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵甲类图书的购进数量不少于本， ∴， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴最大利润为元． 20．（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为 (2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有 【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决． （1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可； （2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可． 【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 21．（2024·广东深圳·二模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下： 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 (1)求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ (2)小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？ 【答案】(1)一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分 (2)她至少投入壶内2支箭 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据小龙得了27分，小华得了24分列方程组求解即可； （2）根据小丽赢得了比赛列不等式求解即可． 【详解】（1）设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据题意得 解得 答：一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分； （2）设投入壶内m支箭，根据题意可得 解得： ∵m需取整数 答：她至少投入壶内2支箭． 22．（2024·广东深圳·二模）晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元． (1)求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价； (2)该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？ 【答案】(1)鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件； (2)当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元． 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数解决实际问题． （1）设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件，根据“购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元”即可列出二元一次方程组，求解即可解答； （2）设购买鸟尊工艺品m件，费用为w元．则，根据“鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的”可列出不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件．根据题意，得 ， 解得：， 答：鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件； （2）解：设购买鸟尊工艺品m件．费用为w元．则 ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，w最小，最小值为（元）， 答：当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元． 23．（2024·广东潮州·一模）【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    【答案】这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为， 依题意得：， ，得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为， 答：这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为． 24．（2024·广东汕头·一模）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．    (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒．    【答案】(1)剪去的小正方形的边长为； (2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可； （2）设小长方形的宽为 ，长，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长． （2）解：设小长方形的宽为 ，长，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为， 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 25．（2024·广东·模拟预测）综合实践 主题：能将矩形的周长和面积同时加倍吗? 研究步骤： （1）特殊化：研究正方形是否能周长和面积同时加倍； （2）特殊化：研究一个具体的矩形是否能周长和面积同时加倍； （3）一般化：研究边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍． 操作与计算： (1)在图中画出将正方形周长加倍的正方形 和将正方形面积加倍的正方形． (2)对于两边长分别为1 和2的矩形，是否能让周长和面积同时加倍?请通过计算加以说明． (3)矩形边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍?请直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)能，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了格点作图、一元二次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意，画出相应图形即可； （2）设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为，则较短的一条边长为，根据题意列出关于的一元二次方程，求解即可证明结论； （3）设矩形的两边长分别为和 ，分别求得该矩形的周长和面积，再设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为，则较短的一条边长为，根据题意列出关于的一元二次方程，根据一元二次方程的根的判别式可知该方程有实数解，所以当时，矩形的周长和面积可以同时加倍． 【详解】（1）解，如下图，正方形、和为所求作图形； （2）能让周长和面积同时加倍，理由如下： 根据题意，原矩形的两边长分别为1 和2， 则该矩形的周长为，其面积为， 设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为， 则较短的一条边长为， 若面积也同时加倍， 则， 解得，（，舍去）， ∴两边长分别为1 和2的矩形，能让周长和面积同时加倍； （3）设矩形的两边长分别为和 ， 则该矩形的周长为，其面积为， 再设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为，则较短的一条边长为， 若面积也同时加倍， 则有， 整理可得， ∵， 又∵， ∴， ∴当时，该方程有实数解， 即当时，矩形的周长和面积可以同时加倍． 26．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 27．（2024·广东深圳·三模）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同． (1)求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？ (2)“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？ 【答案】(1)“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个 (2)当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒” 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案； （2）根据题意得出关于的二次函数函数解析式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个， 依题意得， 解得，， 经检验，是原方程的解， 所以，． 答：“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个； （2）依题意得， ， 当时，每天总利润最大， 此时，（个），（个）， 答：当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程与不等式 课标要求 考点 考向 1. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，掌握一元一次方程的解法，会用移项、合并同类项等方法将方程化为最简形式并求解。能运用一元一次方程解决简单的实际问题，如行程问题、工程问题、销售问题等，提高分析问题和解决问题的能力。 2. 了解二元一次方程（组）的概念，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，体会“消元”思想，能将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，解决简单的实际问题，如调配问题、行程问题中的相遇和追及问题等，并能检验方程组的解是否符合实际意义。 3. 了解分式方程的概念，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，会解简单的分式方程，理解增根产生的原因，能检验分式方程的根。能根据实际问题中的数量关系列出分式方程，解决一些简单的实际问题，如行程问题中的顺水逆水问题、工程问题等，体会分式方程在解决实际问题中的作用。 4. 理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，体会转化思想在解方程中的应用。能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，解决一些简单的实际问题，如增长率问题、利润问题、面积问题等，能根据问题的实际意义检验方程的解是否合理。 5.了解一元一次不等式（组）的概念，理解不等式的基本性质，能运用不等式的基本性质解一元一次不等式，并在数轴上表示解集。会解一元一次不等式组，能在数轴上表示不等式组的解集，能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，如方案选择问题、资源分配问题等。 方程 一元一次方程及应用 二元一次方程（组）及应用 分式方程及应用 一元二次方程及应用 不等式 一元一次不等式(组） 考点一 方程 ►考向一 一元一次方程及应用 易错点 去分母时漏乘：在方程两边同时乘以分母的最小公倍数去分母时，容易漏乘不含分母的项。 移项未变号：移项时要注意变号，这是学生经常忽略的地方。 解题技巧 仔细审题：明确题目中的已知量和未知量，找出等量关系。 规范解题步骤：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解，每一步都要认真仔细，避免出错。 考查角度1新定义问题 1.（2024•广州）定义新运算：a⊗b＝例如：﹣2⊗4＝（﹣2）2﹣4＝0，2⊗3＝﹣2+3＝1．若x⊗1＝﹣，则x的值为 　﹣或　． 考查角度2实际应用问题 2.（2024•广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（　　） A．1.2x+1100＝35060 B．1.2x﹣1100＝35060 C．1.2（x+1100）＝35060 D．x﹣1100＝35060×1.2 ►考向二 二元一次方程（组）的应用 易错点 消元方法选择不当：在解二元一次方程组时，不能根据方程组的特点灵活选择消元方法，导致计算繁琐或出错。 代入消元时计算错误：代入消元时，对含未知数的式子进行代入时，容易出现计算错误。 解题技巧 观察方程组特点：根据方程组中未知数的系数特点，选择合适的消元方法，如代入消元法或加减消元法。 回代检验：求出方程组的解后，要将解代入原方程组进行检验，确保答案的正确性。 1.（2024•深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2.（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． （1）求A，B玩具的单价； （2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ ►考向三 分式方程及应用 易错点 去分母产生增根：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为零，导致产生增根，而学生往往忽略对增根的检验。 忽略分母不能为零的条件：在求解分式方程的过程中，有时会忽略分母不能为零的隐含条件。 解题技巧 检验增根：解分式方程一定要检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为零，则为增根，应舍去。 化整求解：通过去分母将分式方程化为整式方程求解，去分母时要准确找到最简公分母。 考查角度1解分式方程 1.（2024•广东）方程＝的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9 2.（2024•广州）解方程：＝． 考查角度2分式方程的实际应用 1.（2023•深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2.（2023•广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km/h，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3.（2023•广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度． ►考向四 一元二次方程及应用 易错点 判别式使用错误：在判断一元二次方程根的情况时，对判别式b2 - 4ac的计算或判断不准确。 忽略二次项系数不为零：在确定方程是一元二次方程时，有时会忽略二次项系数不能为零的条件。 解题技巧 牢记公式：熟练掌握一元二次方程的求根公式 ，以及判别式与根的关系。 合理配方：对于一些一元二次方程，可以通过配方的方法将其化为完全平方式，方便求解。 考查角度1一元二次方程的解 1.（2024•深圳）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　 　． 考查角度2根的判别式 2.（2024•广东）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　 　． 3.（2024•广州）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：÷•． 考查角度3解一元二次方程 4.（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0． 考点二 不等式（组） ►考向一 一元一次不等式（组） 考查角度1不等式的性质 1.（2024•广州）若a＜b，则（　　） A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b 考查角度2一元一次不等式的实际应用 2.（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 　 　折． 考查角度3解一元一次不等式组 3.（2023•广东）一元一次不等式组的解集为（　　） A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜4 4.（2023•广州）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 考查角度4一元一次不等式组的实际应用 5.（2024•深圳）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米. 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是 　 　； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 1.（2024·广东深圳·三模）如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）数学的应用无处不在，如图，某机场的告示牌中，提示随身携带行李的规则，其中提到每件行李重量限制“千克”，则将表示行李限额的不等式表示在数轴上为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东深圳·三模） 背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕．从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分，助力深圳竞飞“低空经济第一城”． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元． 素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 问题解决 任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？ 任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）； ①若使用无人机配送商品，共需要_________元； ②若不使用无人机配送商品，共需要_________元．（结果均用含a的代数式表示）； 任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？ 一、单选题 1．（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·一模）若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·一模）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．有多少个牧童，多少个杏？设共有个牧童，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆·一模）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·一模）新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）下列选项中正确的是（    ） A．线段既是中心对称图形，又是轴对称图形 B．关于x一元二次方程可能无实数根 C．用反证法证明“在三角形中，至少有一个角不大于60度”，应假设“两个角大于60度” D．一组对角相等的四边形是平行四边形 7．（2024·广东·模拟预测）随着外卖行业快速发展，外卖平台积极用科技和行动助力骑手，让配送更快更安全．某外卖小哥现在平均每小时比原来多送3件外卖，送40件外卖所用的时间比原来所用的时间少3小时，若设此外卖小哥原来平均每小时送x件外卖，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·三模）明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用，设妹妹跑步的速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）山西刀削面作为国家级非遗美食，吸引了大批游客品尝！为了更好地传承这种非遗美食，同时解放人的双手，某公司推出了一款刀削面机器人，宣传标语如下： 机器化时代，帮您解决一切人工问题！ 速度更快：每台削面机器人比一个削面师傅每分钟多削160刀！ 效率更高：每台削面机器人削660刀的时间和一个削面师傅削180刀的时间相同！ 机器铸造未来，让生活美美的偷个懒！ 根据该宣传，求每台削面机器人每分钟能削多少刀面．设每台削面机器人每分钟能削x刀面，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江温州·二模）已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广东·模拟预测）为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个． (1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示) (2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？ 12．（2024·广东云浮·一模）某商场以110元的价格购进某种商品进行销售，销售过程中发现．以原售价销售5件该商品与打8折销售9件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 13．（2024·广东深圳·一模）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元． (1)求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量； (2)3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量． 14．（2024·广东广州·一模）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费元，再额外收取每人元；乙旅行社收费标准：每人收取元．该中学第一批组织了名学生参加，总费用为元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)该中学为节约开支，要控制人均费用不超过元，试求每批组织人数的合理范围． 15．（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）． 商品 荔枝 龙眼 成本/(元/箱) 30 40 售价/(元/箱) 48 60 这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱． 16．（2024·广东深圳·模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的报道了多家预制菜制作不规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益．某食品网店以此为警钟，准备从正规渠道购进A、B两种类型的速食餐进行售卖．已知每份A类速食餐比每份B类速食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份B类速食餐的价格相等． (1)求A、B两种速食餐的进价分别是每份多少元？ (2)该网店计划购进A类速食餐若干份．试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价m（元）的关系为，若要求A类速食餐每份的利润率不低于，那么该公司将A类速食餐售价为多少时，获得的利润为W最大？最大值为多少？ 17．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务. “整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值. 小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可. 小善：由①，得，③ 将③代入②，得，解得， 把代入③，解得， 所以原方程组的解为 张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务. (1)任务一：解方程组 (2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式. 18．（2024·河南商丘·三模）2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案： 商店 足球单价 跳绳单价 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 足球原价，跳绳五折 (1)在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价； (2)已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用． 19．（2024·广东中山·二模）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出关于的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利元，请直接写出利润的最大值为________元． 20．（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 21．（2024·广东深圳·二模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下： 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 (1)求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ (2)小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？ 22．（2024·广东深圳·二模）晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元． (1)求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价； (2)该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？ 23．（2024·广东潮州·一模）【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    24．（2024·广东汕头·一模）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．    (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒．    25．（2024·广东·模拟预测）综合实践 主题：能将矩形的周长和面积同时加倍吗? 研究步骤： （1）特殊化：研究正方形是否能周长和面积同时加倍； （2）特殊化：研究一个具体的矩形是否能周长和面积同时加倍； （3）一般化：研究边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍． 操作与计算： (1)在图中画出将正方形周长加倍的正方形 和将正方形面积加倍的正方形． (2)对于两边长分别为1 和2的矩形，是否能让周长和面积同时加倍?请通过计算加以说明． (3)矩形边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍?请直接写出答案． 26．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 27．（2024·广东深圳·三模）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同． (1)求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？ (2)“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$