第02讲 方程与不等式的计算与实际应用（测试）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

第02讲 方程与不等式的计算与实际应用 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．一元一次不等式2（2x+3）＞3x+3的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣3 C． D．x＞9 2．解方程时，去分母正确的是（　　） A．2x+1﹣（10x+1）＝1 B．4x+1﹣10x+1＝6 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1 3．由方程组可得出x与y之间的关系是（　　） A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝7 D．x+y＝﹣7 4．用代入消元法解方程组将①代入②可得（　　） A．5x﹣4x﹣2＝7 B．5x﹣2x﹣1＝7 C．5x﹣4x+1＝7 D．5x﹣4x+2＝7 5．若x＝1是一元二次方程x2﹣3mx+5＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季清货，商场决定将这批服装按标价的五折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是（　　） A．600元 B．580元 C．500元 D．480元 8．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 9．植树节这天有35名同学共种了85棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如果关于x的方程1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．不等式的解集是　 　． 12．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*2＝0的解为　 　． 13．若x＝﹣3是关于x的方程x＝m+1的解，则关于x的不等式2（1﹣2x）≤1+m的最小整数解为 　 　． 14．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 　 　． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）解关于x的不等式组：，并求出它所有整数解的和． 17．（7分）选择适当的方法解方程； （1）3x2﹣2x＝1； （2）4x（x﹣3）＝x﹣3． 18．（7分）如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽． 19．（9分）据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同． （1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ （2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价． 20．（9分）如果方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，则　 　 （2）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y22？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由． 21．（9分）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 22．（13分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根． （1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使2的值为整数的实数k的整数值； （3）若k＝﹣2，λ，试求λ的值． 23．（14分）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系： 每箱售价x（元） 68 67 66 65 … 40 每天销量y（箱） 40 45 50 55 … 180 已知y与x之间的函数关系是一次函数． （1）求y与x的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 方程与不等式的计算与实际应用 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．一元一次不等式2（2x+3）＞3x+3的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣3 C． D．x＞9 【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可得出答案． 【解析】解：2（2x+3）＞3x+3， 4x+6＞3x+3， 4x﹣3x＞3﹣6， x＞﹣3， 故选B． 2．解方程时，去分母正确的是（　　） A．2x+1﹣（10x+1）＝1 B．4x+1﹣10x+1＝6 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1 【分析】去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项． 【解析】解：方程两边同时乘以6得：4x+2﹣（10x+1）＝6， 去括号得：4x+2﹣10x﹣1＝6． 故选：C． 3．由方程组可得出x与y之间的关系是（　　） A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝7 D．x+y＝﹣7 【分析】方程组消去m即可得到y与x的关系式． 【解析】解：， 把②代入①得：x+y﹣3＝﹣4， 则x+y＝﹣1， 故选：B． 4．用代入消元法解方程组将①代入②可得（　　） A．5x﹣4x﹣2＝7 B．5x﹣2x﹣1＝7 C．5x﹣4x+1＝7 D．5x﹣4x+2＝7 【分析】方程采用代入消元法解答，将①代入②得5x﹣2（2x+1）＝7，整理即可． 【解析】解：将①代入②得，5x﹣2（2x+1）＝7， 整理得5x﹣4x﹣2＝7． 故选：A． 5．若x＝1是一元二次方程x2﹣3mx+5＝0的解，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据一元二次方程的解的意义，把x＝1代入原方程得到m的一次方程，然后解一次方程即可． 【解析】解：把x＝1代入x2﹣3mx+5＝0， 得：1﹣3m+5＝0， 解得m＝2． 故选：D． 6．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解：由1﹣2x＜3，得：x＞﹣1， 由3（x﹣1）≤2x﹣1，得：x≤2， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 将解集表示在数轴上如下： 故选：B． 7．某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季清货，商场决定将这批服装按标价的五折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是（　　） A．600元 B．580元 C．500元 D．480元 【分析】设该服装的标价为x元，用x表示出五折出售的价钱，每件服装的进价乘20%求出获利的价钱，再用五折出售的价钱减去标价等于获利的价钱，列方程求解． 【解析】解：设该服装的标价为x元，可得方程为： 0.5x﹣200＝200×20%， 解得x＝480； 故选：D． 8．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况即可． 【解析】解：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝25﹣12＝13＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．植树节这天有35名同学共种了85棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可． 【解析】解：设男生有x人，女生有y人， 根据题意可得：， 故选：D． 10．如果关于x的方程1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】解分式方程可得x，求出a为1，3，6，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的范围，则满足条件的整数a有两个． 【解析】解：解方程1得，x， ∵方程有正整数解， ∴整数a＝1，3，6， 解不等式组得， ∵关于y的不等式组至少有两个偶数解， ∴a﹣1≤2， ∴a≤3， ∴满足条件的整数a有两个． 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．不等式的解集是　x＜﹣7　． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解析】解：1﹣2x＞15， ﹣2x＞15﹣1， ﹣2x＞14， x＜﹣7． 故答案为：x＜﹣7． 12．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*2＝0的解为﹣3或1　． 【分析】根据规定运算，将方程（x+1）*2＝0转化为一元二次方程求解． 【解析】解：根据规定运算，方程（x+1）*2＝0可化为（x+1）2﹣22＝0， 移项，得（x+1）2＝4， 两边开平方，得x+1＝±2， 解得x1＝1，x2＝﹣3， 故答案为：﹣3或1． 13．若x＝﹣3是关于x的方程x＝m+1的解，则关于x的不等式2（1﹣2x）≤1+m的最小整数解为 　2　． 【分析】直接根据题意得出m的值，再利用不等式解法得出答案． 【解析】解：∵x＝﹣3是关于x的方程x＝m+1的解， ∴﹣3＝m+1， 解得：m＝﹣4， ∵2（1﹣2x）≤1+m， ∴2﹣4x≤1﹣4， 解得：x， 故最小整数解为2． 故答案为：2． 14．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 　　． 【分析】根据二元一次方程组的解的意义进行计算，即可解答． 【解析】解：由题意得：把代入方程组中得： ， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为　0或8　． 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝m，再根据可得x1＝x2或x1＝﹣x2，分两种情况：①x1＝x2和②x1＝﹣x2，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝m， ∵， ∴， ∴x1＝x2或x1＝﹣x2， ①当x1＝x2时，这个方程有两个相等的实数根， Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2m＝m2﹣8m＝0， 解得m＝0或m＝8； ②当x1＝﹣x2时，则m＝x1+x2＝0，符合题意； 综上，m的值为0或8， 故答案为：0或8． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）解关于x的不等式组：，并求出它所有整数解的和． 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数求其和即可． 【解析】解：， 解不等式①得，x≥﹣2， 解不等式②得，x， 所以不等式组的解集为﹣2≤x， 所以原不等式组的整数解是﹣2、﹣1、0、1， 所以所有整数解的和为﹣2． 17．（7分）选择适当的方法解方程； （1）3x2﹣2x＝1； （2）4x（x﹣3）＝x﹣3． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：（1）原方程移项得：3x2﹣2x﹣1＝0， ∴（3x+1）（x﹣1）＝0， ∴3x+1＝0或x﹣1＝0， ∴，x2＝1； （2）原方程整理得4x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（4x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或4x﹣1＝0， ∴x1＝3，． 18．（7分）如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽． 【分析】利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可． 【解析】解：设AB＝x，则BC＝38﹣2x； 根据题意列方程的， x（38﹣2x）＝180， 解得x1＝10，x2＝9； 当x＝10，38﹣2x＝18（米）， 当x＝9，38﹣2x＝20（米），而墙长19m，不合题意舍去． 答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米． 19．（9分）据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同． （1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ （2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价． 【分析】（1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份x元，则第二次购进毛肚的进价为每份为（x﹣5），根据两次购进的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设降价m元，则降价后每份毛肚的实际售价为（40﹣m）元，每日销量为（480+2m）份，根据降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解析】解：（1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份x元，则第二次购进毛肚的进价为每份为（x﹣5）元， 由题意得：， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， 答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份25元； （2）设降价m元，该店毛肚每日销售额为15000元，则降价后每份毛肚的实际售价为（40﹣m）元，每日销量为（480+2m）份， 由题意得：（40﹣m）（480+2m）＝15000， 解得：m1＝10，m2＝﹣210（不符合题意，舍去）， ∴40﹣m＝40﹣10＝30， 答：降价后每份毛肚的实际售价为30元． 20．（9分）如果方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，则　43　 （2）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y22？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5＝0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值． （2）根据a+b+c＝0，abc＝16，得出a+b＝﹣c，ab，a、b是方程x2+cx0的解，再根据c2﹣4•0，即可求出c的最小值． （3）运用根与系数的关系求出x1+x2＝1，x1•x2＝k+1，再解y1y22，即可求出k的值． 【解析】解：（1）∵a、b是方程x2+15x+5＝0的二根， ∴a+b＝﹣15，ab＝5， ∴43， 故答案为：43； （2）∵a+b+c＝0，abc＝16， ∴a+b＝﹣c，ab， ∴a、b是方程x2+cx0的解， ∴c2﹣4•0，c20， ∵c是正数， ∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4， ∴正数c的最小值是4． （3）存在，当k＝﹣2时，． 由x2﹣y+k＝0变形得：y＝x2+k， 由x﹣y＝1变形得：y＝x﹣1，把y＝x﹣1代入y＝x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1＝0， 由题意思可知，x1，x2是方程x2﹣x+k+1＝0的两个不相等的实数根，故有： 即： 解得：k＝﹣2． 21．（9分）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可； （2）将原方程变形后利用加减消元解答即可． 【解析】解：（1） 将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④ 将①代入④得 3×7+4y＝11 y 把y代入①得， ∴方程组的解为 （2） 由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③ 由②得2（x+4y）+z＝36 ④ ③×2﹣④×3得z＝2 22．（13分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根． （1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使2的值为整数的实数k的整数值； （3）若k＝﹣2，λ，试求λ的值． 【分析】（1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2＝1，x1x2，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）中，进而可求k的值； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值； （3）由k＝﹣2，λ，x1+x2＝1，得到x2，x1，然后根据x1x2，代入即可得到结果． 【解析】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1，x1x2， ∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝24x1x2﹣x1x2+22（x1+x2）2﹣9x1x2＝2×12﹣92， 若2成立， 解上述方程得，k， 经检验，k是分式方程的解， ∵Δ＝16k2﹣4×4k（k+1）＝﹣16k≥0， ∴k≤0， ∵k， ∴矛盾， ∴不存在这样k的值； （2）原式24， ∴k+1＝1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4 解得k＝0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5． ∵k＜0． ∴k＝﹣2，﹣3或﹣5； （3）∵k＝﹣2，λ，x1+x2＝1， ∴λx2+x2＝1，x2，x1， ∵x1x2， ∴， ∴λ＝3±2． 23．（14分）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系： 每箱售价x（元） 68 67 66 65 … 40 每天销量y（箱） 40 45 50 55 … 180 已知y与x之间的函数关系是一次函数． （1）求y与x的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值． 【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案； （3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案． 【解析】解：（1）设y与x之间的函数关系是：y＝kx+b， 根据题意可得：， 解得：， 故y与x之间的函数关系是：y＝﹣5x+380； （2）由题意可得：（x﹣40）（﹣5x+380）＝1600， 解得：x1＝56，x2＝60， 顾客要得到实惠，售价低，所以x＝60舍去，所以x＝56， 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元； （3）在（2）的条件下，x＝56时，y＝100， 17号开始，到31号共计15天，由题意得到方程： ∴1600×16＝[56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）]×100×（1+2m%）×15+7120， 解得：m1＝20，m2（舍去）， 答：m的值为20． 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$