第01讲 数的运算与式的化简求值（测试）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（广东专用）

第01讲 数的运算与式的化简求值 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B． C．2025 D． 2．最近较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2024年2月9日当天，其下载量达到了286000次的峰值，286000用科学记数法可表示为（　　） A．28.6×104 B．2.86×105 C．0.286×106 D．286×103 3．下列各数：，，3.14，，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞c＞b B．c﹣a＞b﹣a C．a+b＜0 D．ac2＜bc2 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．7a﹣3a＝4 C．2a•3a＝6a2 D．（﹣a）3÷（﹣a）2＝a 7．计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 8．现定义一种新运算“※”，对任意有理数m，n都有m※n＝mn（m﹣n），则（a+b）※（a﹣b）＝（　　） A．2ab2﹣2b2 B．2a2b﹣2b3 C．2ab2+2b2 D．2ab﹣2ab2 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（　　） A．820 B．600 C．465 D．210 10．方程A：kx﹣y+1＝0，其中k＞0，对x的系数k作变化：得到方程A1：k1x﹣y+1＝0，其中k1，称为对方程A进行一次“偏移变化”，再对方程A1中x的系数k1作变化：得到方程A2：k2x﹣y+1＝0，其中k2，称为对方程A进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记dn|kn﹣k|为偏移距离（n为正整数）．Mn，则以下说法中，正确的个数是（　　） ①当k＝2时，是对方程A进行三次“偏移变化”后得到方程A3的一组解； ②存在一个k值，使得对方程A进行偏移变化，偏移距离为； ③满足使为整数的k的最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．比较大小：　 　（填“＞”“＜”或“＝”）． 12．因式分解：2ab﹣8b＝　 　． 13．如果实际值为a，测量值为b，我们把|a﹣b|称为绝对误差，称为相对误差．若有一种零件实际长度为10.0cm，测量得9.9cm，则测量所产生的相对误差是 　 　． 14．若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　 　． 15．观察以下等式： （x+2y）2+（2x﹣y）2＝5（x2+y2）； （2x+3y）2+（3x﹣2y）2＝13（x2+y2）； （3x+4y）2+（4x﹣3y）2＝25（x2+y2）； （4x+6y）2+（6x﹣4y）2＝52（x2+y2）． 运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数，x2+y2＝1，则（6x+8y）2的最大值为　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）计算：． 17．（7分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y，其中x＝1，y＝﹣2． 18．（7分）先化简，再求值：，其中． 19．（9分）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m＝﹣3，求t+n的值； （2）当点T为原点，且m+n+□＝5时，求“□”所表示的数． 20．（9分）如图是某校田径运动场的示意图，其中AB和CD为直线跑道，两端为半圆形跑道． （1）如果田径运动场的总长为400m，其中AB＝CD＝100m，试计算矩形ABCD内部操场的面积． （2）①如果田径运动场的总长为300m，要使矩形ABCD内部操场的面积最大，直线跑道应设计为多长？操场的最大面积是多少？ ②小明测量发现，学校田径运动场的总长为300m，直线跑道AB＝CD＝50m，请判断这与①中的计算结果是否一致，并给出一种可能的原因． 21．（9分）【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：7×14﹣6×15＝8． 方框二：11×18﹣10×19＝8． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式； 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 22．（13分）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形的边长是 　 　；（用含a、b的式子表示） （2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系； （3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值． 23．（14分）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：（结论不需要证明）． 例如：． 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 （1）求的值． 【能力提升】 （2）设，求S的整数部分． 【拓展升华】 （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），其中，且y+z＝3yz．当取得最小值时，求x的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数的运算与式的化简求值 （限时120分钟，满分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B． C．2025 D． 【分析】根据相反数的定义进行求解即可． 【解析】解：2025的相反数是﹣2025， 故选：A． 2．最近较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2024年2月9日当天，其下载量达到了286000次的峰值，286000用科学记数法可表示为（　　） A．28.6×104 B．2.86×105 C．0.286×106 D．286×103 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：286000＝2.86×105． 故选：B． 3．下列各数：，，3.14，，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此解答即可． 【解析】解：3.14，是有理数， ，，2.1717717771……（自左向右每两个“1”之间依次多一个“1”）是无理数， 故选：C． 4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞c＞b B．c﹣a＞b﹣a C．a+b＜0 D．ac2＜bc2 【分析】根据a，b，c对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可． 【解析】解：由数轴得：a＜0＜c＜b，|a|＜|b|， 故选项A不符合题意； ∵c＜b， ∴c﹣a＜b﹣a，故选项B不符合题意； ∵|a|＜|b|，a＜b， ∴a+b＞0，故选项C不符合题意； ∵a＜b，c≠0， ∴ac2＜bc2，故选项D符合题意； 故选：D． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断． 【解析】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B．原式＝2，所以B选项不符合题意； C．原式2，所以C选项不符合题意； D．原式，所以D选项符合题意； 故选：D． 6．下列计算正确的是（　　） A．a+a＝a2 B．7a﹣3a＝4 C．2a•3a＝6a2 D．（﹣a）3÷（﹣a）2＝a 【分析】根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可． 【解析】解：根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断如下： A．a+a＝2a，故该选项不正确，不符合题意； B．7a﹣3a＝4a，故该选项不正确，不符合题意； C．2a•3a＝6a2，故该选项正确，符合题意； D． （﹣a）3÷（﹣a）2＝﹣a，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 7．计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【解析】解：原式 ＝1． 故选：A． 8．现定义一种新运算“※”，对任意有理数m，n都有m※n＝mn（m﹣n），则（a+b）※（a﹣b）＝（　　） A．2ab2﹣2b2 B．2a2b﹣2b3 C．2ab2+2b2 D．2ab﹣2ab2 【分析】根据新定义列出算式，再计算即可． 【解析】解：∵m※n＝mn（m﹣n）， ∴（a+b）※（a﹣b） ＝（a+b）（a﹣b）[（a+b）﹣（a﹣b）] ＝（a2﹣b2）（a+b﹣a+b） ＝（a2﹣b2）•2b ＝2a2b﹣2b3． 故选：B． 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（　　） A．820 B．600 C．465 D．210 【分析】先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为820、600、465、210时n的值，判断即可得解． 【解析】解：由题意可得：， A、若和为820，则， 解得n＝﹣41（舍去）或n＝40，即前40行的点数之和为820，故A不符合题意； B、若和为600，则， 解得，不是整数，即不存在前n行的点数之和为600，故B符合题意； C、若和为465，则， 解得n＝30或n＝﹣31（舍去），即前30行的点数之和为465，故C不符合题意； D、若和为210，则， 解得n＝20或n＝20（舍去），即前20行的点数之和为210，故D不符合题意； 故选：B． 10．方程A：kx﹣y+1＝0，其中k＞0，对x的系数k作变化：得到方程A1：k1x﹣y+1＝0，其中k1，称为对方程A进行一次“偏移变化”，再对方程A1中x的系数k1作变化：得到方程A2：k2x﹣y+1＝0，其中k2，称为对方程A进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记dn|kn﹣k|为偏移距离（n为正整数）．Mn，则以下说法中，正确的个数是（　　） ①当k＝2时，是对方程A进行三次“偏移变化”后得到方程A3的一组解； ②存在一个k值，使得对方程A进行偏移变化，偏移距离为； ③满足使为整数的k的最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①当k＝2时，先求得k1，k2，k3的值，得到A3：x﹣y+1＝0，将x＝14代入求解即可判断； ②当n＝1时，推出，解得k＝15，据此可判断； ③先求得k1，k2，k3的值，得到规律，求得，再求得M1，M2，M3的值，得到规律求得M8＝36k+8，求得，据此计算即可判断． 【解析】解：①当k＝2时，， k2， k3， ∴， 将x＝14代入，有， 解得y＝5， 故是方程A3的一组解； 故①正确； ②当 n＝1时，， 令， 解得k＝15， 故②正确； ③， ， ， … ， ∴， ∵， ， ， … ∴M8＝k+1+2k+1+…+7k+1+8k+1＝36k+8， ∴， 当时，36k+8＝6k+3，解得（舍去）； 当时，36k+8＝2（6k+3），解得（舍去）； 当时，36k+8＝3（6k+3），解得； 当时，36k+8＝4（6k+3），解得； 当时，36k+8＝5（6k+3），解得； ∴k的最小值为， 故③正确； 综上，①②③都是正确的， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．比较大小：　＜　（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】根据二次根式，即可进行比较． 【解析】解：∵，13＜18， ∴． 故答案为：＜． 12．因式分解：2ab﹣8b＝　2b（a﹣4）　． 【分析】直接找出公因式进而提取公因式得出答案． 【解析】解：2ab﹣8b＝2b（a﹣4）． 故答案为：2b（a﹣4）． 13．如果实际值为a，测量值为b，我们把|a﹣b|称为绝对误差，称为相对误差．若有一种零件实际长度为10.0cm，测量得9.9cm，则测量所产生的相对误差是 　0.01．　． 【分析】直接利用绝对值误差的定义代入得出答案． 【解析】解：由题意可得：0.01． 故答案为：0.01． 14．若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　11　． 【分析】由已知条件可得a2﹣2a＝5，将原式变形后代入数值计算即可． 【解析】解：∵a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣2a＝5， ∴原式＝2（a2﹣2a）+1 ＝2×5+1 ＝11， 故答案为：11． 15．观察以下等式： （x+2y）2+（2x﹣y）2＝5（x2+y2）； （2x+3y）2+（3x﹣2y）2＝13（x2+y2）； （3x+4y）2+（4x﹣3y）2＝25（x2+y2）； （4x+6y）2+（6x﹣4y）2＝52（x2+y2）． 运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数，x2+y2＝1，则（6x+8y）2的最大值为　100　． 【分析】根据已知得到（6x+8y）2+（8x﹣6y）2＝（62+82）（x2+y2）＝100（x2+y2），再根据偶次方的非负性求出最大值． 【解析】解：由等式可知：（6x+8y）2+（8x﹣6y）2＝（62+82）（x2+y2）＝100（x2+y2） ∴（6x+8y）2＝100（x2+y2）﹣（8x﹣6y）2 ∵x2+y2＝1， ∴（6x+8y）2＝100﹣（8x﹣6y）2 ∵（8x﹣6y）2≥0， ∴0≤100﹣（8x﹣6y）2≤100， ∴（6x+8y）2的最大值为100， 故答案为：100． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）计算：． 【分析】分别根据特殊角的三角函数值，零指数幂及二次根式的混合运算的法则进行计算即可． 【解析】解： ＝0． 17．（7分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y，其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解析】解：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y ＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2）÷y ＝（5y2﹣4xy）÷y ＝5y﹣4x， 当x＝1，y＝﹣2时， 原式＝5×（﹣2）﹣4×1 ＝﹣10﹣4 ＝﹣14． 18．（7分）先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【解析】解：原式 • ＝x﹣2， 当x2时，原式2﹣2． 19．（9分）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m＝﹣3，求t+n的值； （2）当点T为原点，且m+n+□＝5时，求“□”所表示的数． 【分析】（1）依图得m＜t＜n及三点间的距离后即可求解； （2）由T为原点可得t＝0，结合图中三点间的距离即可得m、n，代入m+n+□＝5即可求解． 【解析】解：（1）依图得：m＜t＜n，且M点和T点之间距离为2个单位长度，M点和N点之间距离为6个单位长度， ∵m＝﹣3， ∴t＝﹣3+2＝﹣1，n＝﹣3+6＝3， ∴t+n＝﹣1+3＝2． （2）∵T为原点， ∴t＝0，m＝t﹣2＝﹣2，n＝t+4＝4， ∵m+n+□＝5， ∴□＝5﹣m﹣n＝5﹣（﹣2）﹣4＝3． 故“□”表示的数为3． 20．（9分）如图是某校田径运动场的示意图，其中AB和CD为直线跑道，两端为半圆形跑道． （1）如果田径运动场的总长为400m，其中AB＝CD＝100m，试计算矩形ABCD内部操场的面积． （2）①如果田径运动场的总长为300m，要使矩形ABCD内部操场的面积最大，直线跑道应设计为多长？操场的最大面积是多少？ ②小明测量发现，学校田径运动场的总长为300m，直线跑道AB＝CD＝50m，请判断这与①中的计算结果是否一致，并给出一种可能的原因． 【分析】（1）先计算出两个半圆的周长，然后可得直径AD，即可计算矩形ABCD内部操场的面积； （2）①设AB＝CD＝x米，则AD（m），可得操场的面积是：x（﹣x2+150x），即可求出答案； ②计算结果与①中的计算结果不一致．原因不唯一，合理即可． 【解析】解：（1）∵田径运动场的总长为400m，其中AB＝CD＝100m， ∴两个半圆的周长为：400﹣2×100＝200（m）， ∴直径AD（m）， ∴矩形ABCD内部操场的面积：100（m2）， 答：矩形ABCD内部操场的面积为m2． （2）①设AB＝CD＝x米，则AD（m）， ∴操场的面积是：x（﹣x2+150x）， 当x75时，操场的面积最大， 即7575（m2）， 因此，直线跑道应设计为75米时，操场的面积最大，为平方米， 答：直线跑道应设计为75米时，操场的面积最大，为平方米． ②计算结果与①中的计算结果不一致．原因不唯一，合理即可．如：受实际场地限制，或为了方便展开50米赛跑． 21．（9分）【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：7×14﹣6×15＝8． 方框二：11×18﹣10×19＝8． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式； 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 【分析】[验证]根据日历中的数字规律即可求解； [探究]根据题意得到规律（n+1）（n+8）﹣n（n+9）＝8，整式乘法公式，把（n+1）（n+8）﹣n（n+9）．化简，即可证明． 【解析】解：[验证]根据题意，4×11﹣3×12＝8； [探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则有（n+1）（n+8）﹣n（n+9）＝8． 依题意，（n+1）（n+8）﹣n（n+9）＝n2+9n+8﹣n2﹣9n＝8． 22．（13分）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形的边长是 　a﹣b　；（用含a、b的式子表示） （2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系； （3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值． 【分析】（1）根据拼图可直接得出答案； （2）用代数式表示图形中各个部分的面积，根据各个部分面积之间的关系得出结论； （3）利用（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn进行计算即可． 【解析】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为a﹣b的正方形， 故答案为：a﹣b； （2）图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2各个部分的面积和为（a﹣b）2+4ab， 所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 答：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （3）∵m+n＝8，mn＝12， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ＝64﹣48 ＝16， ∴m﹣n＝±4． 23．（14分）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：（结论不需要证明）． 例如：． 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 （1）求的值． 【能力提升】 （2）设，求S的整数部分． 【拓展升华】 （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），其中，且y+z＝3yz．当取得最小值时，求x的取值范围． 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为|3|+|3|，再根据|3|+|3|取最小值时，确定x的取值范围． 【解析】解：（1）|1|； （2） ＝|1+1|+|1|+…+|1| ＝1+1111 ＝2020 ＝2019， 故整数部分为2019； （3）由题意得， ＝||+|| ＝||+||， 又y+z＝3yz， 原式＝|3|+|3|， 因为|3|+|3|取最小值， 所以﹣33，而x＞0， 因此，x， 答：x的取值范围为x． 试卷第1页，共3页 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$