重难点04 隐圆模型（定义型、直角型、等弦对等角、四点共圆）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（全国通用）

重难点04 隐圆模型（定义型、直角型、等弦对等角、四点共圆） 题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力。该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型01 定义型 考｜向｜预｜测 点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。 点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。 答｜题｜技｜巧 1. 根据题意判定动点的变化特性 2. 找准定点和定长（圆心和半径） 3. 结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题 1．（2024·广西）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 1．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为 ． 2．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 3.如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 模型02 直角型 考｜向｜预｜测 点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解。实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键。许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题。 一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧； 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 答｜题｜技｜巧 1. 观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）； 2. 利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题； 3. 涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点； 4. 数形结合进行分析、解答 1．（2024·山东）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________． 1．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ． 模型03 等弦对等角 考｜向｜预｜测 点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题． 答｜题｜技｜巧 1. 观察图形特点，确定定弦和定角； 2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）； 3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题； 1．（2024·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为 ． 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ． 2．如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ． 模型04 四点共圆型 考｜向｜预｜测 点圆问题中的四点共圆模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题． 答｜题｜技｜巧 1. 观察图形特点，确定定弦和定角； 2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）； 3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题； 1．（2024·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为 ． 1．如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 2.在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ． 1．（2023·重庆）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 3．（2024·上海）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·福建）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 1．如图，四边形为矩形，，点P是边上一动点，点M为线段上一点，且，则的最小值为 ． 2．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ． 4．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ． ①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等． 5．如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 6．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    7．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 隐圆模型（定义型、直角型、等弦对等角、四点共圆） 题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力。该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型01 定义型 考｜向｜预｜测 点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。 点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。 答｜题｜技｜巧 1. 根据题意判定动点的变化特性 2. 找准定点和定长（圆心和半径） 3. 结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题 1．（2024·广西）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q． ∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，． ∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1． ∴，DQ=DC=1．∴．∴． ∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E， ∴DE=DC=DN．∴点E在上移动． ∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM． ∴△AEB面积的最小值为． 故选：A． 1．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 点在以为圆心，为半径的圆上，作，连接交于点，此时值最小， ，，，解得：， 点是边的中点，；由勾股定理得：， ，，即线段长的最小值是， 连接，过作于，，，， ，，， ，．故答案为：． 2．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 【答案】A 【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图： ∵四边形是矩形，∴，∵，点G是的中点，∴， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，即四边形面积的最小值是142．故选：A． 3.如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 模型02 直角型 考｜向｜预｜测 点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解。实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键。许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题。 一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧； 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 答｜题｜技｜巧 1. 观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）； 2. 利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题； 3. 涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点； 4. 数形结合进行分析、解答 1．（2024·山东）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________． 【答案】． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB， ∵AE=BF∴△DEA≌△AFB， ∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90° ∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图： ∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB= ∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值． ∴BG的最小值为：． 1．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，由以为直径作，，，得，， 得动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动，当，，在一直线上时，， 故，即的最小值，故答案为：． 模型03 等弦对等角 考｜向｜预｜测 点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题． 答｜题｜技｜巧 1. 观察图形特点，确定定弦和定角； 2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）； 3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题； 1．（2024·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：，∴点E在以为直径的圆上，如图所示，的最大值为， ∵正方形的边长为2，，的最大值为， 当点E在的下方时，的最大值也是， 故答案为：． 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ． 【答案】 【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N， ∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB， ∵点O为AC的中点，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3， ∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3， ∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°， ∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF， ∴，即，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12， ∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE， ∴，故答案为：． 2．如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，，，如图， ，， ， 即点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， ， ， 在中，， 的长最小是， 故答案为：． 模型04 四点共圆型 考｜向｜预｜测 点圆问题中的四点共圆模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题． 答｜题｜技｜巧 1. 观察图形特点，确定定弦和定角； 2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）； 3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题； 1．（2024·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：，∴点E在以为直径的圆上，如图所示，的最大值为， ∵正方形的边长为2，，的最大值为， 当点E在的下方时，的最大值也是， 故答案为：． 1．如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形， ，，， ，， ， 点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接，    由圆周角定理得：，，， ，， 在和中，，， ，，故选：A． 2.在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作于，于．连接，，．设，则．根据，可得，解得，推出，由，，，四点共圆，推出当的直径最小时，的长最小，根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于．连接，，．设，则． ， ， 解得， ，， ，，， ， ， ，， ， ，，，四点共圆， 当的直径最小时，的长最小， 根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，的最小值为， 此时，，的最小值为，故答案为：． 1．（2023·重庆）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ，， 故选：D． 2．（2024·河北）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 3．（2024·上海）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 4．（2024·福建）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的想性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识，判断点D在的外接圆上运动是解题的关键． 先求出，，则可判断点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，过E作于F，可求，利用等边三角形的判定和性质求出，，利用勾股定理求出，由，当E、D、B三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，   ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当E、D、B三点共线时，最小，最小值为， 故答案为：． 1．如图，四边形为矩形，，点P是边上一动点，点M为线段上一点，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形，，，， ，，， ，，点的运动轨迹是以为圆心，3为半径的． ，，的最小值为2．故答案为：2． 2．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半，∴的面积为， 在中，，∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，，∴ ∵，∴，∴，∴， ∴，在中，，故答案为：，． 3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：连接，点和关于对称，， 在以圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，最短， ，，，故答案为：． 4．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ． ①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等． 【答案】②③④ 【详解】解∶如图1，设AC、BD交于点F，连接OC、OD， ∵，点O为A B的中点，∴OD=OC=OA=OB=AB， ∴点A、C、D到点O的距离相等，故④正确； ∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC， ∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC， ∴∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=，故③正确； ∵，∴，， ∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正确； 在四边形ABCD中，， AB中点O，连接OD、OC， 则OD=OC=OA=OB=AB， 若AD=BD，则OD⊥AB，∴， 若，则△BOC是等边三角形，∴，， 但是△ODC与△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正确的是②③④，故答案为∶②③④． 5．如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图旋转，连接 以为直径作，以为半径作，过点作的切线交于点 在和中 ∴点共圆，点共圆，点在上运动 ，的半径为∴ 又∵，∴当点运动到点时，到直线距离的最大， 过点作，过点作，， ∴四边形是矩形，   是圆心，设 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：连接，   四边形是正方形，是等腰直角三角形， ，，四点共圆， 恒等于，点P在正方形对角线上运动， ，，， ，为定值， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为， ，的周长的最小值为：，故答案为：． 7．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．    【答案】102.5° 【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，    根据旋转的性质得到：AC=AF，，，， ∴点A、N、F、C共圆，∴， 又∵点A、N、F、C共圆，∴， ∴（平角的性质），故答案为：102.5° 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$