专题培优课函数性质的综合应用讲义-2025届高三数学二轮专题复习

专题培优课函数性质的综合应用 【考情分析】函数性质的综合应用是高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过 分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起考查。 关键能力题型剖析 题型一函数的奇偶性与单调性 例1[2024河北秦皇岛模拟]定义在R上的偶函数x)满足：对任意的x,x2∈[0，+∞ ≠，都有-0，且3)=0，则不等式2-1)0的解集是() A.(-3,) B.(-3,)U3,+o) C.(-∞，-3)U(,3) D.(-∞，-3)U(3,+∞) [听课记录]. 题后师说 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为gx)x),利用单调性把不等式的函数符 号”脱掉，得到具体的不等式（组） (②)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同 一单调区间上，进而利用单调性比较大小 巩固训练1 [2024河南洛阳模拟已知奇函数x)在R上是增函数，gx)=x).若a=g(一log25.1), b=g(20.8),c=g3),则a,b,c的大小关系为( A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 题型二函数的奇偶性与周期性 例2[2024河南开封模拟已知函数x)的定义域为R,x)为奇函数，x十1)为偶函数， 22(k)=1.则0)=( A.-1 B.0 C.1 D.2 [听课记录. 题后师说 奇偶性与周期性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求 函数值的自变量转化到已知解析式的函数内求解. 巩固训练2 [2024广东广州模拟]设fx)是定义在R上的奇函数，且一2)=-.若浮)=一专， 则学)=() A.专 B.- C. D.- 题型三奇偶性、周期性和对称性的综合应用 例3(1)2024江西赣州模拟]已知定义在R上的奇函数)，满足x+1)是偶函数，且 当x∈(0,1]时，f)=x2,则f0)+1)+2)+…+2023)=() A.-1 B.0 C.1 D.1012 (2)(多选2024湖北武汉模拟]设函数y=x)的定义域为R,且满足1十x)=1一x),f (c一2)十一x)=0,则下列说法正确的是() A.y=x十1)是偶函数 B.y=x十3)为奇函数 C.x)是周期为4的周期函数 D.1)=0 [听课记录] 题后师说 函数的奇偶性与对称性之间的转化是解决此类问题的关键，同时牢记图象平移的规律， 巩固训练3 (多选)[2024黑龙江鹤岗模拟]已知函数x)是定义在R上的奇函数，且1十x)=1一x), 当0x≤1时，f=3-1,则() A.x)是周期为2的周期函数 B.x)的值域为-2,2] C.x=3是x)图象的一条对称轴 D.fx)的图象关于点（一2,0）对称 随堂检测 知道高考考什么？ 1[2021全国甲卷]设x)是定义域为R的奇函数，且1+)=术-).若f(青)=寺，则 )=() A.- B.一清 C.寺 D.哥 2.[2020新高考1卷]若定义在R的奇函数x)在（一∞，0）单调递减，且2)=0，则满 足x一1)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1]U[3,+o)B.[-3,-1]U[0,1] C.【-1,0U[1,+o)D.[-1,0]U[1,3] 3.(多选)2024九省联考]已知函数x)的定义域为R,且)≠0，若x十y)+xy)= 4灯，则() A.-)=0 B.2)=-2 C.函数x一)是偶函数 D.函数fx十)是减函数 4.(多远)2022新高考1卷]已知函数x)及其导函数fx)的定义域均为R,记gx)=f )若f号-2)，g(2十x)均为偶函数，则() A.0)=0 B.g(-)=0 C.尤-1)=4) D.g(-1)=g2) 专题培优课函数性质的综合应用 关键能力题型剖析 例1解析：因为函数侧满足对任湾的∈0，十X.都有0， 所以)在[0，十∞)上单调递减， 又)是定义在R上的偶函数，所以)在（一∞，O上单调递增， 又3)=0，所以(-3)=(3)=0，作函数x)的草图如图， v=fx) -30 所以，当<-3时，2x-10,fx)0,则(2x一1x)>0: 当-3x<专时，2x一1<0，x)>0,则(2x-1x)0: 当方3时，2x-1>0,e)0,则(2-1x)0: 当3时，2x一1>0，x)0,则(2x-1x)<0: 当x=一3或x=3或x=专时，(2x一I)x)=0 综上，不等式(2x-1>0的解集为(-∞，一3)U(信，3). 答案：C 巩固训川练1解析：易知gx)=x)在R上为偶函数， 因为奇函数x)在R上单调递增，且O)=0 所以gx)在(0，十∞)上单调递增. 又3>1og25.1>2>20.8,且a=g(-1og5.1)=g1ogz5.1), 所以g(3)-g(log25.1)Pg(20.8),即c°a心b. 答案：C 例2解析：因为函数)的定义域为R,x)为奇函数，所以0)=0， 又因为x十1)为偶函数，所以x)的对称轴为x=1, 则为周期函数，周期为4. 则有2(k)=+2+3+4+0+2. 设f1)=m,根据对称性f3)=-m,且f0)=f2)=f4)=0, 所以0+iO+R3+约=0.所以22f(k)=0+ie+ie+r4)++i2 =f1)+f2), 即f(1)+f2)=m+0=m, 因为2f(k)=1,所以m=1,即0=m=1 答案：C 巩固训练2解析：由题设，x-2)=一x)=一x),则x)=一fx十2)， 所以fx-2)=x十2)，即fx)=x十4④，故x)是周期为4的奇函数， 所以)=4-)=-)=一程)=青 答案：A 例3解析：(I)已知定义在R上的奇函数x),所以x)=一一x)①，且O)=0, 又+1)是偶函数，所以x+1)=一x+1),即fx)=2一x)②，所以2)=0)=0， 由①②可得：一一x)=术2一x),所以一2一x)=4一x),则尤一x)=术4一x),则函数x) 的周期为4， 当x∈(0,1]时，x)=x2,则1)=1，所以一1)=-1)=一1=3)， 所以0)+1)+2)+…+2023)=5060)+1)+2)+(3]=0. (2)由题意，函数y=x)满足1十x=1一x), 可知函数x)的图象关于直线x=1对称，即（一x)=2十x), 将函数y=x)的图象向左平移1个单位，得到函数y=x十1)， 此时y=x十I)的图象关于y轴对称，所以函数y=x十1)为偶函数，所以A正确： 由-2)+（一x)=0,即一x一2）=术-x),可得2+x)=一x-2). 即)=一r十4)，若x)为常函数且x)=0,则4是函数x)的周期， 否则，4不是函数的周期，所以C不正确： 因为x-2)+一x)=0,可得x一5)+-x十3)=0，因为x十8)=一x+4)=x), 所以函数x)的周期为8，可得x+3)十(-x+3)=0,即一x十3)=一fx+3), 所以y=x十3)为奇函数，所以B正确： 由y=x十3)为奇函数，可得3)=0， 因为-x)=2十x),则-1)=2+1)=0， 其中1)的值不能确定，所以D错误. 答案：(I)B(2)AB 巩固训练3解析：因为)是定义在R上的奇函数， 所以-x)=一x,又1十x)=1一x), 所以1十x)=1-x)=-f-1), 所以)=一x+2), 故fx=fx+4), 所以x)是周期为4的周期函数，故选项A错误： 由题意可知，)的图象如图所示， 由fx)的图象可得x)的值域为[-2,2]， 其中x=3是函数)图象的一条对称轴， x)的图象关于点（一2,0）对称，故选项B,C,D正确. 答案：BCD 随堂检测 1.解析：因为x)是定义在R上的奇函数，所以（一x)=一x).又1十x)=(一x),所 以2十x)=1+(1十x]=几-(1+x)]=一1十)=一（一x)=fx,所以函数x)是以2为周期 的周期函数，)=（号-2）=f(专)=号故选C 答案：C 2.解析：由题意知x)在（一∞，0），(0，+∞)单调递减，且一2)=2)=0)=0.当x 0时，令x-1)≥0，得0≤x-1≤2，.1≤x≤3：当x<0时，令fx-1)≤0，得-2≤x-1 ≤0，.一1≤x≤1，又x0,一1≤x<0:当x=0时，显然符合题意.综上，原不等式的解 集为[-1,0]U[1,3],选D. 答案：D 3.解析：令x=寺，y=0,则有号)+)×0)=号1+0]=0，又)≠0，故1+f 0=0,即f0=-1, 令x=寺，y=一克，则有位-)十位-)=4×号×(-，即0十位-)=-1， 由0)=-1，可得吃派-)=0，又2)≠0，故-)=0，故A正确： 令y=-克，则有-》十x-)=4×(-),即-)=一2x,故函数x-》是 奇函数，有fx+1-)=-26十1)=-2x-2,即+)=一2x-2,即函数+)是减函 数， 令x=1,有2)=-2×1=-2， 故B正确、C错误、D正确.故选ABD 答案：ABD 4.解析：因为号-2，g2十)均为偶函数，所以号-2)=是+2，g(2+x)=g 2-).令t=号-2x,则x=浮-青，所以0=3-0，即)=3-.对两边求导，得f6) =-f3-x,即g十g3-x)=0,所以g)的图象关于点(，0)对称，即g()=0.又因为8 (2十)=g2-,所以g)的图象关于直线x=2对称，所以g)的周期为4X(2-)=2,所 以g()=8(-)=0,所以B正确.因为f2+)=f2-,所以2十)=一2-)十C,其 中C为常数，所以2+x)十2-x)=C,所以x)的图象关于点(2，)对称，又因为)= 3-,所以)的图象关于直线x=号对称，所以x)的周期为4×(2-)=2，所以-1)= 1),(4)=2).又因为9=3-x,所以1)=2)，所以(-1)=4)，所以C正确.8 (-1)=g1)=一g(2,所以D错误.因为0)=2)=号，所以当C=0时，0)=0，当C≠0 时，O)≠0，所以A错误，故选BC 答案：BC