精品解析：山东省泰安市泰山区2024-2025学年八年级上学期（五四制）期末数学试题

第一学期期末学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 我国民间，流传若许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 2. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表： 成绩/分 80 85 90 95 人数/人 1 2 5 2 则这组数据的中位数和平均数分别为（　　） A. 90，90 B. 90，89 C. 85，89 D. 85，90 5. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角互补 C. 有两组对角相等的四边形是平行四边形 D. 平行四边形的对角线平分每一组对角 8. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为 A. （1.4，－1） B. （1.5，2） C. （1.6，1） D. （2.4，1） 9. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B'处，此时，点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上，下列结论正确的是（　　） A. ∠BCB'=∠ACA' B. ∠ACB=2∠B C. ∠B'CA=∠B'AC D. B'C平分∠BB'A' 10. 如图，对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 分解因式：________． 12. 已知一组数据、、、、的众数为，则该组数据的平均数为________． 13. 如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形周长等于________． 14. 已知，则的值为________． 15. 已知如图，第一个三角形的周长为，它的三条中位线组成第二个三角形，再以第二个三角形的三条中位线组成第三个三角形，以此类推，第个三角形的周长为________． 16. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 先化简：，然后在，，，四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 21. 为引导激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展社会主义建设者和接班人．某校开展主题为“共享阅读时光，点亮智彗人生”读书月活动，要求每人读至本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型，：本；：本；：本；：本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次抽查学生人数及的值，将条形统计图补全； （2）求本次抽取学生的读书量的众数和中位数； （3）求“：本所在扇形的圆心角的度数； （4）学校拟将读书量超过本（不含本）的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数． 22. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金 购进这两款汽车共15辆 ，问A款汽车最多能购进多少辆？ 23. 阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：（1）分解因式： （2） 求代数式 的最小值． ∴当时，代数式有最小值 结合以上材料解决下面的问题： （1）若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ； （2）分解因式：； （3）当x为何值时，有最小值? 最小值多少? 24. 如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点． （1）若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由； （2）连，取中点，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一学期期末学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置） 1. 我国民间，流传若许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟悉掌握概念是解题的关键； 本题根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行作答，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：①“福”字形左、右部分不相同，既不是中心对称图形也不是轴对称图形； ②“禄”字形在圆形中上下、左右对称，既是轴对称图形又是中心对称图形； ③“寿”字形在圆形中左右对称，是轴对称图形，不是中心对称图形； ④“喜”字形在圆形中上下、左右对称，既是轴对称图形又是中心对称图形； 因此，只有②④同时满足中心对称和轴对称； 故选：D； 2. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．利用完全平方公式逐项分析即可． 【详解】解：A．，故能用完全平方公式分解因式； B．不能用完全平方公式分解因式； C．，故能用完全平方公式分解因式； D．，故能用完全平方公式分解因式； 故选B． 3. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 4. 以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表： 成绩/分 80 85 90 95 人数/人 1 2 5 2 则这组数据的中位数和平均数分别为（　　） A. 90，90 B. 90，89 C. 85，89 D. 85，90 【答案】B 【解析】 【详解】∵共有10名同学，中位数是第5和6的平均数， ∴这组数据中位数是(90+90)÷2=90； 这组数据的平均数是：(80+85×2+90×5+95×2)÷10=89； 故选B. 5. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为，因为分式方程有增根，所以方程的根为，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：．   故选：A ． 6. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍；求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，首先设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得等量关系：慢马速度快马速度，根据等量关系，可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：设规定时间为天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得： ， 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角互补 C. 有两组对角相等的四边形是平行四边形 D. 平行四边形的对角线平分每一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的判定与性质分别对各个说法进行判断即可． 【详解】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形， ∴A错误，不符合题意； B．平行四边形的对角相等， ∴B错误，不符合题意； C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形， ∴C正确，符合题意； D．平行四边形的对角线互相平分但不一定平分每一组对角， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键． 8. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为 A. （1.4，－1） B. （1.5，2） C. （1.6，1） D. （2.4，1） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1）， ∴平移和变化规律是：横坐标减4，纵坐标减3． ∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（－1.6，－1）． ∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2， ∴点P1和点P2关于坐标原点对称． ∴根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的性质，得P2点的坐标为：（1.6，1）． 故选C． 9. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B'处，此时，点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上，下列结论正确的是（　　） A. ∠BCB'=∠ACA' B. ∠ACB=2∠B C. ∠B'CA=∠B'AC D. B'C平分∠BB'A' 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′＝∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'＝2∠B，等量代换得到∠ACB＝2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C＝∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确，由三角形内角和可得3∠B+∠A=180°，由三角形外角可得∠BB′C=∠A+∠B'CA，可得4∠A+3∠B'CA=180°，假设∠B'CA=∠B'AC，可求∠A=，∠B=，∠ACB=△ABC形状固定与△ABC不是固定的三角形相矛盾，可判断C不正确． 【详解】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′＝∠ACA′，故A正确， ∵CB＝CB'， ∴∠B＝∠BB'C， 又∵∠A'CB'＝∠B+∠BB'C， ∴∠A'CB'＝2∠B， ∵△ABC旋转得到△A'B'C， ∴△ABC≌△A'B'C， ∴∠ACB＝∠A'CB'， ∴∠ACB＝2∠B，故B正确； ∵∠A′B′C＝∠B， ∴∠A′B′C＝∠BB′C， ∴B′C平分∠BB′A′，故D正确， ∴∠BCA=∠BB′A′=2∠B=180°-∠B-∠A， ∴3∠B+∠A=180°， ∵∠BB′C=∠A+∠B'CA， ∴4∠A+3∠B'CA=180°， 假设∠B'CA=∠B'AC， ∴7∠A=180°， ∴∠A=，∠B=，∠ACB= ∴△ABC形状固定 与△ABC不是固定的三角形相矛盾， 故C不正确； 故选择ABD． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，反证法，正确的识别图形是解题的关键． 10. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ∴为等边三角形故①正确； ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，故④正确； 综上成立个数是个， 故选：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 已知一组数据、、、、的众数为，则该组数据的平均数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数和众数，正确理解平均数和众数并能够准确计算是解决本题的关键； 首先根据这组数据的众数为求出的值，然后求出数据之和再除以总个数即可； 【详解】解：数据、、、、，它的众数是6，即6的次数最多，即，则其平均数为， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形周长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的角平分线，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由平行四边形得到，，，再根据角平分线的定义得出，然后根据等角对等边及线段的和差得出，即可求出、的长，就能求出答案． 【详解】解：解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ，， ， ∴， ∴，， ∴平行四边形的周长是． 故答案为：． 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握基本性质的运用是解答的关键．先将化为，再代入所求分式中求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即，， ∴ ， 故答案为：． 15. 已知如图，第一个三角形的周长为，它的三条中位线组成第二个三角形，再以第二个三角形的三条中位线组成第三个三角形，以此类推，第个三角形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质及图形类规律变化，熟练掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半的性质并正确找到规律是解题关键．根据三角形的中位线性质可推导出第二个三角形的周长为，第三个三角形的周长为，即可得出第个三角形的周长为，即可得答案． 【详解】解：如图，、、为中、、的中点， ∴，，， ∴， ∵第一个三角形的周长为， ∴第二个三角形的周长为， 同理可得：第三个三角形的周长为， 第四个三角形的周长为， …… ∴第个三角形的周长为， ∴第个三角形的周长为 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分86分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）先把除法变为乘法，并且因式分解，然后即可求解； （2）先把括号内的分式通分，将除法转化为乘法，然后再按照分式的混合运算法则计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 18. 先化简：，然后在，，，四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算及乘除运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除运算法则进行化简，再由分式有意义的条件求得x的取值范围，再选合适的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵在，，，四个数中，使原式有意义的值只有， ∴当时，原式． 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，先将分式方程转化为整式方程，然后在根据解一元一次方程的方法求解，最后检验即可； （2）根据解分式方程的方法，先将分式方程转化为整式方程，然后在根据解一元一次方程的方法求解，最后检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边都乘以，去分母得：， 解程得：， 检验：把代入，， ∴原方程的根为：． 【小问2详解】 解：方程两边都乘以， 去分母得：， 解得， 检验，把代入，， 所以原方程的解为． 20. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，再由全等三角形的判定证△BEO≌△DFO即可； 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AF＝CE， ∴AF-OA＝CE-OC， 即OF＝OE， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 为引导激励青少年学生爱读书、读好书、善读书，切实增强历史自觉和文化自信，着力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．某校开展主题为“共享阅读时光，点亮智彗人生”读书月活动，要求每人读至本名著，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的读书量，并分为四种类型，：本；：本；：本；：本，将各类的人数绘制成如下的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次抽查学生人数及的值，将条形统计图补全； （2）求本次抽取学生的读书量的众数和中位数； （3）求“：本所在扇形的圆心角的度数； （4）学校拟将读书量超过本（不含本）的学生评为“最佳悦读之星”予以表扬，已知该校有名学生，请估计该校此次受表扬的学生人数． 【答案】（1）人，，图见解析 （2）众数是本，中位数是本 （3） （4）该校有名学生中此次受表扬的学生人数大约有人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数和众数，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提． （1）根据读书本数为4本的有35人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出a和读5本的学生人数，补全条形统计图即可； （2）再根据众数、中位数的定义求出众数、中位数即可； （3）利用“×每人的读书本数为本的学生占比”求解即可； （4）用1200乘样本中读书本数不低于4本的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 本次抽查学生人数：（人） 因为，所以． 组的学生人数：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 这组数据中出现次数最多的数据是，所以众数是本； 将这组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的两个数据都是， 所以中位数是本． 【小问3详解】 “：本”所在扇形的圆心角的度数； 【小问4详解】 （人） 答：该校有名学生中此次受表扬的学生人数大约有人． 22. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金 购进这两款汽车共15辆 ，问A款汽车最多能购进多少辆？ 【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元 （2）A款汽车最多能购进10辆 【解析】 【分析】（1）设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额90万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解； （2）设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进（15－y）辆，根据购车资金不多于105万元，列不等式求解． 【小问1详解】 设今年5月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆售价（x+1）万元， 由题意得，， 解得：x=9， 经检验：x=9是原分式方程的解，且符合题意， 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； 【小问2详解】 设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进（15－y）辆， 由题意得，7.5y+6（15－y）≤105， 解得：y≤10． 答：A款汽车最多能购进10辆． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键． 23. 阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：（1）分解因式： （2） 求代数式 的最小值． ∴当时，代数式有最小值 结合以上材料解决下面的问题： （1）若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ； （2）分解因式：； （3）当x为何值时，有最小值? 最小值是多少? 【答案】（1）或 （2） （3）时，最小值 【解析】 【分析】本题考查完全平方式、因式分解： （1）利用完全平方式的结构特点求解； （2）仿照材料中方法进行因式分解； （3）仿照材料中方法将变形为，即可求解． 【小问1详解】 解： 恰好是完全平方式， ， 即k的值是或； 【小问2详解】 解： ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， ∴当时，代数式有最小值． 24. 如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点． （1）若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由； （2）连，取中点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）且．理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、平行线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． （1）根据中位线的性质得出，，，，根据得出，根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余的性质得出即可得答案； （2）连接、，根据中位线的性质得出，根据平行线的性质，结合得出，根据中位线的性质求出，，利用勾股定理即可得答案． 【小问1详解】 解：（1）且．理由如下： ∵、、分别是、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴且． 【小问2详解】 解：如图所示：连接、， ∵、分别是和中点， ∴，， 由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵、、分别是、、的中点， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$