专题07 实数（培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题07 实数 真题重现 （2024八年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点突破 一、平方根 【学霸笔记】 1. 算术平方根的双重非负性 （1）若有意义，则； （2）. 2. 非负数即正数或0，如果a为实数，则都是非负数，若几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0，非负数中最小的数是0，没有最大的非负数. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，求出，得出，根据算术平方公的非负性得出，整理得出，从而得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴，① ∴， ∴， ∴， ∴，② 由①②得， 解得：， ∴， ∴平方根即为4的平方根，为． 故选：D． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）已知点的坐标满足，那么将点先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 二、立方根 【学霸笔记】 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1. 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2. 立方根等于本身的有0和. 3. 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4. ，. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）已知，且，，则的值为 ． 【答案】32 【分析】根据二次根式的性质化简，得：；根据立方根的定义化简，得：．联立解二元一次方程组，得：，再根据平方根和立方根的定义求出x和y的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 联立， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）已知实数在数轴上的对应点如图所示，其中． 化简． 三、实数的计算、估算 【学霸笔记】 1. 设x为有理数，y为无理数，则都是无理数（）； 2. 若x、y都是有理数，是无理数，则要使成立的条件是； 3. 若x、y、m、n都是有理数，都是无理数，则成立的条件是. 【典例】若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 【答案】25 【分析】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， 原式， ， ， 故答案为：25． 【巩固】设是的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 模拟演练 1．如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（    ）．    A． B． C． D． 2．已知是整数，若是正整数，则的最小值是（   ） A．31 B．59 C．65 D．124 3．观察下列各式：，，，…．则的值为 ． 4．一个正方形的边长变为原来的8倍后，面积变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的27倍后，棱长变为原来的倍，则的立方根与的平方根的和为 ． 5． ． 6．已知，则的值为 ． 7．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ． 8．定义运算：，若，试求x的值． 9．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 10．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1： 例题2： 同样我们也可以化简 也可以解方程，解为． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：＝　　，＝　　； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 11．定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 12．对于任意一个四位数，我们可以记为，即．若规定： 对四位正整数进行 F运算，得到整数．例如，；． （1）计算：； （2）当时，证明：的结果一定是4的倍数； （3）求出满足的所有四位数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题07 实数 真题重现 （2024八年级下·江苏无锡·竞赛）在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算、数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 考点突破 一、平方根 【学霸笔记】 1. 算术平方根的双重非负性 （1）若有意义，则； （2）. 2. 非负数即正数或0，如果a为实数，则都是非负数，若几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0，非负数中最小的数是0，没有最大的非负数. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，求出，得出，根据算术平方公的非负性得出，整理得出，从而得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴，① ∴， ∴， ∴， ∴，② 由①②得， 解得：， ∴， ∴平方根即为4的平方根，为． 故选：D． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）已知点的坐标满足，那么将点先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的非负性质、二元一次方程组的解法、点在坐标系下的平移；掌握好点平移的计算方式是关键． 根据二次根式的非负性质得关于x、y的二元一次方程组，解出得点M的坐标，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：， ， 即， ， 得，， 与联立得，， 解得， ， 将点先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为即． 故答案为：D． 二、立方根 【学霸笔记】 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1. 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2. 立方根等于本身的有0和. 3. 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4. ，. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）已知，且，，则的值为 ． 【答案】32 【分析】根据二次根式的性质化简，得：；根据立方根的定义化简，得：．联立解二元一次方程组，得：，再根据平方根和立方根的定义求出x和y的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 联立， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）已知实数在数轴上的对应点如图所示，其中． 化简． 【答案】 【分析】 本题考查算术平方根，立方根与绝对值化简，解题关键是利用数轴确定各式的符号进而化简．由数轴可确定，，，，，，进而结合绝对值的性质化简即可． 【详解】 解：根据题意可得，，，，，， ∴ ． 三、实数的计算、估算 【学霸笔记】 1. 设x为有理数，y为无理数，则都是无理数（）； 2. 若x、y都是有理数，是无理数，则要使成立的条件是； 3. 若x、y、m、n都是有理数，都是无理数，则成立的条件是. 【典例】若表示不超过的最大整数，设，那么 ． 【答案】25 【分析】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， 原式， ， ， 故答案为：25． 【巩固】设是的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值及二次根式的运算；令t＝，则可求得t的值，进而求得a；同理，令p＝，则可求得p的值，进而求得b，最后即可求得代数式的值． 【详解】解：令t=， 则， ∴， ∴，； 令p=， 则， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 模拟演练 1．如图，数轴上与实数相对应的点分别为，若点与点关于点对称，则点所表示的实数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴、实数的运算、对称性质，根据数轴上两点间的距离和对称性质求解即可． 【详解】解：由对称性质得， ∴点所表示的实数是， 故选：A． 2．已知是整数，若是正整数，则的最小值是（   ） A．31 B．59 C．65 D．124 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，算术平方根，将变形为，根据是整数，可得，其中a为大于1的正整数，由此可解． 【详解】解： 是整数， 是平方数， 是正整数， ，a为大于1的正整数， 当时，n取最小值， ， 解得， 故选B． 3．观察下列各式：，，，…．则的值为 ． 【答案】4013 【分析】本题考查了实数，二次根式的化简，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．仔细观察已有的等式，用含有相同规律的代数式表示，然后求出a、b的值，然后再求值即可． 【详解】解： ， ， ， ，…， 总结归纳为： （n为正整数）， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：4013． 4．一个正方形的边长变为原来的8倍后，面积变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的27倍后，棱长变为原来的倍，则的立方根与的平方根的和为 ． 【答案】1或/或1 【分析】本题考查了正方形的边长与面积、立方体的棱长与体积的关系及立方根、平方根的定义． 由于一个正方形的边长扩大x倍，面积扩大x2倍；一个立方体的棱长扩大x倍，体积扩大x3倍．利用前面的结论即可求出a、b进而解答． 【详解】解：一个正方形的边长变为原来的8倍后，面积变为原来的64倍，即， 一个立方体的体积变为原来的27倍，则棱长变为原来的3倍，即． ，， 的立方根为，的平方根为， ， 的立方根与的平方根的和为1或， 故答案为：1或． 5． ． 【答案】2 【分析】本题考查实数的运算、平方根的应用，通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，利用方程思想进行求解． 【详解】解：设，则， 即，则， 解得或， 因为，所以原式的值为2， 故答案为：2． 6．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过对完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根等知识点，将变形为是解题的关键． 先将变形为，进而可得，然后展开，得到，再两边求算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识等知识点，掌握有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为0是解题的关键． 先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为m，得到关于m的方程，由m、a、b是有理数，x是无理数，确定m的系数和结果均为0，求出m和的值即可． 【详解】解： ∵x是无理数， ∴， ∴原式， ∵是有理数， ∴设，则， ∵m、a、b是有理数，x是无理数， ∴，解得，． 故答案为：． 8．定义运算：，若，试求x的值． 【答案】1或3或5 【分析】本题考查幂的运算与新定义问题，熟练掌握一个数的幂的形式为1，可分二种情况：①底数为1；②幂为0是解题的关键，根据，由新定义可得，则或，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴可变形为， ∴或或且为偶数， 解得：或或， ∴的值为：1或3或5． 9．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干列举的等式，总结规律可得答案． （2）总结规律即可解答． （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 10．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1： 例题2： 同样我们也可以化简 也可以解方程，解为． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：＝　　，＝　　； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则，计算； （2）利用完全平方公式把原式展开，根据计算即可； （3）利用公式法解出方程，根据得到方程的解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ，． 11．定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由得到， ， 解得 （2）由题意可得，， ∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解， ∴. 12．对于任意一个四位数，我们可以记为，即．若规定： 对四位正整数进行 F运算，得到整数．例如，；． （1）计算：； （2）当时，证明：的结果一定是4的倍数； （3）求出满足的所有四位数． 【答案】（1）33；（2）详见解析；（3）满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230． 【分析】（1）直接根据定义求解可得； （2）先根据定义，化简求出，将代入，发现刚好是4倍关系； （3），根据x、y都必须是0至9之间的整数，可判断求解． 【详解】解：（1）； （2）∴ ∵ ， 原式 ． ∵，且是整数，∴是4的倍数． 所以，当时，的结果一定是4的倍数． （3）∵， ∴． 即． ∵，∴． ∴，且为整数． ∴ 或或或 所以，满足条件的四位数有3209，3218，3225，3230． 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