2024届河北省承德市八校高考数学一模试卷

2024年河北省承德市八校高考数学一模试卷 一、单选题 1.已知i为虚数单位,若,则a2019+b2020=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点,且离心率为的椭圆.设地球半径为R,若其近地点离地面的距离为,则远地点离地面的距离为( ) A. B. C.12R D. 3.若集合A={x|﹣1<x<2},B={x|﹣2<x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣2,1) B.(﹣1,2) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 4.不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是( ) A.m>2 B.0<m<1 C.m>0 D.m>1 5.把3个相同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子最多放2个小球,则不同方法有( ) A.16 B.24 C.64 D.81 6.( ) A. B. C. D.2 7.若函数在x=1处取得极小值,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣∞,0) B.(0,e) C.(﹣∞,e) D.(e,+∞) 8.三人玩报数游戏:首先A报数字1,然后B报两个数字2、3,接下来C报三个数字4、5、6,然后轮到A报四个数字7、8、9、10,依次循环,直到报出10000,则A报出的第2022个数字为( ) A.5982 B.5981 C.5980 D.以上都不对 二、多选题 (多选)9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(﹣3x)=f(2+3x),则下列结论一定成立的是( ) A.f(0)=0 B.2是f(x)的一个周期 C.(2,0)是f(x)的一个对称中心 D.f(3x+1)为偶函数 (多选)10.已知抛物线y2=mx(m>0)焦点与双曲线点x21的一个焦点重合,点P(2,y0)在抛物线上,则下列说法错误的是( ) A.双曲线的离心率为2 B.m=8 C.双曲线的渐近线为y= 3x D.点P到抛物线焦点的距离为6 (多选)11.已知x>0,y>0,且ex=x2+lny,则( ) A. B.y>e C.y2>ex D.x2≤e2﹣1 三、填空题 12.已知,则a0+a1+⋯+a7= ,a4= . 13.若f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递增,又f(﹣2)=1,则不等式f(x﹣1)<1的解集为 . 14.如图在直角三角形ABC中,E为斜边AB的中点,CD⊥AB,AB=1,则的最大值是 . 四、解答题 15.已知函数f(x)=e2x(sinx﹣3cosx). (1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 16.大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程.为预测渗压值和控制库水位,工程师在水库选取一支编号为BS3的渗压计,随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据: 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 水库水位xi/m 75.69 75.74 75.77 75.78 75.81 75.85 75.67 75.87 75.9 75.93 758.01 BS3渗压计管内水位yi/m 72.88 72.90 72.92 72.92 72.93 72.94 72.94 72.95 72.96 72.98 729.32 并计算得57457.98,53190.77,55283.20. (1)估计该水库中BS3号渗压计管内平均水位与水库的平均水位; (2)求该水库BS3号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数(精确到0.01); (3)某天雨后工程师测量了水库水位,并得到水库的水位为76m.利用以上数据给出此时BS3号渗压计管内水位的估计值. 附:相关系数r,15.51,,. 17.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点. (1)求证:DE∥平面BCP; (2)求证:四边形DEFG为矩形; (3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?若存在,写出点Q的位置(不需要论证). 18.已知等差数列{an}中,a2=3,a4=7,数列{bn}满足b1=a1,bn+1=3bn. (1)求数列{an}通项公式an; (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若等式a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=2x2﹣3x﹣1恒成立,其中a,b,c为常数,求a﹣b+c的值; (2)证明:ac<0是方程f(x)=0有两个异号实根的充要条件; (3)若对任意x∈R,不等式f(x)≥2ax+b恒成立,求的最大值. 2024年河北省承德市八校高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C A B C B 一、单选题 1.已知i为虚数单位,若,则a2019+b2020=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解答】解:由, 得a=1,b=﹣1, ∴a2019+b2020=12019+(﹣1)2020=2. 故选:C. 2.某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点,且离心率为的椭圆.设地球半径为R,若其近地点离地面的距离为,则远地点离地面的距离为( ) A. B. C.12R D. 【解答】解:由椭圆的离心率为,且近地点离地面的距离为, 可知且,解得,, 则远地点离地面的距离为. 故选:A. 3.若集合A={x|﹣1<x<2},B={x|﹣2<x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣2,1) B.(﹣1,2) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 【解答】解:∵集合A={x|﹣1<x<2},B={x|﹣2<x<a}, 又A⊆B, 可得a≥2, 故选:D. 4.不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是( ) A.m>2 B.0<m<1 C.m>0 D.m>1 【解答】解:当不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立时, =4﹣4m<0, 解得m>1; 所以m>1是不等式恒成立的充要条件; m>2是不等式成立的充分不必要条件; 0<m<1是不等式成立的既不充分也不必要条件; m>0是不等式成立的必要不充分条件. 故选:C. 5.把3个相同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子最多放2个小球,则不同方法有( ) A.16 B.24 C.64 D.81 【解答】解:把3个相同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子最多放2个小球, 有两种放法:一种是在4个不同的盒子中任取3个盒子, 每个盒子中放一个,有C43种放法. 另一种是把3个球分为两组,一组1个,一组2个,分别放到两个不同的盒子中,有2C42种放法, ∴由乘法原理知:不同方法有:C43+2C42=16种. 故选:A. 6.( ) A. B. C. D.2 【解答】解:原式 , 故选:B. 7.若函数在x=1处取得极小值,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣∞,0) B.(0,e) C.(﹣∞,e) D.(e,+∞) 【解答】解:∵,则函数f(x)的定义域为R, 则f′(x)=ex+(x﹣2)ex﹣ax+a=(x﹣1)(ex﹣a), ①a≤0时,ex﹣a>0,令f′(x)>0,解得:x∈(1,+∞),令f′(x)<0,解得:x∈(﹣∞,1), 此时函数f(x)在x=1处取得极小值,符合题意; ②a>0时,令f′(x)=0,解得:x=1或x=lna, 当lna>1时,即a>e,令f′(x)>0,解得:x∈(﹣∞,1)∪(lna,+∞),令f′(x)<0,解得:x∈(1,lna), 此时函数f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意,舍去; 当lna=1时,即a=e,则f′(x)=(x﹣1)(ex﹣a)≥0恒成立,此时函数f(x)单调递增,没有极值,不符合题意,舍去; 当lna<1时,即a<e,令f′(x)>0,解得:x∈(﹣∞,lna)∪(1,+∞),令f′(x)<0,解得:x∈(lna,1), 此时函数f(x)在x=1处取得极小值,符合题意. 故选:C. 8.三人玩报数游戏:首先A报数字1,然后B报两个数字2、3,接下来C报三个数字4、5、6,然后轮到A报四个数字7、8、9、10,依次循环,直到报出10000,则A报出的第2022个数字为( ) A.5982 B.5981 C.5980 D.以上都不对 【解答】解:由题意可知,A第n次报数的个数为3n﹣2, 则A第n次报完数后共报的个数为Tn, 再代入正整数n,使得Tn≥2021, 解得n的最小值为37,得T37=2035, 而A第37次报时,3人总共报了36 3+1=109次, 当A第109次报完数3人总的报数个数为Sn=1+2+3+…+1095995, 即A报出的第2035个数字为5995, 故A报出的第2021个数字为5995﹣(2035﹣2021)=5981, 故选:B. 二、多选题 (多选)9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(﹣3x)=f(2+3x),则下列结论一定成立的是( ) A.f(0)=0 B.2是f(x)的一个周期 C.(2,0)是f(x)的一个对称中心 D.f(3x+1)为偶函数 【解答】解:因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(﹣3x)=f(2+3x), 由奇函数的性质可知,f(0)=0,A正确; 所以f(2+t)=f(﹣t)=﹣f(t), 则f(4+t)=f(t),周期为4,B错误; 所以f(4﹣x)=f(﹣x)=﹣f(x), 即f(4﹣x)+f(x)=0, 所以函数的图象关于(2,0)对称,C正确; 因为f(2+3x)=f(﹣3x), 所以f(2﹣3x)=f(3x),即f(1﹣3x)=f(1+3x), 令g(x)=f(3x+1), 则g(﹣x)=f(﹣3x+1)=f(1+3x)=g(x), 所以g(x)为偶函数,D正确. 故选:ACD. (多选)10.已知抛物线y2=mx(m>0)焦点与双曲线点x21的一个焦点重合,点P(2,y0)在抛物线上,则下列说法错误的是( ) A.双曲线的离心率为2 B.m=8 C.双曲线的渐近线为y= 3x D.点P到抛物线焦点的距离为6 【解答】解:由双曲线方程可得a=1,b,c=2,离心率为e2,A正确; 双曲线的渐近线为y= x,C错误; 抛物线y2=mx(m>0)与x21的一个焦点重合,可得2,即m=8,B正确; 由m=8,可得抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2,则点P(2,y0)到抛物线的准线的距离为2﹣(﹣2)=4, 到焦点的距离也为4,D错误. 故选:CD. (多选)11.已知x>0,y>0,且ex=x2+lny,则( ) A. B.y>e C.y2>ex D.x2≤e2﹣1 【解答】解:对于A,将x2=e2﹣lny代入, 得,即ex﹣lny<lne﹣lny ex<1, 因为x>0,显然不成立,故A错误; 对于B,令f(x)=ex﹣x2,f'(x)=ex﹣2x,令h(x)=f'(x),h'(x)=ex﹣2, 令h'(x)=0,解得x=ln2,如下表: x (0,ln2) ln2 (ln2,+∞) h'(x) ﹣ 0 + f'(x) 极小值 则,即f(x)是增函数, 当x>0时,f(x)>f(0)=1,由ex﹣x2=lny,则lny>1,即y>e,故B正确; 对于C,由B的过程可知,,要判断C选项是否正确, 只需判断2(ex﹣x2)﹣x>0在(0,+∞)上是否恒成立,令u(x)=2ex﹣2x2﹣x,x>0, u′(x)=2ex﹣4x﹣1,[u′(x)]′=2ex﹣4=2(ex﹣2), 结合B选项的过程可知,u′(x)min=u′(ln2)=3﹣4ln2, 所以u(x)在(0,+∞)上单调递增,则u(x)>2e0=2>0, 即2(ex﹣x2)>x,所以C正确; 对于D,由x2≤e2﹣1,则ex﹣x2≥ex﹣e2+1, 易知h(x)=ex﹣e2+1单调递增,无最大值,故D错误. 故选:BC. 三、填空题 12.已知,则a0+a1+⋯+a7= 0 ,a4= 5 . 【解答】解:因为, 令x=1,可得a0+a1+⋯+a7=0,(1+x+x2)(1﹣x)5=(1﹣x3)(1﹣x)4=(1﹣x)4﹣x3(1﹣x)4, 二项式(1﹣x)4的展开式中含x4的项为, 代数式﹣x3(1﹣x)4的展开式中含x4的项为, 所以(1+x+x2)(1﹣x)5的展开式中含x4的项为, 所以,则a4=5. 故答案为:0;5. 13.若f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递增,又f(﹣2)=1,则不等式f(x﹣1)<1的解集为 (﹣1,3) . 【解答】解:因为f(x)是偶函数,所以f(2)=f(﹣2)=1, 所以f(x﹣1)<f(2), 又因为在[0,+∞)上单调递增, 所以|x﹣1|<2, 解得:﹣1<x<3. 故答案为:(﹣1,3). 14.如图在直角三角形ABC中,E为斜边AB的中点,CD⊥AB,AB=1,则的最大值是 . 【解答】解:设CA=x,CB=y,则x2+y2=1 CD ∴ ∴x4•y2x4(1﹣x2)=2••(1﹣x2)≤2. 故答案为: 四、解答题 15.已知函数f(x)=e2x(sinx﹣3cosx). (1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 【解答】解:(1)函数f(x)=e2x(sinx﹣3cosx). f′(x)=2e2x(sinx﹣3cosx)+e2x(cosx+3sinx)=5e2x(sinx﹣cosx)=5e2xsin(x). (1)函数f(x)在点(0,f(0))处即在(0.﹣3)处切线斜率为k=f′(0)=﹣5; ∴f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为:y+3=﹣5(x﹣0); 即:y=﹣5x﹣3; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. ∵f′(x)=5e2xsin(x). 可知:当x∈[0,)时,f′(x)<0,函数f(x)=e2x(sinx﹣3cosx)单调递减. 当x∈(,]时,f′(x)>0,函数f(x)=e2x(sinx﹣3cosx)单调递增. 由函数的单调性可知:f()为函数在区间上的最小值. f(0)=﹣3; f()=e ; ∴函数在区间上的最大值为:f()=e 16.大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程.为预测渗压值和控制库水位,工程师在水库选取一支编号为BS3的渗压计,随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据: 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 水库水位xi/m 75.69 75.74 75.77 75.78 75.81 75.85 75.67 75.87 75.9 75.93 758.01 BS3渗压计管内水位yi/m 72.88 72.90 72.92 72.92 72.93 72.94 72.94 72.95 72.96 72.98 729.32 并计算得57457.98,53190.77,55283.20. (1)估计该水库中BS3号渗压计管内平均水位与水库的平均水位; (2)求该水库BS3号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数(精确到0.01); (3)某天雨后工程师测量了水库水位,并得到水库的水位为76m.利用以上数据给出此时BS3号渗压计管内水位的估计值. 附:相关系数r,15.51,,. 【解答】解:(1)水库的平均水位,BS3号渗压计管内平均水位; (2), 同理可得:,, ∴. (3)∵, ∴, ∴BS3号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为, 当x=76时,预测值, 即水库的水位为76m时,BS3号渗压计管内水位的估计值为72.98m. 17.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点. (1)求证:DE∥平面BCP; (2)求证:四边形DEFG为矩形; (3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?若存在,写出点Q的位置(不需要论证). 【解答】证明:(1)由题意,DE是 PAC底边PC上的中位线,∴DE∥PC, DE⊄平面BCP,PC⊂平面BCP,∴DE∥平面BCP; 证明:(2)由题意,,同理, ∵DE=GF,DE∥GF,四边形DEFG是平行四边形, 同理,EF∥AB, ∵PC⊥AB,∴EF⊥DE,∴平行四边形DEFG是矩形; 解:(3)如图: 设PC的中点为J,AB的中点为K,连接JG,EK, 则有:,∴EK∥JG,EK=JG,∴四边形EKGJ是平行四边形, 连接JE,KG,则有:JE∥PA,PA⊥BC,∴JE⊥EK,平行四边形EKGJ是矩形, 连接JK,DG,交点为O,则O是EG的中点,因此也是矩形DEFG对角线的交点, EJG是直角三角形,O是斜边EG的中点,∴OJ=OE=OG=OD=OK=OF, 即点O到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等,所以所求的Q点即是O点; 综上,到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等的点Q存在,就是矩形DEFG的对角线的交点O. 18.已知等差数列{an}中,a2=3,a4=7,数列{bn}满足b1=a1,bn+1=3bn. (1)求数列{an}通项公式an; (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a2=3,a4=7, 所以,解得a1=1,d=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1(n∈N*); (2)由(1)得b1=a1=1, ∵bn+1=3bn, ∵3, ∴{bn}是首项1公比是3的等比数列, ∴,(n∈N*). 19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若等式a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=2x2﹣3x﹣1恒成立,其中a,b,c为常数,求a﹣b+c的值; (2)证明:ac<0是方程f(x)=0有两个异号实根的充要条件; (3)若对任意x∈R,不等式f(x)≥2ax+b恒成立,求的最大值. 【解答】(1)解:2x2﹣3x﹣1=2(x﹣1)2+(x﹣1)﹣2, 由a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=2(x﹣1)2+(x﹣1)﹣2得a=2,b=1,c=﹣2, 故a﹣b+c=2﹣1﹣2=﹣1. (2)证明:必要性:由于方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根,设两根为x1,x2, ∴ =b2﹣4ac>0,且,∴ac<0. 充分性:由ac<0可推出 =b2﹣4ac>0,从而元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,设为x1、x2, 则,由ac<0知:x1x2<0,即两根异号, ∴方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正一负两实根. 因此ac<0是方程f(x)=0有两个异号实根的充要条件. (3)解:若对任意x∈R,不等式f(x)≥2ax+b恒成立, 整理得:ax2+(b﹣2a)x+c﹣b≥0恒成立,因为a不为0, 所以,所以0≤b2≤4a(c﹣a), 所以, 令,因为0≤b2≤4a(c﹣a),所以c≥a>0 t≥0, 若t=0时,此时, 若t>0时,, 当且仅当时,即时,上式取得等号, 综上:的最大值为. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2025/3/10 15:07:25;用户:李正才;邮箱:18396111335;学号:25240361 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$