2025届贵州省贵阳市高考数学适应性试卷（一）

2025年贵州省贵阳市高考数学适应性试卷（一） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则为（　　） A． B． C． D． 2．（5分）已知a，l是直线，α是平面，且a⊂α，则“l⊥a”是“l⊥α”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）设（1，1），||，0，则||＝（　　） A．1 B． C． D．2 4．（5分）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA﹣lgA0．其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（精确到0.1，参考数据：lg2＝0.3）（　　） A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 5．（5分）若sin2θ﹣2cos2θ＝2，，则sinθ＝（　　） A． B． C． D． 6．（5分）已知双曲线的渐近线与抛物线y2＝4x的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0） C． D．（5，0） 7．（5分）如果等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且a3＝4，S3＝7，设，那么（　　） A． B． C． D． 8．（5分）函数，若∀x∈（1，+∞），不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）有互不相同的7个样本数据，去掉一个第25百分位数和一个最大的数后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变小的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差 （多选）10．（6分）对于函数f（x）sinπx，x∈[0，2]和g（x）＝x（x﹣1）（x﹣2），x∈[0，2]，下列结论正确的有（　　） A．f（x）与g（x）在时有相同的函数值 B．f（x）与g（x）有相同的最小值 C．f（x）与g（x）的图象有相同的对称中心 D．f（x）与g（x）在区间都为增函数 （多选）11．（6分）封闭曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之积为2的点的轨迹，M（x，y）是曲线C上一点，O为坐标原点．则下列说法正确的有（　　） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C位于直线和直线y＝±1所围成的矩形框内 C．△MF1F2的周长的最小值为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）等差数列8，5，2，…的第10项为　 　． 13．（5分）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于 　 　． 14．（5分）定义集合An＝{（a1，a2，…，an）}|a1，a2，…，an∈A}，比如：若A＝{1，2}，则A2＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，把集合An中满足条件a1+a2+…+an＝p的元素组成的集合记为An（p），即An（p）＝{（a1，a2，…，an）|a1+a2+…+an＝p，a1，a2，…，an∈A}．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则 （1）集合A2（6）中的元素个数为 　 　； （2）若A6（p）中的元素个数为56，则p的值为 　 　． 四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a﹣c＝2bcosC． （1）求角B的大小； （2）若bsinA，点D是边AC上的一点，BD平分∠ABC，且BD＝2，求△ABC的面积． 16．（15分）在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧面ADD1A1为等腰梯形，且侧面ADD1A1⊥底面ABCD，AB＝BD＝3，AD＝2，A1B1＝1，A1D1与BC的距离为，点E，F分别在棱AB，CC1上，且，． （1）求证：EF∥平面ADD1A1； （2）求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高； （3）求异面直线A1C1与EF所成的角的余弦值． 17．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣a+cosx+b． （1）当a＝0时，证明函数f（x）在（0，+∞）单调递增； （2）若函数f（x）在有极值，求实数a的取值范围； （3）若函数f（x）的图象在点（2π，f（2π））处的切线方程为x﹣y﹣2π＝0，求函数f（x）的零点个数． 18．（17分）某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为；前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐． （1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； （2）求w同学与S同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； （3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数． 19．（17分）已知椭圆E的标准方程为：1（a＞b＞0），在这个椭圆上取2n（n≥3，n∈N）个点，这些点的坐标分别为，，连接PkQk，k＝0，1，…，n﹣1． （1）若直线P0Q0的斜率为，求椭圆E的离心率； （2）证明△OPkQk的面积为定值，并求多边形P0P1…Pn﹣1P0的面积（用n表示）； （3）若，，线段PkQk的中点为M，证明：∠AMQk＝∠BMPk． 2025年贵州省贵阳市高考数学适应性试卷（一） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A A D C B 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知复数z＝1﹣2i，则为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵z＝1﹣2i， ∴． 故选：D． 2．（5分）已知a，l是直线，α是平面，且a⊂α，则“l⊥a”是“l⊥α”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：根据题意，分两步来判断： ①由线面垂直的判定，当a⊂α，l⊥a时， 不足以判断l⊥α，故是l⊥a是l⊥α的不充分条件， ②a⊂α，若l⊥α，由线面垂直的定义可得， l⊥a，即l⊥a是l⊥α的必要条件， 则l⊥a是l⊥α的必要不充分条件， 故选：B． 3．（5分）设（1，1），||，0，则||＝（　　） A．1 B． C． D．2 【解答】解：设（1，1）， 则， 又||，0， 则||． 故选：C． 4．（5分）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA﹣lgA0．其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（精确到0.1，参考数据：lg2＝0.3）（　　） A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 【解答】解：由题意知，M＝lg50﹣lg0.002＝lglg25000＝lg5﹣lg4＝5﹣2lg2≈5﹣2×0.3＝4.4． 故选：A． 5．（5分）若sin2θ﹣2cos2θ＝2，，则sinθ＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为sin2θ﹣2cos2θ＝2，， 所以sin2θ＝2cos2θ+2， 因为1＝sin22θ+cos22θ＝5cos22θ+8cos2θ+4， 即5cos22θ+8cos2θ+3＝0， 解得cos2θ或cos2θ＝﹣1（舍）， 又cos2θ＝1﹣2sin2θ， 则sinθ（舍负）． 故选：A． 6．（5分）已知双曲线的渐近线与抛物线y2＝4x的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0） C． D．（5，0） 【解答】解：已知双曲线， 则其渐近线的方程为：y＝±2x， 联立， 解得：， 则圆C过（0，0），（1，2），（1，﹣2）三点， 设圆C与x轴正半轴的交点的横坐标为x0， 由圆的性质可得：2×2＝1×（x0﹣1）， 即x0＝5． 故选：D． 7．（5分）如果等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且a3＝4，S3＝7，设，那么（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， 因为a3＝4，S3＝7， 所以，， 解得a1＝1，q＝2，所以， 所以， 所以， 所以． 故选：C． 8．（5分）函数，若∀x∈（1，+∞），不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【解答】解：因为， 易得f（x）为奇函数且在R上单调递减， 若∀x∈（1，+∞），不等式恒成立， 则f（x+2m）＜﹣f（）＝f（）在x∈（1，+∞）上恒成立， 所以x+2m在x∈（1，+∞）上恒成立， 即x﹣1m2﹣2m﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立， 因为x﹣12，当且仅当x﹣1，即x＝2时取等号， 所以2＞m2﹣2m﹣1， 解得﹣1＜m＜3． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）有互不相同的7个样本数据，去掉一个第25百分位数和一个最大的数后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变小的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差 【解答】解：对于A，平均数可能变小，比如原数据为1，2，3，4，5，6，7，平均数为4， 因为7×25%＝1.75， 所以第25百分位数为2， 去掉2和7后，新数据的平均数为3.8，比原平均数小，故A正确； 对于B，原数据的中位数为从小到大排列后的第4个数，不妨设为a， 去掉一个第25百分位数和一个最大的数后，新数据的中位数依然为a，故中位数不变，故B错误； 对于C，原数据的极差为最大数与最小数的差，不妨设最大数为x，最小数为y， 去掉一个第25百分位数（肯定比y大）和一个最大的数x后，新数据的极差比原数据的极差小，故C正确； 对于D，去掉一个第25百分位数和一个最大的数后，新数据的平均数肯定不大于原数据的平均数，故方差可能变小，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．（6分）对于函数f（x）sinπx，x∈[0，2]和g（x）＝x（x﹣1）（x﹣2），x∈[0，2]，下列结论正确的有（　　） A．f（x）与g（x）在时有相同的函数值 B．f（x）与g（x）有相同的最小值 C．f（x）与g（x）的图象有相同的对称中心 D．f（x）与g（x）在区间都为增函数 【解答】解：函数的周期为2，对称中心为（1，0）． 由g（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）， 得g（1﹣x）＝（1﹣x）（﹣x）（﹣1﹣x），g（1+x）＝x（1+x）（x﹣1），满足g（1﹣x）＝﹣g（x+1）， 故函数g（x）的图象的对称中心也为（1，0）． 对于A、f（），g（）， 满足，故A正确； 对于B、f（x）在[0，2]上的最小值为， g（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）＝x3﹣3x2+2x，g′（x）＝3x2﹣6x+2， 由g′（x）＞0，得x＜1或x＞1， ∴g（x）在[0，1）和（1]上单调递增，在（1，1）上单调递减， 可知g（x）在[0，2]上的最小值为g（0）或g（1），与f（x）的最小值不同，故B错误； 对于C、f（x）和g（x）的图象都关于点（1，0）对称，故C正确； 对于D、若x∈（，2），则x∈（，2π）可知f（x）在区间上为减函数，故D错误． 故选：AC． （多选）11．（6分）封闭曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之积为2的点的轨迹，M（x，y）是曲线C上一点，O为坐标原点．则下列说法正确的有（　　） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C位于直线和直线y＝±1所围成的矩形框内 C．△MF1F2的周长的最小值为 D． 【解答】解：对于A，由已知得，曲线C的方程为•2， 将x换成﹣x，将y换成﹣y，得• •2， 故曲线C关于原点对称，A选项正确； 对于B，由•2， 整理得：y2＝﹣（x2+1）+2， 因为y2≥0，所以﹣（x2+1）+20， 得12，解得x， 由12，y2＝﹣（x2+1）+21， 得0≤y2≤1，解得﹣1≤y≤1，故B正确； 对于C，因为|MF1||MF2|＝2，所以|MF1|+|MF2|≥22， 当且仅当|MF1|＝|MF2|时取等号， 又|F1F2|＝2，所以△MF1F2的周长的最小值为22，故C错误； 对于D，由对B选项的分析，|OM|2＝x2+y2＝21，且12， 所以1≤|OM|2≤3，即，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）等差数列8，5，2，…的第10项为　﹣19　． 【解答】解：由等差数列8，5，2，…可知，该数列为首项a1＝8，公差d＝﹣3的等差数列， 所以a10＝a1+9d＝8+9×（﹣3）＝﹣19． 故答案为﹣19． 13．（5分）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于 　　． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l， 因为圆锥的侧面积是底面积的2倍， 所以πRl＝2πR2， 解得l＝2R， 设该圆锥的母线与底面所成角α， 则， 所以α． 故答案为：． 14．（5分）定义集合An＝{（a1，a2，…，an）}|a1，a2，…，an∈A}，比如：若A＝{1，2}，则A2＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，把集合An中满足条件a1+a2+…+an＝p的元素组成的集合记为An（p），即An（p）＝{（a1，a2，…，an）|a1+a2+…+an＝p，a1，a2，…，an∈A}．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则 （1）集合A2（6）中的元素个数为 　5　； （2）若A6（p）中的元素个数为56，则p的值为 　9　． 【解答】解：（1）设A2（6）中的元素为（a1，a2），a1，a2∈A＝{1，2，3，4，5，6}，且a1+a2＝6， 当a1＝1时，a2＝5；当a1＝2时，a2＝4；当a1＝3时，a2＝3；当a1＝4时，a2＝2；当a1＝5时，a2＝1， 所以A2（6）中的元素为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），元素个数为5． （2）已知A＝{1，2，3，4，5，6}，设A6（p）中的元素为（a1，a2，a3，a4，a5，a6）， ai∈A，i＝1，2，…，6，且a1+a2+a3+a4+a5+a6＝p， 方程x1+x2+⋯+xn＝m（xi≥1，xi∈Z）的正整数解的个数为，这里n＝6，xi∈A． 因为A6（p）中的元素个数为56，所以， 由，，所以p﹣1＝8，解得p＝9． 故答案为：（1）5；（2）9． 四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a﹣c＝2bcosC． （1）求角B的大小； （2）若bsinA，点D是边AC上的一点，BD平分∠ABC，且BD＝2，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）由2a﹣c＝2bcosC，根据余弦定理得2a﹣c＝2b•，即2a2﹣ac＝a2+b2﹣c2， 整理得a2+b2﹣c2＝ac，所以cosB，结合B∈（0，π），可知B； （2）由正弦定理，可得a2． 在△DBC中，∠CBD∠ABC，BD＝BC＝2，所以∠BDC＝∠C． 在△ABC中，∠A＝π﹣∠ABC﹣∠C，sinC＝sin（）＝sincoscossin， 由正弦定理得，即，解得AB． 所以△ABC的面积SAB•BCsin． 16．（15分）在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧面ADD1A1为等腰梯形，且侧面ADD1A1⊥底面ABCD，AB＝BD＝3，AD＝2，A1B1＝1，A1D1与BC的距离为，点E，F分别在棱AB，CC1上，且，． （1）求证：EF∥平面ADD1A1； （2）求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高； （3）求异面直线A1C1与EF所成的角的余弦值． 【解答】解：（1）取DD1的中点G，连接AG，GF， 则GF是梯形CDD1C1的中位线，所以GF∥DC且， 又因为AE∥DC且， 所以GF∥AE且GF＝AE， 所以四边形AEFG是平行四边形， 所以EF∥AG， 因为AG⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1， 所以EF∥平面ADD1A1； （2）分别取AD，A1D1的中点O，O1， 如图所示：因为侧面ADD1A1为等腰梯形， 所以OO1⊥AD， 因为侧面ADD1A1⊥底面 ABCD， 侧面ADD1A1∩底面ABCD＝AD， 所以OO1⊥底面ABCD， 因为AB＝BD＝3， 所以BO⊥AD，OB∩OO1＝O， OB，OO1⊂平面O1OB， 所以AD⊥平面O1OB， BO1⊂平面O1OB， 所以BO1⊥AD， 即BO1⊥A1D1， 且BO1⊥BC，所以BO1为A1D1与BC的距离， 所以， 解得OO1＝2，所以四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为2； （3）以OA，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系， 则 A（1，0，0），，D（﹣1，0，0），， 所以，（﹣3，2，0），， 所以cos，cos，， 所以异面直线A1C1与EF所成角的余弦值为． 17．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣a+cosx+b． （1）当a＝0时，证明函数f（x）在（0，+∞）单调递增； （2）若函数f（x）在有极值，求实数a的取值范围； （3）若函数f（x）的图象在点（2π，f（2π））处的切线方程为x﹣y﹣2π＝0，求函数f（x）的零点个数． 【解答】解：（1）证明：当a＝0时，f'（x）＝ex﹣sinx， 若x＞0，则ex＞1，又因为sinx≤1，所以f'（x）＞0， 所以函数y＝f（x）在（0，+∞）单调递增； （2）f'（x）＝ex﹣a﹣sinx， 因为函数y＝f（x）在有极值，所以f'（x）＝0在有解， 又因为f'（x）＝ex﹣a﹣sinx在单调递增，所以， 所以，所以，所以， 即a的取值范围是（，+∞）； （3）因为函数y＝f（x）在点（2π，f（2π））处的切线方程为x﹣y﹣2π＝0， 所以f'（2π）＝e2π﹣a﹣sin2π＝1且f（2π）＝e2π﹣a+cos2π+b＝0， 解得a＝2π，b＝﹣2， 所以f（x）＝ex﹣2π+cosx﹣2，f'（x）＝ex﹣2π﹣sinx， 当x＞2π时，f'（x）＞0，所以y＝f（x）在（2π，+∞）单调递增， 且f（2π）＝e0+cos2π﹣2＝0，所以y＝f（x）在（2π，+∞）没有零点； 当x＝2π时，f（2π）＝e0+cos2π﹣2＝0， 当x＜2π时，f（x）＜e0+cosx﹣2＝cosx﹣1≤0， 所以y＝f（x）在（﹣∞，2π）没有零点． 综上所述，函数y＝f（x）的零点个数为1个． 18．（17分）某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为；前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐． （1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； （2）求w同学与S同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； （3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数． 【解答】解：（1）记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”， 则； （2）记事件Bi为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，i＝1，2，…， 则， 记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”， 则； （3）记事件Bi为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，i＝1，2，…， 则P（Bn）＝P（Bn﹣1）P（Bn|Bn﹣1）+P（）P（Bn|）， 所以， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即， 记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则X～B（2000，P（Bn））， 所以E（X）＝2000P（Bn）， 当n＞7时，， 所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人． 19．（17分）已知椭圆E的标准方程为：1（a＞b＞0），在这个椭圆上取2n（n≥3，n∈N）个点，这些点的坐标分别为，，连接PkQk，k＝0，1，…，n﹣1． （1）若直线P0Q0的斜率为，求椭圆E的离心率； （2）证明△OPkQk的面积为定值，并求多边形P0P1…Pn﹣1P0的面积（用n表示）； （3）若，，线段PkQk的中点为M，证明：∠AMQk＝∠BMPk． 【解答】解：（1）P0（a，0），Q0（0，b），所以直线P0Q0的斜率为，所以， 所以椭圆C的离心率． （2）证明：直线PkQk的方程为， 化简得， 所以原点O到直线PkQk的距离， 而， 所以， 同理可得 ， 所以多边形P0P1……Pn﹣1P0的面积为． （3）证明：设M（x0，y0），所以，， 所以，即， 所以M的轨迹方程为一个椭圆，A，B是该椭圆的焦点， 设，，， 点Pk，Qk的坐标可化为，， 所以，， 又因为（﹣c0﹣x0，﹣y0），（c0﹣x0，﹣y0）， 所以， ， 因为，所以∠AMQk＝∠BMPk， 所以∠AMQk＝∠BMPk． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/10 15:00:29；用户：李正才；邮箱：18396111335；学号：25240361 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$