专题培优课 三角函数中有关ω的范围问题讲义-2025届高三数学二轮复习

专题培优课 三角函数中有关 的范围问题 【考情分析】 在三角函数的图象与性质中,求 的取值范围是近几年高考的一个热点内容,但因其求法复杂,涉及的知识点多,历来是我们复习中的难点. 关键能力 题型剖析 题型一 利用三角函数的单调性求 的范围 例 1 [2024 河北石家庄模拟]已知函数f(x)=2cos (x-)cos x-2sin2x,若f(x)在区间上单调递减,则实数m的取值范围为( ) A. B. C.[) D.[) 题后师说 确定函数的单调区间,根据区间之间的包含关系,建立不等式,即可求 的取值范围. 巩固训练1 [2024 河南实验中学模拟]已知函数f(x)=sin( x+)( >0)的周期为T,且满足T>2 ,若函数f(x)在区间()不单调,则 的取值范围是( ) A.(,1) B.(,1) C.(,1) D.(,1) 题型二 利用三角函数的对称性求 的范围 例 2 [2024 江西景德镇模拟]已知函数f(x)=sin ( x+) ( >0)在区间上恰好有两条对称轴,则 的取值范围是( ) A.[) B.[) C.[) D.() 题后师说 三角函数的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,这就说明,我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换思想,建立关于 的不等式组,进而可以研究“ ”的取值范围. 巩固训练2 [2024 广东珠海模拟]已知函数f(x)=sin x+cos x( >0)的图象的一个对称中心的横坐标在区间()内,且两个相邻对称中心之间的距离大于,则 的取值范围为( ) A.(0,3) B.(,3) C.(0,) D.(1,3) 题型三 利用三角函数的最值(或值域)求 的范围 例 3 已知函数f(x)=2sin ( x+)( >0)在区间(-)上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数 的取值范围为( ) A.[,7) B.(,4) C.[4,) D.(,7) 题后师说 利用三角函数的最值与对称性或周期的关系,可以列出关于 的不等式(组),进而求出 的值或取值范围. 巩固训练3 [2024 辽宁大连模拟]已知函数f(x)=cos ( x-)(其中 >0)在(0, )上的值域为(,1],则 的取值范围是_. 题型四 利用三角函数的零点求 的范围 例 4 [2024 山西大同模拟]已知函数f(x)=2cos ( x+ ) ( >0,0< < )的最小正周期为T,若f(T)=,且f(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,则 的取值范围是( ) A.(] B.[) C.(] D.[) 题后师说 根据题意作出函数在定义域内的图象,将零点转化成函数y=f(x)与x轴的交点问题,结合图象得出 x+ 的范围,即可求解. 巩固训练4 [2024 江苏南京模拟]若函数f(x)=sin ( cos x)-1( >0)在区间(0,2 )恰有2个零点,则 的取值范围是( ) A.(0,) B.() C.() D.(,+∞) 1.[2024 江苏宿迁模拟]已知函数f(x)=sin ( x+),其中 >0.若f(x)在区间()上单调递增,则 的取值范围是( ) A.(0,4] B.(0,] C. D.(0, 2.[2024 河北承德模拟]若函数f(x)=2sin x在区间上存在最小值-2,则非零实数 的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.[6,+∞) C.(-∞,-2],+∞) D.(-∞, 3.[2022 全国甲卷]设函数f(x)=sin ( x+)在区间(0, )恰有三个极值点、两个零点,则 的取值范围是( ) A.[) B.[) C.(] D.(] 4.[2023 新课标 卷]已知函数f(x)=cos x-1( >0)在区间[0,2 ]有且仅有3个零点,则 的取值范围是_. 专题培优课 三角函数中有关 的范围问题 关键能力 题型剖析 例1 解析:f(x)=2cos (x-)cos x-2sin2x=2sinx cos x-2 =sin 2x-1+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)-1=2sin (2x+)-1,由x∈,则2x+∈,由题意,⊆,则≤2m+<,解得≤m<.故选C. 答案:C 巩固训练1 解析:已知f(x)=sin ( x+)( >0), 令 x+=k +(k∈Z),解得x=(k∈Z), 则函数f(x)对称轴方程为x=(k∈Z), ∵函数f(x)在区间()不单调, ∴<<,(k∈Z),解得4k+< <6k+1,k∈Z, 又由T>2 ,且 >0,得0< <1, 故仅当k=0时,< <1满足题意.故选C. 答案:C 例2 解析:因为f(x)=sin ( x+)( >0), 令 x+=k +,k∈Z,则x=,k∈Z, 函数f(x)=sin ( x+)在区间上有且仅有2条对称轴,即≤ 有2个整数k符合, 又在区间上恰好有两条对称轴, -=, ≥, 由≤ ,得≤1 2 ≤1+6k≤6 , 若k=1,2,则∴≤ <; 若k=2,3,则∴< <. 故选A. 答案:A 巩固训练2 解析:因为f(x)=sin x+cos x=sin ( x+)( >0), 因为函数f(x)的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于, 所以函数f(x)的最小正周期T满足T>,即>,则0< <3, 由 x+=k (k∈Z)可得x=(k∈Z), 因为函数f(x)的图象的一个对称中心的横坐标在区间()内, 则<<,可得< <4k-1, 又因为0< <3且 存在,则,解得<k<, 因为k∈Z,则k=1,所以< <3.故选B. 答案:B 例3 解析:因为f(x)在区间(-)上恰有一个最大值点和一个最小值点, 所以-(-)>,所以 >. 令t= x+,当x∈(-)时,t∈(- + +), 于是f(x)=2sin ( x+)在区间(-)上的最值点个数等价于g(t)=2sin t在(- + +)上的最值点个数. 由 >知,- +<0, +>0, 因为g(t)在(- + +)上恰有一个最大值点和一个最小值点, 所以解得< <4. 答案:B 巩固训练3 解析:因为x∈(0, ),所以 x-∈(-, -), 因为函数f(x)=cos ( x-)(其中 >0)在(0, )上的值域为(,1],所以0< -,解得 ∈(]. 答案:(] 例4 解析:由题意f(x)=2cos ( x+ )( >0,0< < )的最小正周期为T,则T=, 又f(T)=,可得cos ( + )=,即cos =, 又0< < ,所以 =, f(x)=2cos ( x+)在区间[0,1]上恰有3个零点, 当x∈[0,1]时, x+∈[, +], 结合函数y=cos x的图象如图所示: 则y=cos x在原点右侧的零点依次为,…, 所以≤ +<,解得≤ <,即 的取值范围为[).故选D. 答案:D 巩固训练4 解析:令t= cos x,∵x∈(0,2 ),∴t∈[- , ), 由于x∈(0, )时,t= cos x有两个零点; 则等价于sin t-1=0,t∈[- , )有1个根, ∴原题等价于y=sin t,t∈(- , )与y=1有一个公共点,如图, 则- >-且 >,所以< <.故选B. 答案:B 随堂检测 1.解析:由-+2k ≤ x++2k ,k∈Z解得-≤x≤,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.因为f(x)在区间()上单调递增,所以T≥2()=,所以0< ≤4. 当k=0时,由f(x)在区间()上单调递增可知,得0< ≤;当k=1时,由解得≤ ≤3;当k=2时,无实数解.易知,当k≤-1或k≥2时不满足题意.综上 的取值范围为(0,.故选D. 答案:D 2.解析:①若 >0,则- ≤ x≤ , 因为函数f(x)=2sin x在区间上存在最小值-2, 所以- ≤-,得到 ≥; ②若 <0,则 ≤ x≤- , 因为函数f(x)=2sin x在区间上存在最小值-2, 所以 ≤-, ≤-2. 所以非零实数 的取值范围是(-∞,-2],+∞). 故选C. 答案:C 3.解析:因为f(x)=sin ( x+),结合选项,只考虑 >0.当 x+=+k (k∈Z),即x=(k∈Z)时,f(x)取得极值.又因为f(x)在区间(0, )上恰有三个极值点,所以解得< ≤.当 x+=k (k∈Z),即x=-(k∈Z)时,f(x)=0.又因为f(x)在区间(0, )上恰有两个零点,所以解得< ≤.综上可得, 的取值范围是(].故选C. 答案:C 4.解析:函数f(x)=cos x-1在区间[0,2 ]有且仅有3个零点,即cos x=1在区间[0,2 ]有且仅有3个根,根据函数y=cos x在[0,2 ]上的图象可知,cos x=1在区间[0,2 ]有2个根,所以若cos x=1在区间[0,2 ]有且仅有3个根,则函数y=cos x在[0,2 ]内至少包含2个周期,但小于3个周期,即,又 >0,所以2≤ <3,即 的取值范围是[2,3). 答案:[2,3) 学科网(北京)股份有限公司 $$