精品解析：河南省开封市兰考县2024-2025学年九年级数学上学期期末学业水平测试试卷

2024—2025学年第一学期期末考试 九年级数学 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（　　） A B. C. D. 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 4. 从-2，-1，+1，0，2，五个数中任选一个数作为m的值，能使得是关于x的完全平方式的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知平行四边形ABCD．点E在DC上，DE：EC=2：1．连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ） A. 4：9 B. 1：3 C. 1：2 D. 2：3 6. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，点G为的重心，若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系中，已知点O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），点P是反比例函数图象上一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 计算：÷×＝________． 12. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15=0的根，则该等腰三角形的周长为________． 13. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，如果AD=1，那么tan∠BCD=_____． 14. 二次函数，当时，的最大值和最小值的和是_______． 15. 如图，点是边长为3的等边的边上一动点，沿过点的直线折叠，使点落在上，对应点为，折痕交于点，若点是的一个三等分点，则的长为_____． 三、解答题．（共75分） 16. 计算． （1） （2） 17. 解方程． （1） （2） 18. 为了解市民对全市创文工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图． 请结合图中信息，解决下列问题： （1）求此次调查中接受调查的人数． （2）求此次调查中结果为非常满意的人数． （3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率． 19. 为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．已知斜坡为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米，参考数据：） 20. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，在中，过点B作于点E，连结，F上一点，且 （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 23. 已知四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点G． 特例解析： 　　 （1）如图1，若四边形是矩形，且，求证：； 类比探究： （2）如图2，若四边形是平行四边形，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末考试 九年级数学 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，根式无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案． 【详解】解：如图： ∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4， ∴BC＝＝＝1， ∴cosB＝＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，解题的关键是掌握余弦：锐角B的邻边a与斜边c的比叫做∠B的余弦，记作cosB． 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，把代入，得到，的等式，转化为求代数式的值问题即可，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 故， ， 故选：D． 4. 从-2，-1，+1，0，2，五个数中任选一个数作为m的值，能使得是关于x的完全平方式的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】共有5种等可能出现结果情况，其中能构成完全平方式的有2种，从而得到相应的概率． 【详解】解：∵， ∴当m=-2，2时，能使得是关于x的完全平方式， ∴能使得是关于x的完全平方式的概率是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求概率，完全平方公式，熟练掌握概率公式，完全平方公式是解题的关键． 5. 如图，已知平行四边形ABCD．点E在DC上，DE：EC=2：1．连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ） A. 4：9 B. 1：3 C. 1：2 D. 2：3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC=2：1，即可得出△DEF与△BAF的周长之比，此题得解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴△DEF∽△BAF． ∵DE：EC=2：1， ∴△DEF与△BAF的周长之比为2：3 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 6. 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根． 【详解】△=(k-3)2-4(1-k) =k2-6k+9-4+4k =k2-2k+5 =(k-1)2+4， ∴（k-1）2+4＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 7. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 8. 如图，点G为的重心，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心，三角形的重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，然后根据求出的值即可，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键. 【详解】解：为的重心， ， ，， ，即， ， ． 故选：B． 9. 平面直角坐标系中，已知点O（0，0）、A（0，2）、B（1，0），点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】∵点P在反比例函数图象上， ∴设点P（x，y）， 当时，则， 又，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴点P或； 同理，当时， 得或； 故相应的点P共有4个． 故选：D． 10. 如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 计算：÷×＝________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将被开方数相乘除计算即可. 【详解】原式＝， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 12. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15=0的根，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】19或21或23　 【解析】 【详解】试题分析：解方程x2﹣8x+15=0得x=3或x=5，分以下几种情况：①当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；②当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；③当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；④当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23， 考点：一元二次方程的解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 13. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，如果AD=1，那么tan∠BCD=_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】证明△BCD为直角三角形，运用三角函数定义求解． 【详解】解：∠A＝45°，AD＝1， ∴sin45°＝＝， ∴DE＝． ∵∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点， ∴AE＝DE＝CE＝，∠ADC＝90°． ∴BD＝AC﹣AD＝﹣1， ∴tan∠BCD＝＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，同时考生需要注意三角函数的运用． 14. 二次函数，当时，的最大值和最小值的和是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值． 【详解】抛物线的对称轴是x＝1， 则当x＝1时，y＝1−2−3＝−4，是最小值； 当x＝3时，y＝9−6−3＝0是最大值． 的最大值和最小值的和是-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键． 15. 如图，点是边长为3的等边的边上一动点，沿过点的直线折叠，使点落在上，对应点为，折痕交于点，若点是的一个三等分点，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】两种情形：①如图1中，当时，设，②如图2中，当时，利用相似三角形的性质求解即可．本题考查翻折变换，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：依题意， ①如图1中，当时，设， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴+=3， ∴． ②如图2中，当时， 由，可得， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题．（共75分） 16. 计算． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数，二次根式的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算，二次根式的混合运算，进行解答，即可． （1）根据，，实数的混合运算，进行计算，即可； （2）先计算二次根式的乘除，然后根据二次根式的加减，进行计算，即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 18. 为了解市民对全市创文工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图． 请结合图中信息，解决下列问题： （1）求此次调查中接受调查的人数． （2）求此次调查中结果为非常满意的人数． （3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率． 【答案】（1）50；（2）18；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由满意的有20人，占40%，即可求得此次调查中接受调查的人数． （2）由（1），即可求得此次调查中结果为非常满意的人数． （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自甲区的情况，再利用概率公式即可求得答案． 试题解析：（1）∵满意的有20人，占40%，∴此次调查中接受调查的人数：20÷40%=50（人）； （2）此次调查中结果为非常满意的人数为：50﹣4﹣8﹣20=18（人）； （3）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有2种情况，∴选择的市民均来自甲区的概率为：=． 考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 19. 为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．已知斜坡为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】斜坡的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，过点作于，设米，根据坡度用表示出，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，进而求出，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． ，， ， 设米， 斜面的坡度， ， 米， 由勾股定理得：米， 在中，，米． ， （米， 米，即米， ， 则米， 答：斜坡的长约为10.3米． 20. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中， （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得： ，解得：， ∴y关于x的函数解析式为； （2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得： ， ∴-2＜0，开口向下，对称轴为， ∵， ∴当时，w有最大值，即为； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 21. 如图，在中，过点B作于点E，连结，F为上一点，且 （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数，利用相似三角形对应线段成比例求线段的长是解题的关键． （1）利用可得，再利用已知条件可证． （2）由，可得，在中，利用得出的值，从而求出的长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ． 又， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 在中，， ． ． ． ． ． ． 即的长为． 22. 已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 【答案】（1）； （2）①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或． 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围． （1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式； （2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可； ②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为， ， ，， 当四边形正方形时，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 或者， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为1或0； ②根据①可知：当或时，， 当时，， ， 当或时，， 当时，的取值范围为或． 23. 已知四边形中，E，F分别是边上点，与交于点G． 特例解析： 　　 （1）如图1，若四边形是矩形，且，求证：； 类比探究： （2）如图2，若四边形是平行四边形，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再根据同角的余角相等得到，从而可证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明结论； （2）如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$