专题01 数与代数-2025年小升初数学备考真题分类汇编（浙江专版）

2024－2024学年小升初数学备考真题分类汇编（浙江专版） 专题01 数与代数 考点分布 考点内容 命题焦点 数的认识 ①因数与倍数的关系 ②质数、合数及分解质因数 ③2、3、5的倍数特征与奇偶性 ④分数与百分数的意义及互化 ⑤最大公因数与最小公倍数的计算 ①因数与倍数不能单独存在，需明确“谁是谁的因数/倍数 ②质因数分解中排除1，注意最小质数 ③分数应用题中的“单位1”是否明确“平均分” 数的运算 ①整数、小数、分数的四则运算 ②运算定律 ③近似值与科学记数法 ④复杂算式的简便运算 ①运算顺序错误（如先算括号外后括号内） ②近似值的四舍五入规则（如精确到某一位的判断） 式与方程 ①用字母表示数与数量关系 ②一元一次方程解法 ③方程的实际应用 ①方程解法的步骤规范性（如移项符号错误） ②实际问题中变量关系的抽象（如设未知数的技巧） 比和比例 ①比的意义与基本性质 ②比例的意义、性质及解比例 ③正比例与反比例的判断 ④比例尺应用与单位换算 ①比例中内外项乘积关系（如互为倒数的应用） ②正反比例的实际情境判断（如路程与时间的关系） 探索规律与综合 ①数列规律 ②数形结合问题 ③代数与几何综合题 ①规律探索中的递推关系（如分形数列） ② 综合题中多知识点交叉（如方程与几何结合） ——重难点题型导览—— 数的读写与单位换算 10 分数与百分数的应用 11 比例与比例尺 15 方程与代数式 19 一、数的意义和性质 1.数的分类 （1） （2） （3） 2.数的意义 整数：像…－3、－2、－1、0、1、2、3…这样的数，整数有无限个，没有最小的整数，也没有最大的整数。 正整数和负整数：像1、2、3…这样的数叫作正整数，像…－3、－2、－1这样的数叫作负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，最大的负整数是－1吗，没有最小的负整数。 自然数：像0、1、2、3、4、5…这样的数，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 正数和负数：像＋5、125、、、1.26…这样大于0的数叫作正数，像－8、－20、、、－3.22…这样小于0的数叫作负数，0既不是正数也不是负数。 分数：把单位“1”平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数。 小数：把单位“1”平均分为10份、100份、1000份…，这样的一份或几份可以用分母是10、100、1000…的分数来表示，也可以用小数来表示。 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数，也叫作百分率或百分比。 3.数位 整数部分 小 数 点 小数部分 … 亿级 万级 个级 数 位 … 千 亿 位 百 亿 位 十 亿 位 亿 位 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 · 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 … 计 数 单 位 … 千 亿 百 亿 十 亿 亿 千 万 百 万 十万 万 千 百 十 个 十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 万 分 之 一 … 4.性质 分数 分子和分母同乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。 小数 末尾添去0，大小不变。 小数点移动 右移1位、2位、3位…扩大为原来的10倍、100倍、1000倍… 左移1位、2位、3位…缩小为原来的、、… 二、数的读写 读法 写法 整数 先把数分级，再从高位起，一级一级地读，每一级末尾的0都不读，每一级中间有1个0或连续几个0，都只读一个零。 2502502500读作：二十五亿零二百五十万二千五百 从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 三亿零二百万三千写作：302003000 小数 整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字 250.025读作：二百五十点零二五 整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 一百八十二点零零七三写作：182.0073 分数 先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 读作：十分之一 读作：三又十分之一 先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 三分之一写作： 二又五分之一写作： 百分数 先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 25%读作：百分之二十五 在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 百分之十点五写作：10.5% 正数 “＋”读作正，“＋”后面十几就读几。 ＋50读作：正五十 在数的前面加“＋”，“＋”可以省略不写。 正三写作：＋3 负数 “－”读作负，“－”后面十几就读几。 －20读作：负二十 在数的前面加“－”，“－”不可以省略。 负二分之一写作： 三、数的改写 1.四舍五入（≈） 在求近似数时，如果被舍去部分的首位数字小于5，就直接舍去；如果被舍去部分的首位数字等于5或大于5，就在保留部分的末位上加1。要求把小数保留到哪一位，先看这一位后一位上的数字，再按“四舍五入”法省略。 2.多位数改写为“万”、“亿”… （1）直接改写：改写为“万”，小数点左移4位，后面加万；改写为“亿”，小数点左移8位，后面加亿； （2）近似改写：先四舍五入省略掉“万”或“亿”后面的尾数，再在后面加“万”或“亿”。 3.假分数、带分数、整数互化 （1）假分数→整数、带分数 分子÷分母＝商……余数→（余数≠零，则假分数＝；余数＝零，则假分数＝商） （2）带分数→假分数 假分数＝ 4.小数、分数、百分数互化 （1）小数→分数：先改写成分母是10、100、1000…的分数，再约分； （2）分数→小数：分子÷分母； （3）小数→百分数：先把小数点右移两位，再添加“%”； （4）百分数→小数：先把小数点左移两位，再去掉“%”； （5）分数→百分数：先把分数化为小数，再写成百分数； （6）百分数→分数：先写成分数，再约分。 四、比较大小 整数：位数不同时，位数多的整数大；位数相同时，同一高位上的数越大，这个整数就越大。 小数：整数部分大的小数越大；整数部分相同时，看小数部分，十分位上的数大的那个数就越大；十分位上相同，则依次比较百分位上的数…… 分数：真分数或假分数，分母相同时，分子越大的分数越大；分子相同时，分母越小的分数越大；分子或分母不同时，先化为同分母或同分子的分数再比较；带分数，先比较整数部分，整数部分大分数越大；整数部分相同时，比较分数部分；带分数或假分数，先统一成带分数或假分数，再进行比较。 小知识：分数比较大小的方法 通分子：分子相同，分母越小，分数越大。 通分母：分母相同，分子越大，分数越大。 比倒数：倒数大的分数小。 交叉相乘法：比较和的大小，如果ac＞bd，说明大，反之大。 基准数法：与1、等特殊数比较。 投篮法：两个真分数，如果分子与分母差相同，则分子和分母都大的分数比较大；两个假分数，如果分子与分母差相同，则分子和分母都小的分数比较大。 作差法：差大于0，则被减数大；不够减，则减数大。 作商法：商大于1，则被除数大；商小于1，则除数大。 五、因数、倍数、质数、合数 1.因数、倍数 如果a÷b＝c(a、b、c均为正整数且b≠0)，除得的商是整数而没有余数： （1）我们就说a能被b整除，或者说b能整除a； （2）a是b、c的倍数，b、c是a的因数； （3）倍数和因数是相互依存的。 小知识：特殊数整除性判定 末位判断法：看末一位是否为偶数可被2整除，是否为0、5可被5整除；看末二位是否能被4整除，是否能被25整除；看末三位是否能被8整除，是否能被125整除。 数字和判断法：各数位数字和能被3整除，和能被9整除。 2.奇数、偶数 偶数：在自然数中，是2的倍数的数，如0、2、4、6、8、10…； 奇数：在自然数中，不是2的倍数的数，如1、3、5、7、9、11…。 3.质数、合数 质数：只有1和它本身两个因数的数。100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97； 合数：除了1和它本身外还有别的因数的数。 1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都叫作这个合数的质因数； 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，例如28分解质因数：28＝2×2×7。 4.最大公因数、最小公倍数 最大公因数：几个数公共有的因数，其中最大的一个。 最小公倍数：几个数公共有的倍数，其中最小的一个。 小知识：互质关系 ①1和任何自然数互质； ②相邻的两个自然数互质； ③两个不同的质数互质； ④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； ⑤两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质； ⑥如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质； ⑦如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。 六、数的运算 1.四则运算方法 整数 小数 分数 加法 相同数位对齐，从低位加起，满十向高位进一。 小数点对齐,按照整数加减法计算,结果小数点对齐 同分母相加减，分母不变，分子相加减;异分母相加减,先通分，然后按同分母法则计算;结果化简。 减法 相同数位对齐,从低位减起，不够向高位借一。 乘法 从低位到高位分别用一个因数的每一位去乘另一个因数，积的末位和一位数因数末位对齐,乘积相加。 先按照整数乘除法计算，再看看因数中一共有几位小数,就左起数几位点商小数点。 分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变;分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母;化简。 除法 从被除数的最高位除起,除数有几位，就看被除数的前几位，如果前几位比除数小， 就多取一位再除,除到哪一位，商就写在哪一位的上面;如果哪一位商不够商1，就在 哪一位写“0”占位;余数必须比除数小。 除数是整数，先按照整数除法法则去除，商的小数点和被除数的小数点对齐;除数是小数，先把它变成整数，除数扩大相同的倍数，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。 2.四则运算的顺序 先乘除，后加减；左向右，依次算；有括号，最优先。 3.运算律和运算性质 （1）运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：a＋b＋c＝a＋(b＋c) 乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：a×b×c＝a×(b×c) 乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c （2）运算性质 减法性质：a－(b＋c)＝a－b－c 除法性质：a÷(b×c)＝a÷b÷c 七、解决问题 1.基本应用题 类型 公式 和差倍 和倍 “1”＝和÷（倍＋1） 差倍 “1”＝和÷（倍－1） 和差 大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2 归一问题 正归一 单一量×份数＝总量 反归一 总量÷单一量＝份数 还原问题 逆运算推导原数 基本 间距数＝总长÷间距长 直线植树 两端都种：棵树＝间距数＋1 两端都不种：棵树＝间距数－1 一端种一端不种：棵树＝间距数 环形植树 棵树＝间距数 盈亏问题 盈亏 份数＝（盈＋亏）÷分配差 盈盈 份数＝（大盈－小盈）÷分配差 亏亏 份数＝（大亏－小亏）÷分配差 年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题 鸡兔同笼 假设法 假设全是鸡，少了几条腿；除以腿的差，就是兔的数 平均数 算术平均数 数量和÷数量＝算术平均数 加权平均数 （部分×权数）总和÷权数和＝加权平均数 行程问题 基本行程 速度×时间＝路程 相遇问题 速度和×相遇时间＝路程和 追及问题 速度差×追及时间＝路程差 流水行船 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 火车过桥 路程和＝车长＋桥长 量率对应 分率＝分率对应量÷单位“1” 经济问题 利润问题 利润＝售价－成本 利润率＝利润÷成本×100% 毛利率＝利润÷售价×100% 打八折：按定价的80%出售 利息问题 利息＝本金×利率×时间 利息税＝本金×利率×时间×税率 浓度问题 溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量 浓度＝溶质质量÷溶液质量×100% 溶液质量×浓度＝溶质质量 溶质质量÷浓度＝溶液质量 工程问题 工作效率×工作时间＝工作总量，有时也会有单位“1” 2.常用单位换算 换算方法 长度 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1米＝100厘米 1厘米＝10毫米 面积 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体（容）积 1立方米=1000立方分米=1000升 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤 1斤=500克 人民币 1 元=10 角 1角=10分 1元=100分 时间 1世纪=100年 1年=12月 一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八；平年365天，闰年366天 1小时=60分钟 1分钟=60秒 1小时=3600 秒 十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪 八、式与方程 解方程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 列方程解应用题：审题→设未知数（一般求谁设谁）→列方程（根据题意的等量关系）→解方程→检验（检查计算正确与否，检查所求答案是否符合题目中的真实情境）→答 九、比和比例 1.比的意义和性质 内项之积＝外项之积 2.比与分数、除数的关系 联系 举例 比 前项 比号 后项 比值 2：3 分数 分子 分数线 分母 分数值 除法 被除数 除号 除数 商 2÷3 3.正比例、反比例 正比例：两种量商一定，x÷y＝k（k一定） 反比例：两种量积一定，xy＝k（k一定） 4.比例尺 比例尺＝图上距离：实际距离 数的读写与单位换算 数的读写 1．（2024金华）金华市第一季度GDP为118662000000元，横线上的数读作( )元，改写成用“万”作单位的数是( )万元，省略亿后面的尾数约是( )亿元。 2．（2024嘉兴）截止2023年末，我国普通小学在校学生一亿零八百三十六万零二百五十三人，横线上的数写作( )，省略万后面的尾数约是( )万人。 3．（2021杭州）据全国铁路部门数据显示，2021年5月1日至5日，全国铁路共发送旅客7850.28万人次，横线上的数读作( )；国家铁路共发送货物5264万吨，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是( )亿。 4．（2019宁波）小明在读一个小数时，把小数点丢了，结果读成两万零四百零八，原来的小数只读一个零，原来这个小数是( )。 5．（2024金华）我国地域辽阔，国土面积约为960万平方千米，居世界第三位。其中，耕地面积约占百分之四十，林地面积约占百分之二十四，园地、交通及其他用地约占百分之八，未利用的土地约占百分之二十六。 (1)写出横线上的百分数：( )、( )、( )。 (2)未利用的土地约占百分之二十六，表示的意思是( )。 6．（2019浙江）写出下面的百分数，说说每个百分数的含义。 （1）三峡工程建设资金来源中，三峡基金占百分之四十九。 （2）汽车是大气污染最大的污染源，百分之六十至百分之九十的大气污染来自汽车。 单位换算 7.（2024嘉兴）米( )厘米     1小时15分( )小时 8.（2024湖州）6.2吨＝( )千克    1小时15分＝( )小时 9.（2023金华）在下面（    ）里填上合适的数。 2元8分＝( )元            ( )吨＝4吨50千克 0.6米＝( )厘米            ( )平方米＝560平方分米 10.（2020浙江）（1）元＝( )角    （2）580( )t （3）3时15分＝( )时    （4）3.07( )( ) 11.（2024宁波）45分＝( )时             公顷＝( )平方米 60千克＝( )吨             25毫升＝( )立方分米 12.（2024嘉兴）100分＝( )时     150毫升＝( )立方分米 平方千米＝( )公顷    2.02吨＝( )吨( )千克 分数与百分数的应用 分数运算 13.（2024杭州）在计算的过程中，下列方法不正确的是（    ）。 A．把它们转化成计数单位相同的分数，可以得到： B．把分数化成小数，可以得到： C．根据商不变的性质，可以得到： D．根据分数与除法的关系，可以得到： 14．（2024宁波）用合理的方法计算。                                15．（2024嘉兴），。照这样的方法，( )÷( )（填整数）。 16．（2024衢州）计算下面各题。                                        17．（2024金华）用合适的方法计算下面各题。 18．（2024绍兴）计算，能简算的要简算。 （－25%＋）×24            0.375×＋÷ ×8×6.5×                 ÷[（＋）×3] 百分率问题 19．（2024杭州）在含盐25%的盐水中加入25克盐和100克水，这时盐水的含盐率（    ）。 A．等于25% B．小于25% C．大于25% D．无法判断 20．（2024宁波）根据中国传统礼仪，给客人倒水时应倒满茶杯的，图中的一壶水最多可以倒（    ）杯（满杯为100毫升）。 A．17 B．17.5 C．20 D．18 21．（2024嘉兴）下列百分率中，可能超过100%的是（    ）。 A．花生的出油率 B．种子的发芽率 C．解题的正确率 D．营业额的增长率 22．（2024衢州）10月11日上午柯城区核酸检测演练，因此到8点整，全校学生的出勤率为，这里的表示( )。全校1200人。此时还有( )人未到校。接下去的10分内，又有66人进入校门，此时的出勤率为( )。 23．（2024金华）将60克盐放入240克水中，盐水的含盐率是( )；如果再加入100克水，盐水的含盐率是( )。 24．（2024绍兴）只列式不计算。 安安做了50道口算题，错了5题。安安做题的正确率是多少？ 列式： 折扣问题 25．（2024衢州）( )÷32＝＝( )＝( )折。 26．（2023杭州）某儿童商场在六一儿童节期间开展优惠活动，规定： ①如果一次购物不超过200元，不予折扣； ②如果一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），按标价给予九折优惠，也就是按定价的90%出售； ③如果一次购物超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超500元部分给予八折优惠。王阿姨两次去该商场购物，分别付款160元和360元，求： （1）王阿姨第二次购物商品的标价是多少元？ （2）如果王阿姨一次性去购买这两次买到的商品，可以比已经用去的钱节省多少元？ 27．（2024金华）国庆大促销，A商场所有商品一律八折出售，B商场每满300元减50元，如果要购买一台1350元的微波炉，到哪家商场买合算？ 28．（2024宁波）爸爸在网上买一件上衣，两家网店的原价都是280元。爸爸选择哪家店买更省钱？请计算说明。     29．（2024杭州）周老师要买60个小足球，三个店的小足球单价都是25元，你认为王老师到哪个店去买比较合算？（    ） 三个店的优惠情况如下： 甲店：每买10个送2个； 乙店：打八折优惠； 丙店：购物每满200元，返现金30元。 A．甲店 B．乙店 C．丙店 D．都一样 30．（2024杭州）某种商品因换季准备打折出售，按定价打七五折出售将赔本25元，按定价打九折出售将盈利35元。这种商品的定价是( )元；妈妈今天以八折的价格购得一个书包，比原价便宜了a元，这个书包原价是( )元。 浓度混合问题 31．（2024杭州）化学兴趣小组的同学配制了10千克的高锰酸钾溶液，溶液的含水量是，蒸发后，含水量下降到，此时溶液重多少千克？ 32．（2023宁波）甲容器中有500克盐水，乙容器中有500克水，先将甲中一半的盐水到入乙，充分搅拌；在将乙中一半的盐水到入甲，充分搅拌；最后将甲中盐水的一部分倒入乙，使甲、乙的盐水重量相同。求此时乙中盐水的浓度是多少？ 33．（2024嘉兴）有一个大瓶子，里面装有浓度为的酒精溶液2000克，现倒入50克种酒精溶液和350克种酒精溶液，已知两种溶液的浓度比为，得到的混合溶液的浓度是，则种酒精的浓度是( )。 34．（2022绍兴）已知甲瓶盐水的浓度是，乙瓶盐水的浓度是，混合后的浓度是，那么瓶甲瓶盐水和1瓶乙瓶盐水混合后的浓度是( )。 35．（2024金华）一瓶纯酒精，倒出一半后加满水混合；然后又倒出溶液，再用水加满；最后又倒出一半，再加满水。如此三次后，瓶中酒精浓度为( )。 36．（2024浙江）常用的医用酒精有两种，浓度分别是和，用于物理降温时，通常把酒精稀释成浓度为。妈妈购买了一瓶500毫升浓度是的酒精，加入( )毫升的纯净水，能稀释成浓度为的酒精。（本题中稀释是指对现有酒精溶液加入纯净水，使其浓度减小的过程） 比例与比例尺 正反比例判断 37．（2024湖州）已知：a÷b＝，那么下面说法正确的是（    ）。 A．a和b成正比例 B．a和b成反比例 C．3a＝4b D．b是a的 38．（2024金华）下面各组中的两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．一个圆的半径和它的面积 B．看一本书，每天看的页数和看完的天数 C．一个圆的周长和直径 D．买同一种苹果，买的数量与付的金额 39．（2024杭州）加工同一批零件，师傅用了8分钟，徒弟用了10分钟。下列说法不成立的是（    ）。 A．师傅的工作效率比徒弟高 B．师傅的工作效率和工作时间成正比例 C．师傅的用时比徒弟少 D．徒弟5分钟做的量，师傅只需4分钟 40．（2024杭州）我们在小学阶段学了很多数学知识，它们之间有着密切联系。下面选项中，表示它们之间关系错误的是（    ）。 A． B． C． D． 41．（2024杭州）三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果A一定，那么B和C成( )比例关系；如果C一定，那么A和B成( )比例关系。 42．（2024杭州）下面每题中的两种量，成正比例关系的是（    ）。 A．一条路，未修的长度与已修的长度 B．圆柱的体积一定，它的底面积和高 C．报纸的单价一定，订阅的份数与总价 D．小伟年龄和他的体重 比例尺计算 43．（2024杭州）在一幅1∶5000000的地图上量得甲乙两地之间的距离是5.1厘米，则两地的实际距离是( )千米；如果把它画在比例尺是1∶15000000的地图上，应画( )厘米。 44．（2015浙江）在标有比例尺1∶4000000的地图上量得甲乙两地相距9厘米，一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向而行，2小时相遇，已知客车与货车的速度比为5∶4，求客车的速度是多少？ 45．（2023湖州）“如东→南通→苏州→湖州”城际铁路（南浔至长兴段）起于苏浙省界南浔镇沈庄洋村，终于长兴站，线路全长64.8km，设计速度160km/h。现需要将这幅图画在长60cm，宽50cm的长方形图纸上，你认为选比例尺是（    ）最合适。 A．1∶10000000 B．1∶100000 C．1∶10000 D．1∶100 46．（2014浙江）在比例尺是1∶8的图纸上，甲、乙两个圆的直径比是2∶3，那么甲、乙两个圆实际的直径比是（    ）。 A．1∶8 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶4 47．（2022温州）在比例尺1∶10000000的地图上，量的苍南县到杭州距离是3.6厘米。苍南县到杭州的实际距离是多少？ 48．（2021温州）有四张图，比例尺分别如下，图中5厘米长的线段表示的实际距离最长的是（    ）。 A．1∶3000000 B． C． D．50∶1 地图应用题 49．（2024宁波）观察下图，并根据要求填空或画图。 （1）5G信号塔在百货公司（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）米处。 （2）信号塔的信号覆盖区域是距离信号塔400米的圆形区域，请在图中画出信号覆盖范围。 （3）公园在百货公司东偏南70°方向200米处，公园在信号覆盖范围吗？（    ）（填“在”或“不在”）。 50．（2024嘉兴）以学校为观测点，广场在学校西偏北的方向上，下面正确表示广场位置的是（    ）。 A． B． C． D． 51．（2024杭州）程序员在给机器人设计行进路线图，下图中每个小正方形的对角线代表的长是10m，机器人从☆的位置向西偏南45°方向移动20m，机器人将移动到点（    ）。 A． B． C． D． 52．（2024温州）下图是两个城市的位置图，先观察，再回答下列问题。 （1）从青城看，蓝城位于（    ）偏（    ）（    ）°方向；从蓝城看，青城位于（    ）偏（    ）（    ）°方向。 （2）有两辆汽车分别同时从青城和蓝城相对开出，客车速度为80千米/时，货车速度为50千米/时。请你在图中用△标出两车相遇的大致位置。 53．（2024绍兴）如图，下面说法正确的是（    ）。 A．妙妙在甜甜北偏东30°方向 B．甜甜在妙妙西偏南60°方向 C．甜甜在妙妙的南偏西60°方向 D．妙妙在甜甜的东偏北60°方向 54．（2024金华）以小明家为观测点，根据下面条件在平面上标出各地的位置。（比例尺1∶100000） （1）学校在小明家北偏东70°的方向上，距离小明家2千米处。 （2）书店在小明家西偏南60°的方向上，距离小明家3千米处。 方程与代数式 解方程 55．（2024宁波）解方程或求比值。                      56．（2024杭州）解方程。                57．（2024衢州）解方程。              58．（2024金华）解方程。          59．（2024湖州）解方程。            3.2x－4×3＝52 60．（2024绍兴）解方程。 （－4）＝                    0.25×＋30%＝ 列方程解应用题 61．（2024杭州）每逢节日，百货公司就要举行促销活动，“元旦”的活动是：满200元减100元，满300元减150元，满400元减200元，……（以此类推，上不封顶）。 (1)如果李阿姨要买一套原价750元的服装，那么实际上的折扣率是 。（除不尽时，百分号前保留一位小数） (2)某品牌的帽子连续降价两次，每次都降价10%，现价是32.4元，这顶帽子的原价是 元。 62．（2024湖州）一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克，比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克。求一片国槐树叶一年的平均滞尘量。 63．（2024绍兴）动车速度是每小时行230千米，比高速列车速度的多38千米，高速列车每小时行多少千米？（用方程解答） （1）根据题目信息，请你把下面的线段图补画完整。 高速列车： 动车： （2）等量关系： （3）根据等量关系列方程解答。 64．（2024宁波）一套儿童服装，裤子的价钱是上衣的，上衣比裤子贵40元，裤子和上衣的价格各多少元？（用方程解答） 65．（2024金华）瓶子里装有饮料0.48千克，喝去的是余下的20%，喝去( )克。 66．（2021杭州）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ （1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； （2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多。 一、填空题（共20分） 1．（2024杭州）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到 个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为 平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 2．（2024杭州）买来1000千克蘑菇，含水率是96%，经晾晒后含水率下降到90%，晾晒后蘑菇的质量是( )千克。 3．（2024宁波）录入一份文件，王强用了20分钟，李明用了16分钟。王强比李明打字速度要慢( )%。如果两人合作录入，( )分钟能完成任务。 4．（2024宁波）六（1）班男生比女生多，那么男生和女生人数的最简单的整数比是( )，女生人数是全班人数的( )。 5．（2024嘉兴）完成相等的工作量，甲用了35分钟，乙用了45分钟。甲、乙两人工作效率的最简整数比是( )。 6．（2024宁波）54的是( )，m是m的( )，60t比( )t少60%。 7．（2024宁波）选择下面的百分数填空。 105%  65%  96%  35%  2% (1)某生产车间经过技术改良生产效率大幅提升，现在的效率是原来的( )。 (2)工程队修建一段水渠，已经完成( )，还剩下整条水渠的( )。 8．（2024嘉兴）“、、、”四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 9．（2024嘉兴）聪聪用小棒摆了4个树状图，以下是树状图变化的规律： (1)按此规律继续摆下去，第5个树状图要用( )根小棒。 (2)按此规律继续摆下去，第( )个树状图要用1023根小棒。 10．（2024衢州）我国约有660个城市，其中约的城市供水不足。在这些供水不足的城市中，又约有的城市严重缺水。全国严重缺水的城市大约有( )个。 二、判断题（共10分） 11．（2022绍兴）一件衣服先涨价10%，再降价10%，现在的价格和原来相同。( ) 12．（2014宁波）一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 13．（2023绍兴）足球的个数比排球多，也就是足球的个数是排球的。( ) 14．（2024杭州）。( ) 15．（2024宁波）从学校走到少年宫，军军用了10分钟，彬彬用了15分钟，则军军与彬彬的速度比是2∶3。( ) 三、选择题（共10分） 16．（2024杭州）李叔叔把m元钱存入银行，存五年定期，按年利率1.8%计算，到期后连本带息可取出n元。下列等式正确的是（    ）。 A．m＝n÷（1.8%×5） B．n＝m＋m×1.8% C．m＝n×（1＋1.8%×5） D．n＝m＋m×1.8%×5 17．（2024宁波）“书法小组有30人，___________，航模小组有多少人？”在横线上填入合适的条件，可以用算式“30÷（1－）”来解决，你选择的信息是（    ）。 A．书法小组的人数比航模小组少 B．航模小组的人数比书法小组少 C．书法小组的人数是航模小组的 D．航模小组的人数比书法小组的人数多 18．（2024嘉兴）一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去剩余的。两次剪去的绳子长度相比，（    ）。 A．第一次剪去的长 B．第二次剪去的长 C．一样长 D．无法确定 19．（2024杭州）按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（    ）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 20．（2024宁波）计算：运用了（    ）。 A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 四、计算题（共12分） 21．（2024衢州）直接写出得数。                                                          22．（2024金华）直接写出得数。                                                  23．（2024嘉兴）计算下面各题，能简算的要简算。                                  五、解方程（共6分） 24．（2024衢州）解方程。          25．（2023杭州）解方程。 六、作图题（共6分） 26．（2024绍兴）下面两个大长方形都表示2m2，请你按要求用阴影表示。 （1）画出2m2的。 （2）画出m2。 七、解答题（共36分） 27．（2024杭州）某商场第四季度共销售一款电动玩具705件。 （1）其中10月与11月的销量比是6∶7，11月与12月的销量比是2∶3。这三个月各售出电动玩具多少件？ （2）每件按40%的利润定价为70元，商场出售60%后，为尽快售完，剩下的按定价的五折出售。商场能获利吗？写出思考过程。 28．（2024宁波）垃圾分类已成为居民的自觉行为，在北环小区，平均每日产垃圾约500千克，各种垃圾的数量情况如图所示，其中有害垃圾和厨余垃圾的比是1∶9，北环小区这一周（7天）的厨余垃圾有多少千克？ 29．（2024湖州）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 30．（2024嘉兴）小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲乙两地相距多少千米？ 31．（2023温州）四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，比赛结果，没有人全胜，并且各人的得分都不相同。那么最多有多少局平局？ （1）因为每两名棋手要赛一场，每位棋手一共要赛3场，总分最多是多少分？ （2）因为没有人全胜，也就意味着没有人全输，那么各人的得分情况为什么不可能是5，4，3，2？请用计算进行说明。 （3）四名棋手的得分可能各是多少分？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2024学年小升初数学备考真题分类汇编（浙江专版） 专题01 数与代数 考点分布 考点内容 命题焦点 数的认识 ①因数与倍数的关系 ②质数、合数及分解质因数 ③2、3、5的倍数特征与奇偶性 ④分数与百分数的意义及互化 ⑤最大公因数与最小公倍数的计算 ①因数与倍数不能单独存在，需明确“谁是谁的因数/倍数 ②质因数分解中排除1，注意最小质数 ③分数应用题中的“单位1”是否明确“平均分” 数的运算 ①整数、小数、分数的四则运算 ②运算定律 ③近似值与科学记数法 ④复杂算式的简便运算 ①运算顺序错误（如先算括号外后括号内） ②近似值的四舍五入规则（如精确到某一位的判断） 式与方程 ①用字母表示数与数量关系 ②一元一次方程解法 ③方程的实际应用 ①方程解法的步骤规范性（如移项符号错误） ②实际问题中变量关系的抽象（如设未知数的技巧） 比和比例 ①比的意义与基本性质 ②比例的意义、性质及解比例 ③正比例与反比例的判断 ④比例尺应用与单位换算 ①比例中内外项乘积关系（如互为倒数的应用） ②正反比例的实际情境判断（如路程与时间的关系） 探索规律与综合 ①数列规律 ②数形结合问题 ③代数与几何综合题 ①规律探索中的递推关系（如分形数列） ② 综合题中多知识点交叉（如方程与几何结合） ——重难点题型导览—— 数的读写与单位换算 10 分数与百分数的应用 15 比例与比例尺 34 方程与代数式 48 一、数的意义和性质 1.数的分类 （1） （2） （3） 2.数的意义 整数：像…－3、－2、－1、0、1、2、3…这样的数，整数有无限个，没有最小的整数，也没有最大的整数。 正整数和负整数：像1、2、3…这样的数叫作正整数，像…－3、－2、－1这样的数叫作负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，最大的负整数是－1吗，没有最小的负整数。 自然数：像0、1、2、3、4、5…这样的数，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 正数和负数：像＋5、125、、、1.26…这样大于0的数叫作正数，像－8、－20、、、－3.22…这样小于0的数叫作负数，0既不是正数也不是负数。 分数：把单位“1”平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数。 小数：把单位“1”平均分为10份、100份、1000份…，这样的一份或几份可以用分母是10、100、1000…的分数来表示，也可以用小数来表示。 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数，也叫作百分率或百分比。 3.数位 整数部分 小 数 点 小数部分 … 亿级 万级 个级 数 位 … 千 亿 位 百 亿 位 十 亿 位 亿 位 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 · 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 … 计 数 单 位 … 千 亿 百 亿 十 亿 亿 千 万 百 万 十万 万 千 百 十 个 十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 万 分 之 一 … 4.性质 分数 分子和分母同乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。 小数 末尾添去0，大小不变。 小数点移动 右移1位、2位、3位…扩大为原来的10倍、100倍、1000倍… 左移1位、2位、3位…缩小为原来的、、… 二、数的读写 读法 写法 整数 先把数分级，再从高位起，一级一级地读，每一级末尾的0都不读，每一级中间有1个0或连续几个0，都只读一个零。 2502502500读作：二十五亿零二百五十万二千五百 从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 三亿零二百万三千写作：302003000 小数 整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字 250.025读作：二百五十点零二五 整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 一百八十二点零零七三写作：182.0073 分数 先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 读作：十分之一 读作：三又十分之一 先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 三分之一写作： 二又五分之一写作： 百分数 先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 25%读作：百分之二十五 在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 百分之十点五写作：10.5% 正数 “＋”读作正，“＋”后面十几就读几。 ＋50读作：正五十 在数的前面加“＋”，“＋”可以省略不写。 正三写作：＋3 负数 “－”读作负，“－”后面十几就读几。 －20读作：负二十 在数的前面加“－”，“－”不可以省略。 负二分之一写作： 三、数的改写 1.四舍五入（≈） 在求近似数时，如果被舍去部分的首位数字小于5，就直接舍去；如果被舍去部分的首位数字等于5或大于5，就在保留部分的末位上加1。要求把小数保留到哪一位，先看这一位后一位上的数字，再按“四舍五入”法省略。 2.多位数改写为“万”、“亿”… （1）直接改写：改写为“万”，小数点左移4位，后面加万；改写为“亿”，小数点左移8位，后面加亿； （2）近似改写：先四舍五入省略掉“万”或“亿”后面的尾数，再在后面加“万”或“亿”。 3.假分数、带分数、整数互化 （1）假分数→整数、带分数 分子÷分母＝商……余数→（余数≠零，则假分数＝；余数＝零，则假分数＝商） （2）带分数→假分数 假分数＝ 4.小数、分数、百分数互化 （1）小数→分数：先改写成分母是10、100、1000…的分数，再约分； （2）分数→小数：分子÷分母； （3）小数→百分数：先把小数点右移两位，再添加“%”； （4）百分数→小数：先把小数点左移两位，再去掉“%”； （5）分数→百分数：先把分数化为小数，再写成百分数； （6）百分数→分数：先写成分数，再约分。 四、比较大小 整数：位数不同时，位数多的整数大；位数相同时，同一高位上的数越大，这个整数就越大。 小数：整数部分大的小数越大；整数部分相同时，看小数部分，十分位上的数大的那个数就越大；十分位上相同，则依次比较百分位上的数…… 分数：真分数或假分数，分母相同时，分子越大的分数越大；分子相同时，分母越小的分数越大；分子或分母不同时，先化为同分母或同分子的分数再比较；带分数，先比较整数部分，整数部分大分数越大；整数部分相同时，比较分数部分；带分数或假分数，先统一成带分数或假分数，再进行比较。 小知识：分数比较大小的方法 通分子：分子相同，分母越小，分数越大。 通分母：分母相同，分子越大，分数越大。 比倒数：倒数大的分数小。 交叉相乘法：比较和的大小，如果ac＞bd，说明大，反之大。 基准数法：与1、等特殊数比较。 投篮法：两个真分数，如果分子与分母差相同，则分子和分母都大的分数比较大；两个假分数，如果分子与分母差相同，则分子和分母都小的分数比较大。 作差法：差大于0，则被减数大；不够减，则减数大。 作商法：商大于1，则被除数大；商小于1，则除数大。 五、因数、倍数、质数、合数 1.因数、倍数 如果a÷b＝c(a、b、c均为正整数且b≠0)，除得的商是整数而没有余数： （1）我们就说a能被b整除，或者说b能整除a； （2）a是b、c的倍数，b、c是a的因数； （3）倍数和因数是相互依存的。 小知识：特殊数整除性判定 末位判断法：看末一位是否为偶数可被2整除，是否为0、5可被5整除；看末二位是否能被4整除，是否能被25整除；看末三位是否能被8整除，是否能被125整除。 数字和判断法：各数位数字和能被3整除，和能被9整除。 2.奇数、偶数 偶数：在自然数中，是2的倍数的数，如0、2、4、6、8、10…； 奇数：在自然数中，不是2的倍数的数，如1、3、5、7、9、11…。 3.质数、合数 质数：只有1和它本身两个因数的数。100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97； 合数：除了1和它本身外还有别的因数的数。 1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 质因数：合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都叫作这个合数的质因数； 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，例如28分解质因数：28＝2×2×7。 4.最大公因数、最小公倍数 最大公因数：几个数公共有的因数，其中最大的一个。 最小公倍数：几个数公共有的倍数，其中最小的一个。 小知识：互质关系 ①1和任何自然数互质； ②相邻的两个自然数互质； ③两个不同的质数互质； ④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； ⑤两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质； ⑥如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质； ⑦如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。 六、数的运算 1.四则运算方法 整数 小数 分数 加法 相同数位对齐，从低位加起，满十向高位进一。 小数点对齐,按照整数加减法计算,结果小数点对齐 同分母相加减，分母不变，分子相加减;异分母相加减,先通分，然后按同分母法则计算;结果化简。 减法 相同数位对齐,从低位减起，不够向高位借一。 乘法 从低位到高位分别用一个因数的每一位去乘另一个因数，积的末位和一位数因数末位对齐,乘积相加。 先按照整数乘除法计算，再看看因数中一共有几位小数,就左起数几位点商小数点。 分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变;分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母;化简。 除法 从被除数的最高位除起,除数有几位，就看被除数的前几位，如果前几位比除数小， 就多取一位再除,除到哪一位，商就写在哪一位的上面;如果哪一位商不够商1，就在 哪一位写“0”占位;余数必须比除数小。 除数是整数，先按照整数除法法则去除，商的小数点和被除数的小数点对齐;除数是小数，先把它变成整数，除数扩大相同的倍数，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。 2.四则运算的顺序 先乘除，后加减；左向右，依次算；有括号，最优先。 3.运算律和运算性质 （1）运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：a＋b＋c＝a＋(b＋c) 乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：a×b×c＝a×(b×c) 乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c （2）运算性质 减法性质：a－(b＋c)＝a－b－c 除法性质：a÷(b×c)＝a÷b÷c 七、解决问题 1.基本应用题 类型 公式 和差倍 和倍 “1”＝和÷（倍＋1） 差倍 “1”＝和÷（倍－1） 和差 大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2 归一问题 正归一 单一量×份数＝总量 反归一 总量÷单一量＝份数 还原问题 逆运算推导原数 基本 间距数＝总长÷间距长 直线植树 两端都种：棵树＝间距数＋1 两端都不种：棵树＝间距数－1 一端种一端不种：棵树＝间距数 环形植树 棵树＝间距数 盈亏问题 盈亏 份数＝（盈＋亏）÷分配差 盈盈 份数＝（大盈－小盈）÷分配差 亏亏 份数＝（大亏－小亏）÷分配差 年龄问题 年龄差不变，转换成和差倍问题 鸡兔同笼 假设法 假设全是鸡，少了几条腿；除以腿的差，就是兔的数 平均数 算术平均数 数量和÷数量＝算术平均数 加权平均数 （部分×权数）总和÷权数和＝加权平均数 行程问题 基本行程 速度×时间＝路程 相遇问题 速度和×相遇时间＝路程和 追及问题 速度差×追及时间＝路程差 流水行船 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 火车过桥 路程和＝车长＋桥长 量率对应 分率＝分率对应量÷单位“1” 经济问题 利润问题 利润＝售价－成本 利润率＝利润÷成本×100% 毛利率＝利润÷售价×100% 打八折：按定价的80%出售 利息问题 利息＝本金×利率×时间 利息税＝本金×利率×时间×税率 浓度问题 溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量 浓度＝溶质质量÷溶液质量×100% 溶液质量×浓度＝溶质质量 溶质质量÷浓度＝溶液质量 工程问题 工作效率×工作时间＝工作总量，有时也会有单位“1” 2.常用单位换算 换算方法 长度 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1米＝100厘米 1厘米＝10毫米 面积 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体（容）积 1立方米=1000立方分米=1000升 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 重量 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤 1斤=500克 人民币 1 元=10 角 1角=10分 1元=100分 时间 1世纪=100年 1年=12月 一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十天，平年二月二十八；平年365天，闰年366天 1小时=60分钟 1分钟=60秒 1小时=3600 秒 十二生肖先后顺序：鼠牛虎兔龙蛇，马羊猴鸡狗猪 八、式与方程 解方程：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 列方程解应用题：审题→设未知数（一般求谁设谁）→列方程（根据题意的等量关系）→解方程→检验（检查计算正确与否，检查所求答案是否符合题目中的真实情境）→答 九、比和比例 1.比的意义和性质 内项之积＝外项之积 2.比与分数、除数的关系 联系 举例 比 前项 比号 后项 比值 2：3 分数 分子 分数线 分母 分数值 除法 被除数 除号 除数 商 2÷3 3.正比例、反比例 正比例：两种量商一定，x÷y＝k（k一定） 反比例：两种量积一定，xy＝k（k一定） 4.比例尺 比例尺＝图上距离：实际距离 数的读写与单位换算 数的读写 1．（2024金华）金华市第一季度GDP为118662000000元，横线上的数读作( )元，改写成用“万”作单位的数是( )万元，省略亿后面的尾数约是( )亿元。 【答案】 一千一百八十六亿六千二百万 11866200 1187 【难度】0.65 【知识点】亿以上数的读、写法、亿以上数的改写、亿以上数的近似数 【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零； 把整万的数改写成以“万”为单位的数，就是把万位后面的 0 去掉，同时在后面加一个“万”字。 省略“亿”后面的尾数，就是求这个数的近似数。先找到亿位，从右往左数第九位是亿位，数字118662000000中亿位上是6。然后看亿位后面一位，也就是千万位上的数字，千万位是6。按照四舍五入的方法，如果千万位上的数字大于或等于5，就向亿位进1；如果千万位上的数字小于5，就舍去亿位后面的数。 【详解】金华市第一季度GDP为118662000000元，横线上的数读作一千一百八十六亿六千二百万元，改写成用“万”作单位的数是11866200万元，省略亿后面的尾数约是1187亿元。 2．（2024嘉兴）截止2023年末，我国普通小学在校学生一亿零八百三十六万零二百五十三人，横线上的数写作( )，省略万后面的尾数约是( )万人。 【答案】 108360253 10836 【难度】0.65 【知识点】亿以上数的读、写法、整数的近似数 【分析】整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 通过四舍五入法求整数的近似数，要对省略的尾数部分的最高位上的数进行四舍五入，若小于5则直接舍去，若大于或等于5，则向前进一位，并加上“万”字。 【详解】一亿零八百三十六万零二百五十三，写作：108360253 108360253≈10836万 横线上的数写作108360253，省略万后面的尾数约是10836万人。 3．（2021杭州）据全国铁路部门数据显示，2021年5月1日至5日，全国铁路共发送旅客7850.28万人次，横线上的数读作( )；国家铁路共发送货物5264万吨，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是( )亿。 【答案】 七千八百五十点二八万 0.5264 【难度】0.65 【知识点】整数的改写、小数的读法和写法 【分析】（1）先按照整数的读法读出整数部分，小数点读作“点”，再按顺序读出小数点后面的数字，最后加上单位“万”； （2）改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字；据此解答。 【详解】全国铁路共发送旅客7850.28万人次，横线上的数读作七千八百五十点二八万；国家铁路共发送货物5264万吨，横线上的数改写成用“亿”作单位的数是0.5264亿。 【点睛】掌握小数的读法和整数的改写方法是解答题目的关键。 4．（2019宁波）小明在读一个小数时，把小数点丢了，结果读成两万零四百零八，原来的小数只读一个零，原来这个小数是( )。 【答案】20.408/2040.8 【难度】0.65 【知识点】小数的读法和写法 【分析】根据两万零四百零八写出这个数，即20408，根据小数的读法：整数部分每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零；小数部分时，有几个0就读几个零，进行解题。 【详解】20.408读作：二十点四零八； 2040.8读作：二千零四十点八； 原来这个小数是20.408或2040.8。 5．（2024金华）我国地域辽阔，国土面积约为960万平方千米，居世界第三位。其中，耕地面积约占百分之四十，林地面积约占百分之二十四，园地、交通及其他用地约占百分之八，未利用的土地约占百分之二十六。 (1)写出横线上的百分数：( )、( )、( )。 (2)未利用的土地约占百分之二十六，表示的意思是( )。 【答案】(1) 40% 24% 8% (2)未利用的土地约占国土面积的26% 【难度】0.65 【知识点】百分数的意义、百分数的读法和写法 【分析】（1）百分数的写法：先写出“百分之”后面的数，然后在这个数的后面加“%”。 （2）未利用的土地约占百分之二十六，把国土面积看作单位“1”，平均分成100份，未利用的土地占26份；据此解答。 【详解】（1）百分之四十写作：40% 百分之二十四写作：24% 百分之八写作：8% （2）未利用的土地约占百分之二十六，表示的意思是未利用的土地约占国土面积的26%。 6．（2019浙江）写出下面的百分数，说说每个百分数的含义。 （1）三峡工程建设资金来源中，三峡基金占百分之四十九。 （2）汽车是大气污染最大的污染源，百分之六十至百分之九十的大气污染来自汽车。 【答案】（1）49%；表示三峡基金占总的三峡工程建设资金的49%。 （2）60%；90%；表示60%至90%的大气污染来自汽车。 【难度】0.65 【知识点】百分数的意义、百分数的读法和写法 【分析】写百分数时先写百分号前的数，然后写%；百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数。 【详解】（1）百分之四十九写作：49%，表示三峡基金占总的三峡工程建设资金的49%。 （2）百分之六十写作：60%；百分之九十写作：90%；表示60%－90%的大气污染来自汽车。 【点睛】熟练掌握百分数的意义和写法是解题关键。 单位换算 7.（2024嘉兴）米( )厘米     1小时15分( )小时 【答案】 76 1 【难度】0.85 【知识点】时、分的认识及换算、厘米和米之间的进率与换算、分数乘整数 【分析】（1）根据1米＝100厘米，高级单位转化为低级单位，乘进率即可。 （2）根据1小时＝60分，低级单位转化为高级单位除以进率，复名数换单名数，单位相同的不用换，单位不同的先统一单位，再加上之前没换单位部分的数，据此解答。 【详解】（厘米） （小时） （小时） 米76厘米 1小时15分小时 8.（2024湖州）6.2吨＝( )千克    1小时15分＝( )小时 【答案】 6200 1.25 【难度】0.65 【知识点】除数是整数，需要补0的小数除法、时、分的认识及换算、吨、千克之间的换算与比较、运用小数点移动解决小数的单位换算问题 【分析】根据进率：1吨＝1000千克，1时＝60分；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）6.2×1000＝6200（千克） 6.2吨＝6200千克 （2）15÷60＝0.25（小时） 1＋0.25＝1.25（小时） 1小时15分＝1.25小时 9.（2023金华）在下面（    ）里填上合适的数。 2元8分＝( )元            ( )吨＝4吨50千克 0.6米＝( )厘米            ( )平方米＝560平方分米 【答案】 2.08 4.05 60 5.6 【难度】0.65 【知识点】元、角、分的认识及换算、吨、千克之间的换算与比较、毫米、厘米、分米、米之间的进率与换算、平方厘米、平方分米、平方米之间的进率与换算 【分析】根据1元＝100分，1吨＝1000千克，1米＝100厘米，1平方米＝100平方分米，高级单位换算成低级单位，乘进率，低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】8分＝0.08元，所以2元8分＝2.08元； 50千克＝0.05吨，所以4.05吨＝4吨50千克； 0.6米＝60厘米 5.6平方米＝560平方分米 【点睛】本题考查单位之间的互化，关键是熟记进率。 10.（2020浙江）（1）元＝( )角    （2）580( )t （3）3时15分＝( )时    （4）3.07( )( ) 【答案】 6 0.58 3.25 3 70 【难度】0.65 【知识点】时、分的认识及换算、元、角、分的认识及换算、吨、千克之间的换算与比较、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【分析】根据1元＝10角，1吨＝1000千克，1时＝60分，1立方米＝1000立方分米，进行换算即可。 【详解】（1）×10＝6（角）；（2）580÷1000＝0.58（吨） （3）15÷60＝0.25（时），3时15分＝3.25时；（4）0.07×1000＝70（立方分米），3.07370 【点睛】关键是熟记进率，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率。 11.（2024宁波）45分＝( )时             公顷＝( )平方米 60千克＝( )吨             25毫升＝( )立方分米 【答案】 0.75 2500 0.06 0.025 【难度】0.65 【知识点】吨、千克之间的换算与比较、面积单位间的进率及换算、体积与容积单位间的进率及换算、分数乘整数 【分析】1时＝60分、1公顷＝10000平方米、1吨＝1000千克、 1毫升＝1立方分米、1立方米＝1000立方分米。高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。据此解答。 【详解】1时＝60分 ，45÷60＝0.75，45分＝0.75时； 1公顷＝10000平方米，×10000＝2500，公顷＝2500平方米； 1吨＝1000千克，60÷1000＝0.06，60千克＝0.06吨； 1毫升＝1立方分米， 1立方米＝1000立方分米，25÷1000＝0.025，25毫升＝0.025立方分米。 12.（2024嘉兴）100分＝( )时     150毫升＝( )立方分米 平方千米＝( )公顷    2.02吨＝( )吨( )千克 【答案】 / 0.15/ 60 2 20 【难度】0.65 【知识点】时、分的认识及换算、公顷、平方千米的进率与换算、体积与容积单位间的进率及换算、分数乘整数 【分析】根据进率：1时＝60分，1立方分米＝1000毫升，1平方千米＝100公顷，1吨＝1000千克；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）100÷60＝（时） 100分＝时 （2）150÷1000＝0.15（立方分米） 150毫升＝0.15立方分米 （3）×100＝60（公顷） 平方千米＝60公顷 （4）2.02吨＝2吨＋0.02吨 0.02×1000＝20（千克） 2.02吨＝2吨20千克 分数与百分数的应用 分数运算 13.（2024杭州）在计算的过程中，下列方法不正确的是（    ）。 A．把它们转化成计数单位相同的分数，可以得到： B．把分数化成小数，可以得到： C．根据商不变的性质，可以得到： D．根据分数与除法的关系，可以得到： 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分数与除法的关系、分数化小数、分数与整数的除法、商不变的规律及应用 【分析】化成计数单位相同的分数，也就是通分，此时分数的大小不变；分数的分母相当于除数，分子相当于是被除数；分数化小数用分子除以分母即可；商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答。 【详解】A．把3÷，化成计数单位相同的分数，就是将整数3化为分数得，分数大小不变；原式化为：3÷＝÷＝15÷3，原题干正确。 B．根据分数化小数的方法，用分子除以分母，得到的商就是小数；＝3÷5＝0.6；3÷＝3÷0.6，原题干正确。 C．根据商不变性质，被除数和除数同时乘，原式化为：3÷＝（3×）÷（×），原题干正确。 D．分数与除法的关系：分子做被除数，分母做除数；3÷＝3÷（3÷5），原题干错误。 在计算3÷的过程中，方法不正确的是3÷＝3÷÷3÷5。 故答案为：D 14．（2024宁波）用合理的方法计算。                                【答案】；；； ；； 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算、分数加、减简便运算、整数、小数、分数、百分数的简便运算、整数乘法运算定律推广到分数乘法 【分析】，先算加法，再算除法； ，将小数和百分数都化成分数，即，逆用乘法分配律，先算，再与相乘； ，将带分数化成假分数，即，利用乘法交换律进行简算； ，先算除法，再根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，利用乘法分配律进行简算，小括号里的数分别与括号外的两个数相乘，再相加； ，将百分数化成分数，去掉小括号，小括号里的乘号变除号，再将中括号里的数从左往右计算，然后算中括号外的乘法，最后算减法。 【详解】 15．（2024嘉兴），。照这样的方法，( )÷( )（填整数）。 【答案】 14 9 【难度】0.65 【知识点】通分的认识及应用、分数与分数的除法 【分析】根据给出的两个例子可知，同分母分数相除时，只需要分子相除即可；那么计算异分母分数除法时，先把两个异分母分数化成同分母分数，再把两个分子相除即可求出它们的商。 【详解】 ，。照这样的方法，14÷9。 16．（2024衢州）计算下面各题。                                        【答案】；；； 36；；18 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算、分数乘分数、分数与分数的除法、整数乘法运算定律推广到分数乘法 【分析】（1）（3）（5）同级运算从左往右计算。 （2）先计算括号里面的减法，再计算括号外面的除法。 （4）根据乘法分配律进行简便运算。 （6）先计算括号里面的加法，再计算括号外面的除法。 【详解】 17．（2024金华）用合适的方法计算下面各题。          【答案】；75；27 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算、分数的加、减法混合运算、整数乘法运算定律推广到分数乘法 【分析】，先算减法，再算加法； ，先算加法，再算乘法，最后算除法； ，将除法改写成乘法，利用乘法分配律的逆运算进行简算。 【详解】 18．（2024绍兴）计算，能简算的要简算。 （－25%＋）×24            0.375×＋÷ ×8×6.5×                 ÷[（＋）×3] 【答案】25； 25； 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算、整数、小数、分数、百分数的简便运算、整数乘法运算定律推广到分数乘法、分数除法相关的简便计算 【分析】（1）先把25%化成，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把0.375化成，把除法转化成乘法，再根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （3）根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法。 【详解】（1）（－25%＋）×24   ＝（－＋）×24   ＝×24－×24＋×24   ＝16－6＋15 ＝25 （2）0.375×＋÷ ＝×＋× ＝（＋）× ＝1× ＝ （3）×8×6.5× ＝（×6.5）×（8×） ＝2.5×10 ＝25 （4）÷[（＋）×3] ＝÷[（＋）×3] ＝÷[×3] ＝÷ ＝× ＝ 百分率问题 19．（2024杭州）在含盐25%的盐水中加入25克盐和100克水，这时盐水的含盐率（    ）。 A．等于25% B．小于25% C．大于25% D．无法判断 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【分析】两种不同浓度的同种溶液相混合，混合后的浓度要大于原来较小的浓度，小于原来较大的浓度。根据含盐率＝盐的质量÷盐水的质量×100%，用25÷（25＋100）×100%，求出新加入的盐水的含盐率，再判断即可。 【详解】25÷（25＋100）×100% ＝25÷125×100% ＝0.2×100% ＝20% 25%＞20% 在含盐25%的盐水中加入25克盐和100克水，这时盐水的含盐率大于20%，小于25%。 故答案为：B 20．（2024宁波）根据中国传统礼仪，给客人倒水时应倒满茶杯的，图中的一壶水最多可以倒（    ）杯（满杯为100毫升）。 A．17 B．17.5 C．20 D．18 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题）、容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【分析】要想倒的杯数最多，每杯茶就要尽可能的少，因此按满茶杯的70%进行倒茶，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，求出满杯的70%，再根据1升＝1000毫升，统一单位，一壶水的体积÷满杯的70%＝最多倒的杯数。 【详解】1.4升＝1400毫升 1400÷（100×70%） ＝1400÷（100×0.7） ＝1400÷70 ＝20（杯） 最多可以倒20杯。 故答案为：C 21．（2024嘉兴）下列百分率中，可能超过100%的是（    ）。 A．花生的出油率 B．种子的发芽率 C．解题的正确率 D．营业额的增长率 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【分析】出油率＝出油质量÷原材料的质量×100%；种子的发芽率＝发芽的棵数÷总棵数×100%；解题的正确率＝正确题数÷总题数×100%；这三个百分率都不会超过100%或等于100%；营业额的增长率＝增长的数额÷原来的数额×100%，它可能大于100%，据此解答即可。 【详解】A．花生的出油率不超过100%； B．种子的发芽率最多100%； C．解题的正确率最多100%； D．营业额的增长率可以超过100%； 根据分析可知，可能超过100%的是营业额的增长率。 故答案为：D 22．（2024衢州）10月11日上午柯城区核酸检测演练，因此到8点整，全校学生的出勤率为，这里的表示( )。全校1200人。此时还有( )人未到校。接下去的10分内，又有66人进入校门，此时的出勤率为( )。 【答案】 8点整此时到校的学生人数占全校总人数的89% 132 94.5% 【难度】0.65 【知识点】百分数的意义、求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题）、求一个数的百分之几是多少 【分析】出勤率表示出勤人数占总人数的百分率；已知全校学生的出勤率为89%，则没有出勤的人数占总人数的（1－89%），用总人数1200乘（1－89%）计算，所得结果即为此时还有多少人未到校；再用1200乘89%计算出此时到校的学生人数，10分钟内，又有66人到校，此时出勤人数为（1200×89%＋66）；最后用现在出勤的人数除以总人数再乘100%，所得结果即为此时的出勤率。 【详解】89%表示8点整此时到校的学生人数占全校总人数的89%。 1200×（1－89%） ＝1200×11% ＝132（人） （1200×89%＋66）÷1200×100% ＝（1068＋66）÷1200×100% ＝1134÷1200×100% ＝0.945×100% ＝94.5% 因此这里的89%表示8点整此时到校的学生人数占全校总人数的89%；全校1200人，此时还有132人未到校；接下去的10分内，又有66人进入校门，此时的出勤率为94.5%。 23．（2024金华）将60克盐放入240克水中，盐水的含盐率是( )；如果再加入100克水，盐水的含盐率是( )。 【答案】 20% 15% 【难度】0.65 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【分析】含盐率即盐水中盐的重量占盐水重量的百分之儿，计算公式为：盐的重量÷盐水的重量×100%；再加入100克水，用此时的盐除以盐水的质量，再乘100%即可求出这时盐水的含盐率。 【详解】60÷（60＋240）×100% ＝60÷300×100% ＝0.2×100% ＝20% 60÷（60＋240＋100）×100% ＝60÷400×100% ＝0.15×100% ＝15% 将60克盐放入240克水中，盐水的含盐率是20%；如果再加入100克水，盐水的含盐率是15%。 24．（2024绍兴）只列式不计算。 安安做了50道口算题，错了5题。安安做题的正确率是多少？ 列式： 【答案】（50－5）÷50×100% 【难度】0.65 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题） 【分析】已知安安做了50道口算题，错了5题，先用做的总题数减去做错的题数，求出做对的题数；再根据“正确率＝做对的题数÷总题数×100%”，即可求出安安做题的正确率。 【详解】（50－5）÷50×100% ＝45÷50×100% ＝0.9×100% ＝90% 答：安安做题的正确率是90%。 折扣问题 25．（2024衢州）( )÷32＝＝( )＝( )折。 【答案】 24 75 七五 【难度】0.85 【知识点】分数与除法的关系、百分数、小数和分数的互化、打折的意义及应用（分数）、商不变的规律及应用 【分析】根据分数与除法的关系把写成3÷4，再根据商不变规律，把被除数和除数同时乘8，得到24÷32； 把化成小数，用分子除以分母，可得＝0.75，把小数0.75的小数点向右移动两位添上百分号就是75%； 根据折扣与百分数的关系，可得75%＝七五折；据此填空即可。 【详解】根据分析可得， 24÷32＝＝75%＝七五折。 26．（2023杭州）某儿童商场在六一儿童节期间开展优惠活动，规定： ①如果一次购物不超过200元，不予折扣； ②如果一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），按标价给予九折优惠，也就是按定价的90%出售； ③如果一次购物超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超500元部分给予八折优惠。王阿姨两次去该商场购物，分别付款160元和360元，求： （1）王阿姨第二次购物商品的标价是多少元？ （2）如果王阿姨一次性去购买这两次买到的商品，可以比已经用去的钱节省多少元？ 【答案】（1）400元  （2）22元 【难度】0.4 【知识点】求现价（折扣问题）、求原价（折扣问题） 【分析】①因为一次购物超过200元，但不超过500元（含500元），按标价九折优惠，所以500元以内的实际售价最多为500×90%＝450元。因为360＜450，所以王阿姨第二次购物的标价在200~500元，标价为360÷90%＝400（元）。 ②两次购物的总标价为160＋400＝560（元）；按规定③，560元要分两部分，500元部分按第（2）条优惠，优惠价为500×90%＝450（元），超过500元部分给予八折优惠，售价为（560－500）×80%＝60×80%＝48（元），故王阿姨一次购买这两次买到的商品所花的总钱数为450＋48＝498（元），比原来节省的钱数为160＋360－498＝22（元）。 【详解】（1）500×90%＝450（元），因为360＜450，所以第二次购物的标价在200~500元。 360÷90%＝400（元） 答：王阿姨第二次购物商品的标价是400元。 （2）两次购物商品的总标价为160＋400＝560（元），560＞500， 所以一次性购买这两次买到的商品所花的总钱数为： 450＋（560－500）×80% ＝450＋60×80% ＝450＋48 ＝498（元） 比已经用去的钱节省： 160＋360－498 ＝520－498 ＝22（元） 答：如果王阿姨一次性去购买这两次买到的商品，可以比已经用去的钱节省22元。 【点睛】此题的关键是理解这些优惠活动的措施。 27．（2024金华）国庆大促销，A商场所有商品一律八折出售，B商场每满300元减50元，如果要购买一台1350元的微波炉，到哪家商场买合算？ 【答案】A商场 【难度】0.65 【知识点】经济问题、求一个数的百分之几是多少、求现价（折扣问题） 【分析】分别计算出两家商场的实际钱数，比较即可。 A商场：将应付钱数看作单位“1”，几折就是百分之几十，应付钱数×折扣＝实际钱数； B商场：求出应付钱数包含几个300元，就从应付钱数里减去几个50元，求出实际钱数。 【详解】八折＝80% 1350×80%＝1080（元） 1350÷300＝4（个）……150（元） 1350－4×50 ＝1350－200 ＝1150（元） 1080＜1150 答：到A商场买合算。 28．（2024宁波）爸爸在网上买一件上衣，两家网店的原价都是280元。爸爸选择哪家店买更省钱？请计算说明。     【答案】B店省钱 【难度】0.65 【知识点】经济问题、求一个数的百分之几是多少、求现价（折扣问题） 【分析】分别计算两店应付金额，再作比较，即可解答。 A店先算280里有几个100，就减去几个30。 B店七五折表示75%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用原价乘75%。 【详解】A店： （元） B店： （元） 答：爸爸选择B店更省钱。 29．（2024杭州）周老师要买60个小足球，三个店的小足球单价都是25元，你认为王老师到哪个店去买比较合算？（    ） 三个店的优惠情况如下： 甲店：每买10个送2个； 乙店：打八折优惠； 丙店：购物每满200元，返现金30元。 A．甲店 B．乙店 C．丙店 D．都一样 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】经济问题、求一个数的百分之几是多少、求现价（折扣问题） 【分析】甲店：把“买10个送2个”看作一组，先用除法求出60里有几组，再用每组买的个数乘组数，求出实际需买小足球的个数；然后根据“单价×数量＝总价”，求出在甲店购买小足球所需的钱数； 乙店：打八折优惠，即现价是原价的80%；先根据“单价×数量＝总价”求出原价购买60个小足球的总价钱，再乘80%，求出在乙店购买小足球所需的钱数； 丙店：每满200元返还30元，先求出原价购买60个足球的总价钱，再看总价钱里面有几个200，就减去几个30元，即是在丙店购买小足球所需的钱数； 最后比较三家店购买60个小足球所需的钱数，得出到哪家店去买比较合算。 【详解】甲店： 60÷（10＋2） ＝60÷12 ＝5（组） 实际购买数量：10×5＝50（个） 实际花费：25×50＝1250（元） 乙店： 25×60×80% ＝1500×0.8 ＝1200（元） 丙店： 25×60＝1500（元） 1500÷200＝7（个）……100（元） 实际花费： 1500－30×7 ＝1500－210 ＝1290（元） 1200＜1250＜1290 王老师到乙店去买比较合算。 故答案为：B 30．（2024杭州）某种商品因换季准备打折出售，按定价打七五折出售将赔本25元，按定价打九折出售将盈利35元。这种商品的定价是( )元；妈妈今天以八折的价格购得一个书包，比原价便宜了a元，这个书包原价是( )元。 【答案】 400 5a 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的百分之几是多少，求这个数、求原价（折扣问题）、用字母表示数、数量关系 【分析】（1）把这种商品的定价看作单位“1”，两种售价相差（25＋35）元，占定价的（90%－75%），单位“1”，根据百分数除法的意义列式计算，求出定价。 （2）已知以八折的价格购得一个书包，比原价便宜了a元，把这个书包的原价看作单位“1”，现价是原价的80%，则便宜的钱数是原价的（1－80%），单位“1”未知，用便宜的钱数除以（1－80%），求出这个书包的原价。 【详解】（1）（25＋35）÷（90%－75%） ＝60÷0.15 ＝400（元） 这种商品的定价是400元。 （2）a÷（1－80%） ＝a÷（1－） ＝a÷ ＝a×5 ＝5a（元） 这个书包原价是5a元。 浓度混合问题 31．（2024全国）化学兴趣小组的同学配制了10千克的高锰酸钾溶液，溶液的含水量是，蒸发后，含水量下降到，此时溶液重多少千克？ 【答案】5千克 【难度】0.65 【知识点】浓度问题 【分析】此题可以转换为浓度问题来解决。根据10千克的高锰酸钾溶液的含水量是，可以先求出其中高锰酸钾所占的百分比，从而求出高锰酸钾的质量。蒸发后，含水量下降到，这个过程中只有水被蒸发质量减少，高锰酸钾的质量不会发生变化。因此用高锰酸钾的质量除以高锰酸钾此时所占的百分比，即可求出此时高锰酸钾溶液的总质量。 【详解】高锰酸钾的质量： （千克） 现在高锰酸钾溶液的质量： （千克） 答：此时溶液重5千克。 32．（2024全国）甲容器中有500克盐水，乙容器中有500克水，先将甲中一半的盐水到入乙，充分搅拌；在将乙中一半的盐水到入甲，充分搅拌；最后将甲中盐水的一部分倒入乙，使甲、乙的盐水重量相同。求此时乙中盐水的浓度是多少？ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】浓度问题 【分析】根据盐的质量＝盐水质量×含盐率，盐的质量＋水的质量＝盐水的质量，依次可以求出每个时期甲乙容器中的盐的质量和水的质量；最后要明确溶液混合均匀，倒出体积的一半，其中盐、水各占一半；由此即可求出乙容器中最后盐质量，再用盐的质量除以总质量500克，即可求出最后乙中盐水的浓度是多少。 【详解】第一次将甲倒入一半乙后乙容器中盐的质量：（克） 盐水质量：（克） 第二次将乙倒入一半甲后甲容器中盐水量：（克） 盐的质量：（克） 乙中剩下的盐水量：（克） 盐的质量：（克） 第三次将将甲倒入乙时，倒入的盐水质量：（克） 克盐水中盐的质量： （克） 此时乙容器中盐水的含盐率 答：乙容器中盐水的含盐率为。 33．（2024全国）有一个大瓶子，里面装有浓度为的酒精溶液2000克，现倒入50克种酒精溶液和350克种酒精溶液，已知两种溶液的浓度比为，得到的混合溶液的浓度是，则种酒精的浓度是( )。 【答案】 【难度】0.65 【知识点】浓度问题 【分析】设B种酒精溶液的浓度为x，则A种酒精的浓度为3x，先根据混合前后的酒精总克数相等列方程，求出B种酒精溶液浓度，再求出A种酒精的浓度即可。 【详解】解：设B种酒精溶液的浓度为x，则A种酒精的浓度为3x。 2000×75%＋350x＋50×3x＝（2000＋50＋350）×65% 1500＋350x＋150x＝2400×0.65 1500＋500x＝1560 500x＝1560－1500 500x＝60 x＝0.12 3×0.12＝0.36 0.36＝36% 因此种酒精的浓度是36%。 34．（2024全国）已知甲瓶盐水的浓度是，乙瓶盐水的浓度是，混合后的浓度是，那么瓶甲瓶盐水和1瓶乙瓶盐水混合后的浓度是( )。 【答案】 【难度】0.65 【知识点】浓度问题 【分析】现根据十字交叉法，可以求出甲瓶盐水和乙瓶盐水的质量之比。然后根据份数思想，求出瓶甲瓶盐水相当于有浓度是的盐水几份，1瓶乙瓶盐水相当于有浓度是的盐水几份，从而即可求出混合后盐水的浓度是多少。 【详解】如图： 因此甲瓶盐水质量∶一瓶盐水质量＝2∶3，即瓶甲瓶盐水质量∶一瓶盐水质量＝1∶6 设浓度是的盐水有1份，则浓度是的盐水有6份， 混合后浓度为： ＝ ＝ ≈ 因此那么瓶甲瓶盐水和1瓶乙瓶盐水混合后的浓度是5.43%。 35．（2024全国）一瓶纯酒精，倒出一半后加满水混合；然后又倒出溶液，再用水加满；最后又倒出一半，再加满水。如此三次后，瓶中酒精浓度为( )。 【答案】 【难度】0.65 【知识点】浓度问题 【分析】本题可以用份数思想来解决，设瓶中原纯酒精100份。根据每次倒出酒精的分率求出三次后酒精含量和水的含量，最后根据“浓度＝溶质÷溶液”即可解答。 【详解】设瓶中原纯酒精100份 第一次兑水后含有酒精：100×＝50（份） 第二次兑水后含有酒精：50×（1－）＝37.5（份） 第三次兑水后含有酒精：37.5×（1－）＝18.75（份） 此时瓶中酒精浓度为：18.75÷100＝18.75% 因此如此三次后，瓶中酒精浓度为18.75%。 36．（2024全国）常用的医用酒精有两种，浓度分别是和，用于物理降温时，通常把酒精稀释成浓度为。妈妈购买了一瓶500毫升浓度是的酒精，加入( )毫升的纯净水，能稀释成浓度为的酒精。（本题中稀释是指对现有酒精溶液加入纯净水，使其浓度减小的过程） 【答案】1000 【难度】0.65 【知识点】浓度问题 【分析】根据题意，把500毫升浓度为75%的酒精加水稀释为浓度为25%的酒精，酒精的体积不变。先根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出酒精的体积；再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，即可用除法求出稀释后的酒精溶液的体积，用这个体积减去500毫升就是需要加纯净水的体积。 【详解】500×75%÷25%－500 ＝375÷0.25－500 ＝1500－500 ＝1000（毫升） 因此加入1000毫升的纯净水，能稀释成浓度为25%的酒精。 比例与比例尺 正反比例判断 37．（2024湖州）已知：a÷b＝，那么下面说法正确的是（    ）。 A．a和b成正比例 B．a和b成反比例 C．3a＝4b D．b是a的 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比例的基本性质、乘、除法的意义和各部分间的关系、正比例的意义及辨识、反比例的意义及辨识 【分析】A．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 B．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 C．先根据除法与比的关系，把a÷b＝改写成比例式，再根据比例的基本性质把它改写成两数相乘的形式。 D．根据除法中各部分的关系“除数＝被除数÷商”，得出b与a的关系。 【详解】A．a÷b＝，商一定，则a和b成正比例，原选项说法正确； B．由上一个选项可知，a和b成正比例，原选项说法错误； C．a÷b＝，即a∶b＝3∶4，根据比例的基本性质可得：4a＝3b，原选项说法错误； D．a÷b＝，则b＝a÷＝a×＝a，即b是a的，原选项说法错误。 故答案为：A 38．（2024金华）下面各组中的两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．一个圆的半径和它的面积 B．看一本书，每天看的页数和看完的天数 C．一个圆的周长和直径 D．买同一种苹果，买的数量与付的金额 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正比例的意义及辨识、反比例的意义及辨识 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用xy＝k（一定）表示。据此逐项分析即可解答。 【详解】A．由圆的面积变形可得，即一个圆的半径的平方和它的面积成正比例关系，不符合题意； B．每天看的页数×看完的天数＝这本数的总页数（一定），故看一本书，每天看的页数和看完的天数成反比例关系，原说法正确； C．由圆的周长变形可得，即一个圆的周长和直径成正比例关系，不符合题意； D．付的金额÷买的数量＝苹果单价（一定），即买同一种苹果，买的数量与付的金额成正比例关系，不符合题意。 故答案为：B 39．（2024杭州）加工同一批零件，师傅用了8分钟，徒弟用了10分钟。下列说法不成立的是（    ）。 A．师傅的工作效率比徒弟高 B．师傅的工作效率和工作时间成正比例 C．师傅的用时比徒弟少 D．徒弟5分钟做的量，师傅只需4分钟 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数占另一个数几分之几、正比例的意义及辨识、反比例的意义及辨识、有具体量的工程问题 【分析】A．加工同一批零件，工作时间越少的工作效率越高，据此比较两人工作时间即可； B．两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系； C．将徒弟用时看作单位“1”，师傅和徒弟的时间差÷徒弟用时＝师傅的用时比徒弟少几分之几； D．将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，徒弟工作效率×工作时间＝相应工作量，徒弟工作量÷师傅工作效率＝师傅需要的时间。 【详解】A．8＜10，师傅的工作效率比徒弟高，说法正确； B．工作效率×工作时间＝工作总量，师傅的工作效率和工作时间成反比例，选项说法错误； C．（10－8）÷10 ＝2÷10 ＝ 师傅的用时比徒弟少，说法正确； D．×5÷ ＝×8 ＝4（分钟） 徒弟5分钟做的量，师傅只需4分钟，说法正确。 说法不成立的是师傅的工作效率和工作时间成正比例。 故答案为：B 40．（2024杭州）我们在小学阶段学了很多数学知识，它们之间有着密切联系。下面选项中，表示它们之间关系错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】方程的认识、三角形的分类、正比例的意义及辨识、反比例的意义及辨识 【分析】A．判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。它们不是从属关系； B．含有等号的式子叫做等式；含有未知数的等式叫做方程；等式不一定是方程，方程一定是等式； C．三角形按角分类为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； D．一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 【详解】 A．，错误； B．，正确； C．，正确； D．，正确。 表示它们之间关系错误的是。 故答案为：A 41．（2024杭州）三个相关联的量，A表示单价，B表示数量，C表示总价。如果A一定，那么B和C成( )比例关系；如果C一定，那么A和B成( )比例关系。 【答案】 正 反 【难度】0.65 【知识点】正比例的意义及辨识、反比例的意义及辨识 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】根据总价÷数量＝单价，如果A一定，那么B和C成正比例关系；根据单价×数量＝总价，如果C一定，那么A和B成反比例关系。 42．（2024杭州）下面每题中的两种量，成正比例关系的是（    ）。 A．一条路，未修的长度与已修的长度 B．圆柱的体积一定，它的底面积和高 C．报纸的单价一定，订阅的份数与总价 D．小伟年龄和他的体重 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正比例的意义及辨识、反比例的意义及辨识 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．未修的长度＋已修的长度＝这条路的总长（一定），和一定，所以未修的长度与已修的长度不成比例； B．圆柱的底面积×高＝体积（一定），乘积一定，所以圆柱的底面积和高成反比例； C．总价÷订阅的份数＝报纸的单价（一定），比值一定，所以订阅的份数与总价成正比例； D．小伟的年龄和体重虽然是相关联的两个量，但是它们的比值或乘积都不一定，故不成比例； 故答案为：C 比例尺计算 43．（2024杭州）在一幅1∶5000000的地图上量得甲乙两地之间的距离是5.1厘米，则两地的实际距离是( )千米；如果把它画在比例尺是1∶15000000的地图上，应画( )厘米。 【答案】 255 1.7 【难度】0.65 【知识点】比例尺应用、图上距离与实际距离的换算、应用比例尺画图、千米和米之间的进率与换算 【分析】求两地间的实际距离，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算出两地间的实际距离；再根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入相应数值计算即可解答。 【详解】 （厘米） 25500000厘米＝255千米 （厘米） 因此两地的实际距离是255千米，如果把它画在比例尺是1∶15000000的地图上，应画1.7厘米。 44．（2015浙江）在标有比例尺1∶4000000的地图上量得甲乙两地相距9厘米，一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向而行，2小时相遇，已知客车与货车的速度比为5∶4，求客车的速度是多少？ 【答案】100千米/时 【难度】0.65 【知识点】按比分配问题、比例尺应用、相遇问题 【分析】图上距离÷比例尺＝实际距离，将数据代入算出甲乙两地的路程；然后根据路程÷相遇时间＝速度和，用甲乙两地的路程除以两车相遇时间，算出客车和货车的速度之和；再按比例分配算出客车的速度。 【详解】9÷ ＝9×4000000 ＝36000000（厘米）   ＝360（千米） 360÷2＝180（千米） 180× ＝180× ＝100（千米） 答：客车的速度是100千米/时。 【点睛】此题考查的是相遇问题和按比例分配问题，熟记图上距离、比例尺、实际距离之间关系是解题关键。 45．（2023湖州）“如东→南通→苏州→湖州”城际铁路（南浔至长兴段）起于苏浙省界南浔镇沈庄洋村，终于长兴站，线路全长64.8km，设计速度160km/h。现需要将这幅图画在长60cm，宽50cm的长方形图纸上，你认为选比例尺是（    ）最合适。 A．1∶10000000 B．1∶100000 C．1∶10000 D．1∶100 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比例尺应用 【分析】根据生活常识可知，铁路交通一般是弯曲的。64.8km≈65km，因此要将这幅图画在长60cm，宽50cm的长方形纸上，最好将它变成65cm左右，也就是比例尺为65cm：65km，再将其化简，最后根据各选项选择正确答案即可。 【详解】64.8km≈65km 65cm∶65km ＝65cm∶6500000cm ＝65∶6500000 ＝1∶100000 所以，将这幅图画在长60cm，宽50cm的长方形图纸上，我认为选比例尺是1∶100000最合适。 故答案为：B 【点睛】解答此题的关键是熟练掌握“比例尺＝图上距离÷实际距离”这个公式。 46．（2014全国）在比例尺是1∶8的图纸上，甲、乙两个圆的直径比是2∶3，那么甲、乙两个圆实际的直径比是（    ）。 A．1∶8 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比例尺应用 【分析】根据比例尺的意义，令甲乙两圆的图上直径为2d，3d，根据比例尺可得实际圆的直径分别是16d，24d，由此利用比例尺进行计算，即可选择正确答案。 【详解】令甲乙两圆的图上直径为2d，3d，根据比例尺可得实际甲乙两圆的直径分别是2d×8＝16d，3d×8＝24d， 16d∶24d ＝（16d÷8d）∶（24d÷8d） ＝2∶3 甲、乙两个圆实际的直径比是2∶3。 故答案为：B 【点睛】此题考查了利用比例尺解决实际问题的方法，关键是根据比例尺可得实际圆的直径分别是16d，24d。 47．（2022温州）在比例尺1∶10000000的地图上，量的苍南县到杭州距离是3.6厘米。苍南县到杭州的实际距离是多少？ 【答案】360千米 【难度】0.65 【知识点】比例尺应用 【分析】已知苍南县到杭州的图上距离和比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，代入数据计算即可求出苍南县到杭州的实际距离，再根据进率“1千米＝100000厘米”换算单位。 【详解】3.6÷ ＝3.6×10000000 ＝36000000（厘米） 36000000厘米＝360千米 答：苍南县到杭州的实际距离是360千米。 【点睛】本题考查图上距离、实际距离、比例尺之间的关系及应用。 48．（2021温州）有四张图，比例尺分别如下，图中5厘米长的线段表示的实际距离最长的是（    ）。 A．1∶3000000 B． C． D．50∶1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比例尺应用、图上距离与实际距离的换算 【分析】根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，用图中5厘米分别计算出选项中比例尺的实际距离，比较后找出最长，据此解答。 【详解】A．5÷＝15000000（厘米），15000000厘米＝150千米； B．5÷＝7500000（厘米），7500000厘米＝75千米； C．表示图上的1厘米是实际距离20千米，5×20＝100（千米）； D．5÷50＝0.1厘米； 因为150千米＞100千米＞75千米＞0.1厘米 故答案为：A 【点睛】此题考查了比例尺的运用，关键是熟记计算公式以及单位换算的方法。 地图应用题 49．（2024宁波）观察下图，并根据要求填空或画图。 （1）5G信号塔在百货公司（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）米处。 （2）信号塔的信号覆盖区域是距离信号塔400米的圆形区域，请在图中画出信号覆盖范围。 （3）公园在百货公司东偏南70°方向200米处，公园在信号覆盖范围吗？（    ）（填“在”或“不在”）。 【答案】（1）北；西；70；600 （2）图见详解 （3）不在 【难度】0.65 【知识点】根据方向、角度和距离确定物体的位置、画圆 【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离200米； 图中5G信号塔与百货公司相距3厘米，实际相距200×3＝600米，结合方向、角度和距离得出5G信号塔与百货公司的位置关系。 （2）已知信号塔的信号覆盖区域是距离信号塔400米的圆形区域，则图中信号塔的信号覆盖区域与信号塔相距400÷200＝2厘米，即以信号塔为圆心，以2厘米为圆的半径画一个圆即可。 （3）以百货公司为观测点，在百货公司东偏南70°方向上画200÷200＝1厘米长的线段，即是公园，据此判断公园是否在信号覆盖范围内。 【详解】（1）200×3＝600（米） 5G信号塔在百货公司北偏西70°（或西偏北20°）方向600米处。 （2）400÷200＝2（厘米） 信号塔的信号覆盖区域如下图： （3）200÷200＝1（厘米） 公园在百货公司东偏南70°方向200米处，公园不在信号覆盖范围。 如图： 50．（2024嘉兴）以学校为观测点，广场在学校西偏北的方向上，下面正确表示广场位置的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据方向、角度和距离确定物体的位置 【分析】根据上北下南左西右东、结合角度逐项进行分析解答即可。 【详解】A．广场在学校的东偏北30°方向上； B．广场在学校的东偏北60°方向上； C．广场在学校西偏北的方向上； D．广场在学校北偏西的方向上。 故答案为：C 51．（2024杭州）程序员在给机器人设计行进路线图，下图中每个小正方形的对角线代表的长是10m，机器人从☆的位置向西偏南45°方向移动20m，机器人将移动到点（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据方向、角度和距离确定物体的位置、作平移后的图形、用数对表示位置 【分析】根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，再根据平移的特征，把☆向西偏南45°方向移动20m，确定出☆移动后的位置，再根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此解答。 【详解】20÷10＝2 平移后的位置如图所示： 因此，机器人将移动到点（3，3）。 故答案为：C 52．（2024温州）下图是两个城市的位置图，先观察，再回答下列问题。 （1）从青城看，蓝城位于（    ）偏（    ）（    ）°方向；从蓝城看，青城位于（    ）偏（    ）（    ）°方向。 （2）有两辆汽车分别同时从青城和蓝城相对开出，客车速度为80千米/时，货车速度为50千米/时。请你在图中用△标出两车相遇的大致位置。 【答案】（1）东；北；40；西；南；40 （2）见详解 【难度】0.65 【知识点】根据方向、角度和距离确定物体的位置、相遇问题 【分析】（1）根据“上北下南，左西右东”及角度信息和距离填空即可； （2）根据相遇问题中，相遇路程÷速度和＝相遇时间，据此求出客车和货车行驶的时间，再根据速度×时间＝路程，求出客车行驶的路程，进而标出两车相遇的大致位置。 【详解】（1）从青城看，蓝城位于东偏北40°（北偏东50°）方向；从蓝城看，青城位于西偏南40°（南偏西50°）方向。 （2）650÷（80＋50） ＝650÷130 ＝5（小时） 80×5＝400（千米） 如图所示： 53．（2024绍兴）如图，下面说法正确的是（    ）。 A．妙妙在甜甜北偏东30°方向 B．甜甜在妙妙西偏南60°方向 C．甜甜在妙妙的南偏西60°方向 D．妙妙在甜甜的东偏北60°方向 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据方向、角度和距离确定物体的位置 【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，妙妙在甜甜的方向，是以甜甜为观测点；甜甜在妙妙的方向，是以妙妙为观测点；根据方向、角度和距离确定妙妙与甜甜的位置关系。 【详解】A．妙妙在甜甜东偏北30°（或北偏东60°）方向，原选项说法错误； B．甜甜在妙妙南偏西60°（或西偏南30°）方向，原选项说法错误； C．甜甜在妙妙的南偏西60°方向，原选项说法正确； D．妙妙在甜甜的东偏北30°（或北偏东60°）方向，原选项说法错误。 故答案为：C 54．（2024金华）以小明家为观测点，根据下面条件在平面上标出各地的位置。（比例尺1∶100000） （1）学校在小明家北偏东70°的方向上，距离小明家2千米处。 （2）书店在小明家西偏南60°的方向上，距离小明家3千米处。 【答案】见详解 【难度】0.65 【知识点】根据方向、角度和距离确定物体的位置、图上距离与实际距离的换算 【分析】将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。 1、弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图。 2、注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 在确定夹角时，要根据方向来确定，比如北偏东，就是把正北方向对应量角器上的0°刻度线。然后从北偏向东一定的度数。 西偏南就是把正西方向对应量角器的0°刻度线，然后从西偏向南一定的度数。 根据比例尺1∶100000，得出图上距离1厘米表示实际距离100000厘米，单位换算1千米＝100000厘米，也就是1厘米对应实际距离1千米，即可求出它们之间的图上距离。 （1）学校和小明家的图上距离是2厘米，进而依据它们之间的方向关系，即可在图上标出学校的位置。 （2）书店和小明家的图上距离是3厘米，进而依据它们之间的方向关系，即可在图上标出书店的位置。 【详解】（1）100000厘米＝1千米 2÷1＝2（厘米） （2）3÷1＝3（厘米） 方程与代数式 解方程 55．（2024宁波）解方程或求比值。                      【答案】；； 【难度】0.65 【知识点】应用等式的性质2解方程、应用等式的性质1和2解方程、解分数方程、解百分数方程 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （2）方程两边先同时加上，方程变成，然后方程两边先同时减去，再同时除以，求出方程的解； （3）先把化成，然后方程两边先同时减去，再同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 56．（2024杭州）解方程。                【答案】； 【难度】0.65 【知识点】应用等式的性质1和2解方程、解分数方程、解百分数方程 【分析】“”将等式两边同时除以15%，解出； “”先将等式两边同时减去，再同时除以，解出。 【详解】 解： 解： 57．（2024衢州）解方程。              【答案】x＝250；x＝16；x＝21 【难度】0.65 【知识点】应用等式的性质2解方程、解分数方程、解百分数方程 【分析】（1）根据等式的性质2，方程两边同时除以80%即可求解。 （2）先将原式化简成，再根据等式的性质2，方程两边同时除以112.5%即可求解。 （3）先将原式化简成，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可求解。 【详解】 解： 解： 解： 58．（2024金华）解方程。          【答案】；； 【难度】0.65 【知识点】解百分数方程 【分析】，将百分数化成小数，根据等式的性质2，两边同时÷0.4即可； ，将分数和百分数都化成小数，将左边合并成1.2，根据等式的性质2，两边同时÷1.2即可； ，将百分数化成小数，根据等式的性质1和2，两边同时－18，再同时÷1.2即可。 【详解】 解： 解： 解： 59．（2024湖州）解方程。            3.2x－4×3＝52 【答案】x＝32；x＝6；x＝20 【难度】0.65 【知识点】解比例、解小数方程、解分数方程 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边同时减去2，再根据等式的性质2，两边再同时乘4； （2）根据比例的基本性质，先把比例化为方程，根据等式的性质2，两边再同时乘2； （3）先计算出4×3＝12，根据等式的性质1，两边同时加上12，再根据等式的性质2，最后两边再同时除以3.2。 【详解】（1） 解：2＋x－2＝10－2 x＝8 4×x＝8×4 x＝32 （2） 解：0.5x＝ 0.5x＝3 2×0.5x＝3×2 x＝6 （3）3.2x－4×3＝52 解：3.2x－12＝52 3.2x－12＋12＝52＋12 3.2x＝64 3.2x÷3.2＝64÷3.2 x＝20 60．（2024绍兴）解方程。 （－4）＝                    0.25×＋30%＝ 【答案】＝；＝ 【难度】0.65 【知识点】应用等式的性质1和2解方程、解含括号的方程、解分数方程、解百分数方程 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时除以，再同时加上4，求出方程的解； （2）先把方程化简成＋＝，然后方程两边先同时减去，再同时除以，求出方程的解。 【详解】（1）（－4）＝ 解：（－4）÷＝÷ －4＝× －4＝ －4＋4＝＋4 ＝ （2）0.25×＋30%＝ 解：×＋＝ ＋＝ ＋－＝－ ＝ ÷＝÷ ＝× ＝ 列方程解应用题 61．（2024杭州）每逢节日，百货公司就要举行促销活动，“元旦”的活动是：满200元减100元，满300元减150元，满400元减200元，……（以此类推，上不封顶）。 (1)如果李阿姨要买一套原价750元的服装，那么实际上的折扣率是 。（除不尽时，百分号前保留一位小数） (2)某品牌的帽子连续降价两次，每次都降价10%，现价是32.4元，这顶帽子的原价是 元。 【答案】(1)53.3% (2)40 【难度】0.65 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题）、列方程解含一个未知数的问题、比一个数多/少百分之几的数是多少 【分析】（1）根据题意可知，满整百数就会减少一半的钱，即750元的服装，满700元，就会减350元；用750－350求出实际的价格；折扣率＝实际钱数÷原价×100%，把数代入即可求解； （2）可以设某品牌的帽子原价为x元，降价10%，那么此时的价格相当于原价的（1-10%），则第一次的降价后的价格是（1-10%）x元，第二次再降价10%，那么第二次降价后的价格是第一次降价后价格的1-10%，单位“1”是第一次降价后的价格，则第二次降价后的价格是x（1-10%）×（1-10%），此时的价格是32.4元，据此即可列方程。 【详解】（1）700÷2=350（元） 750-350=400（元） 400÷750×100% ≈0.533×100% =53.3% 实际上的折扣率是53.3%。 （2）解：设这顶帽子的原价是x元。 （1-10%）×（1-10%）x=32.4 90%×90%x=32.4 0.81x=32.4 x=32.4÷0.81 x=40 这顶帽子的原价是40元。 62．（2024湖州）一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克，比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克。求一片国槐树叶一年的平均滞尘量。 【答案】22毫克 【难度】0.65 【知识点】列方程解含一个未知数的问题 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量是x毫克，由“一片银杏叶一年比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克”知：一片国槐树叶一年的平均滞尘量×2－4毫克＝一片银杏树叶一年的平均滞尘量，再根据等量关系列方程解答即可。 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量是x毫克。 2x－4＝40 2x－4＋4＝40＋4 2x＝44 2x÷2＝44÷2 x＝22 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量是22毫克。 63．（2024绍兴）动车速度是每小时行230千米，比高速列车速度的多38千米，高速列车每小时行多少千米？（用方程解答） （1）根据题目信息，请你把下面的线段图补画完整。 高速列车： 动车： （2）等量关系： （3）根据等量关系列方程解答。 【答案】（1）见详解 （2）高速列车的速度×＋38＝动车的速度 （3）320千米/时 【难度】0.65 【知识点】分数与整数的除法、应用等式的性质1和2解方程、列方程解含一个未知数的问题、等式的认识及列等量关系式 【分析】（1）根据分数的意义应把表示高速列车的线段平均分为5份，表示动车的线段比高速列车的3份多一些，并标出已知数据即可。 （2）据题意，等量关系是：高速列车的速度×＋38＝动车的速度 （3）假设高速列车每小时行千米，据等量关系列方程，解方程即可得解。 【详解】（1）据分析作图如下： （2）等量关系：高速列车的速度×＋38＝动车的速度 （3）解：设高速列车每小时行千米。 答：高速列车每小时行320千米。 64．（2024宁波）一套儿童服装，裤子的价钱是上衣的，上衣比裤子贵40元，裤子和上衣的价格各多少元？（用方程解答） 【答案】 裤子60元；上衣100元 【难度】0.65 【知识点】列方程解含两个未知数的问题、分数与整数的除法、应用等式的性质2解方程 【分析】由题意可知，把上衣的价格看作单位“1”，设上衣的价格为元，则裤子的价格可表示为元，等量关系式是上衣价格－裤子价格＝40，据此列方程并解答可得上衣价格，再用上衣价格减40即可。 【详解】解：设上衣的价格为元，则裤子的价格可表示为元。 裤子：（元） 答：裤子的价格是60元，上衣的价格是100元。 65．（2024金华）瓶子里装有饮料0.48千克，喝去的是余下的20%，喝去( )克。 【答案】80 【难度】0.65 【知识点】列方程解含两个未知数的问题、含百分数的运算、求一个数的百分之几是多少 【分析】由于喝去的是余下的20%，可以设余下的饮料是x千克，根据求一个数的百分之几是多少，用这个数×百分之几，即喝去的是20%x千克，根据喝去的量＋余下的量＝总量，据此即可列方程，之后再用总量减去余下的量即可求出喝了多少。最后还要通过单位换算，将千克转化成克。 【详解】解：设余下的是x千克。 20%x＋x＝0.48 120%x＝0.48 x＝0.48÷120% x＝0.4 0.48－0.4＝0.08（千克） 0.08千克＝80克 喝去80克。 66．（2021杭州）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱； 方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？ （1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元； （2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多。 【答案】（1）250元；（2）方案一盈利较多 【难度】0.15 【知识点】经济问题、优化问题、列方程解决稍复杂的实际问题 【分析】（1）根据：总利润＝单利润×数量，先计算出甲店A，B两种水果的总利润，再计算出乙店A，B两种水果的总利润，最后把两店的利润加起来即可； （2）根据题意， A，B两种台湾水果各10箱，设甲店A种水果有x箱，则乙店A种水果有（10－x）箱；设甲店B种水果有y箱，那么乙店B种水果有（10－y）箱，根据：甲店盈利钱数＝乙店盈利钱数，列出方程，找出符合题目要求的数量，即可解答。 【详解】（1）5×11＋5×9＋5×17＋5×13 ＝5×（11＋9＋17＋13） ＝5×50 ＝250（元） 答：经销商能盈利250元。 （2）解：设甲店A种水果x箱，B种水果y箱；则则乙店A种水果有（10－x）箱，B种水果有（10－y）箱。 11x＋17y＝9（10－x）＋13（10－y） 11x＋17y＝90－9x＋130－13y 11x＋9x＋17y＋13y＝90＋130 20x＋30y＝220 2x＋3y＝22 因为整箱配货可得三种方案：①x＝8，y＝2；②x＝5，y＝4；③x＝2，y＝6； 三种方案盈利分别为： ①当x＝8，y＝2时，两店盈利为： （11×8＋17×2）×2 ＝122×2 ＝244（元） ②当x＝5，y＝4时，两店盈利为： （11×5＋17×4）×2 ＝123×2 ＝246（元） ③当x＝2，y＝6时，两店盈利为： （11×2＋17×6）×2 ＝124×2 ＝248（元） 250元＞248元＞246元＞244元。 答：方案一盈利较多。 【点睛】此题考查了经济问题的方案选择，关键能够灵活运用方程代入符合题目的数值找出合理的方案。 一、填空题（共20分） 1．（2024杭州）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形（第2幅），画3个正方形能得到8个直角三角形（第3幅），画n个正方形能得到 个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为 平方厘米。 第1幅            第2幅          第3幅         第4幅 【答案】 12 6.28 【难度】0.4 【知识点】正方形的面积、圆的面积、数与形（归纳递推） 【分析】由图可知，第1幅图形有1个正方形，0个直角三角形； 第2幅图形有2个正方形，有（4×1）个直角三角形； 第3幅图形有3个正方形，有（4×2）个直角三角形； 第4幅图形有4个正方形，有（4×3）个直角三角形 …… 以此类推，每增加一个正方形就增加4个直角三角形，那么第n个图形有n个正方形，4（n－1）个直角三角形。 从图中可知：大正方形的面积是小正方形面积的2倍。据此可知：最大正方形的面积是最小正方形面积的2×2×2＝8倍。最大正方形的面积是8×8＝64平方厘米，最小正方形的面积就是64÷8＝8平方厘米。又知：最小正方形的边长＝圆的直径，那么最小正方形的面积＝8＝（2r）2＝（2r）×（2r）＝4r2，r2＝8÷4＝2。因此第4幅图中圆的面积为2×3.14＝6.28平方厘米。 【详解】4×（4－1） ＝4×3 ＝12（个） 8×8÷（2×2×2） ＝8×8÷8 ＝8（平方厘米） 8＝（2r）2 ＝（2r）×（2r） ＝4r2 8÷4×3.14＝6.28（平方厘米） 画n个正方形能得到12个直角三角形。若大正方形的边长为8厘米，那么第4幅图中圆的面积为6.28平方厘米。 【点睛】找出正方形个数和直角三角形个数的变化规律是解答题目的关键。 2．（2024杭州）买来1000千克蘑菇，含水率是96%，经晾晒后含水率下降到90%，晾晒后蘑菇的质量是 千克。 【答案】400 【难度】0.65 【知识点】含百分数的运算、求一个数的百分之几是多少、已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 【分析】以总质量1000千克蘑菇为单位“1”，初始含水率为96%，因此干物质占总质量的1－96%＝4%，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用1000×（1－96%）即可求出干物质的质量；再以晾晒后蘑菇的质量为单位“1”，这时干物质占1－90%＝10%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，用干物质的质量÷（1－90%），即可求出晾晒后蘑菇的质量。 【详解】1000×（1－96%）÷（1－90%） ＝1000×4%÷10% ＝40÷0.1 ＝400（千克） 晾晒后蘑菇的重量是400千克。 3．（2024宁波）录入一份文件，王强用了20分钟，李明用了16分钟。王强比李明打字速度要慢( )%。如果两人合作录入，( )分钟能完成任务。 【答案】 20 / 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算、求一个数比另一个数多/少百分之几、两人合作的工程问题 【分析】把录入这份文件的工作总量看作单位“1”，根据“工作总量÷工作时间＝工作效率”，分别求出王强、李明的打字速度； 求王强比李明打字速度要慢百分之几，先用减法求出慢的量，再除以李明的打字速度即可。 先把两人的工作效率相加，求出合作工效；再根据“工作总量÷合作工效＝合作工时”即可求出两人合作录入，完成任务需要的时间。 【详解】王强打字速度：1÷20＝ 李明打字速度：1÷16＝ （－）÷×100% ＝（－）÷×100% ＝÷×100% ＝×16×100% ＝0.2×100% ＝20% 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（分钟） 王强比李明打字速度要慢20%。如果两人合作录入，分钟能完成任务。 4．（2024宁波）六（1）班男生比女生多，那么男生和女生人数的最简单的整数比是( )，女生人数是全班人数的( )。 【答案】 7∶5 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算、比的意义、求一个数占另一个数几分之几、比的化简 【分析】已知六（1）班男生比女生多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生的（1＋）；根据比的意义写出男生和女生人数的比，再化简比。 先用男生人数加上女生人数，求出全班人数；再用女生人数除以全班人数，求出女生人数是全班人数的几分之几。 【详解】（1＋）∶1 ＝∶1 ＝（×5）∶（1×5） ＝7∶5 1÷（1＋＋1） ＝1÷ ＝1× ＝ 那么男生和女生人数的最简单的整数比是7∶5，女生人数是全班人数的。 5．（2024嘉兴）完成相等的工作量，甲用了35分钟，乙用了45分钟。甲、乙两人工作效率的最简整数比是( )。 【答案】9∶7 【难度】0.65 【知识点】比的意义、比的化简 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲的工作效率和乙的工作效率；再根据比的意义：用甲的工作效率∶乙的工作效率，化简，即可解答。 【详解】∶ ＝（×315）∶（×315） ＝9∶7 完成相等的工作量，甲用了35分钟，乙用了45分钟。甲、乙两人工作效率的最简整数比是9∶7。 6．（2024宁波）54的是( )，m是m的( )，60t比( )t少60%。 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数占另一个数几分之几、求一个数的几分之几的问题、分数与分数的除法、已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 【分析】求54的是多少，把54看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算； 求m是m的几分之几，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算； 求60t比多少t少60%，把要求的吨数看作单位“1”，则60t是它的（1－60%），单位“1”未知，根据百分数除法的意义求解。 【详解】54×＝30 ÷ ＝× ＝ 60÷（1－60%） ＝60÷（1－0.6） ＝60÷0.4 ＝150（t） 填空如下： 54的是（30），m是m的（），60t比（150）t少60%。 7．（2024宁波）选择下面的百分数填空。 105%  65%  96%  35%  2% (1)某生产车间经过技术改良生产效率大幅提升，现在的效率是原来的( )。 (2)工程队修建一段水渠，已经完成( )，还剩下整条水渠的( )。 【答案】(1)105% (2) 65%/35% 35%/65% 【难度】0.65 【知识点】百分数的意义、含百分数的运算 【分析】技术改良生产效率大幅提升，则现在的效率一定比原来的高，换句话说现在的效率是原来效率的1倍以上，所以选择大于的百分数。水渠修完一部分还剩余一部分，所以选择小于的百分数，且两个百分数的和等于，但已完成的和剩下的两部分谁多谁少都可以，据此解答。 【详解】（1）大于，所以某生产车间经过技术改良生产效率大幅提升，现在的效率是原来的。 （2）、都小于，且。所以工程队修建一段水渠，已经完成，还剩下整条水渠的；或者已经完成，还剩下整条水渠的。 8．（2024嘉兴）“、、、”四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 0.666 【难度】0.65 【知识点】多位小数的大小比较、百分数、小数和分数的互化 【分析】分数化小数：分子除以分母，将商写成小数形式即可； 百分数化小数：去掉百分号，并将小数点向左移动两位； 小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的就大。整数部分相同的，再比较十分位，十分位大的就大。十分位也相同的，再比较百分位，百分位大的就大。以此类推。 据此，先将分数和百分数化成小数，再比较大小即可。 【详解】＝2÷3＝0.666… ＝11÷15＝0.7333… 66.7%＝0.667 0.7333…＞0.667＞0.666…＞0.666，即＞66.7%＞＞0.666。所以“、、、”四个数中，最大的数是，最小的数是0.666。 9．（2024嘉兴）聪聪用小棒摆了4个树状图，以下是树状图变化的规律： (1)按此规律继续摆下去，第5个树状图要用( )根小棒。 (2)按此规律继续摆下去，第( )个树状图要用1023根小棒。 【答案】(1)31 (2)10 【难度】0.65 【知识点】数与形（探索规律） 【分析】（1）看图可知，第1个图用（2－1）根小棒，第2个图用（2×2－1）根小棒，第3个图用（2×2×2－1）根小棒，第4个图用（2×2×2×2－1）根小棒，那么第5个图需要用（2×2×2×2×2－1）根小棒。 （2）根据（1）可知，第n个图需要（2n－1）根小棒。令2n－1＝1023，求出n，即可求出第几个树状图要用1023根小棒。 【详解】（1）2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（根） 所以第5个树状图要用31根小棒。 （2）2n－1＝1023，那么2n＝1024。 210＝1024，那么n＝10。 所以第10个树状图要用1023根小棒。 10．（2024衢州）我国约有660个城市，其中约的城市供水不足。在这些供水不足的城市中，又约有的城市严重缺水。全国严重缺水的城市大约有( )个。 【答案】110 【难度】0.65 【知识点】连续求一个数的几分之几是多少的问题 【分析】把我国城市的总个数看作单位“1”，其中约的城市供水不足，用我国城市的总个数×，求出供水不足的城市个数，再把供水不足的城市个数看作单位“1”，又约有的城市严重缺水，用供水不足的城市个数×，即可求出全国严重缺水的城市的个数。 【详解】660×× ＝440× ＝110（个） 我国约有660个城市，其中约的城市供水不足。在这些供水不足的城市中，又约有的城市严重缺水。全国严重缺水的城市大约有110个。 二、判断题（共10分） 11．（2022绍兴）一件衣服先涨价10%，再降价10%，现在的价格和原来相同。( ) 【答案】× 【难度】0.65 【知识点】比一个数多/少百分之几的数是多少 【分析】将这件衣服的原价当作单位“1”，则先涨价10%后的价格是原价的1＋10%，再降价10%，是以涨价后的价格为单位“1”，则降价后的价格是降价前的1－10%，即是原价的（1＋10%）×（1－10%）。 【详解】1×（1＋10%）×（1－10%） ＝110%×90% ＝99% 即现价是原价的99%。 故答案为：× 12．（2014宁波）一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 【答案】× 【难度】0.85 【知识点】因数和倍数的认识 【分析】根据因数和倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答即可。 【详解】比如6的最大因数是6，6的最小倍数是6，所以一个数的倍数一定比它的因数大的说法是错误的。 故答案为：× 13．（2023绍兴）足球的个数比排球多，也就是足球的个数是排球的。( ) 【答案】√ 【难度】0.85 【知识点】单位“1”的认识与确定、同分母分数加、减法、求一个数占另一个数几分之几 【分析】从“足球的个数比排球多”可知，以排球个数为单位“1”，足球比排球多的个数占排球的，足球分为两部分，一部分是和排球相同的部分即“1”，另一部分是多出来的“”，两部分合起来是：（1＋）。据此解答。 【详解】1＋ ＝＋ ＝ 足球的个数比排球多，也就是足球的个数是排球的 故答案为：√ 14．（2024杭州）。( ) 【答案】× 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】根据运算顺序，先计算两个除法，再计算加法，即可进行判断。 【详解】 ＝ ＝9＋ ＝ 所以原题计算错误。 故答案为：× 15．（2024宁波）从学校走到少年宫，军军用了10分钟，彬彬用了15分钟，则军军与彬彬的速度比是2∶3。( ) 【答案】× 【难度】0.65 【知识点】比的意义、基础行程问题 【分析】把从学校走到少年宫的路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”分别求出军军和彬彬的速度，进而根据题意求比即可判断。 【详解】（1÷10）∶（1÷15） ＝ ＝ ＝3∶2 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】解答此题用到的知识点：（1）比的意义；（2）路程、时间和速度三者之间的关系。 三、选择题（共10分） 16．（2024杭州）李叔叔把m元钱存入银行，存五年定期，按年利率1.8%计算，到期后连本带息可取出n元。下列等式正确的是（    ）。 A．m＝n÷（1.8%×5） B．n＝m＋m×1.8% C．m＝n×（1＋1.8%×5） D．n＝m＋m×1.8%×5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求利息、用字母表示数、数量关系 【分析】根据利息公式：利息＝本金×利率×时间，据此求出利息，再用本金加上利息，即可解答。 【详解】本金是m元 利息：m×1.8%×5（元） n＝m＋m×1.8%×5 李叔叔把m元钱存入银行，存五年定期，按年利率1.8%计算，到期后连本带息可取出n元。等式正确的是n＝m＋m×1.8%×5。 故答案为：D 17．（2024宁波）“书法小组有30人，___________，航模小组有多少人？”在横线上填入合适的条件，可以用算式“30÷（1－）”来解决，你选择的信息是（    ）。 A．书法小组的人数比航模小组少 B．航模小组的人数比书法小组少 C．书法小组的人数是航模小组的 D．航模小组的人数比书法小组的人数多 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】“提问题”“填条件”问题、求一个数的几分之几的问题、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【分析】根据分数乘法和分数除法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法；再通过各个选项里单位“1”的确定，把4个选项里的条件代入逐项进行分析，即可解答。 【详解】A．把航模小组的人数看作单位“1”，书法小组的人数是航模小组的（），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用30除以（）计算，该选项可以用算式“”来解决，符合题意； B．把书法小组的人数看作单位“1”，航模小组的人数是书法小数的（），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用30乘（）计算，该选项不可以用算式“”来解决，不符合题意； C．把航模小组的人数看作单位“1”，书法小组的人数是航模小组的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用30除以计算，该选项不可以用算术“”来解决，不符合题意； D．把书法小组的人数看作单位“1”，航模小组的人数是书法小组的（），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用30乘（）计算，该选项不可以用算式“”来解决，不符合题意。 故答案为：A 18．（2024嘉兴）一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去剩余的。两次剪去的绳子长度相比，（    ）。 A．第一次剪去的长 B．第二次剪去的长 C．一样长 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算、求一个数的几分之几的问题 【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，第一次剪去全长的，则还剩下全长的（1－）； 第二次剪去剩余的，即第二次剪去全长的（1－）的，根据分数乘法的意义，求出第二次剪去全长的几分之几，再与第一次剪去全长的进行比较，得出结论。 【详解】第二次剪去全长的： （1－）× ＝× ＝ ＝ 所以，两次剪去的绳子长度相比，一样长。 故答案为：C 19．（2024杭州）按下图三幅图的样子继续画，第10幅图中阴影面积可以表示为（    ）（图中每个圆的半径为r）。 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正方形的面积、圆的面积、求组合图形中阴影部分的面积、数与形（探索规律） 【分析】观察图形可知，第1幅图，阴影部分的面积等于1个边长是2r正方形面积－1个半径为r的圆的面积；面积＝4r2－πr2，可以写成：1×（4－π）r2； 第2幅图阴影部分面积等于1个边长为2r的正方形和－2个半径为r的圆的面积和；面积＝2×4r2－2×πr2，可以写成：2×（4－π）r2； 第3幅图阴影部分面积等于3个边长为2r的正方形面积和－3个半径为r的圆的面积和；面积＝3×4r2－3×πr2，可以写成：3×（4－π）r2； …… 由此可知，第n幅图阴影部分面积等于n个边长为2r的正方形面积和－n个半径为r的圆的面积和，即n×（4－π）r2，据此求出第10幅图阴影部分面积。 【详解】根据分析可知，第n幅图阴影部分面积为：n×（4－π）r2； 则第10幅图中阴影面积可以表示为10×（4－π）r2。 故答案为：D 20．（2024宁波）计算：运用了（    ）。 A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】整数乘法运算定律推广到分数乘法 【分析】根据加法交换律：a＋b＝b＋a，乘法交换律：ab＝ba，乘法结合律：（ab）c＝a（bc），乘法分配律：（a＋b）c＝ac＋bc。据此判断即可。 【详解】根据分析可得： 计算：运用了乘法分配律。 故答案为：D 四、计算题（共12分） 21．（2024衢州）直接写出得数。                                                          【答案】；； 12.56；300； 【难度】0.85 【知识点】分数乘分数、分数与分数的除法、含百分数的运算、分数乘整数 【详解】略 22．（2024金华）直接写出得数。                                                           【答案】252；4.23；； 32；30；25 【难度】0.85 【知识点】分数的乘、除法的混合运算、除数是小数的小数除法、分数乘分数、含百分数的运算 【解析】略 23．（2024嘉兴）计算下面各题，能简算的要简算。                                  【答案】；；7 6；；1 【难度】0.65 【知识点】分数的四则混合运算、分数的加、减法混合运算、分数加、减简便运算、整数乘法运算定律推广到分数乘法 【分析】－×，先计算乘法，再计算减法； 3－÷－，先计算除法，再按照运算顺序，进行计算； 4.3－＋3.7－，根据带符号搬家，原式化为：4.3＋3.7－－，再根据加法结合律和减法性质，原式化为：（4.3＋3.7）－（＋），再进行计算； 4.8＋3.2×，先计乘法，再计算加法； 0.45×＋÷，先把分数化成小数，＝0.55除法换算乘法，原式化为：0.45×＋0.55×，再根据乘法分配律，原式化为：（0.45＋0.55）×，再进行计算； [1－（＋）]÷，先计算小括号里的加法，再计算中括号里的减法，最后计算括号外的除法。 【详解】－× ＝－ ＝－ ＝ 3－÷－ ＝3－×－ ＝3－－ ＝－ ＝ 4.3－＋3.7－ ＝4.3＋3.7－－ ＝（4.3＋3.7）－（＋） ＝8－1 ＝7 4.8＋3.2× ＝4.8＋1.2 ＝6 0.45×＋÷ ＝0.45×＋0.55× ＝（0.45＋0.55）× ＝1× ＝ [1－（＋）]÷ ＝[1－（＋）]÷ ＝[1－]÷ ＝÷ ＝×9 ＝1 五、解方程（共6分） 24．（2024衢州）解方程。          【答案】；； 【难度】0.65 【知识点】解分数方程、解百分数方程 【分析】，将百分数化成小数0.2，根据等式的性质2，两边同时÷0.2即可； ，先将左边合并成，根据等式的性质2，两边同时÷即可； ，将分数化成小数0.2，根据等式的性质1和2，两边同时－0.2，再同时÷0.6即可。 【详解】 解： 解： 解： 25．（2023杭州）解方程。                    【答案】；； 【难度】0.65 【知识点】应用等式的性质1解方程、应用等式的性质1和2解方程 【分析】根据等式的性质两边同时乘一个数，等式不变。 利用乘法分配律，再利用等式的性质，等式两边同时乘3，等式不变。 等式两边同时除以，等式不变；等式两边同时加4.5，等式不变。 【详解】 解： 解： 解： 六、作图题（共6分） 26．（2024绍兴）下面两个大长方形都表示2m2，请你按要求用阴影表示。 （1）画出2m2的。 （2）画出m2。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【难度】0.65 【知识点】分数的意义、分数与整数的除法 【分析】（1）把长方形看作单位“1”，把它平均分成3份，取其中的2份，据此解答。 （2）根据求一个数是另一个数的几分之几，用，根据分数的意义，用阴影表示长方形的即可。 【详解】（1）据分析作图如下： （2） 作图如下： 七、解答题（共36分） 27．（2024杭州）某商场第四季度共销售一款电动玩具705件。 （1）其中10月与11月的销量比是6∶7，11月与12月的销量比是2∶3。这三个月各售出电动玩具多少件？ （2）每件按40%的利润定价为70元，商场出售60%后，为尽快售完，剩下的按定价的五折出售。商场能获利吗？写出思考过程。 【答案】（1）10月：180件；11月：210件；12月：315件 （2）能 【难度】0.65 【知识点】经济问题、按比分配问题、求一个数的百分之几是多少、已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 【分析】（1）根据10月与11月的销量比，11月与12月销量比，求出10月、11月和12月销量比，再根据按比的分配，即可求出三个月各销售电动玩具的件数。 （2）把进价看作单位“1”，售价是进价的（1＋40%），对应的是70元，求单位“1”，用70÷（1＋40%），求出进价；再用电动玩具的总件数×60%，求出卖出的件数；再用卖出的件数×70，求出卖出的钱数，五折就是现价的50%；用原价×50%，求出现价，再用电动玩具的总件数－卖出的件数，求出剩下的件数；再用剩下的件数×五折的价钱，求出剩下的电动玩具卖出的钱数；再把它们相加，求出一共卖出的钱数；再用电动玩具的总件数×进价，求出进价的钱数，再和卖出的钱数比较，如果大于进价，就是盈利，如果小于进价，就是亏钱，据此解答。 【详解】（1）10月与11月销量比是6∶7； 11月与12月销量比是2∶3； 6∶7 ＝（6×2）∶（7×2） ＝12∶14 2∶3 ＝（2×7）∶（3×7） ＝14∶21 10月、11月、12月销量比是12∶14∶21。 10月： 705× ＝705× ＝180（件） 11月： 705× ＝705× ＝210（件） 12月： 705× ＝705× ＝315（件） 答：10月售出180件电动玩具，11月份售出210件电动玩具，12月份售出315件电动玩具。 （2）70÷（1＋40%） ＝70÷1.4 ＝50（元） 705×60%×70 ＝423×70 ＝29610（元） 五折就是现价是原价的50%。 705×（1－60%）×（70×50%） ＝705×40%×35 ＝282×35 ＝9870（元） 29610＋9870＝39480（元） 705×50＝35250（元） 39480＞35250，商场能获利。 答：商场能获利。 28．（2024宁波）垃圾分类已成为居民的自觉行为，在北环小区，平均每日产垃圾约500千克，各种垃圾的数量情况如图所示，其中有害垃圾和厨余垃圾的比是1∶9，北环小区这一周（7天）的厨余垃圾有多少千克？ 【答案】1260千克 【难度】0.65 【知识点】按比分配问题、比与分数、除法的关系、扇形统计图的特点及绘制、求一个数的百分之几是多少 【分析】把北环小区平均每日产垃圾的总量看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”减去其他垃圾、可回收垃圾占总量的百分比，即是有害垃圾与厨余垃圾之和占总量的1－40%－20%＝40%； 已知有害垃圾和厨余垃圾的比是1∶9，则厨余垃圾占有害垃圾与厨余垃圾之和的；那么厨余垃圾占总量的40%的，根据百分数乘法的意义，求出厨余垃圾占总量的40%×＝36%；已知平均每日产垃圾约500千克，单位“1”已知，用每日产垃圾的总量乘36%，即可求出每日厨余垃圾的量，再乘7，即是一周产厨余垃圾的量。 【详解】有害垃圾和厨余垃圾占每日产垃圾总数的： 1－40%－20%＝40% 厨余垃圾占每日垃圾总量的： 40%× ＝40%× ＝36% 每日产厨余垃圾： 500×36% ＝500×0.36 ＝180（千克） 一周产厨余垃圾： 180×7＝1260（千克） 答：北环小区这一周（7天）的厨余垃圾有1260千克。 29．（2024湖州）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 【答案】110个 【难度】0.4 【知识点】通过操作实验探索规律、两位数乘整十数的口算乘法、算式的规律（整数） 【分析】由题意可得，21个服务驿站，每站的货包各1个，起点即甲站不装货包，所以快递货车由甲站出发时装有20个货包，到第2站时先卸下1个，还剩下19个货包，再装上发往后面每站的货包共19个，所以第2站车上装有（19×2）个货包；据此得出每个站点的货包数量： 第1站：20×1 第2站：19×2 第3站：18×3 …… 第10站：11×10 第11站：10×11 第12站：9×12 …… 第19站：2×19 第20站：1×20 照此规律，从第12站开始货包数量逐渐减少，据此得出货包数量最多的个数。 【详解】11×10＝110（个） 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是110个。 【点睛】找出每个站点装载货包数量的规律是解题的关键。 30．（2024嘉兴）小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲乙两地相距多少千米？ 【答案】18千米 【难度】0.4 【知识点】分数的四则混合运算、相遇问题、已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【分析】把甲乙两地的距离看作单位“1”，小明走了全程的，则小红走了全程的1－＝，再用小明走的路程占全程的分率÷小红走的路程占全程的分率，即÷＝，求出小明走的路程是小红的几分之几；相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，说明小红又走了全程的，那么小明走了×＝，小明一共走了路程的（＋）；再用1减去小明走了的路程占全程的分率，求出剩下的路程占全程的分率，对应的是12千米，求单位“1”，用12÷剩下路程占全长的分率，即可解答。 【详解】÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 12÷（1－－×） ＝12÷（－） ＝12÷（－） ＝12÷ ＝12× ＝18（千米） 答：甲乙两地相距18千米。 【点睛】求出当小红到达乙地时，小明共走了全程的几分之几是解答本题的关键。 31．（2023温州）四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分，比赛结果，没有人全胜，并且各人的得分都不相同。那么最多有多少局平局？ （1）因为每两名棋手要赛一场，每位棋手一共要赛3场，总分最多是多少分？ （2）因为没有人全胜，也就意味着没有人全输，那么各人的得分情况为什么不可能是5，4，3，2？请用计算进行说明。 （3）四名棋手的得分可能各是多少分？ 【答案】1局； （1）5分； （2）因为所有人的总分和是12分，5，4，3，2的和已经超过了12； （3）5分、4分、2分、1分 【难度】0.15 【知识点】排列组合问题、搭配问题、推理问题 【分析】（1）每位棋手一共要赛3场，每场得分最多2分，平一局得1分，负一局得0分，没有人全胜，所以每位棋手最多是赢2局，1局平局，所以最多只能得（2＋2＋1）分； （2）由于每个棋手都可以和另外的3个棋手组合，一共有（3×4）种组合；又因为两个棋手只有一种组合方式，要去掉重复计算的情况，所以要再除以2。则一共要比赛（3×4÷2）局比赛，已知每场比赛2个棋手的得分和是2分，则用2×比赛局数即可求出所有棋手的总分；所以所有人的总分加起来是12分，因为5＋4＋3＋2＝14（分），12小于14，所以各人的得分情况不可能是5，4，3，2； （3）因为没有人全胜，也就意味着没有人全输，所以每人最多得5分，最少输了2局，1局平局，也就是最少得1分；所以每个人的得分在5、4、3、2、1之间，因为各人的得分都不相同，总分加起来是12分，所以从5、4、3、2、1中选出4个数加起来是12，只有5、4、2、1符合题意，所以四名棋手的得分可能各是5分、4分、2分、1分。 如图： 所以最多有1局平局。 【详解】（1）2＋2＋1＝5（分） 答：每位棋手的总分最多是5分。 （2）3×4÷2＝6（局） 6×2＝12（分） 5＋4＋3＋2＝14（分） 12＜14 答：各人的得分情况不可能是5，4，3，2，因为5，4，3，2的和已经超过12。 （3）每个人得分最多5分， 最少：1＋0＋0＝1（分） 所以每个人的得分在5、4、3、2、1之间，且各人的得分都不相同，所有人总分加起来是12分， 5＋4＋3＋1＝13（分） 4＋3＋2＋1＝10（分） 5＋3＋2＋1＝11（分） 5＋4＋2＋1＝12（分） 只有5、4、2、1符合题意， 如图： 答：四名棋手的得分可能各是5分、4分、2分、1分，最多只有1局平局。 【点睛】本题看作握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，明确6场比赛的总得分是解决本题的关键。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$