专题培优课 平面向量中的最值(范围)问题讲义-2025届高三数学二轮专题复习

专题培优课　平面向量中的最值(范围)问题 【考情分析】　平面向量中的范围问题是近几年高考的热点之一．此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个向量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等． 关键能力·题型剖析 题型一 与系数有关的最值问题 例 1 [2024·河北唐山模拟]如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且＝4，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则μ－的最小值是(　　) A． B． C．－7 D． 题后师说 巩固训练1 如图，在△ABC中，M为边BC上不同于B，C的任意一点，点N满足＝2.若＝x＋y，则x2＋9y2的最小值为________． 题型二 与数量积有关的最值(范围)问题 例 2 [2024·河南开封模拟]等腰直角△ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且|AB|＝1，O为坐标原点，则·的取值范围是(　　) A．(0，] B．(0，] C．(，1] D．(，1] 题后师说 与数量积有关的最值(范围)问题的两种常用解法 (1)坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理． (2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识解决． 巩固训练2 [2024·山东滨州模拟]在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则·的最小值是(　　) A．－ B．－1 C．－2 D．－4 题型三 与向量的模有关的最值(范围)问题 例 3 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，＋2] C．[1，＋1] D．[1，＋2] 题后师说 与向量的模有关的最值(范围)问题的两种常用方法 (1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解； (2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解． 巩固训练3 [2024·湖南衡阳模拟]已知平面向量a、b、c满足|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝－1，则|b＋c|的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 　 题型四 与向量的夹角有关的最值(范围)问题 例 4 [2024·安徽安庆模拟]已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥，则夹角θ的最小值为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 题后师说 求与向量的夹角有关的最值(范围)问题要根据夹角余弦值表达式，利用基本不等式或函数的性质求解． 巩固训练4 平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos 〈b，3b－a〉的最小值是________． 　 1．已知向量a，b，c满足a＝(3，0)，b＝(0，4)，c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．[2023·湖南长沙模拟]正八边形ABCDEFGH上存在一动点P(点P与A，C不重合)，已知正八边形边长为2，则·的最大值为(　　) A．2＋ B．6＋4 C．6＋6 D．8＋6 3．[2020·新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6) 4．在△ABC中，＝，E是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y(x，y∈R)，则的最小值是________． 状元笔记 极化恒等式 极化恒等式的证明过程与几何意义 证明过程：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b. ||2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2， ||2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2， 两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，此即极化恒等式． 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的. 【典例】　(1)如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值为________. (2)已知点A，B，C均在半径为的圆上，若|AB|＝2，则·的最大值为________． [解析]　(1)设＝＝， ·＝||2－||2＝92－2＝4， ·＝||2－||2＝2－2＝－1， 解得2＝2＝， ∴·＝||2－||2＝42－2＝. (2)设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D， 故·＝·＝－＝－1， 因为A，B，C三点在圆上， 所以CD长度最大为r＋d， 其中d为圆心O到弦AB的距离， 故最大值为1＋， 所以－1的最大值为(1＋)2－1＝2＋2. [答案]　(1)　(2)2＋2 专题培优课　平面向量中的最值(范围)问题 关键能力·题型剖析 例1　解析：因为M，D，N三点共线，所以可设＝t， 则＝t()， 又＝＝＝)＝， 所以＝t()， 又＝λ＝μ， 所以－λ＝t(μ)， 所以(－λ)＝－t＋t(μ－， 所以消去t得＝， 所以μ－＝μ－， 因为λ>0，μ>0，得＝>0，得μ>， 所以μ＋≥2 ＝，当且仅当μ＝，即μ＝时，等号成立，所以μ－的最小值为.故选A. 答案：A 巩固训练1　解析：根据题意，得＝＝xy. 因为M，B，C三点共线，设＝λ，(0<λ<1)，则＝λ()， 所以＝(1－λ)＋λ，所以 所以有x＋y＝1，即x＋y＝(0<y<)， 所以x2＋9y2＝(－y)2＋9y2＝10y2－y＋＝10(y－)2＋(0<y<)， 所以当y＝时，x2＋9y2取得最小值. 答案： 例2　 解析：由题意可得：△OAB为直角三角形，且|AB|＝1， 不妨设A(cos α，0)，B(0，sin α)，其中α∈(0，)， 如图所示，则由等腰直角三角形的性质可得C(cos α＋sin α，cos α)， 所以·＝cos α(cos α＋sin α)＝cos 2α＋sin 2α＋＝sin (2α＋)＋，2α＋∈()，所以sin (2α＋)∈(－，1]，则·∈(0，].故选B. 答案：B 巩固训练2　 解析：设＝λ(λ∈[0，1])，＝＝－(1－λ)·＝[－(1－λ)]·(λ)＝－λ(1－λ)2＋λ·＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos 60°＝3λ(3λ－2)，当λ＝时，3λ(3λ－2)取最小值－1.故选B. 答案：B 例3　 解析：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，且|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝1，∴作出图象如图，由图可知，|c|最小值为－1，最大值为＋1.故选A. 答案：A 巩固训练3　解析：在平面直角坐标系xOy中，设a＝(1，0)，b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)， 因为a·b＝x1＝1，a·c＝x2＝－1，b·c＝x1x2＋y1y2＝y1y2－1＝0， 所以|b＋c|＝＝|y1＋y2|＝|y1＋|＝|y1|＋≥2 ＝2， 当且仅当y1＝±1时，等号成立．因此，|b＋c|的最小值为2.故选C. 答案：C 例4　解析：由|a＋b|2＝4有|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ＝4，即4≥2|a||b|(1＋cos θ)≥(1＋cos θ)，前一个等号成立条件为|a|＝|b|，整理得cos θ≤.由于θ∈[0，π]，所以≤θ≤π，于是夹角为θ的最小值为.故选C. 答案：C 巩固训练4　解析：由|a－3b|＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1. 又因为|a|＝|b|，所以a·b＝， 所以cos 〈b，3b－a〉＝＝＝＝＝(8|b|＋)≥×2＝，当且仅当|b|＝时取等号， 所以cos 〈b，3b－a〉的最小值是. 答案： 随堂检测 1．解析：由条件可知c＝(3λ，4－4λ)，则|c|＝＝＝ ，当λ＝时，|c|min＝.故选B. 答案：B 2．解析：·＝||·||cos 〈〉，由平面向量数量积的几何意义可知，当||cos 〈〉最大，即在方向上投影最大时，·最大，由图可知当点P运动到点D时，在方向上投影取得最大． 如图建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，C(2＋)，D(2＋，2＋)， 所以＝(2＋)，＝(2＋，2＋)． 所以·的最大值为·＝(2＋)(2＋)＋(2＋)＝8＋6.故选D. 答案：D 3．解析： ·＝||||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)．故选A. 答案：A 4. 解析：因为＝，所以＝， 因为＝x＋y，所以＝xy， 因为A，D，E三点共线，所以x＋y＝1，x>0，y>0， 所以＝＝()(x＋y)＝＋4＋1＋≥2 ＋5＝9， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号， 所以的最小值是9. 答案：9 学科网（北京）股份有限公司 $$