精品解析：2025年辽宁省沈阳市九年级中考一模数学模拟试卷（二）

2025年辽宁省沈阳市一模数学模拟试卷（二） 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图为一个积木示意图，这个几何体左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算：①；②（x﹣2y）2＝x2﹣4y2；③（﹣a）4•a3＝﹣a7；④x10÷x5＝x2，其中错误的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图 4×4 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ） A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 5. 某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要10天、15天完成．如果两个工程队同时施工2天，然后由乙工程队单独施工，还需多少天完成？若设由乙工程队单独施工，还需x天完成，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB＝90°，斜边AC、BD交于点E，过B点E作EF⊥BC，垂足为F，若AB＝3，CD＝5，则EF的长度为（　　） A. B. C. D. 7. 钧瓷始于唐、盛于宋，是中国古代五大名瓷之一，并以其独特的釉料及烧成方法产生的窑变神奇而闻名于世．北宋徽宗时期，官府在今河南省禹州市区东北部设置官窑，为皇宫烧制贡瓷．小明珍藏了四枚由国家邮政局年发行的《中国陶瓷——钩窑瓷器》特种邮票，上面分别绘有“北宋・出戟尊”“北宋・尊”“元・双耳炉”和“元・双耳连座瓶”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“北宋・尊”和“元・双耳炉”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（　　） A. B. C. D. 9. 如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 分解因式：_______． 12. 我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧______吨煤所产生的能量． 13. 已知，．若的值与x的取值无关，则___________． 14. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别是边，上动点，点P是线段的中点，过点P作，，垂足分别为G，H，连接．若，，，则的最小值为______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．甲款红茶分数(百分制)的频数分布表和频数分布直方图如下所示： 分数 频率 2 1 4 ▲ ■ 4 ．甲款红茶分数在这一组的数据如下； 86 86 86 86 86 87 87 88 88 89 ．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 乙 90 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图． （2）表格中的值为________，的值为________． （3）根据消费者对这两款红茶的评分，从平均数、众数、中位数的角度分析，你认为哪款红茶的质量较好，并说明理由． （4）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合测评，评分如下：甲款红茶90分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪款红茶的最终成绩更高． 18. 陈老师的家乡出产青李，因雪峰山特殊的地形形成特殊的气候，所以青李的品质很高．家乡人成立了雪峰商会，其中有一专项就是青李的销售．去年青李成熟之际，商会收集了大量的青李，用A，B两种型号的货车，分两批装箱运往C市销售，具体运输情况如表： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 8 15 B型货车的辆数（单位：辆） 4 10 累计运输物资的吨数（单位：吨） 44 95 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨青李？ （2）已知A型车满载运往C市一趟的运费为540元，B型车满载运往C市一趟的运费需要740元，商会后续又筹集了40吨青李，现需要10辆货车运送青李．为控制运费不超过6600元，试问有哪几种方案可以一次性将这批青李运往目的地？ 19. 随着农业现代化的进一步推进，新农村的积极建设，农民伯伯可用无人机进行药物喷洒来消灭虫害．如图，这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图，他在水平地面上点A处测得无人机的位置点的仰角为．当他迎着坡度为的斜坡从点A走到点B时，无人机恰好从点沿着水平方向飞到点此时，他在点处测得点的仰角为．已知米，米，这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行以便喷洒均匀．点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，求此时无人机的位置点C距水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计．参考数据：，，） 20. 普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． （1）A，B两种等级茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接、、，若，，求的半径． 22 课本再现： （1）下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处． ①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若，，求的周长． ②如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若，．请用含m，n的式子直接写出与之间的数量关系． 23. 我们约定：若抛物线：（，且），抛物线：则称与互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线：与抛物线：就是一组“湘一相依抛物线”，根据该约定，解答下列问题： （1）已知抛物线：，求其“湘一相依抛物线”的解析式； （2）若抛物线：的顶点在其“湘一相依抛物线”的图象上，试求出抛物线的图象经过的定点坐标； （3）已知抛物线：（m，n，t为实数且，）与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”与y轴交于点B（点A在点B的上方）．抛物线与的图象始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动．当，，且m，n，t满足：时，抛物线与直线交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年辽宁省沈阳市一模数学模拟试卷（二） 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为． 故选：A． 3. 下列计算：①；②（x﹣2y）2＝x2﹣4y2；③（﹣a）4•a3＝﹣a7；④x10÷x5＝x2，其中错误的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①选项考查积的乘方公式运用，按照公式求解即可． ②选项考查完全平方公式的展开式，按公式展开，不漏项即可． ③选项考查幂的运算，涉及同底数幂乘法运算，按照底数不变，指数相加原则计算． ④选项考查同底数幂指数除法，按照底数不变，指数相减原则计算． 【详解】①按照积的乘方的运算法则，积的乘方等于乘方的积，①正确． ②（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，②错误． ③（﹣a）4•a3＝a4•a3＝a7，③错误． ④x10÷x5＝x10﹣5＝x5，④错误． 综上，错误的有②③④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查各种基本公式的运用，计算仔细，多做题目熟练公式即可解答． 4. 如图 4×4 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ） A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B 为旋转中心． 故选B 【点睛】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单． 5. 某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要10天、15天完成．如果两个工程队同时施工2天，然后由乙工程队单独施工，还需多少天完成？若设由乙工程队单独施工，还需x天完成，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．由乙队单独施工，设还需x天完成，题中的等量关系是：甲工程队2天完成的工作量乙工程队天完成的工作量，依此列出方程即可． 【详解】解：设由乙工程队单独施工，还需x天完成， 则可列方程为， 故选：A． 6. 如图，△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB＝90°，斜边AC、BD交于点E，过B点E作EF⊥BC，垂足为F，若AB＝3，CD＝5，则EF的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明△BEF∽△BDC，△CEF∽△CAB，可得，，即可求解． 【详解】解：∵∠ABC＝∠DCB＝90°＝∠EFC， ∴AB∥EF∥CD， ∴△BEF∽△BDC，△CEF∽△CAB， ∴，， ∴， ∴EF＝． 故选：C． 【解答】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟知相似三角形的判定定理和性质定理，并灵活应用是解题关键． 7. 钧瓷始于唐、盛于宋，是中国古代五大名瓷之一，并以其独特的釉料及烧成方法产生的窑变神奇而闻名于世．北宋徽宗时期，官府在今河南省禹州市区东北部设置官窑，为皇宫烧制贡瓷．小明珍藏了四枚由国家邮政局年发行的《中国陶瓷——钩窑瓷器》特种邮票，上面分别绘有“北宋・出戟尊”“北宋・尊”“元・双耳炉”和“元・双耳连座瓶”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“北宋・尊”和“元・双耳炉”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．画树状图，共有种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“北宋・尊”和“元・双耳炉”的结果有种，再由概率公式求解即可．解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：把分别绘有“北宋・出戟尊”“北宋・尊”“元・双耳炉”和“元・双耳连座瓶”的图案的张邮票分别记为、、、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“北宋・尊”和“元・双耳炉”的结果有种，即、， ∴小亮抽到的邮票正好是“北宋・尊”和“元・双耳炉”的概率是：． 故选：A． 8. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出∠ADE=45°，进而判断出AE=AD，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB， 由第一次折叠得：∠DAE=∠A=90°，∠ADE=∠ADC=45°， ∴∠AED=∠ADE=45°， ∴AE=AD=1， 在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=AD=， 由第二次折叠可知， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了图形折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键． 9. 如图1，在中，动点P从点A出发沿折线方向匀速运动至点A停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是表示y与x的函数关系的图象，其中点E为曲线的最低点，下列结论①，②，③的面积为，④中边上的高为4，其中正确的个数为（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象得到，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，，勾股定理求出，即可得到的面积及边上的高，再根据勾股定理求出，由此判断各选项 【详解】解：由图2可知，当时点P在上运动，线段的长度为8，即； 如图，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小， ∴， 中， ∴ ∵， ∴，故③正确，④错误； ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 故选：C 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角函数，从函数图象获取信息是解题的关键． 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，为的角平分线，在上截取，可得是等腰直角三角形，继而得到垂直平分，则为点A关于的对称点，连接，交于点E，此时最小，即的值，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，为的角平分线， 在上截取， ， 是等腰直角三角形， ，，即垂直平分， 为点A关于的对称点， 连接，交于点E， ， 此时最小，即的值， ，为边的中点， ，， ， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧______吨煤所产生的能量． 【答案】 【解析】 【分析】根据每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105吨煤所产生的能量乘以我国陆地面积，计算即可得到所求的结果． 【详解】根据题意得：（）×（1.3×105）＝． 故答案为： 【点睛】此题考查了整式的混合运算，是一道应用题，弄清题意是解本题的关键． 13. 已知，．若的值与x的取值无关，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先化简，再令x的系数为0即可求出k的值． 【详解】∵， ， ∴， ， ， ∵的值与的值无关， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式运算，解题的关键是理解题意，根据的值与的值无关得到． 14. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得 ，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示： 点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，轴， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别是边，上的动点，点P是线段的中点，过点P作，，垂足分别为G，H，连接．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得到，当三点共线，最小即可得到答案． 【详解】解：连接， 矩形， ， ， ， 点P是线段的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当三点共线，最小， 则的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再进行加减运算； （2）先化简括号内分式，再将除法运算转化为乘法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．甲款红茶分数(百分制)的频数分布表和频数分布直方图如下所示： 分数 频率 2 1 4 ▲ ■ 4 ．甲款红茶分数在这一组的数据如下； 86 86 86 86 86 87 87 88 88 89 ．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 乙 90 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图． （2）表格中的值为________，的值为________． （3）根据消费者对这两款红茶的评分，从平均数、众数、中位数的角度分析，你认为哪款红茶的质量较好，并说明理由． （4）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合测评，评分如下：甲款红茶90分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪款红茶的最终成绩更高． 【答案】（1）见解析 （2）86；87 （3）乙款红茶的质量较好．理由：乙款红茶的平均数和众数均高于甲款红茶 （4）甲款红茶的最终成绩更高 【解析】 【分析】（1）求出甲款红茶分数在这一组的频数，即可补全频数分布直方图； （2）分别根据众数和中位数定义即可求出答案； （3）根据平均数，众数，中位数的值一一判断即可； （4）根据加权平均数公式分别求得两款红茶的得分，即可得出结论． 本题考查频数（率分布直方图，频数（率分布表，中位数，众数，同时还要掌握加权平均数的计算方法，解题的关键是有较强的识图能力和计算能力． 【小问1详解】 甲款红茶分数在的频数为10， 分数在这一组的频数为， 补全频数分布直方图： 【小问2详解】 根据所给数据可得众数为86，中位数为从小到大排列的第13个数据为87， 故答案为：86，87； 【小问3详解】 解：乙的质量比较好，理由如下： 依题意，， ∴从平均数，众数来看，乙的质量比较好． 【小问4详解】 以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩为： 甲的成绩：（分）， 乙的成绩：（分）， ， 可以认定甲款红茶最终成绩更高． 故答案为：甲． 18. 陈老师的家乡出产青李，因雪峰山特殊的地形形成特殊的气候，所以青李的品质很高．家乡人成立了雪峰商会，其中有一专项就是青李的销售．去年青李成熟之际，商会收集了大量的青李，用A，B两种型号的货车，分两批装箱运往C市销售，具体运输情况如表： 第一批 第二批 A型货车的辆数（单位：辆） 8 15 B型货车的辆数（单位：辆） 4 10 累计运输物资的吨数（单位：吨） 44 95 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨青李？ （2）已知A型车满载运往C市一趟的运费为540元，B型车满载运往C市一趟的运费需要740元，商会后续又筹集了40吨青李，现需要10辆货车运送青李．为控制运费不超过6600元，试问有哪几种方案可以一次性将这批青李运往目的地？ 【答案】（1）A种型号货车每辆满载能运3吨青李，B种型号货车每辆满载能运5吨青李；（2）运输方案有两种：①4辆A种型号货车，6辆B种型号货车；②5辆A种型号货车，5辆B种型号货车． 【解析】 【分析】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨青李，B种型号货车每辆满载能运y吨青李，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需m辆A种型号货车，（10-m）辆B种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地，由题意列出一元一次不等式组可得出答案． 【详解】（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨青李，B种型号货车每辆满载能运y吨青李， 依题意，得： 解得： 答：A种型号货车每辆满载能运3吨青李，B种型号货车每辆满载能运5吨青李． （2）设需m辆A种型号货车，（10-m）辆B种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地， 依题意，得： 解得：4≤m≤5， 又∵m为正整数， ∴m=4或5， ∴运输方案有两种：①4辆A种型号货车，6辆B种型号货车； ②5辆A种型号货车，5辆B种型号货车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 19. 随着农业现代化的进一步推进，新农村的积极建设，农民伯伯可用无人机进行药物喷洒来消灭虫害．如图，这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图，他在水平地面上点A处测得无人机的位置点的仰角为．当他迎着坡度为的斜坡从点A走到点B时，无人机恰好从点沿着水平方向飞到点此时，他在点处测得点的仰角为．已知米，米，这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行以便喷洒均匀．点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，求此时无人机的位置点C距水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计．参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，过B作于Q，由坡度的定义和勾股定理得米，米，过D作于G，交于M，交于N，过C作，交于P，再证，设米，则米，四边形为矩形，是等腰直角三角形，得米，米，则米，得（米），（米），然后由锐角三角函数定义求出x，即可解决问题． 【详解】解：过B作于Q，如图所示： ∵坡度为， 设米，则（米）， ∵米， ∴， 即， 解得：， ∴米，米， 过D作于G，交于M，交于N，过C作，交于P， ∵， ∴， 设米，则米， ∵，且， ∴四边形为矩形，是等腰直角三角形， ∴米，米， 则米， 又∵米， ∴（米），（米）， ∵， ， ∴，即， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 答：此时无人机的位置点C距水平地面AF的高度约为144米． 20. 普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． （1）A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ （2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； （2）再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，根据所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元， 根据题意得：10， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； 【小问2详解】 设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶， 根据题意得：， 解得：， 设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时． 答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 21. 如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接、、，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为r，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，，如图， ∵点C是半圆的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，弦切角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 22. 课本再现： （1）下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： 如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程． 知识应用： （2）如图，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处． ①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若，，求的周长． ②如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若，．请用含m，n的式子直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接PO，由矩形的性质得出，再由勾股定理得，则，然后由三角形面积即可得出结论； （2）①连接BP，过点M作MH⊥BC于H，证DM=BM=BN=13，则AD=BC=18，再由勾股定理得AB=12，然后由三角形面积求出PE+PF=12，即可解决问题； ②连接BP，过点M作MH⊥BC于H，同①得DM=BM=BN=m，则AD=BC=m＋n，再由勾股定理得，然后由三角形面积得PE=MH+PF，即可解决问题． 【详解】（1）如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是矩形， ∴，， ， 连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示： 则四边形ABHM是矩形， ∴MH = AB， 由折叠的性质得：DM=BM，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长， ②GF与GE之间的数量关系为：， 理由如下：连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图3所示： 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握面积法是解题的关键． 23. 我们约定：若抛物线：（，且），抛物线：则称与互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线：与抛物线：就是一组“湘一相依抛物线”，根据该约定，解答下列问题： （1）已知抛物线：，求其“湘一相依抛物线”的解析式； （2）若抛物线：的顶点在其“湘一相依抛物线”的图象上，试求出抛物线的图象经过的定点坐标； （3）已知抛物线：（m，n，t为实数且，）与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”与y轴交于点B（点A在点B的上方）．抛物线与的图象始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动．当，，且m，n，t满足：时，抛物线与直线交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围． 【答案】（1） （2）抛物线过定点：； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据“湘一相依抛物线”的定义，进行求解即可； （2）求出的顶点坐标，根据“湘一相依抛物线”的定义，写出的解析式，将的顶点坐标代入，进行求解即可； （3）求出的解析式，进而求出，点的坐标，根据，，结合等腰三角形三线合一以及中点坐标公式，得到，进而得到，根据，求得的取值范围，联立，得到，设设的两个根为，利用根与系数的关系结合两点间的距离公式，得到，利用二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为，且抛物线的顶点在的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴抛物线过定点：； 【小问3详解】 抛物线：的“湘一相依抛物线”的解析式为， 联立：，解得：， ∴， 对于：，当时，， ∴， 同理：， ∵点A在点B的上方， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ，， ∵， ， ， ， 联立，整理，得：， 设的两个根为， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，则：， ∴当时，有最小值为，此时最小为， 当时，有最大值为，此时最大为， 综上：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的最值，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握“湘一相依抛物线”的定义，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$