全册重难点培优训练 2024-2025学年数学人教版八年级下册

重难选填题型 类型一　数与代数 1．对于实数x，y定义一种新运算“*”：x*y＝ax＋by(a，b为常数).若－＋ab＝ ，则 *2＝(　　) A．3 B．－3 C． D．1 2．如图1，函数y1＝x与y2＝ax＋5的图象交于点A(m，2), 则关于x的不等式 (x－1)≤a(x－1)＋5的解集是(　　) 图1 A．x≤7 B．x≥7 C．x≤5 D．x≥5 3．下列选项中，可以表示一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0，b≠0)与正比例函数y＝kbx的图象的是(　　) 4．如图2，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝x上．已知B1O＝B1A2，B1A1⊥x轴，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn－1，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn.若OA1＝1，则点B5的坐标为(　　) 图2 A．(10，5) B．(12，6) C．(14，7) D．(16，8) 5．在关于x的一次函数y＝ax－a＋3中，当x＝1时，可以消去a，求出y＝3.结合一次函数的图象可知，无论a取何值，一次函数y＝ax－a＋3的图象一定经过定点(1，3)，则定义这样的一次函数的图象为“点旋转直线”．若关于x的一次函数y＝(m－3)x＋m＋3的图象为“点旋转直线”，则它的图象一定经过定点(　　) A．(1，3) B．(－1，6) C．(1，－6) D．(－1，3) 6.是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，由于1<<2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差 －1就是 的小数部分．已知－1的整数部分为a，小数部分为b，则(＋a)(b＋1)＝__________． 7．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边的长，其中c为斜边的长且∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x＋ 的一次函数称为“勾股一次函数”．若点D(1，2)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积为9，则c的值为__________． 类型二　图形与几何 8．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 800多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”(如图3)，它由四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，连接DF.若S正方形ABCD＝5，EF＝BG，则DF的长为(　　) A．2 B． C．3 D．2 图3 　　 　图4 9．如图4①，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为钝角．现要在对边BC，AD上分别找点M，N，使四边形ABMN为菱形．图4②中有甲、乙两种用尺规作图确定点M，N的方案，则(　　) A．只有方案甲正确 B．只有方案乙正确 C．甲、乙两种方案都不正确 D．甲、乙两种方案都正确 10．如图5，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是(　　) A．2 B． C． D． 图5 图6 11．如图6，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，点A的坐标为，直线AB的解析式为y＝kx＋2，将正方形OCMN沿x轴向左移动，当点N落在边AB上时，点M的坐标为(　　) A．(－2，1) B． C．(－1，1) D． 12．如图7①，已知矩形纸带ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，∠1＝20°；如图7②，将纸带先沿直线EF折叠，点C，D分别落在点H，G处；如图7③，将纸带再沿直线FS折叠，使点H落在线段EF上的点M处，点G落在点N处，则∠2的度数为(　　) A．45° B．50° C．55° D．60° 图7 13．如图8，在▱ABCD中，E是BC的中点，AB＝AE＝BE＝2，F是AD上一动点，连接BF，G是BF的中点，连接EG，则EG的最大值是__________． 图8 重难解答题型 类型一　综合与实践 1．综合与实践 综合与实践课上，老师设计了以“家庭用电成本”为主题的综合实践活动． 素材一：为提倡居民错时用电，避免用电高峰，F市实行峰谷分时计价制度，已知8：00到22：00是峰时，22：00到次日8：00为谷时． 素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式： 分时电表 普通电表 峰时(8：00到22：00) 谷时(22：00到次日8：00) 电价0.55元/度 电价0.6元/度 电价0.4元/度 素材三： 小明家 4月 5月 6月 备注 时段 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表， 实施分时电表计价 用电量(度) 250 50 250 100 320 100 小红家 4月 5月 6月 备注 用电量(度) 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价 根据以上素材，回答下列问题： 任务一： (1)小明家4月份电费为__________元，6月份电费为__________元； (2)小红家4月份电费为__________元，6月份电费为__________元． 任务二： (3)某家庭某月用电量为a度(a为常数)，其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为y1元，用普通电表计价时总价为y2元，分别求出y1，y2与用电量之间的关系式； (4)通过计算判断，当 为何值时，该家庭使用分时电表和普通电表费用一样． 任务三： (5)根据分时电表的特点，为了节省电费，应使 的值尽可能__________(填“大”或“小”)，请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费． 2．综合与实践 【背景知识】宽与长的比等于 (约为0.618)的矩形被称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙(图1①). 【实验操作】折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1②的方法折出一个正方形MNCB，然后把纸片展平； 第二步：如图1③，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到如图1④所示的AD处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，使得DE∥BC，矩形BCDE就是黄金矩形(如图1⑤). 图1 【问题解决】 (1)求证：图1⑤中的矩形BCDE是黄金矩形． (2)图1⑤中是否还存在其他黄金矩形？请给出判断，并说明理由． (3)如图1⑥，连接MC，若MN＝2，求点E到线段MC的距离． 类型二　一次函数综合 3．如图2①， 一次函数 y＝－x＋6的图象分别交x轴、y轴于点A，B，正比例函数y＝kx的图象与直线AB相交于点C(m，3). (1)求m的值和正比例函数的解析式． (2)如图2②， 点 D 在线段OC上(不与点O, C重合), 过点 D 作DE⊥x轴于点E，所在直线交线段BC于点 F．若点 D的横坐标为4，解答下列问题： ①求DF的长； ②若P是直线OC上的一点，△PDF的面积为△CDF面积的3倍，求点P的坐标． 图2 4．如图3①，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－10，0)，与y轴交于点B，与直线y＝－x交于点C(a，7). (1)求点C的坐标及直线AB的函数解析式． (2)如图3②，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝－x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是(－15，0). ①求△CGF的面积． ②M是OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM－PC的值最大？若存在，请直接写出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图3 5．在平面直角坐标系中，已知点A，B(2，5)，直线l1：y＝mx＋4m＋2. (1)求直线AB的解析式． (2)定义：平面直角坐标系中，点P(a，b)，Q(c，d)，若c＝ta，d＝－tb，且t≠0，则称点Q是点P的“t级变换点”，例如，点(－6，9)是点(2，3)的“－3级变换点”． ①现将直线AB上的每个点都进行“2级变换”，变换后的点在一条直线上，直接写出该直线的解析式． ②记①中的直线AB为l2，当x≥0时，l1与l2有交点，求m的取值范围． ③已知点M(p，q)(pq≠0)，对点M先进行“t1级变换”得到点E，再对点E进行“t2级变换”得到点N，其中t1＋t2＝0.求证：直线MN必经过原点O. 6．如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点B的坐标为(4，6)，顶点A，C分别在x轴、y轴上．D是边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，得到△ECD，点B的对应点E恰好落在线段OA上． (1)求OE的长． 图4① (2)如图4②，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD方向运动，连接PB.设运动时间为t，△PBD的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 图4② (3)在(2)的条件下，点Q为直线DE上一点，是否存在t，使得以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值，并写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三　四边形综合 7．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；……；以此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形是n阶准菱形．如图5①，在▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD是1阶准菱形． (1)判断与推理： ①邻边长分别为2和3的平行四边形是__________阶准菱形． ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图5②，把平行四边形纸片ABCD沿BE折叠(点E在边AD上)，使点A落在边BC上，点A的对应点为点F，把纸片展平，连接EF，得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形． 图5 (2)操作与探究： ①已知▱ABCD的邻边长分别为a，b(a>b)，其中a＝3b＋r，b＝2r，则▱ABCD是__________阶准菱形． ②已知▱ABCD的邻边长分别为1，m(m>1)，且▱ABCD是3阶准菱形，请画出所有可能的▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出m的值． 8．如图6，点E是矩形ABCD的边BC上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠得到△AB′ E，点B′在矩形ABCD的内部，延长AB′交射线DC于点F，连接EF，已知AB＝5，BC＝8. (1)如图6①，当E是BC的中点时，求DF的长； 图6 (2)如图6②，当BE＝CF时，AF与BC相交于点G，求BE的长； (3)如图6③，当AE＝EF时，求△ABE的面积． 图6 9．如图7，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，AF与BE相交于点P. (1)试猜想AF，BE的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； (2)连接PD，试猜想PE，PF与PD之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在第(2)问的条件下，若AB＝4，求PD的长． 图7 10.已知AE∥BF，AB＝6，点C是射线BF上一动点(不与点B重合)，△BAC关于AC的对称图形为△DAC. (1)如图8①，当点D在射线AE上时，求证；四边形ABCD是菱形； (2)如图8②，当点D在射线AE，BF之间时，若点G是射线BF上一点，C是BG的中点，且BG＝10，AC＝5，求DG的长； (3)如图③，在(1)的条件下，若∠ABF＝60°，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且BP＝DQ，求AP＋AQ的最小值． 图8 重难选填题型 1．B　【提示】由题意，得解得a＝3.∴ab＝3b＝.∴b＝－2.∴*2＝3×＋(－2)×2＝1－4＝－3. 2．C　【提示】把A(m，2)代入y1＝ x，得2＝m. 解得m＝4.∴A(4，2). ∴关于x的不等式 x≤ax＋5的解集是x≤4. ∴(x－1)≤a(x－1)＋5应满足x－1≤4.解得x≤5. 3．A　【提示】在选项A中，由一次函数y＝kx＋b的图象可知，k＜0，b＞0，kb＜0；由正比例函数y＝kbx的图象可知，kb＜0.由此可判断选项A正确． 4．D　【提示】由题意，得OA1＝1＝20.∴A1B1＝＝2－1. ∵B1O＝B1A2，∴△OB1A2是等腰三角形． 又B1A1⊥x轴，∴A1A2＝OA1＝1. ∴OA2＝OA1＋A1A2＝2＝21.∴A2B2＝×2＝1＝20. 同理可得OA3＝22，A3B3＝21，OA4＝23，A4B4＝22，OA5＝24，A5B5＝23.∴点B5的坐标为(24，23)，即(16，8). 5．B　【提示】 将一次函数y＝(m－3)x＋m＋3变形为y＝m(x＋1)－3x＋3.令x＋1＝0，得x＝－1.把x＝－1代入y＝m(x＋1)－3x＋3，得y＝6.故它的图象一定经过定点(－1，6). 6．9　【提示】∵9<13<16，∴3<<4.∴2<－1<3.∴a＝2，b＝－3.∴(＋a)(b＋1)＝(＋2)·(－3＋1)＝(＋2)(－2)＝13－4＝9. 7．2　【提示】把D(1，2)代入y＝x＋，得＋＝2，即a＋b＝2c.∴(a＋b)2＝(2c)2，即a2＋b2＋2ab＝4c2. ∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边的长，其中c为斜边的长，∴a2＋b2＝c2. ∵SRt△ABC＝ab＝9，∴ab＝18. ∴c2＋2×18＝4c2.解得c＝2(负值已舍去)． 8．B　【提示】由题意，得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH.根据EF＝BG，易证△DAE≌△DFE.进而得出答案． 9．D　【提示】根据方案甲的作图可知，AM平分∠DAB.由此易证AB＝BM＝AN.进而证得四边形ABMN是菱形． 根据方案乙的作图可知，BM＝BA，AN＝AB.由此易证四边形ABMN是菱形． 10．C　【提示】连接CF，易证CF∥BD.由等积转换(同底BD等高)可知，S阴影＝S△BCD. 11．C　【提示】把A代入y＝kx＋2，得＝k＋2. 解得k＝.故直线AB的解析式为y＝x＋2. 由题意，得正方形OCMN的边长为1. 把y＝1代入y＝x＋2，得1＝x＋2.解得x＝－2. ∴当点N落在边AB上时，点N的坐标为(－2，1).进而得出点M的坐标为(－1，1). 12．D　【提示】由折叠及长方形的性质可知，∠EFH＝160°，∠EFS＝∠EFH＝80°.进而得出答案． 13．3　【提示】连接AC，FC.根据三角形中位线定理可得，EG＝CF.当点 F运动到点A，即CF与AC重合时，CF有最大值，即为AC的长度．此时EG有最大值，G为AB的中点．在等边三角形ABE中易求出EG的值． 重难解答题型 1．解：(1)170　232. (2)154　231. (3)由题意，得y1＝0.6x＋0.4(a－x)＝0.2x＋0.4a， y2＝0.55a. (4)由题意，得0.2x＋0.4a＝0.55a.化简，得 ＝. ∴当 ＝ 时，该家庭使用分时电表和普通电表费用一样． (5)小． 建议：尽可能在峰时少使用电器．(答案不唯一，合理即可) 2．(1)证明：设MN＝x. ∵四边形MNCB是正方形，∴BC＝NC＝MN＝x. 由题意，得AC＝NC＝. 在Rt△ABC中，AB＝＝. 又AB＝AD，∴AD＝. ∴CD＝AD－AC＝－x＝.∴＝. ∴矩形BCDE是黄金矩形． (2)解：存在，矩形MNDE是黄金矩形．理由如下： 由(1)，得NC＝x，CD＝. ∴ND＝NC＋CD＝x＋＝. ∴＝＝＝. ∴矩形MNDE是黄金矩形． (3)解：由(1)(2)，得矩形BCDE和矩形MNDE都是黄金矩形． ∵MN＝2，∴BC＝NC＝MN＝2. 在Rt△MNC中，MC＝＝2. ∵＝，∴ME＝＋1. 如答图1，过点E作EH⊥MC，垂足为H，连接CE. 答图1 ∵S△CEM＝ME·BC＝MC·EH， ∴EH＝＝＝. ∴点E到线段MC的距离为 . 3．解：(1)把C(m，3)代入y＝－x＋6，得－m＋6＝3. 解得m＝6.∴C(6，3). 把C(6，3)代入y＝kx，得6k＝3.解得k＝. ∴正比例函数的解析式为y＝x. (2)①由题意，得点D，F的横坐标为4. 在y＝x中，当x＝4时，y＝×4＝2.∴D(4，2). 在y＝－x＋6中，当x＝4时，y＝－×4＋6＝4. ∴F(4，4).∴DF＝4－2＝2. ② ∵D(4，2)，C(6，3)， ∴S△CDF＝DF·|xC－xD|＝×2×2＝2. ∴S△PDF＝3S△CDF＝6. ∵P是直线OC上的一点，∴设P. ∴S△PDF＝DF·|a－4|＝×2×|a－4|＝6 解得a＝10或a＝－2. ∴点P的坐标为(10，5)或(－2，－1). 4．解：(1)把点C(a，7)代入y＝－x， 得－a＝7.解得a＝－3.∴C(－3，7). 把点A(－10，0)，C(－3，7)代入y＝kx＋b， 得解得 ∴直线AB的函数解析式为y＝x＋10. (2)①由题意，得点F，G的横坐标为－15. 在y＝－x中，当x＝－15时，y＝－×(－15)＝35. ∴F(－15，35). 在y＝x＋10中，当x＝－15时，y＝－15＋10＝－5. ∴G(－15，－5).∴GF＝40. ∴S△CGF＝GF×|xC－xE |＝×40×12＝240. ②存在，PM－PC的最大值为，此时点P的坐标为(－15，15). 【提示】由三角形的三边关系可知，当点P，M，C在一条直线上时，PM－PC的值最大． 在y＝x＋10中，当x＝0时，y＝10.∴B(0，10). ∵M是OB的中点，∴M(0，5). 设直线MC的解析式为y＝mx＋5. 把C(－3，7)代入，得－3m＋5＝7.解得m＝－. ∴直线MC的解析式为y＝－x＋5. 当x＝－15时，y＝－×(－15)＋5＝15.∴P(－15，15). ∴PM－PC＝CM＝＝. ∴PM－PC的最大值为，此时点P的坐标为(－15，15). 5．解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b. 把点A(1，)，B(2，5)代入，得解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋4. (2)①变换后的直线的解析式为y＝－x－8. ②∵l1与l2有交点，∴m≠－. 联立两个函数，得 整理，得x＋4m＋10＝0.解得x＝－. ∵x≥0，∴或 解得－≤m＜－.∴m的取值范围为－≤m＜－. ③由题意，得点E的坐标是(t1p，－t1q)，则点N的坐标为(t1t2p，t1t2q). ∵t1＋t2＝0，∴t1＝－t2.∴点N的坐标为(－t p，－tq). 设直线MN的解析式为y＝k2x＋b2. 把M(p，q)，N(－t p，－tq)代入，得解得 ∴直线MN的解析式为y＝x.∴直线MN必经过原点O. 6．解：(1)∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4，6)， ∴OA＝BC＝4，OC＝AB＝6. 由折叠的性质，得CE＝BC＝4. 在Rt△OCE中，由勾股定理， 得OE＝＝＝2. (2)由(1)，得OE＝2.∴AE＝OA－OE＝2. 由折叠的性质，得BD＝ED. ∴ED＝BD＝AB－AD＝6－AD. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝ED2，即AD2＋(2)2＝(6－AD)2. 解得AD＝2.∴BD＝AB－AD＝4. ∴S△BCD＝BC·BD＝8，CD＝＝8. ∵点P在射线CD上，∴＝.∴S＝PD. 由题意，得CP＝2t. ①如答图2，当点P在线段CD上，即0≤t≤4时，PD＝CD－CP＝8－2t，∴S＝PD＝8－2t. 答图2 　　 ②如答图3，当点P在线段CD的延长线上，即t＞4时，PD＝CP－CD＝2t－8， 答图3 ∴S＝PD＝2t－8. 综上所述，S＝ (3)由(1)(2)易得A(4，0)，B(4，6)，P(t，6－t)，D(4，2)，E(2，0). 设直线DE的解析式为y＝kx＋b. 由题意，得解得 ∴直线DE的解析式为y＝x－2. ∴可设点Q的坐标为. 以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，结合中点坐标公式，分以下三种情况讨论： ①如答图4，当AB为对角线时，得解得 答图4 ∴P(3，3)，Q(5，3). ②如答图5，当AP为对角线时，得解得 答图5 ∴P(，5)，Q(，－1). ③如答图6，当BP为对角线时，得解得 答图6 ∴P(7，－1)，Q(7，5). 综上所述，当t＝3，P(3，3)，Q(5，3)或t＝1，P(，5)，Q(，－1)或t＝7，P(7，－1)，Q(7，5)时，以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形． 7．(1)①解：2. ②证明：由折叠的性质可知，∠ABE＝∠FBE，AB＝FB，AE＝EF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF. ∴∠AEB＝∠FBE.∴∠AEB＝∠ABE. ∴AE＝AB.∴AE＝AB＝BF＝EF. ∴四边形ABFE是菱形． (2)①解：4.　【提示】∵a＝3b＋r，b＝2r，∴a＝3×2r＋r＝7r. 裁剪线如答图7所示． 答图7 ②解：▱ABCD及裁剪线的示意图如答图8所示． 答图8 8．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝4. 由折叠的性质，得AB′＝AB＝5，B′E＝BE＝4，∠AB′E＝∠B＝90°. ∴∠FB′E＝90°＝∠C. ∵EF＝EF，B′E＝4＝EC，∴Rt△EB′F≌Rt△ECF(HL). ∴B′F＝CF＝5－DF.∴AF＝AB′＋B′F＝5＋5－DF＝10－DF. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2. ∴(10－DF)2＝82＋DF2.解得DF＝. (2)由折叠的性质，得AB′＝AB＝5，B′E＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°. ∵BE＝CF，∠ECF＝90°，∴B′E＝CF，∠GB′E＝∠GCF＝90°. 又∠B′GE＝∠CGF，∴△B′EG≌△CFG(AAS).∴B′G＝CG. 设B′G＝CG＝x，则BG＝BC－x＝8－x，AG＝AB′＋B′G＝5＋x. 在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG2＝AB2＋BG2. ∴(5＋x)2＝52＋(8－x)2.解得x＝. ∴BG＝8－x＝. 设BE＝B′E＝y，则EG＝BG－BE＝－y. 在Rt△B′EG中，由勾股定理，得EG2＝B′E2＋B′G2. ∴＝y2＋.解得y＝.∴BE＝. (3)由折叠的性质，得AB′＝AB＝5，B′E＝BE，∠AB′ E＝∠ABC＝90°.∴EB′⊥AF. 又AE＝EF，∴AF＝2AB′＝10. 如答图9，过点F作FH⊥AB交AB的延长线于点H，则四边形BCFH是矩形． 答图9 ∴BH＝CF，FH＝BC＝8. 在Rt△AHF中，由勾股定理，得AH＝＝6. ∴CF＝BH＝AH－AB＝1. 设BE＝n，则CE＝BC－BE＝8－n. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF＝＝. ∵AE＝EF， ∴＝，即25＋n2＝(8－n)2＋1. 解得n＝.∴BE＝. ∴△ABE的面积为AB·BE＝×5×＝. 9．解：(1)AF＝BE，AF⊥BE. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB，∠ADF＝∠BAE＝90°. ∵E，F分别是AD，CD的中点， ∴AE＝AD，DF＝CD.∴DF＝AE. ∴△ADF≌△BAE(SAS).∴∠DAF＝∠ABE，AF＝BE. ∵∠DAF＋∠BAP＝∠BAD＝90°， ∴∠BAP＋∠ABE＝90°.∴∠APE＝90°.∴AF⊥BE. (2)PE＋PF＝PD. 证明：如答图10，延长PF到点N，使FN＝EP，连接DN. 答图10 由(1)，得△ADF≌△BAE. ∴∠AFD＝∠BEA. ∴∠DFN＝∠DEP. 又DE＝DF，∴△DEP≌△DFN(SAS). ∴PD＝ND，∠PDE＝∠NDF. ∴∠NDF＋∠FDP＝∠PDE＋∠FDP＝∠ADC＝90°. ∴△PDN是等腰直角三角形．∴PN＝PD. ∵PN＝FN＋PF＝PE＋PF，∴PE＋PF＝PD. (3)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD＝4，∠ADF＝∠BAE＝90°. ∵E，F分别是AD，CD的中点，∴DF＝AE＝2. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝2. ∵S△ABE＝AE·AB＝BE·AP，∴AP＝. 由(1)可知，AF＝BE，AF⊥BE.∴AF＝BE＝2. ∴PF＝AF－AP＝. 在Rt△APE中，由勾股定理，得PE＝＝. 由(2)可知，PE＋PF＝PD.∴PD＝＝. 10．(1)证明：∵△ACD与△ACB关于AC对称， ∴AB＝AD，CB＝CD，∠CAB＝∠CAD. ∵AE∥BF，∴∠CAD＝∠ACB. ∴∠ACB＝∠CAB.∴BA＝BC. ∴AB＝BC＝CD＝AD.∴四边形ABCD是菱形． (2)解：如答图11，连接BD，交AC于点O. 答图11 设OC＝y. ∵△ACD与△ACB关于AC对称， ∴AC垂直平分线段BD.∴OB＝OD. ∵C是BG的中点，∴BC＝CG. ∴OC∥DG，DG＝2OC＝2y.∴DG⊥BD. 在Rt△BDG中，由勾股定理，得 BD＝＝. 在Rt△AOB中，由勾股定理， 得OB＝＝. ∵BD＝2OB，∴＝2. 解得y＝.∴DG＝2y＝. (3)解：如答图12，记AC与BD的交点为点O，过点A作AH⊥BC于点H.设BP＝DQ＝x. 答图12 由(1)可知，四边形ABCD是菱形． 又∠ABC＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC.∴△ABC，△ADC都是等边三角形． ∴AC＝AB＝6.∴OA＝OC＝＝3.∴OD＝＝3. ∵AH⊥CB，∴BH＝CH＝3. ∴AH＝＝3.∴PH＝|3－x|，OQ＝|3－x|. 在Rt△APH中，由勾股定理，得AP＝. 在Rt△AOQ中，由勾股定理，得AQ＝. ∴AP＋AQ＝＋. 求AP＋AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M(x，0)，使得点M到点N(3，3)，J(3，3)的距离和最小． 如答图13，作点J关于x轴的对称点K(3，－3)，连接KN，交x轴于点M，此时MN＋MJ的值最小，最小值为线段KN的长． 答图13 此时KN＝＝6. ∴AP＋AQ的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $$