精品解析：辽宁省鞍山市高新区2024—2025学年下学期开学测试九年级数学试卷

2024-2025学年度（下）期初限时作业 九年数学 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果向北走80米记作“米”，则向南走40米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，如果向北走80米记作“米”，则向南走40米记作米． 故选：C． 2. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 4. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 图①和图②主视图相同 B. 图①和图③主视图不相同 C. 图①和图③左视图相同 D. 图①和图④俯视图相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据三视图的相关概念解答即可，解题的关键是正确理解几何体三种视图． 【详解】解：图①的主视图、左视图、俯视图为：； 图②的主视图为：，故错，不符合题意； 图③的主视图和左视图为：，故错，不符合题意； 图④：俯视图为：，故对，符合题意； 故选：． 5. 如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用银子数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出等式即可． 详解】解：设总共有x两银子，根据题意列方程得： ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用银子数不变得出等量关系是解题关键． 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据，得出，进而根据相似三角形的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 7. 如图，将一个含角的三角尺放在直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，顶点分别在反比例函数和上的图象上，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A作轴于E，过B作轴于F，通过，得到，设，于是得到，，从而得到，于是求得结果．此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答． 【详解】解：过A作轴于E，过B作轴于F， ，， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 8. 如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，． 结论I：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形为菱形． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（ ） A. I和Ⅱ都不对 B. I和Ⅱ都对 C. I不对Ⅱ对 D. I对Ⅱ不对 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得△为等边三角形，为等边三角形，则，，，可得，则，即点为的中点；结合菱形的判定可得四边形为菱形． 【详解】解：连接，， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． ， ， 即为等边三角形， ． 由作图过程可知，， ， ， 即为等边三角形， ， ， ， ， 即点为的中点． 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ． ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与此同时性质，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 10. 如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为8，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，再由折叠的性质可得，从而得到，再由三角形的面积公式，即可求解．本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握图形的折叠性质，勾股定理，全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 由翻折可知，， ， 设点到的距离为， 则有， ， ， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为___________． 【答案】##79度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数， 【详解】解：如图，c'c ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 12. 在2024年11月12日珠海航展开幕当天，歼战机亮相进行了飞行表演．歼作为中国自主研发的第五代隐形战斗机，其技术性能和作战能力备受瞩目．它是中国专门为搭载新型航母研发设计的重型舰载战机，其作战半径能达到1350000米，可以实现滑跃起飞和弹射起飞的不同版本打造．数据1350000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，数据1350000用科学记数法表示为 故答案为：． 13. 如图，在中， ，，是中点，分别以、为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据题意得出，再将阴影部分转化为一个圆心角为，半径为的扇形面积即可解决问题．解题的关键是掌握：扇形所在圆的半径为，圆心角为的扇形面积的计算公式为：． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 又∵，且点是的中点， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 14. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，连接，交直线于点．则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定直线的函数解式，过点作轴交直线于，设，则，得，证明，进而得出，再利用二次函数的最值即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，得：，解得：，， 当时，得：， ∴，，， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 如图，过点作轴交直线于， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，点为上靠近点的三等分点，点为的中点，以为直角边，点为直角顶点向右构造等腰，连接、，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点G作于H，交于M，由正方形的性质可证明四边形是矩形；设正方形边长为a；再证明，则，从而可求得，由勾股定理即可求得；再求得，由勾股定理求得，最后即可求得结果． 【详解】解：如图，过点G作于H，交于M， 则， ∵四边形是正方形， ，， ， ∴四边形是矩形， ； 设正方形边长为a； 是的中点，点为上靠近点的三等分点， ， ; 是等腰三角形，且， ， ， ， ， ， ， ； 在中，由勾股定理得； ，， ， 在中，由勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造辅助线证明全等是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角形函数的混合运算，分式的乘除加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简特殊角以及零次幂，负整数指数幂，绝对值，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简后再运算加法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 2024年辽宁省体育考试新增了球类技能考试：篮球运球，足球运球，排球垫球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）学校计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问学校有哪几种进货方案？ 【答案】（1）足球的单价为90元，则篮球的单价为120元 （2）共有3种进货方案：方案一：篮球43个，足球个；方案二：篮球44个，足球个；方案三：篮球45个，足球个 【解析】 【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．”列出方程，即可求解； （2）设购进篮球a个，则购进足球个，根据题意，列出不等式，可得，再设商场获利W元，根据题意，列出关于W与a的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：足球的单价为90元，则篮球的单价为120元； 【小问2详解】 解：设购进篮球a个，则购进足球个，根据题意得： ， 解得：， ∵篮球不少于43个， ∴， ∵a为整数， ∴a取43，44，45， 即方案一：篮球43个，足球个； 方案二：篮球44个，足球个； 方案三：篮球45个，足球个； ∴共有3种进货方案， 18. 为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人； （2）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率． 【答案】（1）； （2），补全统计图见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可知，样本中参加组的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数； （2）求出样本中选择组的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角度数，求出选择组的学生人数，即可补全条形统计图； （3）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解∶人， 故答案为∶； 【小问2详解】 解：组所对应的扇形圆心角的度数为∶， 选择组的人数为∶（人）， 补全条形统计图如下∶ 【小问3详解】 解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶ 共有种等可能出现的结果，其中个小组恰好是和小组的有种， 所以选中的个小组恰好是和小组的概率为． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用列表法或树状图求概率，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的总数关键． 19. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间距离是 ， ； （2）结合图象，求线段所在直线的解析式？ （3）货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 【答案】（1）60，1 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查行程问题，函数图象获取形象，一次函数图象的运用，理解函数图象，掌握一次函数解决实际问题的方法，正确列方程求解是关键． （1）根据函数图象，行程的数量关系求解即可； （2）直线经过点，且，运用待定系数法即可求解； （3）运用待定系数法分别得到线段的解析式为，线段的解析式为，根据函数图象，分类讨论，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地， 根据图示可得，货车从的时间为， ∴两地之间的距离为， ∴， ∴货车从的时间为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车开始出发， ∴直线经过点，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴线段所在直线的解析式为； 【小问3详解】 解：设线段的解析式为，， ∴， 解得，， ∴线段的解析式为， 货车去时与巡逻车相遇前，两车相距， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； 货车去时与巡逻车相遇后，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； 设线段的解析式为，且， ∴， 解得，， ∴线段的解析式为， ∴当货车返回时未相遇时，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； ∴当货车返回时相遇后，两车相距， ∴， 解得，，即时，两车相距； 综上所述，当或或时，两车相距． 20. 如图，某路段路旁有一盏路灯，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为4m，坡度，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为28°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为60°，，点，，，，，在同一平面上． （1）求灯杆的高度；（结果保留根号） （2）求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 【答案】（1）的高度为 （2）的长约为10.1m 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比． （1）延长交于点，过点作于点，根据坡度的概念得到，根据含的直角三角形的性质、勾股定理分别求出、，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出； （2）根据正切的定义求出，进而求出． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，过点作于点． ∵，坡角为， ∴， ∴． 在中，， ∴，． 由题意可知，四边形是矩形， ∴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴， 即灯杆的高度为． 【小问2详解】 解：在中，，， ∵， ∴． ∵， ∴， 即的长约为10.1m． 21. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线； （2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 而是直径， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：设， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 设， ，， ， ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明是解决本题的关键． 22. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的E点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先根据折叠的性质可得，，再根据（1）的结论可得，从而可得，然后利用勾股定理求出，由此即可得； （3）先根据（1）的结论可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【小问1详解】 证明：， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， 由（1）可知，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，即是角平分线， ∴由（1）可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵的中垂线交延长线于， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”． （1）下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号） ① ② ③ ④ （2）在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式； （3）已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； （4）抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①④ （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用“基准偶和点”的概念作答即可； （2）依题意得方程组只有一组解，继而推出有两个相等的实数根，利用根的判别式即可得出答案； （3）由题意得，得，由抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可； （4）抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得，进而可得，再根据二次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：依据“基准偶和点”定义知：， ①联立得：， 解得：， ∴直线只有一个“基准偶和点”； ②联立得：， ∴， ∵， ∴方程无实数根， ∴此方程组无解； ③联立得：， 此方程组无解； ④联立得：， 解得：； ∴函数图象上只有一个“基准偶和点”的是①④， 故答案为：①④； 【小问2详解】 依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， ∴，即， ∵在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问3详解】 依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， 解得：， ∵抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”， ∴，即， ∴， ∴， 联立得：， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问4详解】 依据“基准偶和点”定义知：， 联立得：， ∴，即， ∵抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”， ∴，即， ∴， ①当时，即时，在时取得最小值， ∴， 解得：或（舍去）； ②当，在时取得最小值， ∴，即； ③当时，在时取得最小值， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（下）期初限时作业 九年数学 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果向北走80米记作“米”，则向南走40米记作（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体按照三种不同的方式平移后得到图②、图③、图④．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 图①和图②主视图相同 B. 图①和图③主视图不相同 C. 图①和图③左视图相同 D. 图①和图④俯视图相同 5. 如图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 4 7. 如图，将一个含角的三角尺放在直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，顶点分别在反比例函数和上的图象上，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 8. 如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，． 结论I：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形为菱形． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（ ） A. I和Ⅱ都不对 B. I和Ⅱ都对 C. I不对Ⅱ对 D. I对Ⅱ不对 9. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为8，则点到的距离为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为___________． 12. 在2024年11月12日珠海航展开幕当天，歼战机亮相进行了飞行表演．歼作为中国自主研发的第五代隐形战斗机，其技术性能和作战能力备受瞩目．它是中国专门为搭载新型航母研发设计的重型舰载战机，其作战半径能达到1350000米，可以实现滑跃起飞和弹射起飞的不同版本打造．数据1350000用科学记数法表示为___________． 13. 如图，在中， ，，是的中点，分别以、为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 14. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，连接，交直线于点．则的最大值为___________． 15. 如图，在正方形中，点为上靠近点的三等分点，点为的中点，以为直角边，点为直角顶点向右构造等腰，连接、，则的值为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 2024年辽宁省体育考试新增了球类技能考试：篮球运球，足球运球，排球垫球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）学校计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问学校有哪几种进货方案？ 18. 为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人； （2）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中个小组恰好是和小组的概率． 19. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间距离 ， ； （2）结合图象，求线段所在直线的解析式？ （3）货车出发多长时间时，两车相距？（直接写出答案） 20. 如图，某路段路旁有一盏路灯，灯杆的正前方有一斜坡，已知斜坡的长为4m，坡度，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为28°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为60°，，点，，，，，在同一平面上． （1）求灯杆的高度；（结果保留根号） （2）求的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，） 21. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 22. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的E点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”． （1）下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号） ① ② ③ ④ （2）在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式； （3）已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； （4）抛物线（、均为常数，）图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$