15 解三角形中的范围或最值问题-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■江苏省天一中学 孙承辉 高考中的解三角形解答题通常以三角形 为载体,要求考生能够熟练运用正弦定理、余 弦定理及三角恒等变换等知识,求三角形中 几何元素的值或范围,重点考查逻辑推理能 力和运算求解能力,而解三角形中的取值范 围或者最值问题一直是考试的热点,也是难 点。本文结合典型例题归纳解决这类问题的 方法,供同学们复习时参考。 题型一、求三角形边长的范围或最值 求三角形中某条边的范围或最值,需要 先厘清边角关系,根据正余弦定理实现边角 互化,求出未知的边或角,找到所求边与其他 边之间的等量关系,然后建立函数模型,利用 函数知识求边的范围或最值,或者运用基本 不等式求边的最值。 例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 所 对的边分别为a,b,c,且9cos A+cos(B- C)=8,a=5。 (1)求证:b+c=3a; (2)若P 是边BC 上的点,且满足2BP→ =3PC→,求AP 的最小值。 解析:(1)由题意得1+cos(B-C)=9(1 -cos A),所以2cos2 B-C 2 =9 ·2sin2 A 2 ,即 cos2 B-C 2 =9sin 2A 2 。 又因为 A,B,C∈(0,π),所以 B-C 2 ∈ - π 2 ,π 2 ,A2∈ 0,π2 ,所以cosB-C2 >0, sin A 2>0 ,所以cos B-C 2 =3sin A 2 。 所以 sin B +sin C =2sin B+C 2 · cos B-C 2 =6sin B+C 2 sin A 2 =6cos A 2 · sin A 2=3sin A。 由正弦定理可得b+c=3a。 (2)由a=5,2BP→=3PC→,可得BP=3, PC=2,设AP=x(x>0)。 在△ABP 中,cos ∠APB= 9+x2-c2 6x ; 在△APC 中,cos ∠APC= 4+x2-b2 4x 。 又 因 为 ∠APB + ∠APC =π,所 以 cos ∠APB+cos ∠APC=0。 所以 9+x2-c2 6x + 4+x2-b2 4x =0 ,化简得 5x2+30=3b2+2c2。 由(1)得b+c=3a=15,所以5x2+30= 3b2+2(15-b)2=5b2-60b+450,所以x2= b2-12b+84=(b-6)2+48,所以当b=6 时,x2 的最小值为48。 所以AP 的最小值为43。 点评:第(1)问由余弦的二倍角公式化简 得到sin B+sin C=3sin A,再结合正弦定理 可得b+c=3a。第(2)问根据cos ∠APB+ cos ∠APC=0,分别在△ABP 和△APC 中 运用余弦定理,得到 AP2=b2-12b+84,最 后利用二次函数的相关知识求出边长AD 的 最值。本 题 第 (2)问 的 另 一 种 思 路 是:由 2BP→=3PC→ 得到AP→=25AB →+35AC →,将其 两边平方后也能得到目标函数。 题型二、求三角形周长的范围或最值 对于求三角形周长的范围或最值问题, 解题方法一般是先求出三角形中未知的几何 元素,然后选取合适的参数表示三角形的周 长。若以边为参数,则可以考虑利用基本不 等式求最值;若以角为参数,则可以利用三角 函数的有界性求范围或最值。 例 2 在 △ABC 中,内 角 A,B,C 所对的边 分 别 为a,b,c,且 满 足a+b= 2ccosA- π 3 。 (1)求角C; 24 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月 (2)若△ABC 的面积为 3,求△ABC 的 周长的最小值。 解析:(1)已知a+b=2ccosA- π 3 ,由正 弦定理得sin A+sin B=2sin CcosA- π 3 ,即 sin A+sin B=sin Ccos A+ 3sin Csin A, 所以sin A+sin(A+C)=sin Ccos A+ 3sin Csin A,所以sin A+cos Csin A= 3sin Csin A。 因为sin A>0,所 以1= 3sin C- cos C,即sinC- π 6 =12。 因为 C ∈ (0,π),所 以 C - π 6 ∈ - π 6 ,5π 6 ,所以C-π6=π6,即C=π3。 (2)因 为 △ABC 的 面 积 为 3,所 以 1 2absin C= 3,可得ab=4。 由余弦定理得c2=a2+b2-ab,所以a +b+c=a+b+ a2+b2-ab≥2 ab+ 2ab-ab=6,当且仅当a=b=c=2时,等 号成立。 所以△ABC 的周长的最小值为6。 点评:第(1)问根据正弦定理及三角形内 角之间的关系,利用三角恒等变换求得C= π 3 。第(2)问由三角形面积公式得到ab=4, 然后结合余弦定理将三角形的周长表示为a +b+ a2+b2-ab,从而根据基本不等式可 得结果。本题求三角形周长的最小值用到了 基本不等式,这也是求最值的一种常用方法。 题型三、求三角形面积的范围或最值 求三角形面积的范围或最值这类题目比较 灵活,难点在于选择哪个公式计算三角形的面 积。突破该难点的方法是找到三角形的已知 角,建立关于该角的三角形面积公式,从而以两 条邻边为变量,求三角形面积的范围或最值。 例 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 的 对边分别为a,b,c,且 3bsin C-ccos B=c。 (1)求角B; (2)若△ABC 为锐角三角形,且a=2, 求△ABC 面积的取值范围。 解析:(1)已知 3bsin C-ccos B=c,由 正弦定理得 3sin Bsin C-sin Ccos B= sin C。因为0<C<π,所以sin C>0,所以 3sin B-cos B=1,所以sinB- π 6 =12。 又因为0<B<π,所以B- π 6= π 6 ,解得 B= π 3 。 (2)由(1)知B= π 3 ,又a=2,结合正弦 定理 a sin A= c sin C ,可得c= a sin A ·sin C。 所以S△ABC= 1 2acsin B= 3 2c= 3 2 · a sin A ·sin C= 3sin C sin A = 3sin 2π 3-A sin A = 3 3 2cos A+ 1 2sin A sin A = 3 2+ 3 2tan A 。 因为△ABC 为锐角三角形,所以0< A< π 2 ,且0<C= 2π 3 -A< π 2 ,可得π 6< A< π 2 ,则tan A> 3 3 ,所以0< 3 2tan A< 33 2 。所 以 △ABC 面 积 的 取 值 范 围 是 3 2 ,23 。 点评:本题第(1)问先由正弦定理得到 3sin B-cos B=1,即sin B- π 6 =12,进 而求得B 的值。对于第(2)问,三角形的面 积公式可以选用S△ABC= 1 2acsin B= 3 2c ,然 后根据正弦定理用角A 表示c,从而S△ABC= 3 2+ 3 2tan A ,利用正切函数的图像和性质求 出值域。需要注意的是,锐角三角形和B= π 3 限制了A 的范围是 π 6<A< π 2 。 (下转第48页) 34 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月 所以数列{an}的通项公式为an=3+ 3(n-1)=3n; 数列{bn}的通项公式为bn=3×3n-1= 3n。 (2)数列{cn}满足cn= 1,n为奇数, bn 2 ,n为偶数。 综合(1)可得a1c1+a2c2+…+a2nc2n= (a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+ a6b3+…+a2nbn)= 3n+ n(n-1) 2 ×6 + (6×3+12×32+18×33+…+6n×3n)= 3n2+6(1×3+2×32+…+n×3n)(n∈ N*)。 令 Tn=1×3+2×32+…+n×3n,则 3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1,两式相 减得2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1 =-3× 1-3n 1-3+n×3 n+1= (2n-1)3n+1+3 2 。 所以a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+ 6Tn=3n2+3×2Tn= (2n-1)3n+2+6n2+9 2 (n∈N*)。 (责任编辑 王福华) 􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹 (上接第43页) 题型四、求边和角的多元函数的范围或最值 在解三角形的范围或最值问题中,有一 类目标函数是既有角又有边的多元函数,这 类问题的解决策略是化角为边或化边为角, 并化为一元函数。解题时需要关注三角恒等 变换的化简技巧及边角互化的方向,及时调 整解题思路。 例 4 在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a-c=2ccos B。 (1)证明:B=2C; (2)若a=2,求 cos C b + 1 c 的取值范围。 解析:(1)已知a-c=2ccos B,由正弦定 理得sin A-sin C=2sin Ccos B。 因为 A=π-(B+C),所以sin A- sin C=sin(B+C)-sin C=sin Bcos C+ sin Ccos B -sin C =2sin Ccos B,即 sin Bcos C-sin Ccos B=sin C,即sin(B- C)=sin C。 因为0<B<π,0<C<π,所以B-C=C 或B-C+C=π,即B=2C 或B=π(舍去)。 所以B=2C。 (2)因 为△ABC 是 锐 角 三 角 形,所 以 0<C< π 2 , 0<2C< π 2 , 0<π-3C< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 π 6<C< π 4 。 所以 2 2<cos C< 3 2 。 由正弦定理得 b c= sin B sin C ,则b= sin B sin C · c= sin 2C sin C ·c=2cos C·c。 所以 cos C b = 1 2c ,所以cos C b + 1 c= 3 2c 。 由(1)知B=2C,又a-c=2ccos B,所 以2-c=2ccos 2C,所以c= 2 2cos 2C+1 。 所以 cos C b + 1 c = 3 2c= 3 4 2cos 2C+1 = 3(2cos 2C+1) 4 = 3(4cos2C-1) 4 。 因为cos C∈ 2 2 ,3 2 ,所以4cos2C-1 ∈(1,2)。 所以 cos C b + 1 c= 3(4cos 2C-1) 4 的取值 范围是 3 4 ,3 2 。 点评:本题第(1)问由正弦定理、两角和 差的正弦公式可得到sin (B-C)=sin C,然 后可求出B 和C 的关系。第(2)问先根据锐 角三角形求出cos C 的取值范围,进一步将 目标式子 cos C b + 1 c 转换为只含有cos C 的 式子,从而求得范围,体现了转化与化归的数 学思想。 (责任编辑 王福华) 84 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2025年2月