14 解三角形中的定量问题-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■四川省射洪中学校 杨 勇 高考试卷中关于“解三角形”的解答题多 以三角形作为命题背景,重点考查以正弦定 理、余弦定理为工具计算求解三角形的边、 角、周长或面积等问题,突出考查同学们的数 学运算能力。但“数学运算”并不是简单的数 学计算,主要是对运算对象、运算法则、运算 思路、运算方法的理解、掌握、探究和选择。 近几年高考中的解三角形大题主要考查正弦 定理、余弦定理及三角恒等变换公式的灵活 应用。下面就解三角形中的一些定量问题进 行分析。 题型一、三角形中的角度问题 例 1 (2024年重庆巴蜀中学高三一 模)已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分 别为a,b,c,且 a b+c+ bsin B bsin A+csin B=1 。 (1)求角C 的大小; (2)若a=2,b=4,D 为AB 的中点,求 tan∠ACD 的值。 解析:(1)已知 a b+c+ bsin B bsin A+csin B= 1,由正弦定理可得 a b+c+ b2 ab+bc= a b+c+ b a+c=1 ,整理得a2+b2-c2=ab。 由余弦定理可得cos C= a2+b2-c2 2ab = ab 2ab= 1 2 。 又因为C∈(0,π),所以C= π 3 。 (2)由(1)可得a2+b2-c2=ab,又a= 2,b=4,则c2=a2+b2-ab=12,即c=23。 所以b2=a2+c2,即B= π 2 ,可得BD= 3,tan∠BCD= BD BC= 3 2 。 所 以 tan ∠ACD =tan(∠ACB - ∠BCD)= tan∠ACB-tan∠BCD 1+tan∠ACB·tan∠BCD = 3- 3 2 1+ 3× 3 2 = 3 5 。 点评:本题第(1)问根据题意先利用正弦 定理将角转化成边,整理得边的二次齐次式, 然后利用余弦定理求解角。在第(2)问中,根 据(1)中的关系可得c=23,进而可知B= π 2 ,利用两角和差公式运算求解。三角形中 的角度问题一般出现在解答题的第(1)问。 在恒等变形和化简求角中,有如下经验:注意 sin C=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B 的正用和逆用。若条件式是边的齐次式,则 用正弦定理转化为角的正弦;若条件式含有 a,b,c的二次齐次式,则优先考虑余弦定理, “角化边”;若条件式是面积和a,b,c的二次 齐次式,可构造余弦定理;若条件式含正切 型,可以“切化弦”,转化为分式型,再进行化 简求角。 题型二、三角形中的长度问题 例 2 (2024年江苏泰州中学高三一 模)已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分 别为a,b,c,且满足 b c= sin 2B 2sin A+sin B 。 (1)求角C 的大小。 (2)若点 D 在边AB 上,b=2,CD=1, 请在下列两个条件中任选一个,求边长AB。 ①CD 为△ABC 的角平分线; ②CD 为△ABC 的中线。 解析:(1)在△ABC 中,由正弦定理知 b c = sin B sin C= sin 2B 2sin A+sin B= 2sin Bcos B 2sin A+sin B 。 又因为B∈(0,π),所以sin B>0,所以 1 sin C= 2cos B 2sin A+sin B ,即2sin A+sin B= 93 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月 2cos Bsin C。 又A=π-(B+C),所以2sin(B+C)+ sin B=2cos Bsin C,所以2sin Bcos C+ 2cos Bsin C+sin B=2cos Bsin C,化简得 2sin Bcos C+sin B=0,即cos C=- 1 2 。 又因为C∈(0,π),所以C= 2π 3 。 (2)选①。 因为CD 为△ABC 的角平分线,所以 S△ABC = S△ACD + S△BCD,所 以 1 2 CA · CB·sin∠ACB= 1 2CA ·CD·sin∠ACD+ 1 2CB ·CD·sin∠BCD,即 1 2b ·a· 3 2= 1 2b · 1· 3 2+ 1 2a ·1· 3 2 ,化简得a+b=ab。 又因为b=2,所以a=2。 在△ABC 中,由余弦定理可得c2=a2+ b2-2abcos C=22+22-8cos 2π 3=12 ,所以 AB=c=23。 选②。 因为CD 为△ABC 的中线,所以CA→+ CB→=2CD→,两边分别平方得 CA→2+CB→2+ 2CA→·CB→=4CD→2,所以b2+a2+2abcos C =4×12,所以a2+b2-ab=4。 又因为b=2,所以a=2。 在△ABC 中,由余弦定理可得c2=a2+ b2-2abcos C=22+22-8cos 2π 3=12 ,所以 AB=c=23。 点评:本题第(1)问可根据正弦定理将边 转化成角,结合二倍角公式及两角和的正弦 公式求得cos C,再由C 的取值范围可得答 案。在第(2)问中,选①,由S△ABC=S△ACD+ S△BCD,利用等面积法根据三角形的面积公式 求得a,由余弦定理得AB;选②,由图形关系 结合向量得CA→+CB→=2CD→,平方后利用向 量的运算可得a,由余弦定理得AB。求线段 的长度往往归结为求三角形的边长,解决此 类问题要恰当地选择或构造三角形,然后利 用正、余弦定理求解。 题型三、三角形中的周长问题 例 3 (2024 年 唐 山 模 拟)已 知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a, b,c,向量 m=(a,a),n= cos C, 3 3sin C , m·n=b。 (1)求角A 的大小; (2)若a=2,点D 在BC 边上,AD 平分 ∠BAC,且AD= 2 3 ,求△ABC 的周长。 解析:(1)由题意知 m·n=acos C+ 3 3asin C=b。 由正弦定理得sin Acos C+ 3 3sin A· sin C=sin B。 在△ABC 中,sin B=sin(A+C)= sin Acos C+cos Asin C,则 3 3sin Asin C= cos Asin C。 因为 C∈(0,π),所以sin C≠0,所以 tan A= 3。 又因为A∈(0,π),所以A= π 3 。 (2)依题意得S△ABC=S△ABD+S△ACD,即 1 2bcsin∠BAC= 1 2AD ·c·sin∠BAD+ 1 2AD ·b·sin∠CAD,化简得 3bc= 2 3 · (b+c)。 由余弦定理得4=b2+c2-bc,所以(b+ c)2- 2 3 (b+c)=4,解得b+c= 6。 所以△ABC 的周长为 6+2。 点评:本题第(1)问先利用向量数量积得 到边角关系,再根据正弦定理将边转化成角, 结合 和 差 角 公 式 及 三 角 形 的 内 角 和 求 得 tan A,再由A 的取值范围可得答案。第(2) 问利用等面积法结合余弦定理求得b+c,从 而求得三角形的周长。求三角形的周长本质 是找寻三角形的三边之和。一般情况下题目 会已知一边或两边再结合已知角,基本思想 04 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月 是利用正余弦定理求剩余边。其中在已知一 边的情况下,也可以利用等面积法或向量法 进行求解。 题型四、三角形中的面积问题 例 4 (2024年南京高三开学检测)记 △ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a, b,c,且asin B+ 3bcos A=0。 (1)求角A 的大小; (2)若a=3,sin Bsin C= 1 4 ,求△ABC 的面积。 解析:(1)已知asin B+ 3bcos A=0, 由正弦定理得sin Asin B+ 3sin Bcos A= 0。 因为B∈(0,π),所以sin B ≠0,所以 sin A+ 3cos A=0,即tan A=- 3。 又因为A∈(0,π),所以A= 2π 3 。 (2)解法1:由正弦定理 a sin A= b sin B= c sin C ,可得 b sin B= c sin C= 3 3 2 =2 3,所以 b=23sin B,c=23sin C。 因为a=3,sin Bsin C= 1 4 ,所以bc= 23 2sin Bsin C=3。 所以△ABC 的面积S= 1 2bcsin A= 1 2×3× 3 2= 33 4 。 解法2:因为sin Bsin C= 1 4 ,且B=π- A-C= π 3-C ,所以sin π 3-C sin C= 3 2cos C- 1 2sin C sin C= 32sin Ccos C- 1 2sin 2C= 3 4sin 2C- 1 2 ·1-cos 2C 2 = 3 4sin 2C+ 1 4cos 2C- 1 4= 1 2cos 2C- π 3 - 1 4= 1 4 ,所以cos 2C- π 3 =1。 又C∈(0,π),则2C- π 3∈ - π 3 ,π 3 , 所以2C- π 3=0 ,所以C= π 6 。 所以B= π 3-C= π 6 ,所以b=c。 因为a=3,由余弦定理得a2=b2+c2- 2bccos A,即9=b2+b2-2b2cos 2π 3=3b 2,解 得b= 3,即b=c= 3。 所以△ABC 的面积S= 1 2bcsin A= 1 2× 3× 3× 3 2= 33 4 。 点评:本题第(1)问可根据正弦定理将边 转化成角,求得tan A,由A 的取值范围可得 答案。第(2)问中的解法1,由正弦定理结合 条件式得bc的值,再利用三角形的面积公式 求得三角形的面积;解法2,由条件式结合三 角形的内角和求得cos2C- π 3 ,从而求得 角C,B,再利用余弦定理可得b,c,最后利用 三角形的面积公式求得三角形的面积。三角 形面积公式的选取取决于三角形中哪个角已 知或可求,或三角形中哪个角的正弦值可求。 在解 决 三 角 形 问 题 时,面 积 公 式 S△ABC = 1 2absin C= 1 2acsin B= 1 2bcsin A 最常用, 因为公式中既有角又有边,容易和正弦定理、 余弦定理联系起来应用。 总之,处理解三角形问题的关键在于灵 活运用各种定理和公式,同时结合题目给出 的条件进行推理和计算。在解题过程中,同 学们需要注意以下几点技巧:①准确理解题 意,明确已知条件和未知量;②合理选择使用 正弦定理、余弦定理或其他相关公式;③善于 利用三角形的内角和定理和边长比例关系; ④对于特殊类型的三角形,尝试使用特殊解 法;⑤在解题过程中保持耐心和细心,避免计 算错误。通过掌握这些解题技巧和方法,同 学们可以更好地解决各种三角形问题,提高 数学解题能力。 (责任编辑 王福华) 14 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月