13 三角函数解答题常见解题策略-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■江苏省天一中学 王 薇 三角函数作为高中数学的核心知识点之 一,包含众多的公式定理,解题方法也比较多 样,是高考的高频考点。其中,三角函数的解 答题通常以中低难度的题目形式出现,是同 学们得分的关键题型。因此,熟悉三角函数 大题的经典题型,并掌握其解题策略,对于高 考备考具有重要意义。本文总结了几种常见 的题型和相应的解题方法,希望能为同学们 的复习提供助力。 题型一、由三角函数的图像求三角函数 的解析式 例 1 已知函数f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,|φ|< π 2 的图像与x 轴交点之间的 最短距离为π,将函数f(x) 的图像向右平移 π 6 个单位后得到的图像关于y 轴对称。 (1)求f(x); (2)已知f(α)= 3 5 ,求sin2α- π 6 。 解析:(1)由函数f(x)=cos(ωx+φ) ω>0,|φ|< π 2 的图像与x 轴交点之间的 最短距离为π,得函数f(x)的周期T=2π, 则ω= 2π T=1 ,即f(x)=cos(x+φ)。 函数f(x)的图像向右平移 π 6 个单位后 得到的图像对应函数为y=cosx- π 6+φ , 若此函数为偶函数,则函数图像经过点(0, ±1)。当 x =0 时,cos φ- π 6 =1 或 cosφ- π 6 =-1,所以-π6+φ=kπ,k∈Z。 而|φ|< π 2 ,则k=0,φ= π 6 ,所以f(x)= cosx+ π 6 。 (2)由(1)知,f(α)=cosα+ π 6 =35。 所以sin2α- π 6 =sin 2α+ π 3 -π2 =-cos 2α+ π 6 =- 2cos2 α+ π 6 -1 =-2× 35 2 +1= 7 25 。 点评:形如y=Asin(ωx+φ)+k 或y= Acos(ωx+φ)+k 的函数解析式的求法,一 般从以下几方面考虑:(1)根据条件确定周 期,利用周期与ω 的关系求出ω;(2)利用平 衡位置求出k,利用图像的最高点或最低点 到平衡位置的距离求出A;(3)利用图像经过 特殊点(一般代入最值点坐标,而不将平衡点 坐标代入,以避免φ 产生多解的情况)得出φ 的表达式,再利用φ 的范围求出φ。此题型 常与图像变换相结合考查。 例 2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)及其导函数的图像如图1 所示。 图1 (1)求函数f(x)的解 析式; (2)若函数f(x)在区 间(0,m)上恰有2个极值 点和2个零点,求实数 m 的取值范围。 解析:(1)因为f(x)=Asin(ωx+φ),所 以f'(x)=ωAcos(ωx+φ)。 根据f'(0)>0,可知函数f(x)在区间 0, π 12 上单调递增,由图可知 A=1,ω=2, 所以f(x)=sin(2x+φ),所以 f π 12 = 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月 sin π6+φ =1,故π6+φ=π2+2kπ,k∈Z。 因为0<φ<π,所以φ= π 3 。 所以f(x)=sin2x+ π 3 。 (2)当 x∈(0,m)时,则有2x+ π 3∈ π 3 ,2m+ π 3 。 因为f(x)在区间(0,m)上恰有2个极 值和2个零点,所以2π<2m+ π 3≤ 5π 2 ,所以 5π 6<m≤ 13π 12 。 故实数m 的取值范围为 5π6 ,13π 12 。 点评:此题是近几年由图像求解析式问 题中比较新颖的一类问题,与导数知识相结 合,第(1)问先根据原函数和导函数图像之间 的关系判断出哪个是原函数的图像,哪个是 导函数的图像,进而求出 A=1,ω=2,再代 入最高点坐标求出φ。因此,同学们在高考 复习时应注重知识体系的构建,重视各知识 点之间的交汇与融合,以确保能够以不变应 万变。第(2)问利用函数的性质求参数范围, 是另一种常见题型。 题型二、由三角函数的已知性质求参数 的范围 例 3 已知函数f(x)= 2asin ax+ acosax+ π 4 +b(a>0)的值域为[-1,3]。 (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(ωx)(ω>0)在 0, π 6 上恰 有一个零点,求ω 的取值范围。 解析:(1)已知函数f(x)= 2asin ax+ acosax+ π 4 + b = 2 asin ax + a 2 2cos ax- 2 2sin ax +b= 22asin ax+ 2 2acos ax+b=asinax+ π 4 +b。 因为a>0,且函数f(x)的值域为[-1, 3],所以 -a+b=-1, a+b=3, 解得 a=2 , b=1。 所以f(x)=2sin2x+ π 4 +1。 由2kπ- π 2≤2x+ π 4≤2kπ+ π 2 (k∈ Z),可得kπ- 3π 8≤x≤kπ+ π 8 (k∈Z)。 所以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 kπ- 3π 8 ,kπ+ π 8 (k∈Z)。 (2)由(1)知f(ωx)=2sin2ωx+ π 4 +1。 由0≤x≤ π 6 ,得π 4≤2ωx+ π 4≤ πω 3+ π 4 。 令f(ωx)=0,得sin2ωx+ π 4 =-12。 因为函数f(ωx)(ω>0)在 0, π 6 上恰 有一个零点,所以7π 6≤ πω 3 + π 4< 11π 6 ,解得 11 4≤ω< 19 4 。 所以ω 的取值范围是 114 ,19 4 。 点评:根据三角函数的对称性、单调性、 值域及零点个数来求解参数范围,是近几年 高考模拟试卷中常见的题型。解决这类问题 的关键在于运用整体代换的思想,将三角函 数化简为y=sin x 或y=cos x 的形式,然后 借助其图像来确定参数的取值范围。 例 4 已知函数f(x)= 3sin 2ωx+ 2cos2ωx(ω>0),若函数f(x)的图像上相邻 两条对称轴间的距离是 π 2 。 (1)求ω 的值及函数f(x)的单调递减区 间; (2)若方程f(x)=m 在 - π 4 ,π 4 上有 解,求实数m 的取值范围。 解析:(1)函 数 f(x)= 3sin 2ωx+ 2cos2ωx= 3sin 2ωx +cos 2ωx +1= 2sin2ωx+ π 6 +1。 又因为函数f(x)的图像上相邻两条对 73 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月 称轴间的距离是 π 2 ,所以函数f(x)的周期 T=π,所以 2π 2ω=π ,则ω=1,所以f(x)= 2sin2x+ π 6 +1。 令2kπ+ π 2≤2x+ π 6≤2kπ+ 3π 2 ,k∈Z, 解得kπ+ π 6≤x≤kπ+ 2π 3 ,k∈Z。 所以 函 数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 kπ+ π 6 ,kπ+ 2π 3 (k∈Z)。 (2)由(1)知f(x)=2sin2x+ π 6 +1。 因为 x∈ - π 4 ,π 4 ,所 以2x+ π6 ∈ - π 3 ,2π 3 ,所以2sin2x+π6 ∈(- 3,2], 所以f(x)∈(1- 3,3],要使f(x)=m 在 - π 4 ,π 4 上有解,则m∈(1- 3,3]。 故实数m 的取值范围是(1- 3,3]。 点评:此题第(1)问考查三角恒等变换、 三角函数的图像与性质。第(2)问将变量看 作整体,转化为在特定区间上有解问题,结合 三角函数的图像得出参数范围。若将有解改 为有两解,则转化为两个函数图像的交点个 数问题。解题时,需注意三角函数图像特点, 例如周期性、对称性、单调性、端点处的取值 等。通过作图分析,可以直观地找到满足条 件的参数范围,从而解决问题。 题型三、三角函数与向量相结合 例 5 已知向量a= sinx+π4 ,1 , b=(2,sin 2x)。 (1)当 x∈ 0, π 4 ,|a|= 415 时,求 sinx+ 7π 12 ; (2)若f(x)=a·b,求f(x)的值域。 解析:(1)由a= sinx+ π 4 ,1 ,|a|= 41 5 ,可 得 sin2 x+ π 4 +1=4125,所 以 sin2 x+ π 4 =1625。 由x∈ 0, π 4 ,得x+π4∈ π4,π2 ,所 以sinx+ π 4 =45,cosx+π4 =35。 故sinx+ 7π 12 =sin x+π4 +π3 = sinx+ π 4 cosπ3+cosx+π4 sinπ3=45× 1 2+ 3 5× 3 2= 4+33 10 。 (2)依题意,f(x)=a·b=2sinx+ π 4 + sin 2x=sin x+cos x+2sin xcos x=sin x+ cos x+(sin x+cos x)2-1。 令t=sin x+cos x= 2sinx+ π 4 ∈ -2,2 ,则y=t2+t-1=t+ 1 2 2 - 5 4 。 当t=- 1 2 时,ymin=- 5 4 ; 当t= 2时,ymax=1+ 2。 所以f(x)的值域是 - 5 4 ,1+ 2 。 点评:三角函数与平面向量的综合题一 直是高考中的常见题型。在本题的第(1)问 中,通过平面向量的工具性加以转化,结合三 角函数相应公式将要求的角转化为已知角后 求解。第(2)问涉及sin x+cos x,sin x- cos x,sin x·cos x 三者的关系,这一知识点 一直是考试的热点。因为使用其中一个表达 式可以表示另外两个,所以我们可以将其中 一个变量视为整体并设为未知数,用它来表 达另外两个变量,从而将问题转化为单变量 函数求解其取值范围。在进行变量替换时, 特别需要注意新变量的取值范围。 三角函数部分包含众多公式和繁杂的知 识点,因此,在复习时,同学们应当勤于归纳 和总结各种题型与解题方法,牢牢把握基础 知识点,以提高分析问题和解决问题的能力。 通过对高考真题和模拟试题的强化练习,能 够熟悉考试中常见的题型,从而提升解题的 效率和精确度。 (责任编辑 王福华) 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月