12 立足基础 创新思维 双管齐下 转化创新——浅析新情景、新定义下数列问题的解题策略-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■浙江省温州市龙湾中学 郑寿好 新高考改革后,数列作为高中数学的重 要组成部分,在考试中占据了重要的地位。 数列的考查不仅限于传统的等差数列、等比 数列等基础知识,还涉及了一些新的定义和 概念,特别是2024年高考之后,新情景、新定 义的数列大题更是大行其道。这些新定义通 常要求同学们具备较强的逻辑推理能力和创 新思维。本文就最新模拟卷中出现的新情 景、新定义的数列大题进行归类,供同学们复 习时参考。 一、概念辨析 “新定义型”数列题不仅考查同学们的阅 读和理解能力,还考查对新知识、新事物的接 受能力,以及加以简单运用的能力。要求同 学们能够通过观察、阅读、归纳、探索进行迁 移,即读懂和理解新定义,获取有用的新信 息,然后运用这些有效的信息进一步推理,综 合运用数学知识解决问题(多想少算甚至不 算)。因此,“新定义型”数列试题在高考中常 有体现,是一种用知识归类、套路总结、强化 训练等传统解题方法难以解决的高考中不断 出现的新颖试题。 二、题型聚焦 聚焦1.数列定义新情景 例 1 (2025届广东省三校一模)已知 无穷数列{an}(an≠0,n∈N*),构造新数列 {a(1)n }满足a (1) n =an+1-an,{a (2) n }满足a (2) n = a(1)n + 1 -a (1) n ,…,{a(k)n }满 足 a (k) n = a(k-1)n + 1 - a(k-1)n (k≥2,k∈N*),若{a (k) n }为常数数列,则 称{an}为k 阶等差数列。同理,已知无穷数 列{bn}(bn≠0,n∈N*),令b (1) n = bn + 1 bn ,b(2)n = b(1)n + 1 b(1)n ,…,b(k)n = b(k-1)n+1 b(k-1)n (k≥2,k∈N*),若{b(k)n } 为常数数列,则称{bn}为k阶等比数列。 (1)已知{an}为二阶等差数列,且a1=1, a2=4,a (2) n =2,求{an}的通项公式; (2)若{an}为k阶等差数列,{bn}为一阶 等比数列,证明:{bann }为k+1阶等比数列; (3)已知dn = -3n2+8n-1 4n ,令{dn} 的前n 项和为Sn,Tn =∑ n m=1 Sm -1,证明: Tn <2。 解析:(1)由题意知,a(1)1 =a2-a1=3, a(2)n =a (1) n+1-a (1) n =2,所以{a (1) n }是公差为2, 首项为3的等差数列,所以a(1)n =3+2(n- 1)=2n+1,即an+1-an=2n+1。 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+ (a2-a1)+a1= (n-1)3+2(n-1)+1 2 +1= n2。 (2)设{an}为k 阶等差数列,则a (k) n = a(k-1)n+1 -a (k-1) n =d(d 为常数),由等差数列的 性质知a(k-1)n =a (k-1) 1 +d(n-1)为一次多项 式。 猜测an 是关于n的k次多项式,下面用 数学归纳法证明: 当k=1时,显然成立; 假设当k=m 时,an 是关于n 的m 次多 项式,当k=m+1时,则a(1)n 是关于n 的m 次多项式。 由an+1-an =a (1) n ⇒an = ∑ n-1 i=1 a(1)i +a1 是m+1次多项式,故an 是关于n的k次 多项式。 又因为{bn}是一阶等比数列,所以bn= 33 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月 b1·qn-1,则bann =ban1 ·qnan-an= b1 q an ·qnan。 由an 是关于n的k次多项式,则nan 是 关于n的k+1次多项式,则{nan}是k+1阶 等差数列(由数学归纳法易证)。 所以{(bann )(k+1)}是 常 数 列,故{bann }是 k+1阶等比数列。 (3)因为dn= -3n2+8n-1 4n ,所以可设 dn= x(n+1)2+y(n+1)+z 4n+1 - xn2+yn+z 4n = -3xn2+(2x-3y)n+x+y-3z 4n+1 。 所以 -3x=-12, 2x-3y=32, x+y-3z=-4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=4, y=-8, z=0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故dn= 4(n+1)2-8(n+1) 4n+1 - 4n2-8n 4n 。 则 Sn = 4(n+1)2-8(n+1) 4n+1 - 4-8 4 = n2-1 4n +1,则 Sn-1= n2-1 4n < n2 4n = n 2n ,则Tn< 1 21 + 2 22 + 3 23 +…+ n 2n =2- n+2 2n <2,问题得证! 方法突破:通过给出一个新的数列的概 念,或约定一种新的运算,或给出几个新模型 来创设新问题的情景,要求在阅读理解的基 础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识 和方法,实现信息的迁移,从而达到灵活解题 的目的。 聚焦2.数列定义新概念 例 2 记 R上的可导函数f(x)的导 函数为f'(x),满足xn+1=xn- f(xn) f'(xn) (n∈ N*)的数列{xn}称为函数f(x)的“牛顿数 列”。已知数列{xn}为函数f(x)=x2-x 的 牛顿数 列,且 数 列{an}满 足 a1=2,an = ln xn xn-1 ,xn>1。 (1)证明数列{an}是等比数列并求an; (2)设数列{an}的前n 项和为Sn,若不 等式(-1)n·tSn-14≤S2n 对任意的n∈N* 恒成立,求t的取值范围。 解析:(1)由f(x)=x2-x,得f'(x)= 2x-1,所以xn + 1 = xn- f(xn) f'(xn) = xn- x2n-xn 2xn-1 = x2n 2xn-1 ,则 xn+1 xn+1-1 = x2n 2xn-1 x2n 2xn-1 -1 = x2n x2n-2xn+1 = xn xn-1 2 。 所以an+1=ln xn+1 xn+1-1 =ln xn xn-1 2 = 2ln xn xn-1 =2an(xn>1),故 an+1 an =2(非零常 数),且a1=2≠0,所以数列{an}是以2为首 项,2为公比的等比数列。 所以an=2×2n-1=2n。 (2)由(1)知an=2n,所以等比数列{an} 的前n项和Sn= 2(1-2n) 1-2 =2 n+1-2。 因为不等式(-1)n·tSn-14≤S2n 对任 意的n∈N* 恒成立,又Sn>0且Sn 单调递 增,所以(-1)n·t≤Sn+ 14 Sn 对任意的n∈N* 恒成立。 令g(x)=x+ 14 x ,x∈(0,+∞),则 g'(x)=1- 14 x2 = x2-14 x2 。 所以当 x∈(0, 14)时,g'(x)<0, g(x)是单调递减函数;当x∈(14,+∞) 时,g'(x)>0,g(x)是单调递增函数。 又因为2=S1< 14<S2=6,且g(2) =9,g(6)= 25 3 ,g(6)<g(2),所以g(Sn)min =g(S2)=g(6)= 25 3 。 当n 为 偶 数 时,可 得t≤Sn + 14 Sn ,而 g(S2)<g(S4)<g(S6)<…,所以t≤g(S2) = 25 3 ; 当n为奇数时,可得-t≤Sn+ 14 Sn ,又因 为2=S1< 14<S3=14<S5<S7<…,且 g(2)=9,g(14)=15,g(x)在(14,+∞)上 43 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月 单调递增,所以g(2)=g(S1)<g(14)= g(S3)<g(S5)<g(S7)<…,此时-t≤ g(S1)=9,所以t≥-9。 综上可得,满足题意的t的取值范围为 -9, 25 3 。 方法突破:遇到新定义问题,应耐心读 题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质, 按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运 算、验证,使得问题得以解决。 聚焦3.数列定义新运算 例 3 (2024年浙江杭州三模)卷积运 算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有着 广泛的应用。一般地,对无穷数列{an},{bn}, 定义无穷数列cn = ∑ n k=1 akbn+1-k(n∈N*),记作 图1 {an}*{bn}={cn},称{Cn} 为{an}与{bn}的卷积。卷 积运算有如图1所示的直 观含义,即{cn}中的项依 次为所列数阵从左上角开 始各条对角线上元素的 和,易知有交换律{an}*{bn}={bn}*{an}。 (1)若an=n,bn=2n,{an}*{bn}= {cn},求c1,c2,c3,c4。 (2)对任意i∈N*,定义 Ti{an}如下: ①当i=1时,Ti{an}={an};②当i≥2时, Ti{an}为满足通项dn= 0,n<i, an+1-i,n≥i 的数列 {dn},即将{an}的每一项向后平移i-1项, 前i-1项都取为0。试找到数列{t(i)n },使得 {t(i)n }*{an}=Ti{an}。 (3)若an=n,{an}*{bn}={cn},证明: 当n≥3时,bn=cn-2cn-1+cn-2。 解析:(1)因为an=n,bn=2n,所以a1= 1,b1=2;a2=2,b2=4;a3=3,b3=8;a4=4, b4=16。 因为 {an}* {bn}= {cn},且 cn = ∑ n k=1 akbn+1-k(n∈N*),所以c1=a1b1=2,c2= a1b2+a2b1=8,c3=a1b3+a2b2+a3b1=22, c4=a1b4+a2b3+a3b2+a4b1=52。 (2)t(1)n = 1,n=1, 0,n≥2。 对一般的i∈N*,t(i)n = 1,n=i, 0,n≠i。 (3)记{bn}的前n 项和为Sn,由卷积运 算的交换律有∑ n k=1 (n+1-k)bk =cn。 故(n+1)Sn-∑ n k=1 kbk=cn,(n+2)Sn+1- ∑ n k=1 kbk-(n+1)bn+1=cn+1,两式相减得Sn+1 =cn+1-cn。 故当n≥3时,bn=Sn-Sn-1=(cn- cn-1)-(cn-1-cn-2)=cn-2cn-1+cn-2。 方法突破:遇到新运算问题,应理解新运 算,掌握新运算,将新运算转化为常规运算, 通过常规方法,将问题解决。 三、解题启示 1.思想方法主线 通过给定的与数列有关的新定义,或约 定的一种新运算,或给出的由几个新模型来 创设的新问题的情景,要求在阅读理解的基 础上,依据题设所提供的信息,联系所学的知 识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的 目的。遇到新定义问题,需耐心研究题中信 息,分析新定义的特点,搞清新定义的本质, 按新定义的要求“照章办事”,逐条分析、运 算、验证,使问题得以顺利解决。类比“熟悉 数列”的研究方式,用特殊化的方法研究新数 列,向“熟悉数列”的性质靠拢。 2.基础知识主线 新情景、新定义的数列问题,不管如何创 新,题目的核心一定还是落在数列的基础知 识上,所以同学们要夯实以等差、等比数列的 通项公式、求和公式为主体的基础知识主线。 因此,在高三复习备考中,要结合近几年 高考试题和优质模拟题的特点,对数列的考 查要求进行整体把握,不仅能够充分掌握常 规的解题方法,而且还要灵活运用;同时,还 要掌握转化与化归思想、分类讨论思想、整体 思想等,以应对数列创新题。 (责任编辑 王福华) 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年2月