11 找准痛点，疏通堵点——解三角形易错点扫描-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻 错解:sin x-sin2y= 1 4-cos y-(1- cos2y)=cos2y-cos y- 3 4=cos y- 1 2 2 -1。 因为cos y∈[-1,1],所以当cos y= -1时,(sin x-sin2y)max= 5 4 。 错因:忽略正余弦函数的有界性,sin x∈ [-1,1],cos y∈[-1,1]。 正解:因为sin x+cos y= 1 4 ,所以sin x = 1 4-cos y∈[-1,1],所以- 3 4≤cos y≤ 5 4 ,所以cos y∈ - 3 4 ,1 。 因为sin x-sin2y= 1 4-cos y-(1- cos2y)=cos2y-cos y- 3 4= cos y- 1 2 2 -1,所 以 当 cos y= - 3 4 时,(sin x- sin2y)max= 9 16 。 总之,与三角函数图像与性质有关的易 错问题不只上述几例,还包括忽略角的范围、 忽视定义域优先原则等。预测2025年高考 数学会继续重点考查三角函数的图像与性 质,特别是对概念和图像内涵的考查。 (责任编辑 王福华) ■江西省南昌市第三中学 张金生(正高级教师、特级教师) ■江西省南昌市第三中学 黄文强 高考中,解三角形试题通常较稳定,涉 及三角形中的边长、角度、面积等的求值、 最值或取值范围问题,难度中等,属于“必 得分”之 列,不 容 有 失。因 此,对“解 三 角 形”的复习历来都是一个重点,但对同学们 来说,这一模块是“困难与兴趣”同在,“错 误与技巧”共存。本文聚焦解三角形模块, 找准痛点,疏通堵点,克服思维障碍,提升 思维能力。 易错点一、正余弦定理的适用条件不清 致错 例 1 有一解三角形的题因纸张破损, 有一条件不清,且具体如下:在△ABC 中,已 知a= 3,B=45°, ,求角 A。 经推断破 损处为三角形一边的长度,且答案提示A= 60°,试将条件补充完整,并给出解答过程。 错 解: 由 正 弦 定 理 得 b= asin B sin A = 3sin 45° sin 60° = 2 ,故破损处为b= 2。 错因剖析:若b= 2,则由正弦定理得 sin A= asin B b = 3sin 45° 2 = 3 2 ,因为a= 3 >b= 2,所以A>B,A=60°或A=120°,与答 案不一致。错解是因为对正余弦定理的适用条 件不清导致出错。已知三角形的两边及其一边 的对角解三角形时,易忽视三角形解的个数。 该题可用余弦定理联手一元二次方程求解。 正解:若A=60°,则C=180°-A-B= 75°, 由正弦定理得c= asin C sin A = 3sin 75° sin 60° = 2sin (45°+30°)= 6+ 2 2 ,所以已知条件为 a= 3,B=45°,c= 6+ 2 2 。 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B= 3+ 6+ 2 2 2 -2· 3· 6+ 2 2 · 2 2=2 , 所以b= 2。 由 正 弦 定 理 得 sin A = asin B b = 3sin 45° 2 = 3 2 ,易知b<a<c,所以A 为锐 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年2月 角,所以A=60°。 与答案一致,故破损处为c= 6+ 2 2 。 例 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所 对的边分别为a,b,c,△ABC 的外接圆半径 为R,且cos B= 3 5 ,a- 2b=2Rcos A。 (1)求sin A 的值; (2)若△ABC 的面积为 119 25 ,求△ABC 的周长。 易错提醒:对于解三角形问题,要清楚正 余弦定理的适用条件,分析已知与未知之间 的关系,正确选择定理进行求解。体会正余 弦定理在求边或角时的优势与劣势,多角度 分析问题,选择最佳路径解决问题。要通过 化归,用正余弦定理将变量进行统一,统一成 角或统一成边,有时利用函数与方程思想解 决问题。 解:(1)已知a- 2b=2Rcos A,结合正 弦 定 理 a sin A = b sin B =2R ,得 sin A - 2sin B=cos A,化 简 得 sin A- π 4 = sin B,故A- π 4=B 。 又因为cos B= 3 5 ,所以sin B= 4 5 ,所以 sin A=sin B+ π 4 =7210。 (2)由 (1)知 sin A = 72 10 ,cos A = cosB+ π 4 =- 210,则sin C=sin (B+A) =sin Bcos A+sin Acos B= 172 50 。 由正弦定理得a∶b∶c=sin A∶sin B∶ sin C=352∶40∶172。 令a=35 2k(k>0),则b=40k,c= 172k,则S△ABC= 1 2absin C= 1 2×352k× 40k× 172 50 = 119 25 ,解得k= 1 10 。 故△ABC 的周长为 352+40+172 10 = 262+20 5 。 易错点二、未挖掘隐含条件致错 例 3 已知锐角△ABC 的内角A,B, C 所对的边分别为a,b,c,且bsin B+C 2 = asin B。 (1)求角A; (2)若a=23,求△ABC 的周长的取值 范围。 易错提醒:利用正弦定理化边为角求出 A 后,用正弦定理将周长转化为关于角B 或 C 的函数是一个堵点,不能准确挖掘出题目 中的隐含条件 π 6<B< π 2 导致解题失误是一 个痛点。 解:(1)由已知得,bsin π2- A 2 =asin B, 由正弦定理得sin Bcos A 2=sin Asin B。因 为sin B>0,所以cos A 2=2sin A 2cos A 2⇒ sin A 2= 1 2 cos A 2≠0 。 因为△ABC为锐角三角形,所以A= π 3 。 (2)由正弦定理得 a sin A= b sin B= c sin C =4,即 a sin A= b sin B= c sinπ- π3+B = 4,则b=4sin B,c=4sinB+ π 3 。 所以 a+b+c=2 3 +4sin B + 4sinB+ π 3 = 2 3 + 4sin B + 4sin Bcos π 3+cos Bsin π 3 = 2 3 + 43sinB+ π 6 。 由 0<B< π 2 , 0< 2π 3-B< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 π 6<B< π 2 ,所 03 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年2月 以 B+ π 6∈ π 3 ,2π 3 ,所 以sin B+π6 ∈ 3 2 ,1 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ,所以a+b+c∈ 23+6,63 。 故△ABC 的周长的取值范围为(23+ 6,63]。 易错点三、忽视数学思想应用致错 例 4 在△ABC 中,内角 A,B,C 所 对的边分别为a,b,c。 (1)证 明:tan A 2 = 1-cos A sin A = sin A 1+cos A 。 (2)若a,b,c成等比数列。 ①设 b a=q ,求q的取值范围; ②求tan A 2tan C 2 的取值范围。 易错提醒:要注意函数与方程思想、数形 结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想在 解三角形中的应用。本题第(2)问的第①小 问中利用三角形三边关系建立不等式组,而 解不等式是一个堵点;第②小问中结合正余 弦定理及齐次化后转化为对勾函数的求解是 另一个堵点。不能准确运用函数与方程思想 解题是痛点。 解:(1)证明过程略。 (2)①由题意知公比为q,则b=aq,c= aq2,由三角形三边的关系知 q>0, a+aq>aq2, a+aq2>aq, aq+aq2>a, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得q∈ 5-1 2 ,5+1 2 。 ②由(1)及正余弦定理知tan A 2tan C 2= sin A 1+cos A ·1-cos C sin C = a c · 1- a2+b2-c2 2ab 1+ c2+b2-a2 2bc = a+c-b a+c+b= a+aq2-aq a+aq2+aq = 1+q2-q 1+q2+q =1- 2q 1+q2+q =1- 2 q+ 1 q+1 。 由对勾函数的性质知f(q)=q+ 1 q +1 在 5-1 2 ,1 上单调递减,在 1,5+12 上单 调递 增,所 以 f (q)=q + 1 q +1∈ 3,5+1 ,则1- 2 q+ 1 q+1 ∈ 1 3 ,3- 5 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 , 即tan A 2tan C 2 的取值范围为 1 3 ,3- 5 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 。 易错点四、解答题中由直观代替论证致错 例 5 已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 3bsin C-ccos B= c。 (1)求角B; (2)若△ABC 为锐角三角形,且a=2, 求△ABC 面积的取值范围。 图1 易错提醒:部分同学在 解答第(2)问时画出图1,点 A 从点D 开始向点E 运动, 由图知△ABC 面积的取值 范 围 为 (SRt△BCD,SRt△BCE)。 直观图形常常为我们解题带来方便。但是, 如果完全以图形的直观想象为依据来进行推 理,一方面,会使思维出现不严密的情况;另 一方面,从做题的规范性来看也是不允许的, 一般不能以图形的直观想象作为解答题证题 的主要过程,规范的答题过程是同学们普遍 存在的一个痛点。 解:(1)已知 3bsin C-ccos B=c,由正 弦定理得 3sin Bsin C-sin Ccos B=sin C。 因为0<C<π,所以sin C>0,所以 3sin B -cos B=1,所以sinB- π 6 =12。因为 0<B<π,所以B- π 6= π 6 ,解得B= π 3 。 (2)由题设知S△ABC= 1 2acsin B= 3 2c= 3 2 · a sin A · sin C = 3sin C sin A = 3sin2π3-A sin A = 3 3 2cos A+ 1 2sin A sin A = 13 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年2月 3 2+ 3 2tan A 。 因为△ABC 为锐角三角形,所以0< A< π 2 ,0<C= 2π 3-A< π 2 ,从而π 6<A< π 2 ,得tan A> 3 3 ,所以0< 3 2tan A< 33 2 ,所 以△ABC 面积的取值范围是 3 2 ,23 。 易错点五、解决实际问题时对专业名词 理解不清致错 例 6 在海岛 A 上有一座海拔1 km 的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测 得一轮船在海岛A 北偏东30°、俯角为60°的 B 处,到11时10分,又测得该轮船在海岛A 北偏西60°、俯角为30°的C 处,如图2。 图2 (1)求轮船的航行速度; (2)又经过一段时间后, 轮船到达海岛A 的正西方向 的D 处,问此时轮船距海岛A 有多远。 易错提醒:实际应用问题中的有关名词、 术语容易忽视和混淆。要注意理解仰角、俯 角、方向角、方位角、坡度的具体含义。此题 涉及角与距离,合理、准确地将已知条件转化 为三角形中的有关量,运用正余弦定理解决。 对题意没有理解透彻,方位确定不了,不能观 察出△BAC 是直角三角形,用正余弦定理处 理解三角形问题的能力不强,都易导致错误。 解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60°, PA=1(km),所以AB= 3(km)。 在Rt△PAC 中,∠APC=30°,所以AC = 3 3 (km)。 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°, 所以BC= AC2+AB2= 3 3 2 +(3)2 = 30 3 (km)。 所以 轮 船 的 航 行 速 度 为 30 3 ÷ 1 6 = 2 30(km/h)。 (2)由(1)及题意知∠DAC=90°-60°= 30°。 sin ∠DCA =sin(180°- ∠ACB)= sin∠ACB= AB BC= 3 30 3 = 3 10 10 。 sin ∠CDA =sin (∠ACB -30°)= sin ∠ACB·cos 30°-cos ∠ACB·sin 30° = 3 10 10 · 3 2 - 1 2 · 1- 3 10 10 2 = (33-1)10 20 。 在△ACD 中,由正弦定理得 AD sin∠DCA = AC sin∠CDA ,所以AD= AC·sin∠DCA sin∠CDA = 3 3 ·3 10 10 (33-1)· 10 20 = 9+ 3 13 (km)。 所以当轮船到达海岛 A 的正西方向的 D 处时,轮船距海岛A 的距离为 9+ 3 13 km。 我们常说要向过去错误要分,向规范答题 要分。批判性思维能力有助于良好思维品质 的养成,对错误的原因进行深入分析可以提升 思维品质,从而思维的精准性、思维的洞察性、 思维的统摄性(无遗漏)、思维的清晰性、思维 的严谨性、思维的灵活性都将得到改善,思维 品质改善了,错误就会无影无踪。同学们需要 注意的是“高考题型的变化具有一定的不确定 性,应全面掌握解三角形的知识和方法,以应 对各种可能出现的题型”。在复习时,要掌握 公式的推导,例如,推导余弦定理的几何法、坐 标法、向量法,推导正弦定理的几何法、向量 法。要构建并完善知识体系结构形成网络,进 行微专题训练,例如:“爪”型结构三角形中的 高线、中线、角平分线(常用等面积法 )专题; 已知一角和一边专题(已知一角和对边、已知 一角和邻边);三角与导数综合专题;三角应用 专题;世界名题背景专题等。通过专题训练提 高解题技能,通过解题反思发展数学思维,通 过错题研究提升思维品质。 (责任编辑 王福华) 23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年2月