10 三角函数的图像和性质易错题归类剖析-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

三角函数的图像和性质易错题归类剖析 ■江西省南昌市第三中学 杨一博 ■江西省南昌市雷式学校 吴娜娜 三角函数的图像与性质是高考数学的必 考内容,试题的难度以中档为主,但涉及的公 式与性质较多,图像变换灵活,同学们容易犯 错。下面对该模块的典型错误进行归类剖 析、归纳总结,以期为同学们的复习备考提供 一些帮助。 易错点一、不能准确掌握正弦型、余弦 型、正切型函数的性质 例 1 设函数 f(x)=tan(ωx+φ) ω>0,0<φ< π 2 ,其图像与x 轴相邻两个 交 点 的 距 离 为 π 2 ,且 图 像 关 于 点 M - π 8 ,0 对称,求函数f(x)的单调区间。 错解:由题意知,函数f(x)的最小正周 期为T= π 2 ,即 π |ω|= π 2 ,因为ω>0,所以 ω=2,所以f(x)=tan(2x+φ)。 因为 函 数 y=f(x)的 图 像 关 于 点 M - π 8 ,0 对称,所以2× -π8 +φ=kπ, k∈Z,即φ=kπ+ π 4 ,k∈Z。又0<φ< π 2 ,则 φ= π 4 ,所以f(x)=tan2x+ π 4 。 令- π 2+kπ<2x+ π 4<kπ+ π 2 ,k∈Z, 得- 3π 8+ kπ 2<x< π 8+ kπ 2 ,k∈Z。 所以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 - 3π 8+ kπ 2 ,π 8+ kπ 2 ,k∈Z,无单调递减区间。 错因:上述解法出现错误的原因是对正 切函数f(x)=tan x 的对称中心为 kπ2 ,0 , k∈Z没有准确记忆,导致不能深刻理解正切 型函数f(x)=tan(ωx+φ)的性质。 正解:由题意知,函数f(x)的最小正周 期为T= π 2 ,即 π |ω|= π 2 ,因为ω>0,所以 ω=2,所以f(x)=tan(2x+φ)。 因为 函 数 y=f(x)的 图 像 关 于 点 M - π 8 ,0 对称,所以2× -π8 +φ=kπ2, k∈Z,即φ= kπ 2+ π 4 ,k∈Z。又0<φ< π 2 , 故φ= π 4 ,所以f(x)=tan2x+ π 4 。 令- π 2+kπ<2x+ π 4<kπ+ π 2 ,k∈Z, 得- 3π 8+ kπ 2<x< π 8+ kπ 2 ,k∈Z。 所以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 - 3π 8+ kπ 2 ,π 8+ kπ 2 ,k∈Z,无单调递减区间。 易错点二、不能正确理解三角函数图像 的变换规律 例 2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< π 2 的部分图像如图1所示。 图1 (1)求函数 f(x)的解析 式; (2)先将函数f(x)的图像 向左平移 π 12 个单位长度,再将所 得图像上所有点的横坐标和纵 坐标都伸长到原来的2倍,得到 函数g(x)的图像。当x∈ - π 6 ,π 6 时,求函 数g(x)的值域。 错解:(1)由图得f(x)=4sin6x- π 6 。 (2)将函数f(x)的图像向左平移 π 12 个单 位长 度 后 得 到 y=4sin 6x- π 6+ π 12 = 4sin6x- π 12 的图像,再将所得图像上所有 72 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年2月 点的横坐标和纵坐标都伸长到原来的2倍, 得到函数g(x)=8sin3x- π 24 的图像。 因为 x∈ - π 6 ,π 6 ,所以3x- π24∈ - 13π 24 ,11π 24 ,后面无法准确求出函数g(x) 的值域。 错因:不能正确理解三角函数图像变换规 律。由f(x)=sin ωx的图像到g(x)=sin(ωx +φ)的图像的变换:向左平移 φ ω (ω>0,φ>0) 个单位长度而非φ 个单位长度。平移变换是 针对x本身,横向伸缩变换也是如此。 正解:(1)由图得f(x)=4sin6x- π 6 。 (2)将函数f(x)的图像向左平移 π 12 个单 位长度后得到y=4sin 6x+ π 12 -π6 = 4sin6x+ π 3 的图像,再将所得图像上所有 点的横坐标和纵坐标都伸长到原来的2倍, 得到函数g(x)=8sin3x+ π 3 的图像。 因为 x∈ - π 6 ,π 6 ,所 以3x+π3∈ - π 6 ,5π 6 ,所以-12≤sin3x+π3 ≤1,所 以-4≤8sin 3x+ π 3 ≤8,故函数g(x)在 - π 6 ,π 6 上的值域为[-4,8]。 易错点三、求φ 时忽略升降零点的区别 图2 例 3 已知函数f(x) =Asin(ωx+φ)(A>0,ω> 0)的图像如图2所示,M,N 是直线y=-1与曲线y= f(x)的两个交点,且|MN| = 2π 9 ,求f(π)。 错解:由图像知A=2。 设 M(x1,y1),N(x2,y2),且x2>x1,因 为|MN|= 2π 9 ,所以x2-x1= 2π 9 。 令2sin(ωx+φ)=-1,即sin (ωx+φ) =- 1 2 ,结合图像得ωx1+φ=- 5π 6 ,ωx2+φ =- π 6 ,则ω(x2-x1)= 2π 3 ,即ω× 2π 9= 2π 3 , 所以ω=3。 将x=- 4π 9 ,y=0代入f(x)=2sin(3x +φ),得2sin - 4π 3+φ =0,所以-4π3+ φ=kπ,k∈Z,故φ= 4π 3+kπ ,k∈Z。 所以f(x)=2sin3x+ 4π 3+kπ ,k∈Z, 所以f(π)=2sin3π+ 4π 3+kπ =± 3。 错因:求φ时忽略升降零点的区别,求φ 的常用方法有:把图像上的一个已知点代入 (此时要注意该点是在上升区间上还是在下 降区间上)或把图像的最高点或最低点代入。 正解:由图像知A=2。 设 M(x1,y1),N(x2,y2),且x2>x1,因 为|MN|= 2π 9 ,所以x2-x1= 2π 9 。 令2sin(ωx+φ)=-1,即sin(ωx+φ)= - 1 2 ,结合图像得ωx1+φ=- 5π 6 ,ωx2+φ= - π 6 ,则ω(x2-x1)= 2π 3 ,即ω× 2π 9= 2π 3 ,所 以ω=3。 将x=- 4π 9 ,y=0代入f(x)=2sin(3x +φ),得2sin - 4π 3+φ =0,且 -4π9,0 为 函数的下降零点,所以- 4π 3+φ=π+2kπ , k∈Z,故φ= 7π 3+2kπ ,k∈Z。 所以f(x)=2sin3x+ 7π 3+2kπ ,k∈ Z,所以f(π)=2sin3π+ 7π 3+2kπ =- 3。 易错点四、忽略正余弦函数的有界性 例 4 已知sin x+cos y= 1 4 ,求sin x -sin2y 的最大值。 82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年2月 􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻􀤻 错解:sin x-sin2y= 1 4-cos y-(1- cos2y)=cos2y-cos y- 3 4=cos y- 1 2 2 -1。 因为cos y∈[-1,1],所以当cos y= -1时,(sin x-sin2y)max= 5 4 。 错因:忽略正余弦函数的有界性,sin x∈ [-1,1],cos y∈[-1,1]。 正解:因为sin x+cos y= 1 4 ,所以sin x = 1 4-cos y∈[-1,1],所以- 3 4≤cos y≤ 5 4 ,所以cos y∈ - 3 4 ,1 。 因为sin x-sin2y= 1 4-cos y-(1- cos2y)=cos2y-cos y- 3 4= cos y- 1 2 2 -1,所 以 当 cos y= - 3 4 时,(sin x- sin2y)max= 9 16 。 总之,与三角函数图像与性质有关的易 错问题不只上述几例,还包括忽略角的范围、 忽视定义域优先原则等。预测2025年高考 数学会继续重点考查三角函数的图像与性 质,特别是对概念和图像内涵的考查。 (责任编辑 王福华) ■江西省南昌市第三中学 张金生(正高级教师、特级教师) ■江西省南昌市第三中学 黄文强 高考中,解三角形试题通常较稳定,涉 及三角形中的边长、角度、面积等的求值、 最值或取值范围问题,难度中等,属于“必 得分”之 列,不 容 有 失。因 此,对“解 三 角 形”的复习历来都是一个重点,但对同学们 来说,这一模块是“困难与兴趣”同在,“错 误与技巧”共存。本文聚焦解三角形模块, 找准痛点,疏通堵点,克服思维障碍,提升 思维能力。 易错点一、正余弦定理的适用条件不清 致错 例 1 有一解三角形的题因纸张破损, 有一条件不清,且具体如下:在△ABC 中,已 知a= 3,B=45°, ,求角 A。 经推断破 损处为三角形一边的长度,且答案提示A= 60°,试将条件补充完整,并给出解答过程。 错 解: 由 正 弦 定 理 得 b= asin B sin A = 3sin 45° sin 60° = 2 ,故破损处为b= 2。 错因剖析:若b= 2,则由正弦定理得 sin A= asin B b = 3sin 45° 2 = 3 2 ,因为a= 3 >b= 2,所以A>B,A=60°或A=120°,与答 案不一致。错解是因为对正余弦定理的适用条 件不清导致出错。已知三角形的两边及其一边 的对角解三角形时,易忽视三角形解的个数。 该题可用余弦定理联手一元二次方程求解。 正解:若A=60°,则C=180°-A-B= 75°, 由正弦定理得c= asin C sin A = 3sin 75° sin 60° = 2sin (45°+30°)= 6+ 2 2 ,所以已知条件为 a= 3,B=45°,c= 6+ 2 2 。 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B= 3+ 6+ 2 2 2 -2· 3· 6+ 2 2 · 2 2=2 , 所以b= 2。 由 正 弦 定 理 得 sin A = asin B b = 3sin 45° 2 = 3 2 ,易知b<a<c,所以A 为锐 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年2月