08 谈解题思维“元指导”策略——以”解三角形中的最值(或取值范围)问题”为例-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■江苏省宜兴市丁蜀高级中学 陈 蓉 作为高考中的主干知识之一的解三角 形,其中最值(或取值范围)问题的设置与考 查是最为常见的一类综合应用问题。其最值 (或取值范围)的场景是多变的,主要涉及角、 边、周长、面积或综合关系式的最值等,根据 不同的场景与应用条件,选取合适的技巧与 方法,成为突破与解决问题的关键。本文结 合实例,就解三角形中的最值(或取值范围) 问题的一些常见的解题技巧与方法加以剖 析,以期抛砖引玉。 一、基本不等式法 利用基本不等式法处理解三角形中的最 值(或取值范围)问题的关键是合理寻找或配 凑对应关系式的“定和”或“定积”的结构特 征,通过基本不等式的合理放缩与应用来达 到最值确定的目的。 例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 所 对的边分别是a,b,c,且ctan B=(2a-c)· tan C。 (1)求角B 的大小; (2)若b=23,点D 在边AC 上,且BD 平分∠ABC,求BD 长的最大值。 解析:(1)依题意,由ctan B=(2a-c)· tan C,结 合 正 弦 定 理 可 得 sin Csin B cos B = (2sin A-sin C)sin C cos C 。 因为 sin C>0,所 以 sin Bcos C= 2sin Acos B-sin Ccos B,即sin Bcos C+ cos Bsin C=2sin Acos B,即sin(B+C)= 2sin Acos B。结 合 A+B+C=π,可 得 sin A=2sin Acos B。 因为sin A>0,所以cos B= 1 2 。 因为0<B<π,所以B= π 3 。 (2)由 于 S△ABD +S△BCD =S△ABC,可 得 1 2AB×BD×sin π 6+ 1 2BC×BD×sin π 6= 1 2AB × BC ×sin π 3 ,整 理 得 BD = 3AB×BC AB+BC 。 在△ABC 中,结合余弦定理可得AC2= AB2+BC2-2AB×BC×cos π 3=12 ,利用 基本不等式有 (AB+BC)2-12 3 =AB×BC ≤ (AB+BC)2 4 ,解得 AB+BC≤4 3,当且 仅当AB=BC=23时,等号成立。 所 以 BD = 3AB×BC AB+BC = 3× (AB+BC)2-12 3 AB+BC = 3 3 (AB+BC)- 43 AB+BC≤3 ,当且仅当 AB=BC=23时, 等号成立,所以BD 长的最大值为3。 点评:利用基本不等式法解决解三角形 中的最值(或取值范围)问题的关键是借助解 三角形进行统一化处理,或统一化边,或统一 化角,结合仅含边或角的关系式的变形、配 凑、转化与应用等,合理通过基本不等式的放 缩来达到目的。 二、平面几何法 利用平面几何法处理解三角形中的最值 (或取值范围)问题,是回归解三角形问题的 平面几何实质,借助平面几何的图形直观,结 合“形”的思维方式切入问题,综合相关的知 识来直观想象与推理运算。 例 2 已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若 1 tan A+ 1 tan B= 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月 3,试确定代数式 b a+ a b 的最大值。 图1 解析:如图1,过点 C 作 CD ⊥AB 于 点 D,设 CD=h,AD=x,BD=y, 则c=x+y。 结合三 角 函 数 的 定 义,可 得 1 tan A + 1 tan B= x h+ y h= c h=3 ,即c=3h。 利用三角形的面积公式,可知S= 1 2ch = 1 2absin C,整理得h2= 1 3absin C。 ① 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C= 9h2。 ② 根据①与②,可得a2+b2=3absin C+ 2abcos C。 故 b a+ a b= b2+a2 ab =3sin C+2cos C= 13sin(C+φ)≤ 13,其中tan φ= 2 3 ,所以 b a+ a b 的最大值为 13。 点评:解决此类解三角形问题的“巧技妙 法”就是平面几何法,回归解三角形问题中 “形”的内涵,借助题设条件合理构建三角形 中的边或角的关系,进而利用几何直观思维、 三角函数思维、不等式思维或函数思维等来 确定最值问题。 三、函数法 利用函数法处理解三角形中的最值(或 取值范围)问题,往往是将所求的边或角的关 系式化同参,合理构建相应的函数解析式,利 用二次函数的图像与性质,或函数与导数的 应用来分析与处理。 例 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 所 对的边分别是a,b,c,且满足b(b+a)=c2。 (1)求证:C=2B; (2)若△ABC 为锐角三角形,求2sin C +cos B-sin B 的最大值。 解析:(1)已知b(b+a)=b2+ab=c2,在 △ABC 中,由 余 弦 定 理 得c2=a2+b2- 2abcos C=b2+ab,则b=a-2bcos C。 由正弦定理得sin B=sin A-2sin Bcos C =sin (B+C)-2sin Bcos C=cos Bsin C- sin Bcos C=sin(C-B)。 又0<B<π,0<C<π,则-π<C-B< π,可得 B=C-B 或B+(C-B)=π(舍 去),所以C=2B。 (2)由 于△ABC 为 锐 角 三 角 形,则 有 0<A=π-3B< π 2 , 0<B< π 2 , 0<C=2B< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 π 6<B< π 4 ,则有 0< π 4-B< π 12 ,利用两角差的正弦公式,可 得sin π 12=sin π 3- π 4 = 6- 24 。 由(1)知C=2B,所以2sin C+cos B- sin B=2sin 2B+cos B-sin B。 令t=cos B-sin B= 2sin π 4-B ∈ 0, 3-1 2 ,则sin 2B=1-(cos B-sin B)2, 所以2sin C+cos B-sin B=2(1-t2)+t= -2t2+t+2=-2t- 1 4 2 + 17 8 ,所以当t= 1 4 时,2sin C+cos B-sin B 取最大值为 17 8 。 点评:根据所求的三角函数关系式,巧妙 进行化同角处理,通过整体思维、换元思维等 来构建对应的函数关系式,进而利用函数的 图像与性质进行分析与处理。这里利用二次 函数的图像与性质来确定最大值时要特别注 意角的取值范围,这对问题的解答起着关键 作用。 总之,解决解三角形中的最值(或取值范 围)问题的关键是寻觅并挖掘对应关系式的 结构特征,合理进行恒等变形与转化,借助解 题经验的积累与技巧方法的应用,选取行之 有效的数学思维方法与对应的技巧策略,实 现最值(或取值范围)问题的求解,从而有效 养成良好的数学思维品质,提升数学解题能 力,拓展数学应用与创新思维。 (责任编辑 王福华) 32 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月