07 解三角形问题的应对策略-《中学生数理化》高考数学2025年2月刊

■江苏省昆山市柏庐高级中学 何 静 在新教材背景中,解三角形知识成为平 面向量中的一类基本应用问题,合理交汇与 融合起平面几何与三角函数、平面向量、不等 式等相关知识,充分落实新课标“在知识交汇 处命题”的指导思想,是高考命题中的一个基 本考点,备受各方关注。本文结合典型实例, 就解三角形问题中的应对策略加以剖析,以 期抛砖引玉。 一、以边为主元的解三角形问题 在解三角形问题中,涉及边长、周长、面 积、距离等的大小、最值或取值范围时,往往 构建以边为主元的关系式来合理转化与求 解,借助函数关系式,通过函数思维或不等式 思维等来实现问题的突破与求解。 例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 所 对的边分别是a,b,c,且满足asin A+C 2 = bsin A,a=1。 (1)求角B; 图1 (2)如图1所示,若 AC= BC,在△ABC 的边AB,AC 上 分别取点D,E,使△ADE 沿线 段DE 折叠到平面BCE 后,顶 点A 正好落在边BC(设为点 P)上,求此情况下AD 的最小值。 解析:(1)已知asin A+C 2 =bsin A,由 正弦定理得sin Asin A+C 2 =sin Bsin A。 因为A∈(0,π),A+C=π-B,所以sin A ≠0, A+C 2 = π 2- β 2 ,所 以sin π2- B 2 = sin B,即cos B 2=sin B=2sin B 2cos B 2 。 因为B∈(0,π),所以 B 2∈ 0 ,π 2 ,cosB2 ≠0,所以sin B 2= 1 2 ,则B 2= π 6 ,即B= π 3 。 (2)因为AC=BC,由(1)知B= π 3 ,所以 △ABC为等边三角形,即AC=BC=AB=1。 设AD=m,则BD=1-m,PD=m,在 △BPD 中,由 余 弦 定 理 得 cos B = BP2+BD2-PD2 2BP·BD = BP2+(1-m)2-m2 2BP·(1-m) = 1 2 ,整理得BP2+(1-2m)=BP·(1-m)。 设 BP =x,0≤x ≤1,所 以 m = x2-x+1 2-x = (2-x)2-3(2-x)+3 2-x =2-x + 3 2-x-3 。 因为0≤x≤1,所以1≤2-x≤2,由基 本不等式得m=2-x+ 3 2-x-3≥23-3 , 当且仅当2-x= 3 2-x= 3 ,即x=2- 3 时,等号成立。 所以AD 的最小值为23-3。 点评:在解三角形问题中,以边为主元来 构建对应的关系式,借助边这一变量来合理 构建相应的函数,通过函数与方程、函数与导 数的应用、不等式的基本性质等知识来分析 与处理,实现解三角形问题的突破与求解。 二、以角为主元的解三角形问题 在解三角形问题中,涉及角、三角函数 值、夹角等的大小、最值或取值范围时,往往 构建以角为主元的关系式来合理转化与求 解,借助三角函数关系式,通过三角函数思维 或不等式思维等来实现问题的突破与求解。 例 2 记△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别是a,b,c,已知bcos C+ 3bsin C- a-c=0。 (1)求角B; (2)点D 在边AC 上,若CD=1,AD= BD=3,求sin A 的值。 解析:(1)已知bcos C+ 3bsin C-a-c =0,由正弦定理得sin Bcos C+ 3sin Bsin C -sin A-sin C=0。 02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月 又因为sin A=sin(B+C)=sin B· cos C+cos Bsin C,所 以 3sin Bsin C- cos Bsin C-sin C=0。 因为0<C<π,所以sin C ≠0,所 以 3sin B-cos B=1,即sinB- π 6 =12。 又因为0<B<π,所以- π 6<B- π 6< 5π 6 ,故B- π 6= π 6 ,即B= π 3 。 (2)由 AD = BD,可 得 ∠ABD = ∠BAD,设∠ABD=∠BAD=θ,则∠BDC =2θ。 由(1)知B= π 3 ,在△ABC 中,由正弦定 理得 BC sin θ= AC sin B ,即BC= 4sin θ sin π 3 = 83 3sin θ。 在△BDC 中,由余弦定理得BC2=BD2 +CD2-2BD·CDcos 2θ=10-6cos 2θ,即 64 3sin 2θ=10-6cos 2θ=10-6(1-2sin2θ), 解得sin2θ= 3 7 ,即sin2A= 3 7 。 又因为A∈(0,π),所以sin A= 21 7 。 点评:在解三角形问题中,以角为主元来 构建对应的关系式,综合解三角形中的相关 概念、几何性质与相关定理等,将问题转化为 相应的三角函数问题,结合函数与方程、三角 函数的图像与性质等知识来分析与处理,得 以突破以角为主元的三角函数综合应用问 题,同时不要忘记基于三角形这一应用场景, 对角的取值范围有一定的限制与要求。 三、组合图形中的解三角形问题 在解三角形问题中,以更加复杂的平面 几何组合图形来创设,融入平面多边形、圆等 其他元素,从中变换与应用,转化到三角形中 去,进而实现解三角形的应用。 例 3 已知四边形 ABCD 内接于圆 O,AB=3,AD=5,∠BAD=120°,AC 平分 ∠BAD。 (1)求圆O 的半径; (2)求AC 的长。 图2 解析:(1)如图2,连接BD。 在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·AD· cos 120°=9+25-2×3×5× - 1 2 =49,所以BD=7。 设圆O 的半径为R,由正弦定理得2R= BD sin 120°= 143 3 ,所以R= 73 3 。 (2)由 余 弦 定 理 得 cos∠ADB = AD2+BD2-AB2 2AD·BD = 25+49-9 2×5×7 = 13 14 。 因为∠ADB∈(0,π),所以sin∠ADB= 1-cos2∠ADB= 33 14 。 因为 AC 平分∠BAD,所以∠BDC= ∠BAC= 1 2∠BAD=60° ,所以sin∠ADC= sin(∠ADB+60°)=sin∠ADB·cos 60°+ cos∠ADB· sin 60°= 33 14× 1 2+ 13 14× 3 2= 43 7 。由 正 弦 定 理 得 AC sin∠ADC =2R = 143 3 ,所以AC= 143 3 × 43 7 =8 。 点评:在解三角形问题中,借助平面几何 中的组合图形,抓住平面几何中的基本性质 与图形的直观想象,将问题转化到对应的三 角形中去,进而利用解三角形思维来分析与 处理。注意分清不同三角形之间边、角的关 系,往往是问题突破与解决的关键所在。 其实,基于解三角形问题的情境应用,巧 妙创设初高中阶段中的不同数学基础知识, 自然融入数学思想方法与技巧策略等,从解 三角形问题中的以边为主元或以角为主元, 结合三角形场景、组合图形场景等,借助“数” 的内涵,进行数学运算,回归“形”的实质,巧 妙直观想象。进而通过“数”与“形”的融合形 成完美统一的数形结合的综合体,借助“数” 与“形”的技巧策略来应用,完成高中阶段中 此类数形兼备的解三角形的典型综合应用问 题,同学们在复习备考中要加以高度重视。 (责任编辑 王福华) 12 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年2月